Errores de medida

Medidas Electrónicas I Teoría de errores

UNIDAD TEMATICA 2
CAPITULO I
ERRORES DE MEDIDA

1. Introducción:

Para apreciar exactamente el tema errores de medida se requiere normalmente una experiencia pro-
funda de laboratorio en que el técnico se encuentra con difíciles problemas de medida de alta precisión,
y nada puede sustituir esta experiencia, que puede ser de mucha ayuda y esclarecer notablemente los
problemas. En última instancia, el realizar una medida exacta representa una imposibilidad, pero, sin
embargo, se pueden cubrir muchas etapas antes de llegar a este límite. No pretendemos que este capítu-
lo pueda sustituir la experiencia; tampoco es comparable a una explicación teórica. Más aún, para lle-
gar al fondo de la materia hace falta más que el tipo casual de medidas realizadas en trabajos de
baja precisión.
El conseguir un resultado preciso no consiste solamente en coleccionar y conectar algunos aparatos
y realizar lecturas. Para este trabajo se necesita un esfuerzo casi increíble. El técnico debe comprender
totalmente la teoría de la medida y tener un íntimo conocimiento de las características del equipo em-
pleado. Es posible que tenga que desarrollar nuevas teorías e instrumentos que no se encuentran reali-
zados. Debe minimizar y corregir las influencias que determinados factores tengan sobre los resultados.
Una vez que se han tenido en cuenta los factores más importantes, siguen surgiendo otros de menor
importancia que deben ser soslayados. Debe usar el ingenio y cuidado, y con frecuencia utilizar técni-
cas tortuosas y hábiles para alcanzar su objetivo. Algunas veces necesita realizar experiencias auxilia-
res para localizar y evaluar las fuentes de error. Debe pensar sobre lo que ha hecho, o va a hacer, estu-
diando cada paso con actitud de duda y desconfianza sin continuar hasta estar convencido de que todo
lo realizado está perfecto. Debe vivir el problema.
Una vez terminado su trabajo - límite arbitrario, puesto que no existe realmente un fin para su traba-
jo - ha adquirido normalmente un conocimiento tan completo de la totalidad del problema que la satis-
facción del deber cumplido es ciertamente una recompensa. Si no ha realizado debidamente su trabajo
puede encontrarse en una embarazosa situación; tal es el caso del que presentó sus descubrimientos en
una reunión profesional.
Había un joven de Purdue
que tenía muchas cosas que comunicar nuevas y ciertas.
Pero las que eran ciertas no eran nuevas,
y las que eran nuevas no eran ciertas.

En un nivel de estudios elementales es difícil penetrar con profundidad en esta compleja materia que
en muchos aspectos es un arte. Normalmente los errores de medida se estudian seriamente por primera
vez en laboratorios de estudios superiores o en la experiencia profesional del ingeniero. El tipo de erro-
res que pueden surgir se expone mediante ejemplos tomados de la práctica. Posteriormente se verá una
introducción a métodos estadísticos que pueden aplicarse a errores inevitables y finalmente se hace una
introducción al cálculo de errores de resultados obtenidos a partir de magnitudes medidas.
Hay dos razones principales para estudiar los errores de medida:
a. Hallar la forma de reducirlos.
b. Estudiar cómo puede calcularse la veracidad de los resultados.

2. Definiciones:

En toda medida existe error. Si la precisión del equipo de medida es la conveniente, independien-
temente de su exactitud siempre se observará una discrepancia entre los resultados de dos medidas.
Aun cuando estas afirmaciones puedan parecer extrañas para entenderlas correctamente debe tenerse
en cuenta que las palabras error, precisión, exactitud, sensibilidad y discrepancia han de ser aceptadas
según el significado que normalmente se les asigna cuando se trata de medidas.

Error: incertidumbre estimada
Precisión: definición nítida
Exactitud : proximidad al valor real.
Sensibilidad: inversa de la precisión.
Discrepancia : diferencia entre dos resultados

En el uso normal la palabra error puede tener cierto sentido desagradable. Puede significar confu-
sión, ofensa moral o creencia equivocada. En el sentido extremo de la confusión, normalmente implica
ignorancia, estupidez e incluso culpabilidad. Cuando se trata de medida eléctricas nunca tiene ninguno
de estos sentidos. No hay nada vergonzoso en el error de medida; de hecho el omitir la expresión del
II-1


error no es buena práctica, ya que no hay medida libre del mismo. El objetivo en las medidas es tener
en cuenta todo aquello que contribuye al error final, despreciando en cambio errores demasiado peque-
ños. Cuantitativamente el error de medida se expresa, normalmente, utilizando una medida aceptada de
la incertidumbre que se define matemáticamente. La más corriente de tales medidas en el trabajo cientí-
fico es la desviación patrón, pero otras veces se utilizan otras de las que se tratarán más adelante.
Normalmente la diferencia entre las palabras precisión y exactitud es vaga. El diccionario inevita-
blemente introduce una de ellas en la definición de la otra. Este estado de cosas necesita de una aclara-
ción imprescindible en el campo de las medidas, donde ambas tienen significados totalmente distintos.
Un instrumento puede tener gran precisión, gracias a que su escala sea distinta con divisiones muy fi-
nas y claramente legibles. Al mismo tiempo su exactitud puede ser mala; por ejemplo, debido a un de-
fecto interno o desajuste. Un claro ejemplo es un galvanómetro de espejo cuyo campo esta alterado en
el entrehierro por la presencia de limaduras de hierro, recogidas inadvertidamente. En tal galvanómetro
se pueden obtener lecturas en la escala con precisión de una fracción de milímetro, pero el valor co-
rrespondiente de la corriente de bobina esperada a través del calculo, utilizando la sensibilidad para la
corriente del instrumento sin alterar, puede ser muy diferente del valor real.

