Estructuras espaciales

FACULTAD DE INGENIERIA – UNLP
DEPTO. DE CONSTRUCCIONES - CATEDRA DE ESTRUCTURAS II (C-153) - APUNTE DE CLASE
ESTRUCTURAS ESPACIALES
Ing. Ariel Vicente

Página 1
INDICE
1.- Condición de equilibrio de un cuerpo en el espacio.
2.- Análisis de isostaticidad de un cuerpo en el espacio.
3.- Vínculos.
4.- Esfuerzos interno.

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ESTRUCTURAS ESPACIALES
1.- Condición de equilibrio de un cuerpo en el espacio.
El concepto de equilibrio deriva de la condición en la cual las solicitaciones
(fuerzas y momentos, activos y reactivos) que se ejercen sobre un cuerpo se
contrarrestan entre si, es decir la resultante del sistema de solicitaciones
activas y reactivas que actúan sobre el cuerpo es nula. En general el sistema
de solicitaciones que podemos ejercer sobre un cuerpo puede expresarse
mediante una fuerza resultante R y un par resultante M. Luego para que se
contrarresten por completo las solicitaciones entre si y el cuerpo este en
equilibrio deben satisfacerse las relaciones; R=0 y M=0. Físicamente estas
ecuaciones vectoriales significan que en el caso de un cuerpo en equilibrio hay
tantas fuerzas actuando sobre él en un sentido como en el opuesto y que hay
tanto momento respecto a un eje actuando en un sentido como en el opuesto.
Como cada uno de los términos de estas dos ecuaciones representa
respectivamente una suma vectorial de todas las fuerzas ejercidas sobre el
cuerpo y una suma de todos los momentos correspondientes, se deduce que
los requisitos para el equilibrio de un cuerpo se pueden expresar como sigue;
ΣF=R=0 y ΣM=M=0
Estas ecuaciones vectoriales expresan también el hecho de que el polígono de
fuerzas espacial y el polígono de momentos espacial deben ser cerrados a la
vez.
Dichas ecuaciones son necesarias y suficientes para el equilibrio. Son
necesarias por que si no se cumplieran no podría haber compensación de
solicitaciones entre si. Son suficientes porque si se satisfacen no puede haber
descompensación, con lo que queda asegurado el equilibrio.
Las dos ecuaciones vectoriales equivalen a seis ecuaciones escalares que
expresan de que el equilibrio total requiere de una suma de fuerzas nulas en
tres direcciones y una suma de momentos nula respecto a tres ejes
perpendiculares cualesquiera.
ΣFx=Rx=0 y ΣMx=Mx=0
ΣFy=Ry=0 y ΣMy=My=0
ΣFz=Rz=0 y ΣMz=Mz=0

