1. Takehome I 1ºEiT Grup 205
1
MATEMÀTIQUES II
Llista de problemes 1-TakeHome1
Problema 1.
Una empresa utilitza tres tipus de treballadors. Especialistes en
informàtica, gerents de vendes i personal de neteja. En els cinc dies de
la setmana passada, els recursos humans diaris han estat els següents:
DILLUNS DIMARTS DIMECRES DIJOUS DIVENDRES
INFORMÀTICA 2 3 4 3 1
VENDES 2 1 1 1 2
NETEJA 1 0 0 1 0
Matricialment:
( )
a. Els dies de la setmana tenen el següent nombre d'hores de
treball {8, 8, 8, 8,6}. Calcula matricialment el vector de les
hores acumulades per tipus.
Separem( )en matrius i sumem el número d’hores
corresponent a la jornada laboral.
Dilluns  8 + ( ) = ( )
Dimarts  8 + ( ) = ( )

2. Takehome I 1ºEiT Grup 205
2
Dimecres  8 + ( ) = ( )
Dijous  8 + ( ) = ( )
Divendres  6 + ( ) = ( )
Calculem la quantitat d’hores acumulades sumant les matrius
anteriors:
( ) ( ) +( ) ( ) ( ) ( )
El vector de les hores acumulades per tipus és→{51, 45,40}.Els
especialistes en informàtica acumulen 51 hores, els gerents de vendes
45 i personal de neteja 40.
b. Si sabem que els costos laborals per hora son {20, 14,
12}euros respectivament. Quin són els costos totals?
Per calcular els costos laborals totals només fa falta multiplicar els costos
laborals/h per la matriu d’hores acumulades obtinguda en l’apartat anterior.
(20 14 12) ×( ) = (20×51) + (14×45) + (12×40) = 1020 + 630 + 480 = 2.130€
Així doncs, els costos laborals totals són de 2.130 €.

3. Takehome I 1ºEiT Grup 205
3
Problema 2.
Per a cada valor del paràmetre a ϵ R considerem la matriu definida per:
( )
a. Calculeu el rang de la matriu Aa per a tots els valor del paràmetre
a.
Veiem que el nombre de files és menor que el de columnes, aleshores el
rang màxim que podrà prendre la matriu és 3. Aleshores busquem un menor
3x3 on el seu determinant sigui diferent de 0, per verificar que el rang(A)=3.
| |
Volem veure quan |M1| = 0 si i només si a2 – 1 = 0 , és a dir, a=±1.
 Si a=1
Substituïm el valor a=1 a la matriu inicial:
( )
Utilitzem el mètode de Gauss per veure quin és el rang de la matriu A1.
Realitzem canvis per columnes fins aconseguir zeros per sobre de la diagonal.
( ) → → ( ) →
→ ( ) → → ( )
Ja veiem que dues columnes són 0 i per tant només ens queda la
possibilitat de que el rang de la matriu sigui 2.
 Si a=-1
( )
Tornem a utilitzar el mètode de Gauss per veure quin és el rang de la
matriu A –1 . Realitzem canvis per columnes fins aconseguir zeros per sobre la
diagonal.

4. Takehome I 1ºEiT Grup 205
4
( ) → → ( )
( ) → → ( )
Veiem que el rang de la matriu és 2.
D’aquesta manera, podem concloure que els únics valors que fan que el
rang sigui 2 són els valors a=1 i a=–1, així doncs:
Rang =
b. Discutiu el següent sistema per a tots els valors d’a. Resoleu-lo pel
valor particular a=0.
( ) ( ) ( )
Tenim l’expressió matricial Ax=b on la matriu ampliada és (A|b). A més
utilitzem el mètode de Gauss per esglaonar la matriu i veure quin rang li
correspon a la matriu associada i ampliada. Realitzem canvis per files fins
aconseguir zeros per sota la diagonal.
( ) →
→ ( ) →
( )
Veiem quan s’anul·len les components de la matriu on hi ha la variable
a:
Quan a + 1 = 0 i quan a 1 = 0. És a dir per als valors a=1 i a=–1.
2 si a=1 i a=–1
3 si a≠ 1 o a≠ –1

5. Takehome I 1ºEiT Grup 205
5
 Si a=1
Substituïm a la matriu anterior el nou valor d’a i determinem quin és el
rang:
( ) → → ( )
El rang de la matriu associada és igual al rang de la matriu ampliada.
Però diferent del nombre de variables. Aleshores pel Teorema de Rouché-
Fröbenius tenim que el sistema és compatible determinat amb 4-2= 2 graus
de llibertat.
rang(A) = rang (A|b) = 2 ≠ #variables= 3
I el sistema d’equacions lineals és:
x+y+z+t=-1
2z=1
 Si a=-1
( )
Veiem que el rang de la matriu associada és 2, i el rang de la matriu
ampliada és 3, aleshores pel Teorema de Rouché- Fröbenius tenim que el
sistema és incompatible.
2 = rang(A) ≠rang (A|b) = 3
 Si a≠-1 i a≠1
( )
Veiem que el rang de la matriu associada i de la matriu ampliada és el
mateix, 3. Aleshores pel Teorema de Rouché- Fröbenius tenim que el sistema
és compatible indeterminat amb 4-3= 1 graus de llibertat.
 Si a=0
( ) ( ) ( )
Substituïm i esglaonem la matriu ampliada i fem:
I la seva solució és (1/2-y-t, y, ½, t) on y i t pertanyen als
nombres reals.

