2. MODÜLER ARİTMETİK
∀ m ∈Z+ için, tamsayılar kümesi üzerinde,
β={(x,y) x-y, m ile bölünür}
bağıntısı bir denklik bağintısıdır.Burada denklik
sınıflarının kümesi {0,1,2,3,...(m-1)}dir.Bu küme Z/m
olarak gösterilir.
Örneğin; Z/4={0,1,2,3} , Z/5= {0,1,2,3,4} ,
Z/6={0,1,2,3,4,5}tir.
Z/m kümesine,”m”nin kalan sınıfları kümesi denir.
(a,b)∈β ise; yani a ıle b aynı sınıfın elemanları ise ,
a≡b( mod m ) biçiminde gösterilir.
Örneğin; 13≡ 1(mod 4) ifadesinde, 13’ün 4 ile
bölünmesinden elde edilen kalanın 1 olduğuna dikkat
ediniz.
3. TEOREM: x,y,u,v∈Z ve m>1 için,
TEOREM: x,y,u,v∈Z ve m>1 için,
x≡y (mod m)
x≡y (mod m)
u≡v (mod m) ise, x+u ≡ y+v (mod m)
u≡v (mod m) ise, x+u ≡ y+v (mod m)
TEOREM: x,y,u,v∈Z ve m>1 için,
TEOREM: x,y,u,v∈Z ve m>1 için,
x≡y (mod m)
x≡y (mod m)
u ≡v (mod m) ise x.u ≡ y.v(mod m)
u ≡v (mod m) ise x.u ≡ y.v(mod m)
TEOREM: x,y∈Z ve n ∈ N+ için,
xn ≡ yn (mod m)
4. TANIM: p,q ∈ Z/m için,
p+q=p+q ve p.q=p.q
ÖRNEK:Bu tanımdan yaralanarak,Z/4
kümesinde toplama işleminin tablosunu
yapınız ve özelliklerini belirtiniz.
7. Bu tablodan yaralanılarak,
a) Z/4 kümesi , + işlemine göre kapalıdır.
b) Z/4 kümesinde,+ işleminin değişme
özelliği vardır.
c) Z/4 kümesinde ,+ işleminin birleşme
özelliği vardır.
d) Z/4 kümesinde,+ işleminin birim
elemanı,0(sıfır)dır.
e) ∀x∈Z/4‘nin, + işlemine göre tersi vardır.
8. 123
ÖRNEK: 3 sayısının , 5 ile
bölümünden elde edilen kalan nedir?