El documento describe los sistemas de numeración binario, octal, hexadecimal y decimal. Explica que el sistema binario usa solo los dígitos 0 y 1 y es el sistema utilizado por los ordenadores. También resume las conversiones entre estos sistemas de numeración y proporciona ejemplos ilustrativos.

1. Sistema Binario
Historia del sistema binario
El antiguo matemático hindú Pingala presentó la primera descripción que se conoce de
un sistema de numeración binario en el siglo tercero antes de nuestra era, lo cual
coincidió con su descubrimiento del concepto del número cero.
Una serie completa de 8 trigramas y 64 hexagramas (análogos a 3 bit) y números
binarios de 6 bit, eran conocidos en la antigua china en el texto clásico del I Ching.
Series similares de combinaciones binarias también han sido utilizados en sistemas de
adivinación tradicionales africanos, como el Ifá, así como en la geomancia medieval
occidental.
Sistema Binario
El sistema binario, en matemáticas e informática, es un sistema de numeración en el
que los números se representan utilizando solamente las cifras cero y uno (0 y 1). Es el
que se utiliza en los ordenadores, pues trabajan internamente con dos niveles de voltaje,
por lo que su sistema de numeración natural es el sistema binario (encendido 1, apagado
0).
- ejemplo: el número 10101101 representa, empezando por la derecha, (1 × 20) + (0 ×
21) + (1 × 22) + (1 × 23) + (0 × 24) + (1 × 25) + (0 × 26) + (1 × 27) = 173.
Conversión entre binario y decimal
Se divide el número del sistema decimal entre 2, cuyo resultado entero se vuelve a
dividir entre 2, y así sucesivamente. Ordenados los restos, del último al primero, este
será el número binario que buscamos.
Ejemplo
Transformar el número decimal 131 en binario. El método es muy simple:
131 dividido por 2 da 65 y el resto es igual a 1
65 dividido por 2 da 32 y el resto es igual a 1
32 dividido por 2 da 16 y el resto es igual a 0
16 dividido por 2 da 8 y el resto es igual a 0
8 dividido por 2 da 4 y el resto es igual a 0
4 dividido por 2 da 2 y el resto es igual a 0
2 dividido por 2 da 1 y el resto es igual a 0
1 dividido por 2 da 0 y el resto es igual a 1
-> Ordenamos los restos, del último al primero: 10000011

2. en sistema binario, 131 se escribe 10000011
Ejemplo
Transformar el número decimal 100 en binario:
100 |_2
0 50 |_2
0 25 |_2
1 12 |_2
0 6 |_2
0 3 |_2
1 1 |_2
1 0 -> (100)10 = (1100100)2
Otra forma de conversión consiste en un método parecido a la factorización en números
primos. Es relativamente fácil dividir cualquier número entre 2. Este método consiste
también en divisiones sucesivas. Dependiendo de si el número es par o impar,
colocaremos un cero o un uno en la columna de la derecha. Si es impar, le restaremos
uno y seguiremos dividiendo entre dos, hasta llegar a 1. Después sólo nos queda tomar
el último resultado de la columna izquierda (que siempre será 1) y todos los de la
columna de la derecha y ordenar los dígitos de abajo a arriba.
Para realizar la conversión de binario a decimal, realice lo siguiente:
1. Inicie por el lado derecho del número en binario, cada número multiplíquelo por
2 y elévelo a la potencia consecutiva (comenzando por la potencia 0).
2. Después de realizar cada una de las multiplicaciones, sume todas y el número
resultante será el equivalente al sistema decimal.
Los números de arriba indican la potencia a la que hay que elevar 2
Suma , resta , división de números Binarios
0+0=0
0+1=1
1+0=1
1 + 1 = 10 al sumar 1+1 siempre nos llevamos 1 a la siguiente operación
Las restas básicas 0 - 0, 1 - 0 y 1 - 1 son evidentes:
0-0=0
1-0=1
1-1=0
0 - 1 = 1 (se transforma en 10 - 1 = 1) (en sistema decimal equivale a 2 - 1 = 1)

3. La resta 0 - 1 se resuelve, igual que en el sistema decimal, tomando una unidad prestada
de la posición siguiente: 0 - 1 = 1 y me llevo 1, lo que equivale a decir en el sistema
decimal, 2 - 1 = 1.
- La división en binario es similar a la decimal, la única diferencia es que a la hora de
hacer las restas, dentro de la división, estas deben ser realizadas en binario.
Ejemplo
Dividir 100010010 (274) entre 1101 (13):
100010010 |1101
——————
- 0000 010101
———————
10001
- 1101
———————
01000
- 0000
———————
10000
- 1101
———————
00111
- 0000
———————
01110
- 1101
———————
00001
Conversión entre binario y octal
1) Agrupe la cantidad binaria en grupos de 3 en 3 iniciando por el lado derecho. Si al
terminar de agrupar no completa 3 dígitos, entonces agregue ceros a la izquierda.
2) Posteriormente vea el valor que corresponde de acuerdo a la tabla:
Número en binario 000 001 010 011 100 101 110 111
Número en octal 0 1 2 3 4 5 6 7
3) La cantidad correspondiente en octal se agrupa de izquierda a derecha.
110111 (binario) = 67 (octal). Proceso:
111 = 7
110 = 6

