Université Mohammed V – Agdal
Faculté des Sciences Juridiques,
Économiques et sociales
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[Semestre : S3, Module M12, Matière : Algèbre I]

Correction du Contrôle final

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[Semestre : S3, Module M12, Matière : Algèbre I]

Correction du Contrôle final

Soit _ l'endomorphisme de ? défini par :
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[Semestre : S3, Module M12, Matière : Algèbre I]
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Algebre1 cf correction-2012

  1. 1. Université Mohammed V – Agdal Faculté des Sciences Juridiques, Économiques et sociales RABAT ‫– اآ ال‬ ‫د وا‬ ‫ا‬ ‫وا‬ ‫اا ! ط‬ ‫ما‬ ‫ا‬ ‫آ‬ http://www.fsjesr.ac.ma Filière de Sciences Économiques et de Gestion Semestre Module Matière Session Sections Responsable de la matière : : : : : : S3 M 12 (Méthodes Quantitatives III) ALGEBRE I Automne-hiver, 2012-2013 C et D Salma DASSER Contrôle final Durée : 2h Les documents et les portables ne sont pas autorisés. La calculatrice est à usage strictement personnel. Toute réponse doit être justifiée. La présentation de la copie est notée sur 2 points. 2 qui sont de la forme : Exercice 1 (6 points) ♦ Soit l’ensemble des matrices 1) Montrer que toute matrice sont à déterminer. de de peut s’écrire sous la forme 2) En déduire que est un sous espace vectoriel de 1 0 3) Les matrices 1 0 ,! 0 1 "1 et $ 0 # 1 0 % : 0 0 ' 1; 0 1 0 "1 ( 1 1 0 , 1 1 0 1 , , 0 1 , # "1 0 "1 ; 0 1 ! $ 4) Les matrices ! et # forment-elles une base de ? 1 ; 1 5) Les matrices ! et $ forment-elles une base de ? Professeure Salma DASSER 2 ( :! ;$ 1/4 1 0 1 0 1 1 0 1 "1 0 2 1 1 2 2 1 ( 0 1 "1 0 ( , , où les matrices et 1 pt 2 dont on donnera une base. !, # est lié, ce n'est donc pas une base: ! !, $ est libre donc une base dim ; 1 1 1 sont-elles dans ? 2 1 " "1 0 1 1 "1 0 2; : ; 00 <= > ": ; 2; 00 1 pt 2 pts 1 "# 1 pt 1 pt 00 <: 00 ; 0 Session automne-hiver 2013
  2. 2. [Semestre : S3, Module M12, Matière : Algèbre I] Correction du Contrôle final Exercice 2 (14 points) (Les parties I, II et III peuvent être traitées indépendamment) I. Dans ? muni de sa base canonique #@ 1,1,0 ; A 1) Vérifier que # A, # A, B, B, ? ? B A, B, ? est une base de ? , on considère les vecteurs : 1, "1,1 ; ? 0,1,1 . 0,5 pt 1 1 0 #/#@ ' 0 ( D1 "1 1D ' 0 0 1 1 est une base car det 2) Ecrire la matrice de passage EFGF et déterminer la matrice de passage EFFG . EFGF II. Dans #/#@ 1 H1 0 3 , on donne la matrice !N 1) Calculer le rang des matrices !B O !B 1 0 "1 1I et EFFG 1 1 "1 1 "1 H 1 "1 1 I : PQ !B "1 1 "1 2 1 H1 2 "1 1 "1 1 I : PQ !LA 2 1 1"O H 1 "1 1 1"O 1 2 et !LA O puisque : JEFGF K "1 . det !B SPQ !B PQ U LA "1 1 I, 1"O 1,5 pts 1 "1 1 2 H 1 "1 1 I 3 "1 1 2 m ∈ IR 0 $A $B < PQ !B T 2 PQ U , V W U $A , $B , $? X 1 ( $A $? "$B $? $B < PQ !LA T 2 X 2) Montrer que la matrice !N est inversible si et seulement si O % "1,2 . 