Exactitud = 1 - error

La palabra precisión también se utiliza en metrología para describir la compatibilidad o reproducti-
bilidad de los resultados. Hay, una cantidad llamada el índice de precisión que describe la dispersión
alrededor de un valor central de los distintos resultados de una misma medida. Alta precisión significa
una gran proximidad entre los resultados repetidos, mientras que baja precisión significa una amplia
dispersión de los mismos. De nuevo insistimos en que no existe necesariamente relación entre la preci-
sión, utilizada en este sentido, y la exactitud del resultado. Todas las medidas repetitivas pueden estar
polarizadas en el mismo sentido por algún efecto sistemático que produce una desviación del resultado
medido con respecto a la verdad.
1
P ≅
S
La sensibilidad es la variación a la salida con respecto a una variación a la entrada

∆ salida
S =
∆ entrada
Finalmente la palabra discrepancia necesita un comentario a pesar de su claro significado en el uso
corriente. La dificultad normal es la falta de una distinción clara entre discrepancia y error. Por ejem-
plo, la discrepancia entre el valor medido para la resistencia por unidad de longitud de un hilo de cobre
standard y el valor que aparece en las tablas no es necesariamente un error de medida. Las característi-
cas del cobre utilizado para este experimento pueden ser diferentes de las del utilizado para confeccio-
nar las tablas. Como un ejemplo más, de la importancia de distinguir entre discrepancia y error citare-
mos que las discrepancias existentes entre medidas repetidas de la misma cantidad pueden constituir
solamente una pequeña parte del error de las medidas. Finalmente si dos personas obtienen resultados
diferentes para la misma cantidad se puede decir que existe discrepancia entre ambos resultados, pero
el error introducido por cualquiera de ellos puede ser mayor que dicha discrepancia.
Aun cuando hay otras palabras que deben entenderse con claridad, las cinco mencionadas deben
servir para que el alumno caiga en la cuenta de la necesidad de utilizar una terminología precisa para
conseguir un entendimiento exacto de los errores.

2.1 Error absoluto: si llamamos con X el valor verdadero, con X el valor más probable y con Xi el
valor medido, por definición se denomina error absoluto verdadero:
∆X = X i - X
Error absoluto aparente:
∆X i = X i - X
El valor verdadero nunca es posible conocerlo, salvo en el único caso de medir contando según la
serie de los números naturales; por lo que el error aparente será en la mayoría de los casos el que se ha
de conocer por vía experimental y para el cual se aplicará la teoría que en su momento se considerará.
Sobre la base de la definición anterior el signo del error será positivo cuando se mide en exceso y
negativo cuando se mide en defecto.

2.2 Error relativo: si se analiza en detalle el concepto del error absoluto, se verá que este da una idea
clara de la bondad de la medición efectuada. Si se dijera que el error cometido en una medición de lon-
gitud es igual a 1 mm no queda bien claro si la misma fue bien o mal realizada, ya que cometer el error
indicado al medir 1.000 mm es radicalmente diferente al mismo error cometido pero al medir una lon-
gitud de 10 mm. Por lo tanto es más conveniente e ilustrativo referir el error absoluto al valor verdade-
II-2


ro o a aquel tomado como tal, en forma de poder comparar resultados de mediciones efectuadas que
den valores numéricos distintos; por lo tanto se define el error relativo según las expresiones:
Error relativo verdadero:
Error absoluto verdadero ∆X Xi - X
Error relativo verdadero = ⇒ =
Valor verdadero X X

Error relativo aparente:
Error absoluto aparente ∆X i Xi - X
Error relativo aparente = ⇒ =
Valor mas probable X X

Si se quiere expresar en valores porcentuales será:
∆X Xi - X
% = . 100
X X

∆X i Xi - X
% = . 100
X X

3. Clasificación de los errores:

El estudio de las causas secundarias que conducen finalmente a establecer que las mediciones inclu-
yen determinados errores, es fundamental no sólo en la etapa previa a la medición en si para su reduc-
ción o eliminación si no posteriormente, al tener que evaluar su incidencia en el resultado numérico
medido.
Los errores que se manifiestan en las mediciones presentan distintas características, no obstante en
algunos casos es muy difícil hacer una diferenciación entre ellos. Es un hecho físico evidente que todo
efecto perturbador que aparece en el valor medido de una magnitud tiene una causa determinada, prin-
cipio de causalidad. El problema es que ese efecto, que aparece aparentemente como uno sólo, es el
resultado de varios combinados debido a causas secundarias distintas, que producen errores variables
en magnitud y signo durante el proceso de medición.
Aún en el caso de eliminación de algún error por medio de una corrección o artificio adecuado,
siempre estarán presentes en la medición efectos secundarios que si bien pueden ser reducidos en mag-
nitud, su signo quedará indefinido, por lo que es imposible aplicar la fórmula del error absoluto verda-
dero, es decir:
X = X i - ∆X
En consecuencia esto confirma lo que se ha dicho anteriormente, es decir nunca se podrá obtener el
valor verdadero de la magnitud mediante medición, salvo el caso de medir contando según la serie de
los números naturales.
Los errores se pueden clasificar por sus características en:

I.- Errores groseros.
Método
Instrumental
II - Errores sistemáticos Condiciones ambientales
Características del observador

III – Errores aleatorios o accidentales.

