FONKSİYONLARIN GRAFİKLERİ

2. Fonksiyonların Asimptotlarını
bulma
Asimptot nedir?
Kaç çeşit Asimptot
vardır?

3. Asimptot nedir?
Bir (d) doğrusu veya bir (c) eğrisi ile bir y=f(x)
fonksiyonun sonsuza giden uçları arasındaki
uzaklık sıfıra yaklaşıyorsa, bu doğru veya
eğriye, fonksiyonun bir ASİMPTOT ’ u denir.

4. y=f(x)
y
Fonksiyon, +∞’ a (d)
doğrusunu takip ederek
uzanmaktadır.
0 x
(d)
y
y=b (d)
0 x
Fonksiyon, +∞’ a (d)
doğrusunu takip ederek
y=f(x) uzanmaktadır.

5. y y=f(x)
Fonksiyon, +∞’ a (d)
doğrusunu takip ederek
uzanmaktadır.
0 x
(d)
y
(c) y=f(x)
0 x
Fonksiyon, +∞’ a (c) eğrisini
takip ederek uzanmaktadır.

6. x=a
y
Şekildeki eğrinin x=a noktasına yak-
Şekildeki eğrinin x=a noktasına yak-
laşırken gösterdiği durumu, limit
laşırken gösterdiği durumu, limit
kullanarak nasıl ifade edebilirsiniz?
kullanarak nasıl ifade edebilirsiniz?
0 a x
y=f(x) lim f ( x ) = ∞
−
x →a
x=a
y y=f(x) Şekildeki eğrinin x=a noktasına yak-
Şekildeki eğrinin x=a noktasına yak-
laşırken gösterdiği durumu, limit
laşırken gösterdiği durumu, limit
kullanarak nasıl ifade edebilirsiniz?
kullanarak nasıl ifade edebilirsiniz?
0 a x
lim f ( x ) = −∞
−
lim f ( x ) = −∞
+
x →a x →a
lim f ( x ) = −∞
x →a

7. a∈R olmak üzere, y=f(x) fonksiyonu
için,
lim− f ( x ) =  ∞ veya lim+ f ( x ) =  ∞
x →a x →a
oluyorsa, x=a doğrusuna, y=f(x)
fonksiyo-nunun DÜŞEY ASİMPTOT ’ u
denir.
Bir fonksiyonun düşey asimptotu, y-eksenine
Bir fonksiyonun düşey asimptotu, y-eksenine
paralel bir doğrudur ve fonksiyon bu doğruyu
paralel bir doğrudur ve fonksiyon bu doğruyu
kesemez.

8. ÖRNEK:
x 2 + 5x − 4 eğrisinin düşey asimptotunun olup olma-
y=
x −1 dığını araştıralım.
x’ in hangi değeri için, lim f ( x ) = ∞ olur?
x →?
x 2 + 5x − 4 2 x 2 + 5x − 4 2
lim = − = −∞ ve lim = + = +∞
x →1− x −1 0 x →1 +
x −1 0
x=1 doğrusu DÜŞEY
ASİMPTOT’tur.

9. Düşey asimptot için nasıl bir genelleme yapılabilir?
Düşey asimptot için nasıl bir genelleme yapılabilir?
P( x )
Düşey asimptot, y=
Q( x)
biçimindeki rasyonel
fonksiyonlarda bulunur.
Paydanın kökü ( veya kökleri) fonksiyonun
düşey asimptotlarıdır.

10. ÖRNEK:
−8
y= 2 eğrisinin, düşey asimptotlarını araştıralım:
x −4
Paydanın kökleri:
x2-4=0 ⇒ x=-2 ve x=2
x=-2
x=2

11. ÖRNEK:
x 4 + 2x 3 + x 2 − 1 eğrisinin, varsa, düşey
y= asimptot-larını araştıralım:
x − x3
İfadenin paydasını sıfır yapan
değerler
x-x 3 = 0 ⇒ x(1-x 2 )=0 ⇒ x 1 =0 x 2 =-1 x 3 =1
x 1 =0 x 2 =-1 x 3 =1
doğrularıdır.

