2. DERECE DENKLEMLER

1. DE İ M Zİ Ş U ANA B Ş L L
RS İ A IK AR
H İ
ALNDE İ NCE E CE Z.
L YE Ğİ
1. 2.DERECE DENKLEM TANIMI
2. 2.DERECE DENKLEME DÖNÜŞTÜRÜLEBİLEN
DENKLEMLER
3. 2.DERECE DENKLEMİN KÖKLERİ VE
KATSAYILARI ARASINDAKİ BAĞINTILAR
4. 3.DERECE DENKLEMİN KÖKLERİ VE
KATSAYILARI ARASINDAKİ BAĞINTILAR
5. KÖKLERİ VERİLEN BİR DENKLEMİN
YAZILMASI

2. 2.DERECE DENKLEM TANIMI
a , b , c sabit birer gerçel (reel) sayı ve
a = 0 olmak üzere;
a x2 + b x + c = 0
biçimindeki eş itliklere
ikinci dereceden bir bilinm enli denklem
ey
denir.

3. İ kinci derece denklemin köklerinin
varlığ ı araş tırılırken;
Δ = b2 - 4ac
ifadesine bakılır. B değ ere ikinci derece
u
denklemin Dİ SK İ M NANT (Delta) denir.
R İ I

4. Şimdi diskriminantın durumlarını inceleyelim.
1. ∆ > 0 ise birbirinden farklı iki kök vardır.
Bu kökler;
−b  ∆
x 1, 2 = ’dır.
2a

5. 2. ∆ = 0 ise birbirine eşit iki kök vardır.
Bu kökler;
b
x1 = x 2 = − ’dır.
2a
3. ∆ < 0 ise denklemin reel sayılarda
çözümü yoktur.

6. ÖRNEK:
3x2-10x+3=0
denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
a=3 , b= -10 , c=3 ve
ÇÖZÜM : Δ=b2-4ac eşitliğinden;
Δ=(-10)2-4.3.3=100-36=64 bulunur.
Δ>0 olduğundan iki kök vardır. Bu kökler;
−
b ∆ 10  64 10  8
x 1, 2 = = =
2a 2 .3 6
18 2 1 b lu u
u n r.
x1 = = 3 ve x2 = =
6 6 3
Ö ley ;
y se  1  olur.
Ç = ,
3
 
 3

7. 2.DE CE DE L M
RE NK E E
DÖNÜŞ T Eİ E
ÜRÜL B L N DE L M E
NK E L R
Bu tür denklemlerde değişken
değiştirerek denklem düzenlenir.
Konuyu örneklerle izah edelim.
ÖRNEK: x4-5x2+4=0 denkleminin çözüm
kümesini bulalım.
x2=u dönüşümü yapılırsa denklem,
ÇÖZÜM :
u2-5u+4=0 haline dönüşür.
u2-5u+4=0 ⇒ (u-4)(u-1)=0
⇒ u=4 ve u=1 olur.
Öyleyse; x2=4 ve x2=1 olacağından
x=± 2 ve x=± 1 bulunur.
Ç={-2,-1,1,2} ’dir.

8. ÖRNEK: (x -5x) -2 (x -5x) -24=0
2 2 2
denkleminin çözüm kümesini bulalım.
ÇÖZÜM : x2-5x=u dönüşümü yapılırsa;
u2 -2u -24=0 olur ki;
⇒ (u-6)(u+4)=0
⇒ u=6 ve u=-4 bulunur.
Öyleyse;
x2-5x=6 ve x2-5x=-4 olacağından
x2-5x-6=0 ⇒ (x-6)(x+1)=0
⇒ x=6 ve x=-1 olur.
x2-5x+4=0 ⇒ (x-4)(x-1)=0
⇒ x=4 ve x=1 olur.
Ç={-1,1,4,6} ’dir.

9. ÖRNEK: 4m+2m-6=0 denkleminin
çözüm kümesini bulalım.
ÇÖZÜM : 2m=u dönüşümü yapılırsa denklem,
u2+u-6=0 haline dönüşür.
u2+u-6=0 ⇒ (u+3)(u-2)=0
⇒ u=-3 ve u=2 olur.
Öyleyse; 2m=-3 ⇒ çözüm yoktur.
ve 2m=2 ⇒ m=1 olacağından
Ç={1} ’dir.

10. 2.DE CE DE L M N K L Rİ VE
RE NK E İ ÖK E
K SAYIL
AT ARI ARASINDAK B Ğ INT AR
İ A IL
ax2 + bx + c = 0 ikinci dereceden
denkleminin kökleri, x1 ve x2 olmak üzere;
b
x1 + x 2 = −
a
c
x1 . x 2 =
a

11. x2 - 6x +8 = 0 denkleminin kökler
ÖRNEK: toplamını bulunuz.
x1+x2= - b /a olduğundan
ÇÖZÜM :
x1+x2= 6 bulunur.
-3x2 - 8x +1 = 0 denkleminin kökler
ÖRNEK:
çarpımını bulunuz.
x1.x2= c /a olduğundan
ÇÖZÜM :
x1.x2= -1 /3 bulunur.

12. 3.DE CE DE L M N K L Rİ VE
RE NK E İ ÖK E
K SAYIL
AT ARI ARASINDAK B Ğ INT AR
İ A IL
ax3 + bx2 +cx +d = 0 üçüncü dereceden
denkleminin kökleri, x1, x2 ve x3 olmak üzere;
b
x1 + 2 + 3
x x =−
a
c
x1 x2 + 2 x3 + 1 x3
x x =
a
d
x1 .x2 .x3 =− bulunur.
a

13. K L Rİ VE İ L N B R
ÖK E R E İ
NK E İ
DE L M N KURUL Ş U
U
ikinci dereceden bir denkleminin kökleri,
x1 ve x2 olmak üzere, denklem;
x2 - (x1+x2)+x1.x2=0 biçimindedir.

14. ÖRNEK: Kökleri -2 ve 3 olan ikinci
derece denklemi bulunuz.
ÇÖZÜM : x1+x2= (-2)+3=1
x1+x2= (-2).3=-6 bulunur.
x2 - (x1+x2)+x1.x2=0
x2 - (1)x+(-6)=0
x2 - x - 6 = 0 bulunur.