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En lo expresado anteriormente, analizamos el equilibrio de un sistema de
fuerzas, aplicadas sobre un cuerpo o no, aislado y concluíamos sobre su
condición de equilibrio. En lo que sigue abordaremos cuerpos o esquemas
estructurales en equilibrio (que serán nuestro objeto de estudio) y que estarán
vinculados con el exterior mediante apoyos o ligaduras. Sobre estos cuerpos o
estructuras aplicaremos solicitaciones, fuerzas o momentos, que generaran
esfuerzos reactivos en los apoyos de modo de equilibrar las solicitaciones.
Dichas reacciones serán las incógnitas de nuestros problemas y las
encontraremos mediante las seis ecuaciones de la estática siempre que ellas
sean aplicables; es decir siempre y cuando el esquema estructural se
encuentre adecuadamente vinculado de manera isostática y sin vinculación
aparente.
2.- Análisis de isostaticidad de un cuerpo en el espacio.
Analizando el movimiento de un cuerpo libre en el espacio se puede afirmar
que en general tendrá una traslación en una dirección dada y una rotación
alrededor de un eje cualquiera. Para poder describir ambos movimientos se
adopta un sistema de ejes cartesianos ortogonales quedando de esta manera
definidos dichos movimientos por medio de sus componentes respecto a cada
uno de los ejes. El movimiento de un cuerpo en el espacio queda entonces
definido por seis parámetros; tres traslaciones y tres rotaciones según los ejes
del sistema de referencia. A cada uno de estos movimientos posibles lo
llamamos grado de libertad. Finalmente un cuerpo rígido en el espacio tiene
seis grados de libertad correspondientes a sus seis movimientos posibles tres
de traslación y tres de rotación.
Si queremos asegurar el equilibrio del cuerpo en el espacio es necesario
limitarle las seis posibilidades de movimiento es decir necesitamos seis
vínculos adecuadamente colocados. Sin embargo una posición de equilibrio no
queda asegurada simplemente por la existencia de un número de ligaduras
igual al de grados de libertad porque la disposición geométrica de las ligaduras
es también un factor determinante, como veremos en lo que sigue.
La determinación de la adecuación o no de los apoyos para mantener un
cuerpo en una posición de equilibrio suele poder hacerse por simple
inspección, pero en muchas ocasiones será necesario plantear la adecuación
por medio de criterios analíticos. Debe tenerse presente que la introducción de
más soportes o ligaduras que los mínimos necesarios para mantener la
posición de equilibrio da lugar a una condición de superabundancia de los
apoyos en cuyo caso las ecuaciones de equilibrio ya no son suficientes para la
determinación de las reacciones de apoyo desconocidas.
Para el estudio de estructuras o esquemas estructurales planos, la chapa era el
modelo esquemático de análisis, ahora, para el estudio de estructuras o
cuerpos en el espacio, el modelo esquemático será el bloque rectangular. La
figura 1 representa una de las posibles configuraciones de seis enlaces
restrictivos que producen la inmovilización total de un cuerpo en el espacio

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cuando éste sea sometido a cargas. Recordemos que un cuerpo es isostático o
no independientemente de la configuración de cargas que sobre el actúe y que,
además, la nulidad de una reacción no implica que podemos quitar dicha
ligadura o apoyo, pues bajo una modificación de las cargas sobre el cuerpo, el
mismo no estaría completamente inmóvil.
Figura 1
En el cuerpo de la figura 1 se ha fijado el vértice G mediante tres bielas no
coplanares quedando este punto fijo. Con esto el cuerpo no tendrá posibilidad
de traslación pero podrá rotar alrededor de cualquier eje que pase por el punto
G. En particular el cuerpo podrá girar según x alrededor de un eje que pase por
G y C, o bien según y alrededor de un eje que pase por G y H o según z
alrededor del eje definido por los puntos G y E. Para impedir el giro según “x”
colocamos una biela en H, para impedir el giro según “y” colocamos una biela
en C y finalmente restringimos el giro según “z” con una biela en D. De esta
forma el cuerpo queda inmovilizado mediante seis ligaduras y los esfuerzos
reactivos asociados a un sistema de cargas pueden ser obtenidos mediante las
ecuaciones de la estática.
Al igual que en el caso bidimensional, existen dos situaciones especiales en las
cuales la configuración de los enlaces restrictivos solo proporcionan
inmovilización parcial y por lo tanto la condición de equilibrio no se da.
En la figura 2 puede verse un ejemplo del primer caso en el cual los enlaces o
sus prolongaciones cortan todos a la recta común GD. Como las fuerzas
inducidas en los enlaces restrictivos pasan todas por GD, este sistema de
ligaduras no ofrecerá inicialmente resistencia contra el momento respecto a GD
que pudieran inducir las cargas aplicadas. Por lo tanto se podrá producir una
pequeña rotación inicial alrededor de GD y el cuerpo sólo estaría parcialmente
vinculado.
C
A B
D
HG
FE
y
z
x

Página 5
Una vez que el cuerpo sufre una pequeña rotación respecto del eje GD, la
ligadura colocada en H pierde la horizontalidad y comienza a restringir dicho
giro. No obstante ello inicialmente el cuerpo poseía vinculación aparente.
Figura 2
En las figuras 3 y 4 se presentan dos ejemplos del segundo caso de ligadura
parcial por vinculación aparente, en donde los enlaces restrictivos están en
planos paralelos. En la figura 3 el bloque puede experimentar en la dirección x
un pequeño movimiento. En la figura 4 en donde todas las fuerzas de ligadura
son paralelas, el cuerpo podría efectuar pequeños movimientos no restringidos
según las direcciones x y z, normales a los enlaces antes de que la angularidad
inducida en éstos sea suficiente para evitar el ulterior movimiento.
Figura 3
A B
C D
HG
FE
y
z
x
C
A B
D
HG
FE
y
z
x

