OLASILIK

1. Tanımlar
Bir olayın olasılığı
Ayrık iki olayın birleşiminin olasılığı
Ayrık olmayan iki olayın birleşiminin olasılığı
Aynı zamanda gerçekleşen bağımsız iki olayın olasılığı
Test

2. Tanımlar
Olasılık, sonucu kesin olmayan olaylarla uğraşır. Örneğin; bir zar
atıldığında, zarın yere düşeceği kesin; fakat üst yüze hangi sayının geleceği
kesin değildir.
Bir madeni para atıldığında üst yüze yazının gelmesi, olasılık hesabında bir
olaydır.
• Bir paranın havaya atılması bir deneydir.
• Bir torbadan bilyelerin çekilmesi bir deneydir.
• Bir deney sonunda elde edilebilecek sonuçlara çıkanlar denir
• Bir madeni para atıldığında üst yüze yazı gelmesini Y, tura gelmesini T
ile
gösterirsek çıkanların kümesi {Y,T} olur.
• Tüm çıkanların oluşturduğu kümeye örnek uzay denir. Ve E ile gösterilir.
İmkansız olay: Gerçekleşmesi mümkün olmayan olaya denir. Özel olarak
boş kümeye imkansız olay denir.
Kesin olay: Gerçekleşmesi kesin olan olaya kesin olay denir.
Ayrık Olaylar: Aynı zamanda gerçekleşmesi mümkün olmayan olaylardır.

3. Tanımlar
Örnek:
Deney: Bir zarın havaya atılması
Çıkanlar: {1,2,3,4,5,6}
Örnek Uzayı: E={1,2,3,4,5,6}
A olayı: Zarın üst yüzüne 2 gelmesi
B olayı: Zarın üst yüzüne 4 gelmesi
İmkansız dağlar: Zarın üst yüzüne 8 gelmesi
Kesin Olay: Zarın üst yüzüne 7 den küçük bir sayma sayısının gelmesi
Ayrık Olaylar: A ve B olayları

4. Bir olayın olasılığı
Örnek uzayı “E”, bir olayı “A” ve A olayının olasılığını da O(A) ile
gösterirsek;
dır.
Bu ifadenin çok iyi öğrenilmesi gerekir. Diğer olasılık hesapları da
bu ifade üzerine bina edilmiştir.
==
)(
)(
)(
Es
As
AO
İstenilen durumların sayısı
Tüm durumların sayısı

5. Bir olayın olasılığı
Örnek:
Bir kalem kutusunda 5 inin ucu açık 15 kalem vardır. Gelişigüzel
çekilen bir kalemin ucu açık olması ihtimali nedir?
5
1
)A
3
1
)B
3
2
)C 1)D
çözüm

6. Bir olayın olasılığı
Örnek:
Bir kalem kutusunda 5 inin ucu açık 15 kalem vardır. Gelişigüzel
çekilen bir kalemin ucu açık olması ihtimali nedir?
5
1
)A
3
1
)B
3
2
)C 1)D
çözüm
Çözüm:
Tüm kalemlerin sayısı; s(E) ve
ucu açık kalem sayısı; s(A),
ucu açık kalem çıkma olasılığı O(A) olsun.
Buna göre
Cevap B
olur
Es
As
AO
3
1
15
5
)(
)(
)( ===

7. Bir olayın olasılığı
1. Bir olayın olasılığı 0 ile 1 arasında bir sayıdır.
a. O(A)=0 ise, A olayının gerçekleşmesi mümkün değil demektir.
(Bir zarın atılmasında 8 gelmesi v.b.)
b. O(A) = 1 ise, A olayı kesinlikle gerçekleşecek demektir. (Bir
zarın atılmasında 7 den küçük sayma sayısı gelmesi v.b.)
2. O(A), A olayının olma olasılığı,
O(A’), A olayının olmama olasılığı olmak üzere,
O(A)+O(A’) =1, yani bir olay ya olur veya olmaz demektir. Bu
ifadeyi , O(A)=1-O(A’) şeklinde düşünebiliriz.