2 pts !LA 1"O D 1 "1 1"O D 1 0 1 1"O 1 1 1"O 2"O Professeure Salma DASSER 2 det !LA 0 $A puisque : Y 2 1 et Z Z'0 1 2 2 pts !N est inversible ssi det !N ' 0 ssi O ' 2 et O ' "1 : "1 1"O ? ] ? B 1 D ^^^^^^^^^^^^^^^^^ D 1 1"O 0 "2 OD 0 1"O " 2"O Z 1 "2 Z O 1 1"O 2"O "1 1"O $? ] $? " $B 1 D ^^^^^^^^^^^^^^^^^ D 1 2"O 0 " 2"O O 1"O 2/4 2 1 1"O 2"O " O"2 B O "2 OD 0 1 Session automne-hiver 2013
  3. 3. [Semestre : S3, Module M12, Matière : Algèbre I] Correction du Contrôle final Soit _ l'endomorphisme de ? défini par : ? ` a, b, c : _N a, b, c J 1"O a III. b " c, a 1"O b _ / #@ , #@ , #@ étant la base canonique de N 1) Ecrire la matrice 1"O H 1 "1 _ / #@ , #@ N 1 1"O 1 ? c, "a . "1 1 I 1"O S _N 1,1,0 X : e_N 1, "1,1 0,1,1 _N B ? J 1"O A 1,1 1 " O , "1 J 1 " O " 1 " 1,1 " 1 " O B J1 " 1, 1 " O 1 ? < $N _ / #, # N 1K 1 " O cK 1 pt !N 2) Déterminer la matrice $N _ / #, # par un calcul direct. N # ; B ; ? étant la base donnée en I : A 1,1,0 ; B 1, "1,1 ; A A b ? 2"O 1, "1 " 1 A 0,1,1 1"O K 1,1 1"O K 2"O ? 2"O 0 0 H 0 "1 " O 0 I 0 0 2"O 1 pt " 1 O 3) Pour quelles valeurs du paramètre O, l’endomorphisme _N est-il bijectif ? X 1 pt 4) Pour O B 1,5 pt _N est bijectif ssi !N _N est bijectif ssi $N _ / #@ , #@ est inversible ssi det !N ' 0 ssi O ' 2 O ' "1 voir II‐2 N _ / #, # est inversible ssi det $N ' 0 ssi O ' 2 O ' "1 voir III‐2 N "1, déterminer une base de _LA a, b, c P _LA et en déduire PQ _LA . b 2c : 2a b " c 0 a, b, c P _LA ssi _LA a, b, c 0,0,0 ssi Ya 2b c 0X "a b 2c 1 2a b " c 0 1 2 3a 3b 0 b "a a X j Yb "aX c a 2 Y a 2b c 0 X j 2 Y c "a " 2b X j k "a " a 2a 0 "a b 2c 0 3 "a b 2c 0 3 c a P _LA 1, "1,1 5) Pour O O _B PQ _LA 2a b " c, a 2 ( PQ _LA 2b dim c, "a P _LA 2, déterminer une base de O _B et en déduire PQ _B . _B PQ VA , VB , V? Professeure Salma DASSER A , _B _B a, b, c B 1 ( VA , _B ? V? "a VA VB ( S V? "VB < PQ _B dim ? 1,5 pt b " c, a " b c, "a b " c : _B A "1,1, "1 _B B 1, "1,1 X dim O _B PQ VA , VB , V? _B ? "1,1, "1 dim O _B 1 VA est une base de O _B VA 1 ( PQ _LA l dim O _B 3/4 Session automne-hiver 2013
  4. 4. [Semestre : S3, Module M12, Matière : Algèbre I] 6) Pour O 1 et # A; B; a. Déterminer la matrice S A B ? _A 1,1,0 X ( S_A 1, "1,1 0,1,1 _A b. Retrouver _A / #@ , #@ _A / #, # Professeure Salma DASSER Correction du Contrôle final ? la base donnée en I : A 1,1,0 ; _A / #, # par un calcul direct. B _A a, b, c b " c, a c, "a b : 1,1,0 A A "2, 2, "2 "2 B X < _A / #, # B 0,1,1 ? ? 1, "1,1 ; _A / #, # en utilisant la formule de changement de bases. _A a, b, c b " c, a c, "a b : 0 1 "1 1 1 0 H 1 0 1 I , EFGF H1 "1 1I et EFFG "1 1 0 0 1 1 EFFG m après calcul _A / #@ , #@ m EFGF oppppppq 4/4 1 H0 0 0,1,1 ? 1 pt 0 0 "2 0I 0 1 1 pt 1 "1 1 2 H 1 "1 1 I 3 "1 1 2 1 0 0 _A / #, # H0 "2 0I 0 0 1 Session automne-hiver 2013

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