3.1 Errores groseros: consisten en equivocaciones en las lecturas y registro de datos. En general, son
debidos a la falta de experiencia del observador, a su fatiga en el proceso de medición, al transcribir las
magnitudes medidas al cuadro de valores, etc. La característica fundamental es que su amplitud es muy
grande con respecto a lo que es dable esperar teniendo en cuenta los errores de los instrumentos utiliza-
dos. Son imputables exclusivamente al observador y no admiten ninguna teoría matemática. Pueden ser
detectados y corregidos. Para detectarlos existen tres métodos:
• Realizar como mínimo tres mediciones repetidas.
• Usar dos métodos distintos de medición.
• Cambiar de observador.
Ejemplos típicos:
- Transposición de cifra: 23,5 → 25,3.
- Utilizar fórmulas matemáticas que no corresponden al fenómeno físico.
- Leer en escalas incorrectas. Pretender leer el valor eficaz de una señal no senoidal con un instrumen-
to el cual su escala fue calibrada para medir únicamente valor eficaz de señales senoidales
II-3


- No efectuar el ajuste del cero mecánico o del valor ∞ previo a la medición.

3.2 Errores sistemáticos: son llamados así en razón de que su característica es que se repiten exacta-
mente y en el mismo sentido, para todas las mediciones que se hagan en iguales condiciones, de tal
manera que las causas perturbadoras que conducen muchas veces a estos errores, pueden ser expresa-
das en fórmulas matemáticas.
Al ser determinados en valor y signo, en general pueden ser eliminados del resultado de la medición,
es decir que los valores medidos pueden ser corregidos. No es aplicable en todos los casos ya que la
aplicación de la fórmula puede crear incertidumbre en los valores corregidos en forma exagerada.
Otras veces se puede eliminar la causa que origina este error, no por tratamiento matemático si no
mediante un artificio que logre que esa perturbación sé autoelimine y por lo tanto no quede incluida en
el resultado final de la medición. Este procedimiento es considerado más adecuado que el del trata-
miento matemático.
Finalmente puede existir una causa de origen sistemático que el observador por su poca experiencia,
estudio u otra circunstancia, no lo descubra en el análisis previo a la medición y por lo tanto el mismo
quedará incluido en el resultado final. Ante la duda es preferible buscar otro método de medida.
En virtud de las distintas causas que involucra este tipo de error, es conveniente para su estudio
efectuar una subdivisión del mismo:
a. Errores debidos al método de medida (errores sistemáticos de método).
b. Errores en los instrumentos (errores sistemáticos de instrumental).
c. Errores debidos a las condiciones externas o del medio ambiente.
d. Errores debidos al observador.

3.2.2 Error sistemático de método: estos errores son consecuencia de las perturbaciones que intro-
ducen la mayoría de las veces los instrumentos que se deben usar para efectuar las mediciones. La exis-
tencia de este error deberá ser verificada para cada método en particular; necesitándose un estudio
teórico del mismo.
En rigor de verdad cada vez que se efectúa una medición se distorsiona el sistema a medir, ya que se
extrae energía, pero es posible que desde el punto de vista práctico no existan errores sistemáticos de
método.
Por ejemplo, supongamos los siguientes dipolos activos:

Dipolo activo V V Dipolo activo V

Caso 1 Caso 2

En el caso 1, el voltímetro pertenece al sistema y aunque este consumiendo energía no hay error sis-
temático de método.
En el caso 2, al introducir el voltímetro se está cometiendo error sistemático de método, ya que el
sistema anterior es distinto al sistema que se obtiene durante la medición.
Error sistemático de método debido a las resistencias internas de los instrumentos en corriente conti-
nua:
Si se tiene un dipolo activo y se le coloca en evidencia el resistor sobre el cual se va a medirla ten-
sión V

R’T RT

Dipolo activo R R V V V
E’T ET RV

T T
Aplico Thévenin RT = R’T // R

Si se mide la tensión V del último circuito con un voltímetro ideal, la tensión será igual a la tensión
de Thévenin.
Si posteriormente se utiliza un voltímetro real, se tendrá una indicación distinta ya que.