Página 6
Figura 4
3.- Vínculos.
A continuación se presentan situaciones que ejemplifican la materialización de
apoyo o vínculos de diferentes especies. Se los identifica de acuerdo al número
de grados de libertad que restringen. Un vínculo de primera especie solo
restringe un grado de libertad de los seis posibles de un cuerpo en el espacio,
pudiendo ser esa restricción un giro o una traslación. Cuando el vínculo de
primera especie esta materializado por una “biela”, esta restringe el
movimiento de traslación en la dirección de su eje y se genera un esfuerzo
reactivo colineal con su eje. Consecuentemente, un cuerpo en el espacio
puede ser vinculado de manera isostática con seis bielas colocadas
adecuadamente.
Cuerpo en estudio
NO
BIELA
C
A B
D
HG
FE
y
z
x

Página 7
En los esquemas siguientes se ejemplifican apoyos de diferentes especies de
acuerdo a los movimientos que restringen. Un apoyo de una especie dada se
puede generar restringiendo traslaciones giros o combinaciones entre ellos.
Así, por ejemplo, un apoyo de tercera especie puede restringir las tres
traslaciones, una traslación y dos giros, tres giros o bien dos traslaciones y un
giro.

Página 8
APOYO DE SEXTA ESPECIE
EMPOTRAMIENTO

Página 9
3.1.- Ejemplos
Para los siguientes esquemas estructurales efectuar un análisis de isostaticidad
y calcular las reacciones de vínculos.
a).-
3t
1t/m 2t
4t
3m
3m 2m
5m
z
x y
El esquema estructural posee un único vínculo externo de sexta especie
materializado por un empotramiento que impide las tres traslaciones posibles y
los tres giros posible razón por la cual la estructura es isostática.
Para el planteo de las ecuaciones de equilibrio, se ha supuesto el sentido de
las reacciones coincidente con el de los semiejes positivos.
1. ΣFX = -3t + RX = 0
2. ΣFY = RY + 2t = 0
3. ΣFZ = RZ - 4t - 1t/m x 3m = 0
4. ΣMX = 4t x 3m -2t x 5m -1t/m x 3m x 2m + MX = 0
5. ΣMY= -3t x 5m -1t/m x 3m x 1.5m + MY = 0
6. ΣMZ= 3t x 2m – 2t x 3m MZ = 0
Despejando de las ecuaciones anteriores resulta
RX = 3t

Página 10
RY = -2t
RZ = 7t
MX = 4tm
MY = 19.5tm
MZ = 0
b).-
4t 1m 3m
1t/m
A
4t 2m C
3t
3m z
B
x y
El esquema estructural posee un vínculo externo de tercera especie en C
materializado por tres bielas no coplanares que impide las tres traslaciones
posibles. Parados en el punto fijo C, podemos observar que la biela colocada
en A impide el giro según el eje x, la biela con dirección paralela al eje x
colocada en B impide el giro según el eje z y finalmente la biela colocada en B
con dirección paralela al eje z impide el giro según el eje y, razón por la cual la
estructura es isostática.
Para el planteo de las ecuaciones de equilibrio, se ha supuesto el sentido de
las reacciones coincidente con el de los semiejes positivos.
1. ΣFX = RBX + RCX + 4t = 0
2. ΣFY = RCY – 3t = 0
3. ΣFZ = RBZ + RCZ + RAZ - 1t/m x 4m = 0
4. ΣMCX = -RAZ x 4m +1t/m x 4m x 2m = 0
5. ΣMAY=RBZ x 5m = 0
6. ΣMCZ= 4t x 4m – 3t x 2m + RBX x 3m = 0
Despejando de las ecuaciones anteriores resulta
RAZ =2t
RBZ = 0
RBX = -10/3 t

