4. Plano passando por três pontos dados (triângulo) Plano passando por três pontos dados (trapézio) Plano passando por três pontos dados (pentágono) Plano passando por três pontos dados (hexágono) Plano perpendicular à diagonal espacial Plano perpendicular a uma das faces (rectângulo) Cubos
6. Desta intersecção resulta um triângulo equilátero Exemplo 1 Plano perpendicular a uma diagonal espacial 1º - Traçar o segmento de recta M 1 M 3 . 2º - Traçar o segmento de recta M 3 M 2 . 5º - Desenhar a secção M 2 M 1 M 3 3º - Traçar o segmento de recta M 2 M 1 .
7. Exemplo 2 Plano perpendicular a uma diagonal espacial Desta intersecção resulta um triângulo equilátero
8. Exemplo 3 Plano perpendicular a uma diagonal espacial Desta intersecção resulta um triângulo equilátero
9. X Y z 1º - Traçar a recta XY. 2º - Traçar a recta paralela a XY, passando em Z. 4º - Prolongar a aresta CG. 5º - Determinar o ponto I de intersecção de XY com CG I 6º - Unir o ponto I com o ponto J, determinando o ponto K 3º - Determinar o ponto J , da aresta BF J 7º - Unir os pontos K e Y K 8º - Traçar uma recta paralela a K Y , passando em Z definindo o ponto L 9º - Unir os pontos L e X L 10º -Está determinada a secção [XY KJ Z L ] Plano perpendicular a uma diagonal espacial Passando pelo centro Exemplo 4 Desta intersecção resulta um hexagono regular
10. X Y z 1º - Traçar a recta XY. 2º - Traçar a recta paralela a XY, passando em Z. 4º - Prolongar a aresta CG. 5º - Determinar o ponto I de intersecção de XY com CG I 6º - Unir o ponto I com o ponto J, determinando o ponto K 3º - Determinar o ponto J , da aresta BF J 7º - Unir os pontos K e Y K 8º - Traçar uma recta paralela a K Y , passando em Z definindo o ponto L 9º - Unir os pontos L e X L 10º -Está determinada a secção [XY KJ Z L ] Plano perpendicular a uma diagonal espacial Exemplo 5 Desta intersecção resulta um hexágono
11. Exemplo 6 Plano perpendicular a uma diagonal espacial Desta intersecção resulta um triângulo equilátero
12. Exemplo 7 Plano perpendicular a uma diagonal espacial Desta intersecção resulta um triângulo equilátero
29. Determinar a intersecção do cubo com um plano definido por dois vértices (D e G) e o ponto X (TRIÂNGULO) X 1º - Traçar o segmento [DG]. 2º -Traçar o segmento [GX] 3º -Traçar o segmento [XD] 4º - Desenhar a secção DGX Exemplo 1
30. Determinar a intersecção do cubo com um plano definido por dois vértices (D e G ) e o ponto X (TRIÂNGULO) X 1º - Traçar o segmento [DG]. 2º -Traçar o segmento [GX] 3º -Traçar o segmento [XD] 4º - Desenhar a secção DGX Exemplo 2
31. Determinar a intersecção do cubo com um plano definido por dois vértices (D e G ) e o ponto X (TRIÂNGULO) 1º - Traçar o segmento [DG]. 2º -Traçar o segmento [GX] 3º -Traçar o segmento [XD] 4º - Desenhar a secção DGX Exemplo 3 X
32. Determinar a intersecção do cubo com um plano definido por três vértices (D, G e B ) (TRIÂNGULO) 1º - Traçar o segmento [DG]. 2º -Traçar o segmento [GB] 3º -Traçar o segmento [BD] 4º - Desenhar a secção DGB Exemplo 4
33. Determinar a intersecção do cubo com um plano definido pelos pontos X, Y e B (TRAPÉZIO) X Y 1º - Traçar o segmento [XY]. 2º -Traçar o segmento paralelo a [XY] passando em Z, determinando os pontos I e J 3º -Traçar o segmento [X I ] 5º - Desenhar a secção XY IJ Z J I 4º -Traçar o segmento [Y J ] Exemplo 12
34. Determinar a intersecção do cubo com um plano definido por dois vértices (D e G ) e o ponto X (QUADRILÁTERO) X 1º - Traçar o segmento [DG]. 2º -Traçar o segmento [GX] 4º -Traçar o segmento [ I D] 5º - Desenhar a secção DGX I 3º -Traçar o segmento paralela a [DG], passando em X, determinando o ponto I I Exemplo 5