6. Takehome I 1ºEiT Grup 205
6
( ) →
→ ( )
Obtenim que el rang de la matriu associada és igual a la matriu
ampliada. Aleshores pel Teorema de Rouché- Fröbenius tenim que el sistema
és compatible indeterminat amb 4-3= 1 graus de llibertat.
El sistema d’equacions lineals és
x+y+z=-1
-y-z+t=0
z=1
On la solució del sistema és:
→
→
On t pertany als nombres reals.

7. Takehome I 1ºEiT Grup 205
7
Problema 3.
El cens electoral d'una ciutat és de 3.000.000 de persones. A les
darreres eleccions a l'ajuntament es van obtenir els següents resultats:
1. P1 : Partits nacionalistes: 2.100.000 vots.
2. P2 : Partits autonomistes: 500.000 vots.
3. P3 : Partits verds: 400.000 vots
Mitjançant enquestes es preveu la següent dinàmica d'evolució del vot:
1. - P1 : mantenen un 50% dels seus votants i guanyen un 20% de votants
de P2 i un 20% de votants de P3.
2. - P2 : mantenen un 60% dels seus votants i guanyen un 30%de votants
de P1 i un 10% de votants de P3.
3. - P3 : mantenen un 70%dels seus votants i guanyen un 20% de votants
de P1 i un 20% de votants de P2.
a. Escriu la matriu que permet calcular els vots de les següents
eleccionsen funció del vot de la darrera campanya.
Per a calcular el vots de les següents eleccions fem una matriu 3x3 amb el
percentatge de votants que rep cada partit i ho multipliquem per una matriu
3x1 que conté els resultats de les últimes eleccions.
La columna 1 representa el percentatge de vots del P1, la columna 2 el
percentatge del P2 i la columna 3 el del P3.
La fila 1 representa el percentatge de vots que el P1 ha rebut de cada
partit, la fila 2 es el percentatge que ha rebut P2 i la fila 3 el que ha rebut P3.
( ) ( )
( )=( )

8. Takehome I 1ºEiT Grup 205
8
Si multipliquem la primera fila per la columna de la matriu amb els
resultats de les eleccions passades obtindrem el total de vots aconseguits en
aquestes eleccions per el partit P1, 1.230.000 vots.
Si seguim aquest procediment obtindrem els vots dels partits P2 i P3
que són 970.000 i 800.000 respectivament.
Com que la primera matriu és una matriu de 3 files i 3 columnes (3x3) i
la segona de 3 files i 1 columna (3x1) el resultat el col·locarem en una matriu
de 3 files i 1 columna (3x1).
b. Suposant que aquesta dinàmica de vots es manté constant al
llargdel temps calcula:
b.1. Com estaran distribuïts els vots al cap de dues legislatures?
Per a calcular els vots d’aquesta segona legislatura, sabent que el
percentatge de vots no ha canviat, faríem servir el mateix procediment que
abans. Multiplicaríem la mateixa matriu que hem fet servir abans on teníem
col·locats els percentatges per una altra matriu on tenim els resultats de les
últimes eleccions, en aquest cas es la matriu que hem aconseguit resolent
l’apartat anterior.
( ) ( )
( )=( )
Mirant la dimensió d’aquestes matrius, la matriu resultant ha de tenir 3
files i 1 columna. El nombre situat a la primera fila correspon al partit P1 amb
969.000 vots, el que el situa en l’última posició d’aquestes eleccions, a la
segona fila trobem amb 1.031.000 vots el partit P2 guanyador d’aquestes
eleccions i per el que fa a la fila 3 trobem el P3 amb 1.000.000 de vots i en
segona posició.

9. Takehome I 1ºEiT Grup 205
9
b.2. I d'aquí a tres legislatures?
Per a calcular els vots que corresponen a cada partit en aquesta tercera
legislatura faríem servir el mateix procediment que hem fet servir per calcular-
ho en la primera i en la segona legislatura, agafant la matriu amb el
percentatge de vots que rep cadascú i ho multipliquem per el resultat de les
últimes eleccions, les de la segona legislatura.
( ) ( )
( )=( )
El resultat d’aquesta operació el ficarem en una matriu de 3 files i 1
columna, i el resultat d’aquesta operació serien els vots que ha rebut cada
partit que serien:
P1 en tercera posició amb 890.700, P2 en segona posició i 1.009.300 vots
i finalment P3 en primera posició amb 1.100.000 vots.
Paula Lindez
Sergi Garcia
Lidia Rivera
Lourdes Almazán
Andrea Colom
Melanie Nogué