Página 11
RCX = -2/3 t
RCY = 3t
RCZ = 2t
4.- Esfuerzos interno.
En los ítems anteriores nos ocupamos de la sustentación de las estructuras y
de determinar si eran isostática, propiedad fundamental para convertirlas en
elementos capaces de recibir cargas sin perder sustancialmente su geometría
inicial de proyecto. Luego planteamos las leyes que rigen el equilibrio de las
fuerzas activas y de las reactivas que se generan en los vínculos de la
estructura y que de manera conjunta mantienen estática a la estructura. En lo
que sigue estudiaremos en detalle el funcionamiento de las piezas que
conforma la estructura, en particular averiguaremos los esfuerzos internos que
solicitan las secciones transversales de la pieza y que finalmente nos
permitirán dimensionar la pieza para sobrellevar con seguridad adecuada las
cargas de servicio.
Al igual que en el caso de estructuras planas, estudiaremos los esfuerzos
internos a partir de los efectos que ellos generan sobre la estructura. Para ello
recorreremos la estructura punto a punto, parados sobre un elemento
diferencial en el que reduciremos los esfuerzos de la estructura a cara derecha
o a cara izquierda. Para que el elemento este en equilibrio, como cada parte de
la estructura lo está, los esfuerzos reducidos a cara izquierda deberán
compensarse o equilibrarse con los esfuerzos reducidos a cara derecha.
Finalmente en la búsqueda de ese equilibrio del elemento estos esfuerzos
generan pequeñas deformaciones, de flexión, distorsión, torsión y elongación.
Para poder medir tantos los esfuerzos como sus efectos es necesario definir un
sistema de referencia. Estableceremos entonces una terna derecha o directa a
cara derecha “CD” del elemento diferencial y a cara izquierda “CI” colocaremos
una terna indirecta. De este modo podremos visualizar los esfuerzos por los
efectos que ellos generan sobre la estructura independientemente de que en
cada punto reduzcamos las fuerzas a derecha o a izquierda del elemento.
x
z y
x
z
y
C I C D

Página 12
4.1.- Esfuerzos flectores.
Al esfuerzo que genera flexión o curvatura del eje longitudinal de la pieza lo
denominaremos esfuerzo flector y en estructuras en el espacio podremos
definir dicho esfuerzo por dos flexiones independiente que llamaremos My y Mz
y que serán positivos cuando los vectores que los representan coincidan con
los semiejes positivos del mismo nombre. De esta forma un My positivo flexará
el elemento en el plano xz y generará tracción en la cara inferior del elemento y
compresión en la cara superior.
Análogamente un Mz positivo flexara el elemento en el plano xy y generará
tracción en la cara posterior del elemento y compresión en la cara anterior.
4.2.- Esfuerzos de torsión.
Al esfuerzo que genera una distorsión angular del eje longitudinal de la pieza lo
denominaremos esfuerzo torsor. Lo consideraremos positivo cuando el vector
que lo representa coincide con el sentido del semieje positivo de la terna
adoptada. En la figura se observa un giro negativo de valor Φ.
Mz(+)
Mz(+)
My(+)
My(+)

Página 13
4.3.- Esfuerzo de corte.
Al esfuerzo que genera distorsión entre dos caras paralelas de un elemento
diferencial de la pieza lo denominaremos esfuerzo de corte y en estructuras en
el espacio podremos definir dicho esfuerzo por dos esfuerzos independiente
que llamaremos Qy y Qz y que serán positivos cuando los vectores que los
representan coincidan con los semiejes positivos del mismo nombre.
x
z
y
Qy(+)
x
z
y
Qy(+)
x
z
y
Qz(+)
x
z
y
Qz(+)

Página 14
4.4.- Esfuerzo axil.
Al esfuerzo que genera una variación longitudinal del elemento diferencial de la
pieza o estructura lo denominaremos esfuerzo Axil y será positivo cuando
genere un alargamiento del elemento y negativo cuando produzca un
acortamiento del mismo. De esta manera el esfuerzo axil será positivo cuando
su sentido coincida con el del semieje x positivo.
x
z
y
x
z
y
N(+) N(+)
4.5.- Barrido de la estructura a los efectos de generar los diagramas de MNQ.
En general podemos establecer los siguientes criterios para recorres la
estructura e ir generando los diagramas de esfuerzos internos
Las barras horizontales o con inclinaciones inferiores a ±90º respecto de
la horizontal se recorren de izquierda a derecha
Las barras verticales se recorren desde abajo hacia arriba
Las barras que se desarrollan fuera del plano de la hoja se recorren
desde el frente hacia atrás.

