Estadistica: Medidas de resumen

Dr. Jorge E. Manrique Chávez
Investigación Científica en ESTOMATOLOGÍAInvestigación Científica en ESTOMATOLOGÍA
Medidas de tendencia central:
Media, mediana, moda
CD. Ronald Mayhuasca Salgado
UNIVERSIDAD PERUANA LOS ANDES
ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE ODONTOLOGÍA
ESTADÍSTICA 2014 - I

Estadística Descriptiva
• Organización de datos
• Representación de datos: Tablas y Gráficos
• Medidas de resumen
• Medición de datos numéricos
1. Medidas de posición
2. Medidas de dispersión
3. Medidas de forma
• Medición de datos nominales
1. Proporción
2. Razón
3. Medición epidemiológica

MEDIDAS DE RESUMEN
Llamadas también medidas descriptivas porque tienen por objetivo
describir la naturaleza de la característica en estudio.

Medidas de Posición (o de tendencia central)
Se llaman de tendencia central porque tienden a ubicar el centro de
las observaciones, además el valor central es el más representativo
de un conjunto de datos.
Estas medidas se expresan en las mismas unidades de medición
que los datos; o sea si la observación es en gramos, el valor de la
tendencia central es en gramos.
Las medidas de tendencia central son: media aritmética, moda,
mediana, media geométrica, media armónica, etc., y las más usadas
son: la media aritmética, mediana y moda.

Para tal punto es preciso recordar algunas notaciones:
xi: valor individual o punto medio el intervalo. Se llama
también marca de clase.
fi: frecuencia absoluta simple de la clase i-ésima. Número
de veces que se repite dicho valor en el intervalo i.
Fi: frecuencia absoluta acumulada de la clase i-ésima. Es
la suma de las frecuencias absolutas hasta ese intervalo:
hi%: frecuencia relativa simple de la clase i-ésima. Es el
cociente de la frecuencia absoluta simple y el total de
observaciones por 100
F1=
F2=
F3=
hi%: frecuencia relativa acumulada de la clase i-ésima. Es
el cociente de la frecuencia absoluta acumulada y el total
de observaciones por 100
= fi/n . 100
= Fi/n . 100

1. m= número de intervalos de Clase
2. R=(A-1)
3. C= R/m
4. Lii - Lsi traslapantes o no traslapantes
5. Xi
Representaciones de la tabla de frecuencia por intervalos de clase:
Clase Edad Xi fi hi (%) Fi Hi(%) Límites reales
1
2
3
4
5
6
7
5-6
7-8
9-10
11-12
13-14
15-16
17-18
5,5
7,5
9,5
11,5
13,5
15,5
17,5
3
3
4
10
7
14
5
6,5
6,5
8,7
21,7
15,2
30,5
10,9
3
6
10
20
27
41
46
6,5
13
21,7
43,4
58,6
89,1
100,0
4,5-6,5
6,5-8,5
8,5-10,5
10,5-12,5
12,5-14,5
14,5-16,5
16,5-18,5
Total 46 100,0
1+3,22
1,891 + 3,9910
2, 7560 + 5,8154

1. Media aritmética o promedio
Es una media de posición que proporciona el valor que tiende a
tomar la variable para la mayoría de los elementos en la población o
muestra según corresponda.
Su determinación dependerá de:
1ro. Datos no agrupados en tablas de frecuencia
2do. Datos agrupados en tablas de frecuencia

Cálculo de la media aritmética
N= Número de elementos en la
población
n= Número de elementos en la
muestra
xi: valor individual o punto medio el intervalo
1ro. Datos no agrupados en tablas de
frecuencia

Ejemplo de media aritmética
4,995; 4,993; 4,994; 4,996; 4,998; 4,992
Determine el peso promedio.
Supóngase que a 22°C una radiografía húmeda escurre 5,000ml,
después de pesar por seis ocasiones su volumen vertido, generó
los siguientes pesos aparentes de líquido en gramos:
1ro. Datos no agrupados en tablas de frecuencia
Rpta 4,9947

Cálculo de la media aritmética
xi= marca de clase
m= número de intervalos de clase
fi= frecuencia absoluta
Cuando los datos están agrupados en tablas de frecuencia, la
media aritmética se calcula mediante la siguiente fórmula.