35. Determinar a intersecção do cubo com um plano definido por três vértices (D, G e F) (RECTÂNGULO) 1º - Traçar o segmento [DG]. 2º -Traçar o segmento [GF] 4º -Traçar a aresta [AD] 5º - Desenhar a secção DGFA 3º -Traçar o segmento paralelo a[DG], passando em F Exemplo 6
36. Determinar a intersecção do cubo com um plano definido por dois vértices (D e G ) e o ponto X (TRAPÉZIO) X 1º - Traçar o segmento [DG]. 3º -Traçar o segmento [DX] 4º -Traçar o segmento [ I G] 5º - Desenhar a secção DG I X 2º -Traçar o segmento paralelo a [DG], passando em X, determinando o ponto I I Exemplo 7
37. Determinar a intersecção do cubo com um plano definido pelos pontos X, Y e B (TRAPÉZIO) X Y 1º - Traçar o segmento XY. 2º -Traçar a o segmento paralelo a XY passando em Z, determinando os pontos I e F 3º -Traçar o segmento I X 5º - Desenhar a secção XYF I Z I 4º -Traçar o segmento YF Exemplo 13
38. Determinar a intersecção do cubo com um plano definido pelos pontos X, Y e B (TRAPÉZIO) X Y 1º - Traçar o segmento XY. 2º -Traçar o segmento paralelo a XY passando em Z, determinando os pontos I e J 4º -Traçar o segmento Y J 5º - Desenhar a secção XY JI Z I J 3º -Traçar o segmento I X Exemplo 14
39. Determinar a intersecção do cubo com um plano definido pelos pontos X, Y e B (TRAPÉZIO) X Y 1º - Traçar o segmento XY. 2º -Traçar o segmento paralelo a XY passando em Z, determinando os pontos I e J 3º -Traçar o segmento XI 5º - Desenhar a secção XY JI Z I 4º -Traçar o segmento Y J J Exemplo 15
40. X Y Z 1º - Traçar a recta XZ. 2º - Traçar a recta YZ. 4º - Traçar uma paralela a YZ, passando por J e encontrar K 5º - Unir o ponto K com o ponto X, 3º - Traçar uma paralela a XZ, passando por Y e encontrar J J 6º - Está determinada a secção [XY J Z K ] K Determinar a intersecção do cubo com o plano XYZ ( PENTÁGONO ) Exemplo 16
41. X Y z 1º - Traçar a recta XY. 2º - Prolongar a aresta CG. 4º - Unir o ponto Z com o ponto I, determinando o ponto J na aresta GF 5º - Unir o ponto J com o ponto Y, I 6º - Traçar uma recta paralela a J Y , passando em Z definindo o ponto K na aresta AD 3º - Determinar o ponto I de intersecção de XY com CG J 7º - Unir os pontos K e X 8º - Está determinada a secção [XYJZK] K Determinar a intersecção do cubo com o plano XYZ ( PENTÁGONO ) Exemplo 17
42. Determinar a intersecção do cubo com o plano XYZ ( HEXÁGONO ) X Y z 1º - Traçar a recta XY. 2º - Traçar a recta paralela a XY, passando em Z. 4º - Prolongar a aresta CG. 5º - Determinar o ponto I de intersecção de XY com CG I 6º - Unir o ponto I com o ponto J, determinando o ponto K 3º - Determinar o ponto J , da aresta BF J 7º - Unir os pontos K e Y K 8º - Traçar uma recta paralela a K Y , passando em Z definindo o ponto L 9º - Unir os pontos L e X L 10º -Está determinada a secção [XY KJ Z L ] Exemplo 18
45. C N B F E D A 1º- Traçar um segmento paralelo a [DF] passando em N, e determinar I Determinar a intersecção do prisma com o plano paralelo à face [ACFD], passando em N 2º- Traçar um segmento paralelo a [DA] passando em N e determinar J I J 3º- Traçar um segmento paralelo a [FC] passando em I 4º- Traçar um segmento paralelo a [AC] passando em J 5º- Eis a secção
46. C N B F E D A 1º- Traçar um segmento [NA] Determinar a intersecção do prisma com o plano ACN 2º- Traçar um segmento paralelo a [AC] passando em N e determinar I I 3º- Traçar um segmento I C 4º- Traçar um segmento [CA] 5º- Eis a secção [ACIN]
47. P C N M B F E D A X Y 1º- Traçar o segmento [MN]. 2º- Traçar o segmento que passa por P e é paralelo a [MN] (segmento [XY]). 3º- Traçar o segmento [XN], (unindo X a N) 4º- Traçar o segmento [YM], (unindo Y a M) Determinar a intersecção do prisma com o plano MNP 5º- O polígono [YXNM], é a intersecção pedida.