12. ÖRNEK:
x3 + x2 − x + 1 eğrisinin, varsa, düşey
y=
( x + 2) 2 asimptot-larını araştıralım:
İfadenin paydasını sıfır yapan
değerler
(x+2) 2 = 0 ⇒ x 1 =x 2 =-2 (Çift katlı kök)
x=-2 doğrusu
x=-2 doğrusu

13. x 2 + 5x − 4
y= ⇒ Düşey asimptotu
Düşey asimptotu
x−1
x=1 doğrusu
2
lim− f ( x ) = ? ⇒ = −∞
x →1 0 −
2
lim+ f ( x ) = ? ⇒ =∞
x →1 0 +
Fonksiyonun, x=1 noktası civarındaki grafiğinin
Fonksiyonun, x=1 noktası civarındaki grafiğinin
şekli için, nasıl bir yorum yapabilirsiniz?
şekli için, nasıl bir yorum yapabilirsiniz?

14. y x=1
lim+ f ( x ) = ∞
x →1
0 1
x
lim− f ( x ) = −∞
x →1

15. x3 + x2 − x + 1
y=
( x + 2) 2
x=-2 doğrusu düşey asimptot
x=-2 doğrusu düşey asimptot
−∞
y
−1
lim − f ( x ) = − 2
(0 )
=
x → −2
lim + f ( x ) =
x → −2
−1
( 0 +) 2
=
−∞ 0 x
Fonksiyon, asimptotun her iki
Fonksiyon, asimptotun her iki
tarafında
tarafında da,
da,
uzanmaktadır.
uzanmaktadır.
-∞’
-∞’ aa
−∞

16. x=a, paydanın tek kat kökü ise, eğri,
sağ dan ve soldan, bu asimptotun farklı
uçları na yaklaşır.
x=a, paydanın çift kat kökü ise, eğri,
sağ dan ve soldan, bu asimptotun aynı
ucuna yaklaşır.

17. y y
y= b
b y=b b
0 x 0 x
y=f(x)
y=f(x)
lim f ( x ) = b lim f ( x ) = b
x →−∞ x →+∞
y
b
lim f ( x ) = b
x → ∞
0 x

18. y=f(x) fonksiyonu için,
lim f ( x ) = b ∈ R veya lim f ( x ) = b ∈ R
x →−∞ x →+∞
oluyorsa, y=b doğrusuna, y=f(x)
fonksiyo-nunun YATAY ASİMPTOT ’ u
denir.
Bir fonksiyonun yatay asimptotu, x-eksenine
Bir fonksiyonun yatay asimptotu, x-eksenine
paralel bir doğrudur ve fonksiyon bu doğruyu
paralel bir doğrudur ve fonksiyon bu doğruyu
kesebilir.
kesebilir.

19. y=x doğrusu, yani x-ekseni, yatay asimptot olabilir
y=x doğrusu, yani x-ekseni, yatay asimptot olabilir
mi?
mi?
y= a x fonksiyonu
y
a
lim a x = 0 1
x →−∞
0 1 x

20. ÖRNEK:
x +1
y = fonksiyonunun yatay asimptotunu bulalım:
1−x
lim f ( x ) = ?
x →−∞ −1
lim f ( x ) = ?
x →+∞ −1
y=-1 doğrusu, eğrinin yatay
y=-1 doğrusu, eğrinin yatay
asimptotudur.
asimptotudur.

21. ÖRNEK:
2 + 5x 2 fonksiyonunun yatay
y=
3x 2 − x + 1 asimptotunu bulalım:
lim f ( x ) = ? 5
x →−∞
3
lim f ( x ) = ? 5
x →+∞
3
y=5/3 doğrusu, eğrinin yatay
y=5/3 doğrusu, eğrinin yatay
asimptotudur.
asimptotudur.

22. ÖRNEK:
x 2 − 3x fonksiyonunun yatay asimptotunu
y =
1 − x4 bulalım:
lim f ( x ) = ?
x →−∞ 0
lim f ( x ) = ?
x →+∞ 0
y=0 doğrusu, eğrinin yatay asimptotudur.
y=0 doğrusu, eğrinin yatay asimptotudur.

23. Payın
Payın derecesi,
derecesi, paydanın
paydanın
derecesin-den küçük veya eşit
derecesin-den küçük veya eşit
iken, yatay asimptot vardır.
iken, yatay asimptot vardır.
x-ekseninin, yatay asimptot olabilmesi için
x-ekseninin, yatay asimptot olabilmesi için
gerekli olan koşulu söyleyebilir misiniz?
gerekli olan koşulu söyleyebilir misiniz?
PAYIN DERECESİ, PAYDANIN
PAYIN DERECESİ, PAYDANIN
DERECESİNDEN KÜÇÜK OLMALIDIR.
DERECESİNDEN KÜÇÜK OLMALIDIR.