II-4


R V → ∞ → V = ET
RV ≠ ∞ → Vi ≠ V
V
Vi = I . R V = . RV
RV + RT
V
Vi = (1)
R
1 + T
RV
El error absoluto ∆V será:
V
∆V = Vi - V = - V
RT
1 +
RV
 
 
 1
∆V = V . - 1
 RT 
1 + 
 RV 
El error relativo:
∆V 1
= -1 (2)
V RT
1 +
RV
La expresión (2) permite el cálculo del error sistemático de método en forma exacta.
La idea es tratar de conseguir una expresión aunque sea aproximada que permita calcular el error
sistemático de método en forma más sencilla que la dada por la expresión (2).
Si se llama:
RT ∆V 1
X = → = -1
RV V 1 + X
si R V >> R T ⇒ X << 1 *
haciendo
1 ∆V
y = (3) ∴ = y - 1
1 + X V

Con la condición * se puede desarrollar la expresión (3) en serie de potencias:

y = 1 - X + X 2 - X 3 + .....
y’
Se trata de ver si se puede sustituir y por y’ y hasta que valor de X es válido dicha sustitución sin
sobrepasar el error prefijado.
y = 1 - X (4)
Se calcula el valor de X para que sea válida la sustitución:
∆y = y' - y
Se tomarán los tres primeros términos de la serie de potencia:
∆y = y' - y = 1 - X - (1 - X + X 2 ) = 1 - X - 1 + X - X 2
∆y = - X 2
∆y X2 1
= si X << 1 ⇒ ≈ 1
y 1 1 + X
1 + X
∆y
= X2 (5)
y
La expresión (5) da el criterio para saber hasta que valor de X es válido sustituir la expresión (4) por
la (3).
Si se supone que se quiere reemplazar la expresión (3) por la (4), pero no se quiere cometer un error
mayor del 1%.

II-5


∆y
≤ 1% ≤ 0,01 ∴ X 2 ≤ 0,01 ⇒ X ≤ 0,1
y
El problema es reemplazar la expresión (2) por otra más simple, cometiendo un pequeño error al
realizar dicha sustitución:
∆V
= y -1
V
∆Vi
= y' - 1 = 1 - X - 1 = X
Vi
∆Vi RT
= - (6)
Vi RV
La expresión (6) es la fórmula aproximada para calcular el error sistemático de método.
Si se desea obtener el error que se tiene al sustituir la expresión (2) por la (6) será:
∆Vi ∆V  1 
- - X -  - 1
Vi V 1 + X 
e em = = =
∆V  1 
 - 1
V 1 + X 
- X . (1 + X) - (1 - (1 + X) ) - X - X2 - 1 + 1 + X
= = = X
1 - 1 - X − X

∴ e em = X (7)
Por lo tanto si:
X = 0,1 ∴ e en = 10% ; X = 0,01 ∴ e em = 1%

En conclusión para determinar si se utiliza la expresión (2) o la (6), se debe imponer el error que se
puede admitir.
Cálculo del valor corregido por error sistemático de método:

Xi - X Xi
em = ⇒ e . X = Xi - X ∴ X = (8)
X 1 + em

La expresión (8) es válida para cualquier tipo de medición y permite calcular el valor corregido de
em. Xi es el valor indicado por el instrumento; em es el error sistemático de método, calculado con la
expresión (2) o la (6). Se debe tener en cuenta que em se debe considerar con su signo y referido a la
unidad.
Por ejemplo:
1.000V
Xi = 1.000V y em % = - 0,2 %; será: X = = 1.000V . (1 + 0,002) = 1.002V
1 - 0,002

Error debido a la impedancia interna del voltímetro en corriente alterna:
La diferencia con el problema anterior, es que tanto el circuito equivalente de Thévenin como el cir-
cuito equivalente del voltímetro presentan una impedancia en vez de resistencias puras. Por lo tanto el
circuito reducido quedará:
I

ZT
ZV
V Vi V

Nótese que el circuito equivalente del voltímetro se representa por un voltímetro ideal en paralelo
con una impedancia.
Caso ideal:
Z V ⇒ ∞ (voltímetro ideal)
V = Vi
Caso real:
Z V ≠ ∞ (voltímetro real)
II-6


Vi = I . ZV
V V
Vi = . ZV ; Vi = (9)
ZV + ZT ZT
1 +
ZV
Realizar un análisis de la expresión (9) es complicado ya que ZT y ZV pueden ser capacitivas, induc-
tivas o resistivas. Por lo tanto se efectuará el análisis para el rango de frecuencias medias, en la cual se
puede suponer que: Z T = R T y los voltímetros presentan normalmente entre sus bornes una impedan-
cia capacitiva: Z V = Z Capacitiva .
El circuito quedará:

RT
V CV RV V

En estas condiciones, la expresión (9) quedará:
V
Vi = (10)
RT
1 +
ZV
Siendo:
1
RV .
j .ω . C V RV
ZV = =
1 1 + j . ω . R V . CV
RV +
j . ω . CV
Reemplazando en la expresión (10)
V V V
Vi = = =
RT RT RT
1 + 1 + . (1 + j . ω . R V . C V ) 1 + + j . ω . RT . CV
RV RV RV
1 + j . ω . R V . CV

Vi 1
=
V RT
+ j . ω . RT . CV
1 +
RV
Se define como transferencia del sistema (en módulo):
Vi
T =
V
Si T = 1 no existe error sistemático de método
V V - V
T - 1 = i -1 = i = error sistemático de método
V V

1
T = 2
(11)
 RT 
+ (ω . R T . C V )
2
1 + 
 RV 

En el denominador de la expresión (11) existen dos términos, el primero no depende de la frecuencia
y es el que va a influir en baja frecuencia.
Nótese que mientras ω es del orden de 103, CV para cualquier frecuencia es del orden de 10-12 F. Por
lo tanto, el segundo término no influye. A medida que aumenta ω y llega al orden de 106 a 108, el se-
gundo término comienza a influir.
Si se trabaja en corriente continua, ω = 0 y la transferencia se reduce a:

II-7


1
T =
RT
1 +
RV
Como normalmente, con un error del 1% se puede reemplazar la expresión (11) por:
1
T = (12)
1 + (ω . R T . C V )
2

Los gráficos de T en función de ω son:

T CV = cte.
1
RT

ω
3.2.2 Errores sistemáticos de instrumental: los errores sistemáticos en los instrumentos son conse-
cuencia de la falta de ajuste e imperfección en la calibración de los mismos.
Conceptualmente se puede dividir el error sistemático de instrumental en dos grupos:
• Error de calibración primaria. No son función del tiempo.
• Errores debidos fundamentalmente a los rozamientos, envejecimiento e inestabilidad. Son función
del tiempo.
Para corregir el error sistemático de instrumental se debe conocer la ecuación matemática para su
corrección. Pero no se podrá hallar dicha expresión si existen problemas de rozamiento. Por lo tanto,
para encontrar la función se debe recurrir a la experiencia y trazar una curva punto por punto que se
denomina curva o quebrada de calibración del instrumento.
Para determinar dicha curva se puede recurrir a distintos métodos, uno de los cuales puede ser:

Ip IX
Ap AX

V R
I

Para realizar el contraste se debe hacer coincidir el índice de Ax sobre cada graduación, y se lee en el
patrón el valor correspondiente. Es decir se realiza la siguiente tabulación:

Ip Curva de calibración

Ii Ip ∆Ii = Ii - Ip
Recta de
(Error absoluto de indicación) exactitud

45
0 Ipe Ii
Si las indicaciones de ambos instrumentos coinciden y el instrumento patrón no tuviera error se ten-
dría una recta a 45º que se denomina recta de exactitud. Como esa condición no ocurre, se tendrá un
conjunto de puntos que interpolando linealmente da la curva de calibración (quebrada).
En la curva obtenida, la ordenada entre la recta de exactitud y la curva de calibración, representa el
error de indicación ∆Ii.
∆I i = I i - I p ⇒ I p = I i - ∆I i (13)

II-8


Esto implica que la corrección para el error sistemático de indicación está dada por la expresión
(13).
Se define la cifra de corrección como:
C C = - ∆I i ∴ I p = I i + C C (14)
La cifra de corrección es el valor que hay que sumar algebraicamente al valor indicado para obtener
el valor corregido por error sistemático de instrumental.
Los fabricantes normalmente, en lugar de dar la curva I p = f (I i ) dan la curva C C = f (I i )

CC

+CC

-CC Ipe Ii

3.2.2.1 Método para eliminar o reducir los errores sistemáticos de instrumental: se utiliza un mé-
todo de cero.
a. Se verá primero en ejemplo no eléctrico como es el de la balanza.

l1 0 l2 La idea es determinar la masa de un cuerpo P. Para
ello se colocan pesas calibradas hasta equilibrar el
sistema.
En reposo será:
1. P = P0 a condición de que l1 = l2.
Por lo tanto, la primera medición permite únicamente
asegurar que:
0
P . l 1 = P0 . l 2 los momentos son iguales
Como l1 = l2 no se conocen, se debe realizar una nueva medición, que consiste en intercalar cuerpos
2.
(P0 + ε ) . l1 = P . l 2
l1
P = ( P0 + ε ) .
l2
De la ecuación anterior se obtiene la relación l1 / l2:

l1 P P
= 0 ∴ P = ( P0 + ε ) . 0 ⇒ P = P0 ( P0 + ε ) (15)
l2 P P
En la expresión (15) no intervienen l1 y l2; por lo tanto se ha eliminado el error sistemático de
instrumental y l1 y l2 pueden tener cualquier error, sin afectar la medición. Este procedimiento se
denomina método de doble pesada de Gauss.

b. Ejemplo eléctrico, Puente de Wheatstone.

RX La relación es que R1 . R2 (relación de equilibrio del
puente) equivale a los brazos de palanca. R3 (variable)
R1 equivale a las pesas. La ecuación de equilibrio es:
R1
RX = . R3
R2
G 1. Se supone el caso ideal:
Galvanómetro
Observador
R2 R3 R1, R2, R3 sin error

R1 = 100 Ω, R2 = 10 Ω, R3 = 100 Ω ∴ RX = 1.000 Ω

II-9


2. Se supone ideal:
Galvanómetro
Observador
R1, R2 sin error

R3 = 100 Ω ± 0,1%, R3 = R3N ± 0,1% , R3N = valor nominal de R3

Por lo tanto se tendrá un valor nominal de RXN, pero el error se transfiere a la incógnita.
Si se supone que de alguna manera se conoce el valor real de R3, automáticamente se conocerá el
valor real de RX.
Si R3R = 100,05 Ω → RXR = 1.000,5 Ω
Como el valor real de R3 no se conoce, tampoco se puede conocer el valor real de RX, pero cada vez
que se lee 100 Ω en la década de R3, debería haberse leído 100,05 Ω. Por lo tanto cada vez que se
determina RX = 1.000 Ω, se debería haber sido 1.000,5 Ω.
Por lo tanto se tiene un corrimiento sistemático de 0,5 Ω.
Un método para corregir este error sistemático es recalibrar las décadas del puente.