48. P C N M B F E D A 1º- Traçar o segmento [NM]. 2º- Traçar o segmento [PM] 3º- Traçar o segmento [NP] Determinar a intersecção do prisma com o plano MNP 4º- O triângulo [NMP], é a intersecção pedida.
49. P C N M B F E D A 1º- Traçar o segmento [MN]. 2º- Traçar o segmento [MP] 3º- Traçar o segmento [NP] Determinar a intersecção do prisma com o plano MNP 4º- O triângulo [NMP], é a intersecção pedida.
50. P C N M B F E D A 1º- Traçar o segmento [NP]. 2º- Traçar o segmento [PM] 5º- Traçar o segmento [NI], determinando o ponto K Determinar a intersecção do prisma com o plano MNP 8º- O trapézio [NPMK], é a intersecção pedida. 3º- Prolongar o segmento [PM] 4º- Prolongar a aresta [CF], determinando o ponto I I K 6º- Traçar o segmento [NK] 7º- Traçar o segmento [KM]
51. P C B F E D A 1º- Traçar o segmento [FN]. 2º- Traçar o segmento [NP] Determinar a intersecção do prisma com o plano FNP 4º- O triângulo [NPF], é a secção pedida. 3º- Traçar o segmento [PF] N
52. C B F E D A 1º- Traçar o segmento [FA]. 2º- Traçar o segmento [AB] Determinar a intersecção do prisma com o plano FAB 4º- O triângulo [ABF], é a secção pedida. 3º- Traçar o segmento [BF]
53. P C B F E D A 1º- Traçar o segmento [FN]. 2º- Traçar o segmento [NP] Determinar a intersecção do prisma com o plano FNP 4º- O triângulo [NPF], é a secção pedida. 3º- Traçar o segmento [PF] N
54. P C N M B F E D A 1º- Traçar o segmento [NP]. 2º- Traçar o segmento [PM] Determinar a intersecção do prisma com o plano MNP paralelo à base 4º- O triângulo [NPM], é a secção pedida. 3º- Traçar o segmento [MN]
55. C B F E D A Intersecção do prisma com um plano MNP paralelo às bases (caso geral)
57. Determinar a intersecção do prisma com um plano paralelo à base, que passa em P P 1º- Traçar o segmento que passa por P e é paralelo a [AB], determinando M 2º- Traçar o segmento que passa por P e é paralelo a [AD] , determinando N M N 3º- Traçar o segmento que passa por N e é paralelo a [DC] , 4º- Traçar o segmento que passa por M e é paralelo a [BC] , 5º- Eis a secção definida pelo plano M P N F E D C B A H G
58. Intersecção do prisma com um plano paralelo à base, que passa em P Outros exemplos F E D C B A H G
59. Exemplo 1 Intersecção do prisma com um plano perpendicular à base, que passa em P P F E D C B A H G
60. Exemplo 2 Intersecção do prisma com um plano perpendicular à base, que passa em P P F E D C B A H G
61. Exemplo 3 Intersecção do prisma com um plano perpendicular à base, que passa em P P F E D C B A H G
62. Exemplo 4 Intersecção do prisma com um plano perpendicular à base, que passa em P P F E D C B A H G
63. Exemplo 5 Intersecção do prisma com um plano perpendicular à base, que passa em P P F E D C B A H G
64. Exemplo 6 Intersecção do prisma com um plano perpendicular à base, que passa em P P F E D C B A H G
65. Exemplo 7 Intersecção do prisma com um plano perpendicular à base, que passa em P P F E D C B A H G
66. Exemplo 7 Intersecção do prisma com um plano perpendicular à base, que passa em P P F E D C B A H G
67. Intersecção do prisma com um plano perpendicular à base, que passa em dois vértices (E e H) 1º- Traçar o segmento EH 2º- Traçar a aresta HC 5º- Eis a secção ACHE 3º- Traçar o segmento CA 4º- Traçar a aresta AE F E D C B A H G
68. Determinar a intersecção do prisma com o plano AMH 1º- Traçar o segmento [AM] 2º- Traçar o segmento [MH] , M 3º- Traçar o segmento que passa por A e é paralelo a [MH] , 4º- Traçar o segmento que passa por H e é paralelo a [AM] , 5º- Eis a secção definida pelo plano AMH F E D C B A H G