Ejemplo de media aritmética
De la siguiente tablas de frecuencias calcular la media aritmética:
Pto ebullic Xi fi Fi hi (%) Hi(%)
136-144 2 6,7
144-152 6 20
152-160 13 43,3
160-168 22 73,3
168-176 27 90
176-184 30
Rpta 161,333°C

Si cada observación Xi, tiene un peso o ponderación Wi, o sea
cuando las observaciones no tienen la misma importancia dentro
de una muestra, entonces tenemos la media ponderada que se
calcula de la siguiente manera:
Rpta 10,4
Ejemplo:
Las notas de un alumno de estadística en el semestre 2014-I fueron:
Determine el promedio ponderado del estudiante.
Curso Nota Crédito
Estadística 11 4
Materiales dentales 09 5
Anatomía 12 3

2. Mediana (Me)
Es el estadígrafo de posición que divide en dos partes iguales al
conjunto de observaciones , es decir la mediana representa el
valor central de una distribución de datos ordenados en forma
creciente o decreciente…50% de los valores son menores o
iguales que él, y el otro 50% son mayores o iguales que él.

Cálculo de la mediana
A. Datos NO agrupados en tablas de frecuencia
1ro: Se ordenan los datos en forma creciente o decreciente, y se
toma en cuenta lo siguiente:
Si, n es impar….la mediana es el valor central
Ejemplo:
Los siguientes datos corresponden al contenido de flúor en el agua en partes por
millón(ppm): 4520 4570 4520 4490 4500 4520 4590 4540 4500

A Datos NO agrupados en tablas de frecuencia
1ro: Se ordenan los datos en forma creciente o decreciente, y se
toma en cuenta lo siguiente:
Si, n es par….la mediana es igual al promedio de
los 2 valores centrales
4,995; 4,993; 4,994; 4,996; 4,998; 4,992
Determine la mediana.
Ejemplo: Supóngase que a 22°C una radiografía húmeda escurre
5,000ml, después de pesar por seis ocasiones su volumen vertido,
generó los siguientes pesos aparentes de líquido en gramos:

B. Datos agrupados en tablas de frecuencia
En este caso la mediana se calcula mediante la siguiente fórmula:
• X`me-1: límite inferior de la clase mediana
• Cme: tamaño del intervalo de la clase mediana
• Fme-1: frecuencia absoluta acumulada anterior a la clase
mediana
• fme: frecuencia absoluta de la clase mediana
Clase mediana: es aquel intervalo que contiene al valor que
ocupa la posición media, es decir contiene a la mediana

Ejemplo
De la tabla de frecuencia anterior, calcule la
mediana:
Pto ebullic Xi fi hi (%) Fi Hi(%)
136-144 140 2 6,7 2 6,7
144-152 148 4 13,3 6 20
152-160 156 7 23,3 13 43,3
160-168 164 9 30 22 73,3
168-176 172 5 16,7 27 90
176-184 180 3 10,0 30 100
• X`me-1: 160
• Cme: 8
• Fme-1: 13
• fme: 9
Rpta.
Me: 161,7778°C

3. Moda (Mo)
Representa el valor que más se repite en un conjunto de
observaciones. En una distribución puede haber uno o más
valores que se repitan con mayor frecuencia en tal caso se
tienen dos o más modas.
Entonces:
- Si la distribución de frecuencias tiene un solo valor que más
se repite: UNIMODAL:
- Si la distribución presenta dos o más valores que se repitan:
POLIMODAL
- Si no hay ningún valor que se repita con más frecuencia:
DISTRIBUCIÓN UNIFORME

Cálculo de la moda
A Datos NO agrupados en tablas de frecuencia
1ro: Observar el dato que más se repite
Ejemplo:
Calcule la moda en cada caso:
• 4,5,6,7,4,5,4,6,5,5,4,5,5: Mo=5 (Unimodal)
• 7,7,6,8,8,6,8,7,7,9,12,11,10,8 MO= 7 y 8 (bimodal)

Cálculo de la moda
En este caso la moda se calcula mediante la siguiente fórmula:
• X`mo-1: límite inferior de la clase modal
• Cmo: tamaño del intervalo de la clase modal
• d1: diferencia entre la frecuencia absoluta de la clase
modal menos la frecuencia absoluta anterior
• d2: diferencia entre la frecuencia absoluta de la
frecuencia modal menos la siguiente
Clase modal: es aquel intervalo con la mayor frecuencia
absoluta

Cálculo de la moda
Ejemplo
De la tabla de frecuencia anterior, calcule la moda:
136-144 140 2 6,7 2 6,7
144-152 148 4 13,3 6 20
152-160 156 7 23,3 13 43,3
160-168 164 9 30 22 73,3
168-176 172 5 16,7 27 90
176-184 180 3 10,0 30 100
• X`mo-1: 160
• Cmo: 8
• d1: 9’-7 = 2
• d2: 9- 5 = 4
Rpta.
Mo: 162, 6667°C