4. Agrupe de izquierda a derecha: 67
Conversión entre binario y hexadecimal
1) Agrupe la cantidad binaria en grupos de 4 en 4 iniciando por el lado derecho. Si al
terminar de agrupar no completa 4 dígitos, entonces agregue ceros a la izquierda.
2) Posteriormente vea el valor que corresponde de acuerdo a la tabla:
Núme
ro en 00 00 00 00 01 01 01 01 10 10 10 10 11 11 11 11
binari 00 01 10 11 00 01 10 11 00 01 10 11 00 01 10 11
o
Núme
ro en
hexad 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F
ecima
l
3) La cantidad correspondiente en hexadecimal se agrupa de derecha a izquierda.
110111010 (binario) = 1BA (hexadecimal). Proceso:
1010 = A
1011 = B
1 entonces agregue 0001 = 1
Agrupe de derecha a izquierda: 1BA
Tabla de conversión entre decimal, binario, hexadecimal, octal, BCD, Exceso 3 y
Código Gray o Reflejado
Exceso Gray o
Decimal Binario Hexadecimal Octal BCD
3 Reflejado
0 0000 0 0 0000 0011 0000
1 0001 1 1 0001 0100 0001
2 0010 2 2 0010 0101 0011
3 0011 3 3 0011 0110 0010

5. 4 0100 4 4 0100 0111 0110
5 0101 5 5 0101 1000 0111
6 0110 6 6 0110 1001 0101
7 0111 7 7 0111 1010 0100
8 1000 8 10 1000 1011 1100
9 1001 9 11 1001 1100 1101
0001
10 1010 A 12 1111
0000
0001
11 1011 B 13 1110
0001
0001
12 1100 C 14 1010
0010
0001
13 1101 D 15 1011
0011
0001
14 1110 E 16 1001
0100
0001
15 1111 F 17 1000
0101
Sistema Números Enteros
El conjunto de números enteros, es también infinito.
Son parejas de números naturales (x,y), cuya resta x-y define un número entero.
Por ejemplo: la pareja (7,3) define el entero positivo 4 ya que 7 - 3 = 4.

6. la pareja (2,4) define el entero negativo -2 ya que 2 - 4 = -2.
Existe un isomorfismo entre parte del conjunto de los números enteros y el de los
números naturales; ya que el conjunto de los naturales es el de los enteros positivos.
Al conjunto de los enteros también pertenece el 0 que está definido por todas aquellas
parejas de naturales iguales (1,1) ; (56,56) ; etc.
Sistema decimal
El sistema decimal es un sistema de numeración en el que las cantidades se representan
utilizando como base el número diez, por lo que se compone de las cifras: cero (0); uno
(1); dos (2); tres (3); cuatro (4); cinco (5); seis (6); siete (7); ocho (8) y nueve (9). Este
conjunto de símbolos se denomina números árabes. los números decimales son lo que
no tienen coma (,).
El sistema decimal es un sistema de numeración posicional, por lo que el valor del
dígito depende de su posición dentro del número. Así:
Los números decimales se pueden representar en rectas numéricas.
Sistema octal
El sistema numérico en base 8 se llama octal y utiliza los dígitos 0 a 7.
Por ejemplo, el número binario para 74 (en decimal) es 1001010 (en binario), lo
agruparíamos como 1 001 010. De modo que el número decimal 74 en octal es 112.
ejemplo: ¿Qué numero decimal representa el número octal 4 701 utilizando el
TFN?
4*83 + 7*82 +1*80= 2048+ 448+ 0+ 1= 2497.
Sistema hexadecimal
El sistema hexadecimal, a veces abreviado como hex, es el sistema de numeración
posicional de base 16 empleando por tanto 16 símbolos.

7. Su uso actual está muy vinculado a la informática y ciencias de la computación, pues
los computadores suelen utilizar el byte u octeto como unidad básica de memoria; y,
debido a que un byte representa 28 valores posibles, y esto puede representarse como
,
que, según el teorema general de la numeración posicional, equivale al número en
base 16 10016, dos dígitos hexadecimales corresponden exactamente —permiten
representar la misma línea de enteros— a un byte.