69. Determinar a intersecção do prisma com o plano MNP P 1º- Traçar o segmento [MP] 2º- Traçar o segmento [MN] , M N 3º- Traçar o segmento que passa por N e é paralelo a [MP] , 4º- Traçar o segmento que passa por P e é paralelo a [MN] , 5º- Eis a secção definida pelo plano MPN F E D C B A H G
70. Determinar a intersecção do prisma com o plano MNP P 1º- Traçar o segmento [MP] 2º- Traçar o segmento [MN] , M N 3º- Traçar o segmento que passa por N e é paralelo a [MP] , 4º- Traçar o segmento que passa por P e é paralelo a [MN] , 5º-Unir as intercecções destes com as arestas 6º- Eis a secção definida pelo plano MPN F E D C B A H G
71. Determinar a intersecção do prisma com o plano MNP P 1º- Traçar o segmento [MP] 2º- Traçar o segmento [PN] M N 3º- Traçar o segmento que passa por N e é paralelo a [MP], determinando I 4º- Traçar o segmento [M I ] , 5º- Eis a secção definida pelo plano MPN I F E D C B A H G
72. Determinar a intersecção do prisma com o plano MPG P 1º- Traçar o segmento [MP] 2º- Traçar o segmento [PG] M 3º- Traçar o segmento [MG] 4º- Eis a secção definida pelo plano MPG F E D C B A H G
73. Determinar a intersecção do prisma com o plano PFG P 1º- Traçar o segmento [PF] 2º- Traçar o segmento [PG] 3º- Traçar o segmento [FG] 4º- Eis a secção definida pelo plano PFG F E D C B A H G
74. Determinar a intersecção do prisma com o plano PFG P 1º- Traçar o segmento [PF] 2º- Traçar o segmento [PG] 3º- Traçar o segmento [FG] 4º- Eis a secção definida pelo plano PFG F E D C B A H G
75. Determinar a intersecção do prisma com o plano AFG 1º- Traçar o segmento [AF] 2º- Traçar o segmento [AG] 3º- Traçar o segmento [FG] 4º- Eis a secção definida pelo plano AFG F E D C B A H G
76. Determinar a intersecção do prisma com o plano PFG 1º- Traçar o segmento [PF] 2º- Traçar o segmento [FG] 3º- Traçar um segmento paralelo a [GF] passando por P, deter- minando o ponto I 5º- Eis a secção definida pelo plano PFG P I 4º- Traçar o segmento [IG] F E D C B A H G
77. Determinar a intersecção do prisma com o plano MPH 1º- Traçar a recta MP 2º- Prolongar a aresta CB, e encontrar I 3º- Traçar o segmento [H I ], e encontrar J 5º-Traçar um segmento paralelo a H J , passando em M, e encontrar K P M 4º- Traçar o segmento [ J P] I J 7º-Eis a secçãoP J H K M K 6º-Traçar o segmento K H F E D C B A H G
78. Determinar a intersecção do prisma com o plano MPF 1º- Traçar a recta MP 2º- Desenhar a recta paralela a MP, passando em F e encontrar I 3º- Prolongar [F I ] e a aresta EG encontrar L 5º-Traçar um segmento paralelo a D K , passando em F, e encontrar J P M 4º- Traçar o segmento [M L ] e encontrar K I J 8º -Eis a secção P J F IK M K 6º-Traçar o segmento P J L 7º-Traçar o segmento KI F E D C B A H G
79. Alguns exemplos de intersecção de planos com um prisma pentagonal
88. A B C G F N J I E D H Y Z X Determinar a intersecção do prisma com o plano XYZ 1º-Determinar a intersecção dos planos das faces [ABGF] e [CDHI] 2º-Determinar a intersecção dos planos das faces [BCHG] e [EDIJ] 3º-Desenhar a recta XY e encontrar K K 4º-Desenhar a recta YZ e encontrar L L 5º-Desenhar a recta KZ e encontrar M M 6º-Desenhar a recta LM e encontrar N 7º-Desenhar o segmento X N 8º- Está encontrada a secção XYZ MN
89. Alguns exemplos de intersecção de planos com um prisma hexagonal
99. Z X Determinar a intersecção do prisma com o plano XYZ 1º-Determinar a intersecção dos planos das faces [ABHG] 2º- Desenhar a recta XY e encontrar M 3º-Desenhar a recta M Z e encontrar N 4º-Desenhar o segmento YN 5º-Desenhar a recta paralela a XY passando em Z e encontrar O 7º- Desenhar o segmento PO 8º- Está encontrada a secção XY N Z OP M Y N O P 6º-Desenhar a recta paralela a N Z passando em X e encontrar P L K J I H G F E D C B A
100.