24. ÖRNEK:
y=3 X fonksiyonunun yatay asimptotunu
bulalım:
lim f ( x ) = ?
x→−∞ 0
lim f ( x ) = ?
x→+∞ ∞
y=0 doğrusu, eğrinin x →−∞ için yatay
y=0 doğrusu, eğrinin x →−∞ için yatay
asimptotudur.
asimptotudur.

25. (c): y=ax 2 +bx+c
y y=f(x) y
y=f(x)
0 x 0 x
(d): y=ax+b
Bir y=f(x) eğrisi ve bir y=g(x) doğrusu için,
lim [ f ( x ) − g ( x ) ] = 0 ise,
x → ∞
y=g(x) fonksiyonuna, EĞİK ASİMPTOT denir.
Eğer, y=g(x) bir eğri ise, EĞRİ ASİMPTOT adını

26. ÖRNEK:
x 2 + 3x + 5 fonksiyonunun eğik asimptotunu
y =
x +2 bulalım:
x 2 + 3x + 5
y = ⇒ Payı paydaya bölersek;
x +2
x 2 + 3x + 5 3
y = = x +1 +
x +2 x +2
3
lim [ f ( x ) − ( x + 1 ) ] = lim
x →∞ x + 2
=0
x →∞

27. Bu durumda;
Bu durumda;
y=x+1 doğrusu, fonksiyonun, eğik asimptotudur.
y=x+1 doğrusu, fonksiyonun, eğik asimptotudur.
EĞİK ASİMPTOTU BULMAK İÇİN, NASIL BİR
EĞİK ASİMPTOTU BULMAK İÇİN, NASIL BİR
GENELLEME YAPILABİLİR?
GENELLEME YAPILABİLİR?
PAY, PAYDA BÖLÜNÜR; BÖLÜM, EĞİK
PAY, PAYDA BÖLÜNÜR; BÖLÜM, EĞİK
ASİMPTOT OLARAK ALINIR.
ASİMPTOT OLARAK ALINIR.

28. ŞİMDİ
ŞİMDİ
DE;
DE;
x 3 − 2x + 2 fonksiyonunun eğik asimptotunu
y =
x +1 araştıralım:
x 3 − 2x + 2
y = ⇒ Payı paydaya bölersek;
x +1
x 3 − 2x + 2 3
y = 2
= x − x −1 +
x +1 x +1
y=x -x-1, EĞRİ ASİMPTOT’
y=x22-x-1, EĞRİ ASİMPTOT’
tur.

29. P( x )
biçimindeki bir rasyonel fonksiyonda,
Q( x ) payın
derecesi, paydanın derecesinden iki veya daha
fazla derece küçük ise, fonksiyonun EĞRİ
ASİMPTOT’ u vardır.

30. lim f ( x ) =  ∞ oluyorsa, fonksiyonun, EĞİK
x → ∞
yada EĞRİ ASİMPTOT ’u
vardır.
y=f(x) eğrisinin, y=mx+n biçiminde bir
eğik asimptotu varsa;
f(x)
m = lim ⇒ n = lim [ f ( x ) − mx ]
x →∞ x x →∞
f(x)
m = lim ⇒ n = lim [ f ( x ) − mx ]
x → −∞ x x → −∞

31. Bir fonksiyonun,aynı anda hem eğik, hem
Bir fonksiyonun,aynı anda hem eğik, hem
de eğri asimptotu olabilir mi?
de eğri asimptotu olabilir mi?
BİR FONKSİYONUN, YA EĞİK, YADA
BİR FONKSİYONUN, YA EĞİK, YADA
EĞRİ ASİMPTOTU OLABİLİR.
EĞRİ ASİMPTOTU OLABİLİR.

32. ÖRNEK:
− x3
y = fonksiyonunun eğik asimptotunu
1 − x bulalım:
− x3
y = ⇒ Payı paydaya bölersek;
1−x
− x3 8
y = = x 2 + 2x + 5 +
1−x x −2
y= x 2 +2x+5 EĞRİ ASİMPTOT’
y= x 2 +2x+5 EĞRİ ASİMPTOT’
tur.
tur.