Página 15
C I
C D
x
z
y
y
z
x
x
z
y
x
z
y
C I C D
x
z
y
x
z
y
CICD
A
B
C
D
4.6.- Ejemplo de aplicación.
A continuación se presentan los diagramas de esfuerzos internos
correspondientes al ejemplo dado en el apartado 3.1.a.

Página 16
E
4t
3m
A B C
3m 2m
5m
z D
x y
2t
3t
7t
4tm
19.5tm
A modo de ejemplo se generarán los diagramas de esfuerzos característicos en
la barra DB. La misma será recorrida desde D hacia B (Izquierda a derecha)
mediante el elemento prismático diferencial a cuya cara izquierda serán
reducidos todos los esfuerzos que provengan de la parte izquierda de la
estructura observados desde el punto en estudio. Los signos de los esfuerzos
internos serán determinados observando la coincidencia o no de su dirección
con la de los ejes de la terna a cara izquierda.
Observando los esfuerzos a cara izquierda en el extremo D de la barra DB y la
dirección de los ejes de la terna en dicha cara se definen los esfuerzo
característico:
El esfuerzo axil es de magnitud /7t/ y su sentido es opuesto al del semieje X
siendo entonces negativo y representándose en el diagrama N=-7t
El esfuerzo de corte según z es de magnitud /2t/ y su sentido es coincidente al
del semieje Z siendo entonces positivo y representándose en el diagrama
Qy=2t
El esfuerzo de corte según y es de magnitud /3t/ y su sentido es opuesto al del
semieje Z siendo entonces negativo y representándose en el diagrama Qz=-3t
El momento flector representado como magnitud vectorial por el vector doble
flecha My es de magnitud /4tm/ y su sentido es opuesto al del semieje Y siendo
entonces negativo y representándose en el diagrama My=-4tm

Página 17
El momento flector representado como magnitud vectorial por el vector doble
flecha Mz es de magnitud /19.5tm/ y su sentido es opuesto al del semieje Z
siendo entonces negativo y representándose en el diagrama My=-19.5tm
Al no existir cargas ni momentos aplicados en el tramo de la barra BD, los
esfuerzos de corte y axil se mantendrán constantes en todo su desarrollo y los
momentos tendrán variación lineal. Basta entonces con analizar el elemento
diferencial ubicado un infinitésimo antes de llegar al extremo B de la barra
Nuevamente para determinar los esfuerzos característicos reduciremos todas
las cargas de la parte izquierda de la estructura a la cara izquierda del
elemento diferencial.
N= 7t
Qy=-3t
Qz=2t
My=-4tm + 2t x 5m =6tm

Página 18
Mz=-19.5tm + 3t x 5t x 5m =-4.5tm
Mx=0
Análogamente se recorrerá la barra AB de izquierda a derecha.
Si la barra BC es recorrida de izquierda a derecha deberemos tener en cuenta
todas las fuerzas provenientes del tramo AB y del tramo DB.
Análogamente si la barra CE es recorrida desde C hacia E se deberán tener en
cuenta todas las fuerzas provenientes de las barras ABC y DB. Resulta
entonces más sencillo recorrer esta barra desde E hacia C reduciendo a cara
derecha del elemento diferencial todos los esfuerzos provenientes de la
derecha del punto en estudio y analizándolos con la terna ubicada a cara
derecha del elemento diferencial.

Página 19
N 3
2
-7
-
+
+
2
Qy
-3
-3
+
-
-

Página 20
Qz 3
3
2
+
+
-
+
-12
My
-6
-4.5
6
-4
+
-
- -
-

Página 21
Mz
6
-4.5 6
-19.5
-
+
Mt = Mx
-4.5
-

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