8. Ayrık iki olayın birleşme olasılığı
ise A ve B olayları ayrıktı.
O halde; A ve B ayrık olaylar ise,
Örnek:
Bir zar atılıyor. Zarın üst yüzüne gelen sayının 4 veya 3 olma
olasılığı kaçtır?
0=∩ BA
)()()( BOAOBAO +=∪ dir
3
1
)A
4
1
)B
5
1
)B
6
1
)C
çözüm

9. Ayrık iki olayın birleşme olasılığı
ise A ve B olayları ayrıktı.
O halde; A ve B ayrık olaylar ise,
Örnek:
Bir zar atılıyor. Zarın üst yüzüne gelen sayının 4 veya 3 olma
olasılığı kaçtır?
0=∩ BA
)()()( BOAOBAO +=∪ dir
3
1
)A
4
1
)B
5
1
)B
6
1
)C
çözüm
Bu olaylar ayrık olaylar olduğu için
Cevap Aolur
BOAOBAO
3
1
6
2
6
1
6
1
)()()(
==
+=
+=∪

10. Ayrık olmayan iki olayın birleşiminin olasılığı
ise A ve B olayları ayrıktı.
O halde; A ve B ayrık olaylar ise,
Örnek:
Bir zar atılıyor zarın üst yüze gelen tarafının tek sayı veya 2 den
büyük olma olasılığı kaçtır?
0=∩ BA
dir
O(A veya B) = O(A B) ifadesi A veya B den az birinin gerçekleşmesi
olasılığı demektir.
∪
6
5
)B1)A
3
2
)C
2
1
)D
çözüm
)()()()( BAOBOAOBAO ∩−+=∪

11. Ayrık olmayan iki olayın birleşiminin olasılığı
ise A ve B olayları ayrıktı.
O halde; A ve B ayrık olaylar ise,
Örnek:
Bir zar atılıyor zarın üst yüze gelen tarafının tek sayı veya 2 den
büyük olma olasılığı kaçtır?
0=∩ BA
dir
O(A veya B) = O(A B) ifadesi A veya B den az birinin gerçekleşmesi
olasılığı demektir.
∪
6
5
)B1)A
3
2
)C
2
1
)D
çözüm
A={1,3,5} ise, s(A)=3
B={3,4,5,6} ise, s{B}=4
A B={3,5} ise s{A B}=2∩ ∩
)()()()( BAOBOAOBAO ∩−+=∪
)()()()( BAOBOAOBAO ∩−+=∪ İdi Cevap B
olur
6
5
6
2
6
4
6
3
++

12. Test
1-
olduğuna göre kaçtır? Cevap B
7
1
)(
7
3
)(
=−
=
BAp
Ap
)( BAp ∩
7
1
)A
7
2
)B
7
3
)C
7
4
)D
7
5
)E
2- Bir madeni para üç kez atılıyor. En az bir kez tura gelme ihtimali kaçtır?
Cevap E8
1
)A
4
3
)B
8
3
)C
2
1
)D
8
7
)E
3-Üç tane zar atıldığında üst yüze gelen sayıların çarpımının çift olma ihtimali kaçtır?
Cevap E
8
1
)A
8
3
)B
2
1
)C
8
5
)D
8
7
)E
4-Bir hedefi Ali’nin vurma olasılığı , Mehmet’in vurma olasılığı ve Hasan’ın vurma
olasılığı dir. Üçü de birer atış yaptığında hedefin vurulma olasılığı kaçtır?
Cevap A
3
2
4
1
5
2
20
3
)A
20
7
)B
20
13
)C
20
17
)D
20
19
)E

13. Test
5- Sarı, yeşil ve beyaz bilyelerden birer tane bulunan bir torbadan rasgele bir bilye
çekiliyor. Çekilen bilye sarı renkli değilse tekrar torbaya konuluyor. En fazla 3 denemede
sarı bilye çekme ihtimali kaçtır?
6
1
)A
3
2
)B
27
5
)C
27
7
)D
27
19
)E
6- İki torbadan birincisinde 3 beyaz 4 kırmızı, ikincisinde 4 beyaz 3 kırmızı top vardır.
Birinci torbadan rasgele bir top çekiliyor rengine bakılmadan ikinci torbaya atılıyor, ikinci
torbadan rasgele bir top çekiliyor rengine bakılmadan birinci torbaya atılıyor. Buna göre,
ilk durumun korunma ihtimali kaçtır?
56
15
)A
4
1
)B
56
31
)C
28
3
)D
2
1
)E
7- 3’ü doğrusal olan 5 noktanın üçgen oluşturma ihtimali kaçtır?
10
1
)A
5
3
)B
10
3
)C
10
9
)D
2
1
)E
8- İki torbadan birincisinde 3 beyaz 4 kırmızı, ikincisinde 5 beyaz 6 kırmızı bilye vardır.
Rasgele seçilen bir bilyenin kırmızı olduğu bilindiğine göre, birinci torbadan çekilmiş
olma ihtimali kaçtır?
2
1
)A
5
3
)B
8
1
)C
10
1
)D
20
1
)E