101. Alguns exemplos de intersecção de um plano com uma pirâmide triangular
102. Intersecção da pirâmide com o plano ABZ (Triângulo) 1º-Desenhar o segmento AB 2º-Desenhar o segmento BZ 3º-Desenhar o segmento ZA 4º- Eis a secção ABZ Z Exemplo 1 V C B A
103. Intersecção da pirâmide com o plano XYZ (triângulo) 1º-Desenhar o segmento XY 2º-Desenhar o segmento YZ 3º-Desenhar o segmento ZX 4º- Eis a secção XYZ Exemplo 2 V C B A Z Y X
107. Intersecção da pirâmide com o plano XYZ (Quadrilátero) Z Y X Exemplo 1 1º-Desenhar o segmento [YZ] 2º-Desenhar o segmento [ZX] e prolongá-lo 3º-Prolongar a aresta VA, e determinar k K 4º-Desenhar a recta Y K, e determinar L L 5º-Eis a secção L YZX 5º-Desenhar o segmento [X L ] V C B A
108. Intersecção da pirâmide com o plano XYZ (Quadrilátero) Z Y X Exemplo 2 1º-Desenhar o segmento [ZY] 2º-Desenhar o segmento [ZX] 3º-Prolongar a aresta ZY K 5º-Desenhar a recta X K, e determinar L L 7º-Eis a secção X L YZ 6º-Desenhar o segmento [ L Y] 4º-Prolongar a aresta CB, e determinar k V C B A
109. Alguns exemplos de intersecção de um plano com uma pirâmide quadrangular
110. V C B A D Intersecção da pirâmide com o plano XYZ (Quadrilátero) ( com XY paralelo a AB) Exemplo1 1º-Desenhar o segmento [XY] 2º-Desenhar o segmento [YZ] 3º-Desenhar a recta paralela a YX passando em Z, e determinar K 4º-Desenhar a recta X K 5º-Eis a secção XYZ K K Z Y X
111. Exemplo 2 1º-Desenhar o segmento [XY] 2º-Desenhar o segmento [YZ] 3º-Desenhar a recta paralela a YX passando em Z, e determinar K 4º-Desenhar a recta X K 5º-Eis a secção XYZ K K Intersecção da pirâmide com o plano XYZ (Quadrilátero) ( com XY paralelo a AB) V C B A D Z Y X
112. Exemplo 3 1º-Desenhar o segmento [XY] 2º-Desenhar o segmento [YZ] 3º-Desenhar a recta paralela a YX passando em Z, e determinar K 4º-Desenhar a recta X K 5º-Eis a secção XYZ K Z Y X K Intersecção da pirâmide com o plano XYZ (Quadrilátero) ( com XY paralelo a AB) V C B A D
113. Exemplo 4 1º-Desenhar o segmento [XY] 2º-Desenhar o segmento [YZ] 3º-Desenhar a recta paralela a YX passando em Z, e determinar K 4º-Desenhar a recta X K 5º-Eis a secção XYZ K Z Y X K Intersecção da pirâmide com o plano XYZ (Quadrilátero) ( com XY paralelo a AB) V C B A D
114. Intersecção da pirâmide com o plano XYZ (Quadrilátero) Exemplo 5 1º-Desenhar o segmento [XY] 2º-Desenhar o segmento [YZ] 3º-Prolongar o segmento ZY e a aresta CB, determinando J 4º- Prolongar o segmento YX e a aresta BA determinando L 9º-Eis a secção XYZ K Z Y X K L J 6º- Prolongar a aresta CD determinando M M 7º- Unir Z a M , determinando K 8º- Unir X a K 5º- Desenhar a recta J L V C B A D