33. ÖRNEK:
f(x) = x 2 − 4x + 2 fonksiyonunun, varsa, eğik
totunu bulalım: asimp-
4 2 4 0 2 0
2 x 1− + 2 − x. 1 − + 2
x − 4x + 2 x x x x
m = lim = lim = lim = -1
x→ −∞ x x →−∞ x x → −∞ x
n = lim
x → −∞
[ ]
x 2 − 4 x + 2 − ( −1 ). x = 2
x→-∞ için, eğik y= -x+2
y= -x+2
asimptot;

34. Şimdi de, x→+∞ için, eğik asimptotu
Şimdi de, x→+∞ için, eğik asimptotu
arayalım:
arayalım:
4 2 4 0 2 0
2 x 1− + 2 x. 1 − + 2
x − 4x + 2 x x x x
m = lim = lim = lim = 1
x→ +∞ x x →+∞ x x → −∞ x
n = lim
x → +∞
[ ]
x 2 − 4 x + 2 − ( 1 ). x = -2
x→+∞ için, eğik y= x-2
y= x-2
asimptot;

35. y = ax 2 + bx + c
a>0 için eğik a<0 için eğik
asimptot vardır. asimptot
yoktur.
b
y = a. x +
2a

36. Bir fonksiyonun grafiğini çizebilmek
için
TANIM ARALIĞINI
BİLMELİYİZ
A⊂R ve f: A→R’ ye tanımlı y=f(x) fonksiyonunda,
∀x∈A için, f(x)∈R olacak şekilde oluşan en geniş
A⊂R kümesine, f fonksiyonunun EN GENİŞ
TANIM KÜMESİ denir ve D ile gösterilir.

37. ÖRNEKLER
1. f(x)=x 3 +2x 2 -3x+1 fonksiyonunun tanım küme-
sini bulalım:
Fonksiyonun, tanımsız olduğu bir değer var
mı?
f(x), bir POLİNOM fonksiyon olduğundan,
tüm reel sayılar için tanımlıdır.
Yani; ∀x∈R için, f(x) D=R
∈R’dir.

38. 2x + 1
2. f(x)= x 2 − 3x fonksiyonunun en geniş
tanım
kümesini bulalım:
Fonksiyonun, tanımsız olduğu bir değer var
mı?
f(x), bir RASYONEL fonksiyon olduğundan,
paydayı sıfır yapan x değerleri için
tanımsızdır.
x 2 -3x=0⇒ x 1 =0 veya x 2 =3 D=R-{0,3}

39. x+1
3. f(x)= 3
fonksiyonunun en geniş
x2 − 4
tanım
kümesini bulalım:
Fonksiyonun, tanımsız olduğu bir değer var
mı?
f(x), bir İRRASYONEL fonksiyon ve kökün
de- recesi tek sayı olduğundan, kökün içinin
tanımlı olduğu yerlerde tanımlıdır.
x 2 -4=0⇒ x 1 =-2 veya x 2 =2 D=R-{-2,2}

40. 4. f(x)= x 2 − x − 2 fonksiyonunun en geniş
tanım
kümesini bulalım:
Fonksiyonun, tanımsız olduğu bir değer var
mı?
f(x), bir İRRASYONEL fonksiyon ve kökün
de- recesi çift sayı olduğundan, kökün içinin
pozitif olduğu yerlerde tanımlıdır.
x 2 -x-2 ≥0 ⇒(x 2 -x-2)’in işaretini
incelemeliyiz.

41. x 2 -x-2 =0 ⇒(x-2).(x+1)=0 ⇒ x 1 =-1 ve x 2 =2
-∞ -1 2 +∞
x 2 -x-2 + O - O +
f(x) O O
D= (-∞,-1]∪[2, ∞)

42. 5. f(x)= log x + 1 (2 − x ) fonksiyonunun en geniş
tanım
kümesini bulalım:
Fonksiyonun, tanımlı olması için gerekli
şartlar?
“Taban”, (x+1)≠1 ve (x+1)>0;
olmalıdır.
“Sayı” , (2-x)>0
x+1 ≠ 1 ⇒ x ≠ 0 -1 0 2
O O O
x+1>0 ⇒ x>-1
2-x>0 ⇒ x<2 (-1,0) ∪ (0,2)

43. HATIRLATM
A
Polinom tüm REEL sayılarda
fonksiyonlar, tanımlıdır
f( x )
şeklindeki rasyonel
g( x ) fonksiyonlar,
Paydayı SIFIR yapan değerlerde
TANIMSIZDIR.
Bu değerlerin, Reel sayılardan çıkarılması
gerekir.