Donde dice Lease
100 Ω 100,05 Ω
200 Ω 199,4 Ω

3. Suponiendo:
Galvanómetro ideal
Observador ideal
∆R 1 ∆R 2 ∆R 3
% = % = = 0,1%
R1 R2 R3
En cuyo caso, en base a la ecuación de equilibrio, el error que se le transfiere a la incógnita es la
suma de los errores relativos.
∆R X  ∆R 1 ∆R 2 ∆R 3 
= ±  + + 
RX  R1 R2 R3 
∆R X
= ± 0,3%
RX
Reglas prácticas para calcular errores:
Si la función es del tipo:
a = b ± c ∴ ∆a = ∆b + ∆c (Error absoluto)
Si es:
b. c ∆a  ∆b ∆c ∆d 
a = ∴ = ±  + +  (Error relativo)
d a  b c d 
Si la función es:
c. d
a = b + + d
f
estas reglas no sirve y hay que aplicar propagación de error.

II-10


Reducción del error sistemático de método en el puente de Wheatstone: se aplica el mismo
método que en el caso de doble pesada de Gauss
Caso 1 Caso 2
RX
R1 R1 R”3

G G

R2 R’3 R2 RX

Sean R’3 y R”3 los valores particulares de R3 que producen el equilibrio en ambos sistemas. R1 y R2
no se intercambian.
 R1 
Para el caso 1 R X =   . R '3 .
 R2 
R 
Para el caso 2 R X =  1  . R ''
 R2  3

reemplazando en una de las expresiones el paréntesis quedará:
R 2 = R '3 . R ''
X 3 ⇒ RX = R 3 . R ''
'
3 (16)

Si R '' = R '3 + ∆R 3
3 ∴ RX = R 3 . ( R '3 + ∆R 3 )
'
≡ P = P0 . ( P0 + ε )
Observese que la expresión (16) no depende de R1 y R2. Por lo tanto, pueden tener cualquier error y
no afectarán la medición siempre y cuando R’3 sea de gran exactitud.
∆R X  1  ∆R ''3
 ∆R ''  
 1
= ±  .  ' + ''
3
 = ± (0,1% + 0,1% ) = 0,1%
RX 2  R3
 R3    2
Del error que se tenía del 0,3% se bajo al 0,1%.

3.2.2.2 Límite de error o clase del instrumento: todas las fuentes de error que se han señalado,
incluso las que corresponden a la calibración, o por motivos de uniformidad en la construcción, son en
general reunidas en un valor característico que establece cual es el error total que comete el
instrumento.
Al respecto las normas de fabricación de los instrumentos eléctricos indicadores, coinciden en
definir como límite del error o clase al mayor error absoluto que comete el instrumento en cualquier
parte de su escala sea aquel positivo o negativo, referido al valor máximo (alcance).
∆Vi max
e t max % = . 100 (17)
Vpe
El instrumento que posea el menor error típico máximo es de mejor calidad.
La norma I.R.A.M. 2023 de Instrumentos Eléctricos define las siguientes clases:

Clase Límite de error ± en %
0,25 0,25
0,5 0,5
1 1
1,5 1,5
2 2
3 3

Decir que un instrumento es clase 1 implica que el error típico máximo es menor al 1%.
Es decir en el límite se puede escribir que:
∆Vi max
C = . 100 (18)
Vpe
Nótese que la clase de un instrumento permite determinar el máximo error absoluto de indicación
que puede cometer un instrumento en cualquier punto de la escala.
C
∆Vi max = . Vpe (19)
100
De ahora en más ∆Vi = ∆Vi máx. Esto significa reemplazar la curva de calibración por una franja de
indeterminación.
II-11


CC
Si el error típico máximo del ins-
trumento es de 0,28%, será de clase
0,5.

Vpe Vi

Cálculo del error relativo de indicación:
Datos del instrumento Vpe
Vpe
αpe : número de divisiones de la escala → K = (20)
α pe
K constante de escala.

∆Vi C . K . α pe ∆Vi α pe
Como Vpe = K . α pe y Vi = K . α i será: = y % = C. (21)
Vi 100 . K . α i Vi αi
La expresión (21) justifica la conveniencia de leer en el tercio superior de la escala.

αi C e r% et máx%
αpe 1 1 1
αpe / 2 1 2 1
αpe / 10 1 10 1

3.2.3 Error sistemático debido a las condiciones ambientales: son debidos a las condiciones exter-
nas. Estas incluyen cualquier causa comprendida en la zona o área de medición y cuyos efectos produ-
cen perturbaciones en la medición en sí.
Algunos instrumentos, o circuitos de medida, pueden ser afectados por temperatura, humedad, pre-
sión, campos magnéticos externos (terrestre o debido a otras causas), campos eléctricos, etc.
Hay procedimientos que en general tienden a reducir en forma muy apreciable las perturbaciones del
medio ambiente:
a. Trabajar en ambientes controlados.
b. Para el caso de estar inmersos en campos eléctricos y/o magnéticos, trabajar en un ambiente blinda-
do.
c. Utilizar métodos de compensación.
Para este último caso se puede tomar como ejemplo un voltímetro compuesto por un instrumento de
imán permanente y bobina móvil que tiene la característica que para un alcance determinado, la varia-
ción de la temperatura no produce alteración en la indicación de su sistema móvil, es decir se tiene una
compensación perfecta.
La compensación consiste en aprovechar la circunstancia de que la temperatura produce en general
efectos contrarios en la indicación del instrumento, cuando es utilizado como voltímetro. Por variación
de la resistencia debido a la temperatura, se produce una disminución en la indicación del sistema mó-
vil, pero a su vez existe un aumento de la indicación por reducción neta del par antagónico y par motor,
de tal manera que para ciertos valores particulares esa variación combinada resulta nula.
Supongamos que el instrumento posee las siguientes características:

II-12


I = 1 mA a plena escala.
RCu = 50 Ω.
Coeficiente de variación de la resistencia con la temperatura aCu = + 0,4%
/ºC.
Coeficiente debido a las variaciones de las constantes elástica y motora b
= 0,02% /ºC.
Coeficiente de variación de la resistencia multiplicadora Rm de mangani-
na con la temperatura a ≅ 0.
Para que se tenga una compensación perfecta debe cumplirse: -b + a’ ≅ 0
+ a + 0,4 %
Siendo a ' = = = + 0,02 o
Rm 1 + 19 C
1 +
R Cu
Por lo tanto se debe tener Rm = RCu . 19 ⇒ Rm = 950 Ω.
En consecuencia el alcance del instrumento para compensación perfecta es de:
V = 1 KΩ . 1 mA = 1 V
En otros casos, si se conocen las fórmulas de corrección que relacionan las causas perturbadoras con
sus correspondientes efectos secundarios, pueden aplicarse las correcciones y en consecuencia obtener-
se los valores reales (verdaderos desde el punto de vista sistemático). Un ejemplo típico es el caso de
las pilas patrones saturadas, cuya fuerza electromotriz depende de la temperatura a la que se encuentra
sometida. Conocida esta se aplica la fórmula de corrección y así es posible obtener el valor real de la
fuerza electromotriz a la temperatura de medición.

3.2.4 Errores sistemáticos debidos al observador: cada observador tiene una forma característica
de apreciar los fenómenos y en particular de efectuar lecturas en las mediciones y lo curioso del hecho
es que repite su modalidad en forma sistemática, a esta característica se la denomina ecuación perso-
nal. Por ejemplo un observador que tiene tendencia a leer números pares o impares.
Una forma para determinar la ecuación personal de un observador, sería efectuar mediciones repeti-
das con distintos observadores, de esta manera se podrían comparar los resultados.

3.3 Errores accidentales o aleatorios: es sabido que repitiendo una medición de una misma cantidad,
aún bajo la hipótesis de que no se cometen errores groseros ni sistemáticos, se obtiene normalmente
resultados distintos. Esas fluctuaciones se denominan causas no asignables ya que no se sabe que las
produce ni que ley cumplen.
La característica fundamental de los errores accidentales o aleatorios es su indeterminación en su va-
lor y signo.
Todos estos tipos de causas no asignables se estudian mediante la teoría general probabilística lla-
mada Teoría estadística de errores.

3.3.1 Error de apreciación: teniendo en cuenta que en la lectura de la indicación de un instrumento
de medida, ya sea por la posición de un índice en una escala, o del equilibrio de un sistema, la estima-
ción de la lectura originará el denominado error de apreciación, que contribuirá evidentemente a la
formación en parte del error accidental.
Dada la importancia que tiene el error de apreciación, se efectuará un estudio de los efectos que con-
tribuyen al mismo.
El citado error es motivado por dos efectos diferentes:
• Paralaje.
• Límite del poder separador del ojo.
Paralaje: está presente en todos los instrumentos que utilizan un índice mecánico, no en cambio los
digitales. La falta de perpendicularidad entre el rayo visual del observador y la escala respectiva, causa-
rá una incertidumbre en la lectura, pues no permite apreciar exactamente cuál es la posición del índice
en la escala. En el dibujo se ilustra como se produce dicho efecto.

Tal incertidumbre se puede reducir, con la colocación de un
espejo en la parte posterior del índice aproximadamente plano
de la escala. La perpendicularidad del rayo visual se logrará,
cuando el observador se ubique dé tal manera que al observar
el índice no vea la imagen del mismo reflejada en el espejo.

