LİSE - KARMAŞIK SAYININ MODÜLÜ

1. TANIMTANIM
Karmaşık düzlemde, bir z karmaşık sayısına karşılık gelen noktasının başlangıç nokta-
sına olan uzaklığa, bu karmaşık sayının modülü veya mutlak değeri denir ve ile gösteri-
lir.
z
dirbabiazbiaz 22 +=+=⇒+=
Karmaşık düzlemde, sayısına
karşılık gelen nokta z olsun. zOA dik
üçgeninde, ve
bia +
222
baOz +=
a
b
z
22
baz += dir
Rba ∈∀ , İçin, 022
≥+ba olduğundan, 0≥z olur.
z
0 
a
} b
x
y
ÖrneklerÖrnekler

2. Czzz ∈∀ 21,, için;
a) zzz −== b)
c)
d)
2121 .. zzzz =
+
∈Nn için,
nn
zz =
( )02
2
1
2
1
≠= z
z
z
z
z bağıntıları vardır.
İSPAT
a) 22
bazbiaz +=⇒+=
( ) 2222
babazbiaz +=−+=⇒−=
( ) ( ) 2222
babazbiaz +=−+−=−⇒−−=−
olduğundan, zzz −== bulunur.
b)
Ana sayfa
diczbiaz +=+= 21 ,
( ) ( )ibcadbdaczz ++−=21.
olsun
dir.Bu durumda,

3. ( ) ( )22
21. bcadbdaczz ++−=
22222222
22 cbabdcdadbacbdca ++++−=
( ) ( )22222222222222
dcbdcacbdadbca +++=++−=
( )( ) 21
22222222
... zzdcbadcba =++=++= olur.
O halde : 2121 .. zzzz = dir.
c) Cz ∈∀ ve
+
∈ Nn için :
nn
zz = dir.
d) Czz ∈21, ve 02 ≠z için :
2
1
2
1
z
z
z
z
=
Ana sayfa

4. Czz ∈∀ 21, için ;
a) 2121 zzzz +≥+ b) 2121 zzzz −≤− bağıntıları vardır.
İSPAT biaz +=1 ve dicz +=2 olsun.
a) 22
1 baz += ve 22
2 dcz += dir.
2222
21 dcbazz +++=+
( ) ( ) ( ) 222222222
21 .2 dcbadcbazz ++++++=+ dir.
( ) ( )idbcazz +++=+ 21 dir.
( ) ( )22
21 dbbazz +++=+
( ) bddbaccazz 22 22222
21 +++++=+
( ) ( ) ( ) ( )bdacdcbazz +++++=+ 222222
21 dir.
( )Ι deki ifadenin , deki ifadeden büyük veya eşit olabilmesi için ,
olmalıdır.
( )ΙΙ ( )dbacdcba +≥++ 2.2 2222
Ana sayfa

5. Bu eşitliğin , her iki yanının karesini alırsak ,
( ) ( ) 0.
2
2
2222
≥+−++ bdacdcba olur.
Şimdi , eşitsizliğinin doğru olduğunu gösterelim :( )ΙΙΙ
( ) ( ) =+−++
2
2
2222
. bdacbcba ( )( ) ( )abcddbcadcba 2. 22222222
++−++
acbddbcadbcbdaca 2222222222222
−−−+++=
( ) 02
22222
≥−=−+= adbcbcaddacb
( )ΙΙΙ Eşitsizliği doğrudur.O halde , dir.
Dolayısıyla olur
( ) 2
21
2
21 zzzz +≥+
2121 zzzz +≥+
b) olduğunu da siz gösteriniz2121 zzzz +≤−
Ana sayfa ÖrneklerÖrnekler

6. Ana sayfa
1) Aşağıdaki karmaşık sayıların modüllerini bulalım.
a) b) c) d)( )( )iiz 3143 +−=
i
i
z
+
+
=
1
125
( )20
22 iz −= iz 223
+=
çözüm
a) ( )( )
( ) ( ) dur
iiiiz
104.2531.43
31433143
2222
==+−+=
+−=+−= b) dir
i
i
i
i
z
2
13
11
125
1
125
1
125
22
22
=
+
+
=
+
+
=
+
+
=
c) ( ) ( ) ( )
( ) dir
iiz
2020
20
222020
222
222222
=+






−+=−=−= d)
288
222222
63
22333
==
=+=+=+= iiz
2) 





∈
2
,0
π
x
( ) ( )
( )
( ) xxx
xxxxx
xxz
cos2cos41cos212
2cos122cos222sin2cos2cos21
2sin2cos1
22
22
22
==−+=
+=+=+++=
++=
bulunur.
olmak üzere , z=1 + cos2x+i sin2x ise , değerini bulalım.z
çözüm

7. 3) izz 42 −=+ eşitliğini gerçekleyen z karmaşık sayısını bulalım.
çözüm alınırsa , olur.biaz +=
22
baz +=
Bu değerler verilen denklemde yerine yazılırsa ,
( ) ibabiaibabia 4242 2222
−+=++⇒−+=++ bulunur . İki karmaşık sayının eşitliğinden ,
22
2 baa +=+ ve 4−=b yazılır.
( ) ( ) ( )2
22222
16216242 +=+⇒+=+⇒−+=+ aaaaaa
31644 22
=⇒+=++⇒ aaaa bulunur.
O hâlde , z=+bi=3-4i elde edilir.
4) Her z karmaşık sayısı için , olduğunu gösterelim.
2
. zzz =
Ana sayfa
çözüm biaz += alınırsa ve olur.biaz −=
22
baz +=
( )( ) 22
. babiabiazz +=−+=
( ) 22
2
222
babaz +=+= ise , olur.
2
. zzz =

8. Ana sayfa

9. 5)
i
i
z
41
32
+
−
= ise , çarpımının eşitini bulalım.zz.
çözüm
dir
i
i
i
i
zzz
17
13
161
94
41
32
41
32
.
222
2
=







+
+
=





+
−
=
+
−
==
Ana sayfa

10. 1.Aşağıdaki karmaşık sayıların modüllerini bulunuz.
a) b) c)
d) e)
iz 43 +=
iz 3=
iz 31−=
iz 32 +−=
2−=z
çözüm
a) 5254343 22
==+=⇒+= ziz tir.
b) ( ) 103143
22
=−+=⇒+= ziz
c)
d)
e)
( ) 202022 22
=+−=⇒+−=−= ziz
330303 22
=+=⇒+== ziiz
( ) ( ) 5323232
22
=+=+−=⇒+−= ziz
Ana sayfa
b)