44. KÖKLÜ
KÖKLÜ
FONKSİYONLARDA
FONKSİYONLARDA
n∈Ν + olmak üzere
Kökün derecesi
Kökün derecesi Kökün derecesi
Kökün derecesi
tek iken
tek iken çift iken
çift iken
f( x ) = 2n + 1 g( x ) f( x ) = 2n
g( x )
‘in tanım fonksiyonu
kümesi
g(x)’ in tanım g(x)≥0 için
kümesidir. tanımlıdır.

45. Bir fonksiyonun grafiği çizilirken;
Periyodik olup olmadığına
bakılır!!!!
Eğer periyodik ise, grafik, belli bir aralıkta
çizi lir, çizilen grafik, diğer periyot
aralıklarında aynen tekrarlanır.

46. Hangi özelliği taşıyan
fonksiyonlara periyodik fonksiyon
denir?
f:A→B’ ye tanımlı bir fonksiyon olsun. A’
nın her elemanı için, f(x+T)=f(x)
eşitliğini sağlayan, en az bir pozitif T
sayısı varsa, bu T reel sayısına, f’ in
periyodu denir.

47. ÖRNEKLER
1. f(x)=2x+1 fonksiyonunun periyodik olup olma-
dığını bulalım:
f(x+T)=f(x) eşitliğini sağlayan en küçük
pozitif T reel sayısını arayacağız:
f(x)=2x+1⇒ f(x+T)= 2(x+T)+1
2(x+T)+1=2x+1 ⇒ 2x+2T+1=2x+1 ⇒
T=0
0 ∉R + olduğundan, f(x) periyodik

48. 2. f(x)=2cos(3x+1) fonksiyonunun periyodik olup
olmadığını bulalım:
f(x+T)= 2cos[3(x+T)+1]
f(x+T)= 2cos[3(x+T)+1]
f(x+T)=f(x)
f(x+T)=f(x)
2cos[3(x+T)+1]= 2cos(3x+1)
3(x+T)+1=(3x+1)+k.2 π
3x+3T+1=(3x+1)+k.2 π (k∈Z)
2π 2π
T = k. ⇒ k=1 için; T = bulunur.
3 3

49. Bir fonksiyonun grafiği çizilirken;
Tek veya çift fonksiyon olup
olmadığına bakılır!!!!
Bir fonksiyonun tek veya çift olduğu nasıl
anlaşılır ve bu kavram bu özellikleri taşıyan
fonksiyonların grafiklerini çizerken nasıl bir
kolaylık sağlar?

50. A⊂R ve f:A→R bir fonksiyon olsun.
∀x∈R için:
* f(-x)=f(x) ise, f, çift fonksiyondur.
* f(-x)=-f(x) ise, f, tek fonksiyondur.

51. f(-x)=f(x)
(Çift fonksiyon olma
durumu)
-x ile x’ in görüntüleri
aynıdır.
Grafik, y-eksenine göre
simetriktir.
Çift fonksiyonlarda, grafik, y-ekseninin
Çift fonksiyonlarda, grafik, y-ekseninin
bir tarafında çizilir; y-eksenine göre
bir tarafında çizilir; y-eksenine göre
simetriği alınırsa, grafiğin tamamı
simetriği alınırsa, grafiğin tamamı
çizilmiş olur.
çizilmiş olur.

52. y y=f(x)
f(x)
A’(-x,f(x)) A(x,f(x))
-x O x x
f, çift
fonksiyondur.

53. f(-x)=-f(x)
(Tek fonksiyon olma durumu)
x → -x
x → -x iken
iken f(x) →
f(x) →
-f(x)
-f(x)
Fonksiyonun bir noktası A(x,f(x)) iken,
diğer noktası, A’(-x,-f(x)) olmaktadır.
Grafik, orijine göre simetriktir.

54. Tek fonksiyonlarda, grafik, önce, x ∈R +
Tek fonksiyonlarda, grafik, önce, x ∈R +
için çizilir; daha sonra orijine göre
için çizilir; daha sonra orijine göre
simetriği alınırsa, grafiğin tamamı
simetriği alınırsa, grafiğin tamamı
çizilmiş olur.
çizilmiş olur.
y y=f(x)
f(x) A(x,f(x))
-x 0
x x
A’(-x,-f(x))
-f(x)
f, tek fonksiyondur.

55. ÖRNEKLER
1. f(x)=x 2 +cosx fonksiyonunun tek veya çift
fonk-siyon olup olmadığını bulalım:
f(-x)= (-x) 2 + cos(-x) = x 2 + cosx = f(x)
f(-x)=f(x) olduğundan, ÇİFT fonksiyondur.