II-13


Límite del poder separador del ojo: se efectuará una breve reseña del problema de la visión. Para que
un objeto, en general pueda ser claramente visible, es necesario que su imagen se forme en el centro de
la mancha amarilla del ojo, pues ésta es la zona de la retina donde se concentra la mayoría de los ex-
tremos de los filamentos del nervio óptico que terminan en células de formas y características distintas,
sensibles a la radiación luminosa, llamadas conos y bastones. Las primeras dependientes del color (fre-
cuencia) y las segundas de la intensidad. Las citadas células que actúan como detectores primarios, en
general están distanciadas entre sí un promedio de 0,005 mm.
Las condiciones de percepción pueden ser distintas según los casos, por ejemplo si se trata de puntos
aislados, los mismos no serán vistos separados si su distancia angular resulta inferior al minuto (1’).
Aparte de lo visto anteriormente se presenta otro problema, y es el que corresponde al esfuerzo que
debe realizar el ojo (modificación del cristalino) para observar objetos distantes de él, efecto llamado
acomodación.
Para que las imágenes de los objetos cercanos o lejanos puedan formarse en la retina (dentro de la
zona amarilla), es necesario que el sistema óptico del ojo se modifique cuando se cambie la posición de
los objetos. Se ha comprobado que el menor esfuerzo que se realiza en la acomodación es cuando se
observan objetos distanciados del ojo entre los 25 a 30 cm. Esta distancia que permite observar objetos
con mayor comodidad, se denomina distancia de visión distinta.
En el dibujo se indica un corte horizontal del
ojo. Para que dos rayos luminosos pueden ser
Cristalino separados, por el sentido de la vista, es nece-
sario que exciten dos células contiguas sepa-
α=1 radas en 0,005 mm; por lo tanto la distancia
angular o ángulo de separación estará dado
Nervio
óptico
por:
0,005 mm
15 mm 300 mm tgα = = 0,00033
15 mm

Es decir que el ángulo de separación será del orden del minuto, su inversa define el llamado poder
separador del ojo normal.
Tomando en cuenta que el menor esfuerzo de acomodación es a una distancia de 300 mm y el ángu-
lo de un minuto (1’), se obtiene el triángulo óptico que permite obtener la distancia mínima que deben
tener dos puntos para que se vean como tales:
0,005 mm
d = 300 mm . = 0,1 mm
15 mm
A este valor se lo denomina acuidad visiva.
Para poder disminuir este error se puede efectuar la lectura mediante una lente de aumento, ya que
podrán verse puntos que disten menos de 0,1 mm, es decir rayos luminosos que tengan una abertura
menor a un minuto. Para finalizar además de la acuidad visiva depende de la iluminación recibida por
la retina.
Los efectos mencionados dan origen al error de apreciación que tendrá valores de incertidumbre de
acuerdo al tipo de lectura a efectuarse:
• Medida de deflexión o posición.
• Medida en la posición de equilibrio de cero.
Error de apreciación de una cierta deflexión o posición: el problema consiste cuando se debe estimar
una lectura en la cual el índice se encuentra en una posición entre dos trazos de la escala. Es evidente
que la distancia mínima entre esas dos divisiones (menor división), es la que permite establecer cual es
la fracción que se puede apreciar y en consecuencia la lectura estará formada por divisiones exactas ,
más una estimación.
Por ejemplo, suponiendo que el índice se encuentre entre dos divisiones de la escala como se observa
en el dibujo:

La lectura a efectuar estará constituida por los siguien-
tes términos:
Deflexión exacta: 1 div, apreciación 0,5 div.
Lectura estimada: 1,50 div.

La apreciación podrá valer 1/5 o ½ de división según la distancia que haya entre los trazos de la es-
cala sea mayor o menor.

II-14


En los casos en que se requiere una apreciación menor de división se puede utilizar la denominada
escala ticónica como se indica a continuación.

Errores de apreciación en el cero: esta circunstancia se presenta cuando al instrumento se lo utiliza
como elemento auxiliar de medición, es decir como detector de cero o de equilibrio.
En este caso la cuestión no es determinar una deflexión del sistema indicador, si no observar si el
mismo tiene un movimiento perceptible cuando el operador produce una variación que finalmente con-
duce al equilibrio.
En estas condiciones es posible tomar como error de apreciación el valor de 1/10 a 1/20 de división,
según el tipo de escala e índice que se utilice.
Finalmente hay que tener en cuenta que deben ser iguales el espesor del índice y el grosor del trazo
de la escala.
En el caso de los instrumentos con indicación digital, no se tendrá el error de apreciación. En este
caso solamente se tendrán cifras exactas y cifras con error por calibración.

4. Forma de evitar los errores: a continuación se darán algunos puntos que pueden ayudar a conse-
guir una mejor exactitud. La importancia de estos puntos depende de la exactitud que se necesite, y de
lo que signifique el problema de medida en cuanto a tiempo y costo.
a. Conocimiento: es insustituible un perfecto entendimiento de las características, limitaciones y fun-
cionamiento normal de cada parte de los instrumentos utilizado, así como el conocimiento teórico
de todas las facetas del problema de medida en sí mismo. El experimentador debe ser capaz de eva-
luar la consistencia de distintos métodos en términos matemáticos cuantitativos, y debe poder ima-
ginar métodos alternativos. Las estimaciones teóricas de los resultados que se puedan anticipar de-
ben compararse con los resultados reales.
b. Técnicas: algunas de las muchas técnicas que se pueden emplear incluyen la sustitución de un ins-
trumento sospechoso por otro similar, intercambio de dos instrumentos similares, el cambio delibe-
rado de un parámetro para observar su influencia aislada en el resultado, el uso de dos métodos di-
ferentes por separado para medir la misma magnitud, el uso de varias personas, la observación y
control de las condiciones para mantenerlas dentro de los debidos límites y las medidas repetidas de
la misma cantidad.
c. Disciplina: utilizar procedimientos planeados precisamente, trabajar cuidadosamente y sin prisas,
anotar todos los valores directamente y en forma ordenada, tomar nota de todos los detalles de las
condiciones y de la disposición del experimento.

II-15

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