Relación entre media aritmética, mediana y moda
Nótese que del cuadro anterior , para datos agrupados en tablas: la
media aritmética, la mediana y la moda poseen valores muy cercanos
entre sí.
Mo: 162, 6667°C
Me: 161,7778°C
136-144 140 2 6,7 2 6,7
144-152 148 4 13,3 6 20
152-160 156 7 23,3 13 43,3
160-168 164 9 30 22 73,3
168-176 172 5 16,7 27 90
176-184 180 3 10,0 30 100

Relación entre media aritmética, mediana y moda
La media aritmética es muy sensible cuando hay valores extremos, y
como la mediana en un valor posicional, se ve menos afectada por
valores extremos.
X = Me = Mo, si la distribución es simétrica (frecuencias absolutas
equidistantes son iguales), es decir polígono de frecuencias
simétrico.

Resuelva
Los siguientes datos corresponden a 20 lecturas de temperatura (en °F)
tomadas en varios puntos de una esterilizadora de calor seco.
415 460 510 475 430 410 425 490 500 470
450 425 485 470 450 455 460 480 475 465
Sin agrupar los datos en tablas de frecuencia calcule: la media
aritmetica, mediana, moda e interprete.

4. Cuantiles o cuantila (Xp)
Es un valor en el recorrido de la variable en el que se acumula
una porción p de datos con medida máxima el valor de la
cuantila, o sea un porcentaje (px100) de datos toma medidas
menores o iguales a Xp y el resto toma medidas mayores o
iguales a Xp.
A las cuantilas se les denomina de manera particular según la
porción acumulada a la izquierda del punto.
- Decil: di
- Cuartil: qi
- Percentil: pi
- Mediana: Me=X0,50

Decil (di) d1=X0,10 ; d2=X0,20 …
Son puntos que dividen al conjunto de datos en 10 partes donde
cada uno acumula el 10% de datos, por ejemplo:
De los siguientes datos:
16, 16, 17, 18, 18, 19, 20, 20, 21, 21, 21,22, 22, 23, 24, 24, 24, 24, 26, 26
26, 26, 27, 28, 28, 29, 30, 30, 31, 31, 31,32, 32, 33, 34, 34, 34, 34, 36, 36
36, 36, 37, 38, 38, 39, 40, 40, 41, 41, 41,42, 42, 43, 44, 44, 44, 44, 46, 46
X0,10 X0,20
X0,30 X0,40
X0,50 X0,60

Decil (di)
Indica que el 10% de las personas tiene a lo más 21 años que el
40% tienen máximo 36 años, también podemos deducir que un
30% de personas poseen edades entre 21 y 36 años
16, 16, 17, 18, 18, 19, 20, 20, 21, 21, 21,22, 22, 23, 24, 24, 24, 24, 26, 26
26, 26, 27, 28, 28, 29, 30, 30, 31, 31, 31,32, 32, 33, 34, 34, 34, 34, 36, 36
36, 36, 37, 38, 38, 39, 40, 40, 41, 41, 41,42, 42, 43, 44, 44, 44, 44, 46, 46
d1=X0,10 = 21 d4=X0,40 = 36
X0,10 X0,20
X0,30 X0,40
X0,50 X0,60

Cuartil (qi)
q1=X0,25 ; q2=X0,50 ; q3= X0,75
16, 16, 17, 18, 18, 19, 20, 20, 21, 21, 21,22, 22, 23, 24, 24, 24, 24, 26, 26
26, 26, 27, 28, 28, 29, 30, 30, 31, 31, 31,32, 32, 33, 34, 34, 34, 34, 36, 36
36, 36, 37, 38, 38, 39, 40, 40, 41, 41, 41,42, 42, 43, 44, 44, 44, 44, 46, 46
X0,15
X0,30
X0,45

Cuartil (qi)
Indica que el 25% de las personas tienen hasta 24 años de edad, y
que a lo más el 75% posee a lo más hasta 38 años, es decir el 50%
tienen entre 24 y 38 años.
16, 16, 17, 18, 18, 19, 20, 20, 21, 21, 21,22, 22, 23, 24, 24, 24, 24, 26, 26
26, 26, 27, 28, 28, 29, 30, 30, 31, 31, 31,32, 32, 33, 34, 34, 34, 34, 36, 36
36, 36, 37, 38, 38, 39, 40, 40, 41, 41, 41,42, 42, 43, 44, 44, 44, 44, 46, 46
X0,15
X0,30
X0,45
q1=X0,15 ; q2=X0,30 ; q3= X0,45