14. Test
9- Bir sınıftaki 16 öğrenciden 7’si kızdır. Kızların 4’ü erkeklerin 5’i matematik dersinden
başarılı olmuştur. Buna göre, sınıftan rasgele seçilen bir öğrencinin kız veya matematikten
başarılı olma olasılığı kaçtır?
4
1
)A
2
1
)B
4
3
)C
7
4
)D
8
3
)E
10- Bir para ve zar birlikte atılıyor. Paranın yazı veya zarın dörtten büyük gelme olasılığı
kaçtır?
3
1
)A
3
2
)B
4
3
)C
5
4
)D
2
1
)E
11- 10 soruluk bir sınavda bir öğrencinin tek numaralı soruları seçtiği bilindiğine göre,
seçtiği sorunun numarasının asal sayı olma ihtimali kaçtır?
2
1
)A
4
3
)B
5
3
)C
3
2
)D
5
4
)E
12- Bir yarışmayı Osman, Orhan ve Alper’in kazanma olasılıkları sırasıyla , ve
dir. Bu yarışmayı Alper’in kazanamama olasılığı kaçtır?
4
1
)A
10
3
)B
13
3
)C
13
10
)D
5
4
)E
2
P
3
P
4
P

15. Test
13- Sıfırdan farklı 5 rakam kullanarak 5 basamaklı sayılar kartlara yazılıp bir torbaya
konuyor. Torbadan rasgele çekilen bir sayının rakamlarının farklı olma ihtimali kaçtır?
25
1
)A
5
1
)B
625
3
)C
125
3
)D
625
64
)E
14 - a,b,c ve d anahtarları 1’den 10’a kadar numaralandırılmış 10 kapının anahtarlarıdır.
Ardışık numaralı iki kapının anahtarının farklı olma ihtimali kaçtır?
4
3
)A
10
4
1
) 





B
9
3
1
) 





C
9
4
3
) 





D
10
4
3
) 





E
15 - Bir kenarı 2 br olan bir karenin içerisinden alınan bir noktanın her bir köşeye olan
uzaklığının 1 br den fazla olma ihtimali kaçtır?
4
)
π
A
4
4
)
π−
C
16
16
)
π−
D
4
3
)
π−
Eπ)B
16 - Şekil 1 br2
lik karelerden oluşmuştur. Rasgele seçilen
bir dikdörtgenin kare olma ihtimali kaçtır?
10
1
)A
5
2
)B
10
3
)C
25
7
)D
7
6
)E

16. Test
17- Yandaki şekil karelerden oluşmuştur. Şekildeki
herhangi iki noktadan geçen doğrulardan
biri seçiliyor
24
1
)A
31
1
)B
35
1
)C
43
1
)D
51
1
)E
18 - Bir torbada 5 beyaz ve bir miktar siyah bilye bulunmaktadır. Bu torbadan geri bırakılmamak
şartıyla art arda rasgele çekilen iki bilyenin ikisinin de beyaz olma olasılığı olduğuna göre,
torbada toplam kaç bilye vardır?
A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12
19 - Şekildeki ABC eşkenar üçgeni ve onun çevrel çemberi
verilmiştir. Çember içinde rasgele işaretlenen bir noktanın
üçgenin iç bölgesine ait olma olasılığı kaçtır?
π4
3
)A
π4
33
)C
π3
3
)D
π4
3
)E
π3
4
)B
20 - A ve B torbalarında 1 den 5’e kadar numaralandırılmış 5’er top vardır. A ve B torbalarından
rasgele birer top çekildiğinde toplar üzerindeki sayılar toplamının asal sayı olma olasılığı kaçtır?
25
7
)A
25
9
)B
25
11
)C
25
13
)D
25
15
)E