Percentil (pi)
p1=X0,01 ; p2=X0,02 … p99= X0,99
16, 16, 17, 18, 18, 19, 20, 20, 21, 21, 21,22, 22, 23, 24, 24, 24, 24, 26, 26
26, 26, 27, 28, 28, 29, 30, 30, 31, 31, 31,32, 32, 33, 34, 34, 34, 34, 36, 36
36, 36, 37, 38, 38, 39, 40, 40, 41, 41, 41,42, 42, 43, 44, 44, 44, 44, 46, 46
X0,11
X0,32
X0,45

Percentil (pi)
Indica que 11% de las personas tiene un máximo de 21años y que
el 32% de individuos poseen hasta 32años, también diremos que el
65% de individuos tiene más de 38 años, y que el 34% de personas
poseen entre 21 y 38 años :
16, 16, 17, 18, 18, 19, 20, 20, 21, 21, 21,22, 22, 23, 24, 24, 24, 24, 26, 26
26, 26, 27, 28, 28, 29, 30, 30, 31, 31, 31,32, 32, 33, 34, 34, 34, 34, 36, 36
36, 36, 37, 38, 38, 39, 40, 40, 41, 41, 41,42, 42, 43, 44, 44, 44, 44, 46, 46
X0,11
X0,32
X0,45
p11=X0,11 = 21
p32=X0,32 = 32
p45= X0,45 = 38

Mediana (Me)
Me=X0,50
Indica que la mitad o el 50% de datos toma medidas menores o
iguales a Me y el otro 50% toma medida mayor igual a Me:
16, 16, 17, 18, 18, 19, 20, 20, 21, 21, 21,22, 22, 23, 24, 24, 24, 24, 26, 26
26, 26, 27, 28, 28, 29, 30, 30, 31, 31, 31,32, 32, 33, 34, 34, 34, 34, 36, 36
36, 36, 37, 38, 38, 39, 40, 40, 41, 41, 41,42, 42, 43, 44, 44, 44, 44, 46, 46
X0,30

Mediana (Me)
Me=X0,50
Indica que el 50% de las personas posee una edad máxima de 31
años, y que el otro 50% posee una edad mínima de 31 años:
16, 16, 17, 18, 18, 19, 20, 20, 21, 21, 21,22, 22, 23, 24, 24, 24, 24, 26, 26
26, 26, 27, 28, 28, 29, 30, 30, 31, 31, 31,32, 32, 33, 34, 34, 34, 34, 36, 36
36, 36, 37, 38, 38, 39, 40, 40, 41, 41, 41,42, 42, 43, 44, 44, 44, 44, 46, 46
X0,30
Me= 31= q2= X0,50

2. MEDIDAS DE DISPERSIÓN
Son medidas que cuantifican la variabilidad de las
observaciones con respecto a un estadígrafo de tendencia
central (generalmente la media aritmética).
Los principales estadígrafos de tendencia central son:
• VARIANZA
• DISPERSIÓN ESTÁNDAR
• COEFICIENTE DE VARIACIÓN

Varianza (S2)
Se define como el promedio del cuadrado de las desviaciones
con respecto la media.
Cuando la varianza es muestral, se denota como S2(x); y si la
varianza es poblacional entonces se denota como σ2.
Estudiaremos la varianza muestral.

Cálculo de la Varianza
1. Para datos no agrupados en tablas.
Obedece a la siguiente fórmula:
S2(X)=
n-1
Desarrollando esta sumatoria se puede llegar
a una forma más simple para calcular la
varianza:
S2(X)=
n-1

Cálculo de la Varianza
2. Para datos agrupados en tablas.
Obedece a la siguiente fórmula:
S2(X)=
n-1
De modo semejante al caso anterior,
desarrollando la fórmula se obtiene:
S2(X)=
n-1
• Xi: marca de clase
• fi: frecuencia absoluta
• m: número de clases o intervalos

Desviación estándar (S o DE)
Se define como la raíz cuadrada positiva de la varianza, y
como la varianza está expresada en unidades cuadradas, la
desviación estándar (que está en las mismas unidades de los
datos) representa mejor la variabilidad de las observaciones.

Coeficiente de variación (C.V.)
Se calcula del siguiente modo:
El C.V. se debe expresar en porcentaje, pues no tiene unidades y sirve
como medida de comparación con otras distribuciones de cualquier
tipo de unidad…el C.V. mide cuán dispersos se hallan los datos.
C.V. < 10% : representa una muestra que tiende a ser homogénea, los
datos o mediciones no son dispersos.
10%< C.V. < 20% : presentan una regular o moderada dispersión.
C.V. > 20% : los datos se muestran muy dispersos.

Coeficiente de variación (C.V.)
EJEMPLO:
Rpta: La primera muestra es más homogénea y la dispersión
es mínima.

Resuelva
415 460 510 475 430 410 425 490 500 470
450 425 485 470 450 455 460 480 475 465
Determine el coeficiente de variación e interprete.
Rpta: 6,07% Los datos son poco dispersos

Pregunta tipo
En el área de radiología se han realizado n determinaciones del
volumen(cm2) de una sustancia química, los datos se han agrupado en
una tabla , donde se conoce la siguiente información:
Calcular la media aritmética, moda, determine e interprete
el coeficiente de variación (C.V.)
(Suma de marcas de clase) Me=43,265 cm2264
F2=10 f4=7 f6=f1= n-30 F4=25 h3=4/17

3. MEDIDAS DE FORMA
Son medidas que indican la dirección en la dispersión de los
datos respecto a su centro y completan la descripción de las
distribuciones de frecuencia.
Los principales estadígrafos de forma son:
• ASIMETRÍA
• CURTOSIS

ASIMETRÍA
Indica la deformación horizontal de las distribuciones de frecuencia con
respecto a la media aritmética. Para una distribución unimodal tenemos
tres situaciones:
1. Distribución simétrica, en cuyo caso la
media , mediana y moda coinciden y las
frecuencias simples para cada punto
equidistante de la media son iguales.

ASIMETRÍA
2. Distribución asimétrica, es decir, los datos se concentran a uno de
los extremos y aparecen con poca frecuencia hacia el otro extremo.
Asimetría negativa Asimetría positiva

ASIMETRÍA
Coeficiente de asimetría (Skp)
El coeficiente de asimetría de Pearson sirve como indicador de los
grados de asimetría de las distribuciones de frecuencia.
Skp =
De donde:
Si Skp = 0, la distribución es simétrica
Si Skp <1, la distribución tiene una asimetría leve
Si 1 < Skp < 2, la distribución tiene asimetría moderada
Si Skp > 2, la distribución tiene una asimetría severa.

ASIMETRÍA
415 460 510 475 430 410 425 490 500 470
450 425 485 470 450 455 460 480 475 465
Sin agrupar los datos en tablas de frecuencia calcule: los grados
de asimetría de las distribuciones de frecuencia e interprete.
EJEMPLO

ASIMETRÍA
De la fórmula se desprende la necesidad de calcular la media
aritmética, la desviación estándar y la Mediana.
Skp =
415 460 510 475 430
410 425 490 500 470
450 425 485 470 450
455 460 480 475 465
1. Cálculo de la media
2. Cálculo de la mediana, datos no agrupados en tabla, n=par, ordenación previa
410 415 425 425 430 450 450 455 460 460 465 470
470 475 475 480 485 490 500 510

ASIMETRÍA
Me= 462,5
Skp =
415 460 510 475 430
410 425 490 500 470
450 425 485 470 450
455 460 480 475 465
3. Cálculo del coeficiente de asimetría
460
=
=
S2(X)=
n-1
S2= 778,94
S= 27,90
= 3(460-462,5)/27,90 = -0,2688

CURTOSIS
Es una medida de la deformación vertical de una distribución de
frecuencias, es decir, nos indica el apuntalamiento o achatamiento
de la curva, la cual está relacionada con la dispersión de datos.
K =
Coeficiente de curtosis
X0,75 – X0,25
2 (X0,90 – X0,10)
1. Distribución platicúrtica: k 1, es decir los datos están
ampliamente esparcidos y la curva es aplanada.

CURTOSIS
2. Distribución mesocúrtica: k 0,25 esto ocurre cuando los datos
tienen una distribución moderada.
3. Distribución leptocúrtica: k 0,5 esto ocurre cuando los datos
están agrupados es un intervalo estrecho, es decir tienen una dispersión
pequeña.

ERROR ESTÁNDAR (E.S)
Llamado también error típico, es una medida de la variabilidad de
cada muestra respecto a la media muestral.
Es útil para describir la dispersión de los datos cuando se tiene dos
o más muestras que comparar.
También se le llama desviación estándar de la media o error típico.
Para datos cuantitativos se calcula de la siguiente manera:
E.S. =
Donde Sx: desviación estándar
n: muestra

Estadistica: Medidas de resumen

Recomendados

Recomendados

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

La actualidad más candente (20)

Similar a Estadistica: Medidas de resumen

Similar a Estadistica: Medidas de resumen (20)

Más de Univ Peruana Los Andes

Más de Univ Peruana Los Andes (20)

Último

Último (20)

Estadistica: Medidas de resumen