Cuaderno matematicasi12 13

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as Curso2012-13
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Índi
egeneral
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iiiiiooooónnnnneeeevssssateealroxnitrpgrgoooaennzbnoeosensomrl
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4

TTermigaon1ometría
1.11..aE)xMpreesadriednarasdidanees:ángulos 75◦ b)120◦
)240◦ d)345◦ e)330◦ f)210◦ 2.aE)xpresaengradoslossiguientesángulos: 7π
3.Expresalossiguientesángulos,
omosumadeunnúmeroenterodevueltasyunángulomenroard.de
)900◦ d)7200◦ 4.Expresalossiguientesángulos
omosumadeunnúmeroenterodevueltasyunángulomenorde
2πa):10πrad. b)60πrad.
6
my
uyoraádn.gulo
d)145entral
ores- 6.Siunar
omide◦ ◦ 2
rad. b)20π
9
rad.
)π
5
rad. d)1 rad. e)3π
4
rad. f)7π
2
360◦a).720◦ b)
−3000◦
)
−
aodmeidsue2ámng.uHloalaerntsrualá
nogrurleosp
13π
4
eonntdriaeln
toe,reexspproensdadieonteen, 1.28..aD)iRbuajazloosnsiegsuietnrteisgáonnguolomsidéetnrtii
5.Hap)oanl1ldairrealnadt.leonesg:ituddeunarb
)o0d,e54
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r)ad4i4omide22
3
7.eEgxrnapdrueonssaayd
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dssiea?yrdaeendi1or6a,md¾i
aduneáelrsa.edsiloa,munedaird
aansd.oeRlseenlao,
eilo
noseensoyenlattraengeenltleadselosmismos: 60◦ b)315◦
)120◦ 9.aC)al
ulalasdemásrazonestrigonométri
assabiendoque: sen x =
,yquetg α 011.Hala ,halalasrestantesrazonestrigonométri
as. sen x,cos x ytg x,sabiendoquecosec x = 2 yπ
12.Dada 1
2
. x πcotg α =
y0 x
π
2
b)tg x = 2 yπ x
3π
2 10.Sabiendoquecos α = − 1
2
2
1
2
ycos α 0,determinaelvalordelsenα5 .

13.Ca)ompruebalassiguientesidentidadestrigonométri
as: sec2 α + cosec2 α = sec2 α cosec2 α b)(sen α + cos α)2 = 1 + 2 tg α cos2 α
)cos α + tg α
1 + cotg2 α e)cos2 α =
14.aE)studiasisonverdaderasofalsaslasigualdades: )cos α tg α
b)cotg2 α
1 + cotg2 α tg x + cotg x = sec x · cosec x cotg2 x − cos2 x = cotg2 x · cos2 x
1 − sen x
= cotg α + sec α d)sen2 α =
1
tg x
cos2 x e) tg x + tg y
1 − tg2 x 15.Sai)mpli
)=
cos x
d)sen4 x − sen2 x cos2 x
√1 − sen a · √1 + sen a
cotg x cos4 x − cos2 x sen2 x · cos x
1 + sen x
d)1 + tg2 x
cotg x
=
16.aSi)mpli
cotg x + cotg y
√1 − cos a · √1 + cos a = tg x · tg y f) sen x · cos x
cos2 x − sen2 x
=
tg x
alasexpresionestrigonométri
assiguientes: (1 − cos x)(1 + cos x)
sen x
b)cos4 x(1 + sen x)
(1 − sen2 x)2
alassiguientesexpresiones: sen a
18.¾Esposiblequeexistaunángulo 1
tg a
queveriquesimultáneamenteque. −1, 11α sen α =
b) cos2 x
19.SRiazonaturespuesta. 1 − sen x
20.Determinaenqué
a) ,¾podemosasegurarqueuadrantepuedeestar
omprensdoindoiguales?Razonaturespuesta. y: ? cotg α = cotg βα β xsen x =
)sec2 x + cos2 x
sec2 x − cos2 x
d) cosec a
1 + cotg2 a e)sen3 α + sen α · cos2 α f)cos3 x + cos2 x · sen x + cos x · sen2 x + sen3 x 17.Sicos α = −1, 11a) ,¾
uáldeestasarma
ioneses
ierta? α esunángulonegativo. b)α ) estáenelter
er
uadrante α esunángulomayorque2π. d)Esimposiblequeel
osenodeunángulosea
21.Cade)all
e)f)g)d)h)3
5
cotg x = 0,75 sec x = 2 cosec x = √2 sen x = 0,8 cos x = 0,28 ycos α =
2
5
b)asdelossiguientesángulos,rela
ionándolas
onlasdeunángulo 2
3
240◦ 330◦
b)cos x =
3
4
)tg x =
4
3
purliamrelras
uraadzorannestet:rigonométri
)
−240◦ d)600◦ e)930◦ f)1140◦ g)
−1830◦ h)135◦ 22.aH)alalasrazonestrigonométri
asdelossiguientesángulos: 135◦ b)270◦
)11πrad d)π
23.aH)alasin
rad 6
al
uladora: sen(−120◦) b)cos(−30◦)
)tg 240◦ d)cos 135◦ e)sec 300◦ f)cotg 405◦ 6

24.Sai)tg x = 3/4 yx estáenelter
er
uadrante,
al
ula: tg(90◦ − x) b)tg(180◦ − x)
)tg(270◦ − x) d)tg(−x) e)tg(90◦ + x) f)tg(180◦ + x) g)tg(270◦ + x) h)1.325..SieFndóormulastrigonométri
as tg(720◦ + x) sen x = 0, 6 ysen y = 0, 4sabiendoqueelángulo ,
al
ulalasrazonestrigonométri
asdelosángulosqueseindi
an, x
a) b)radianesyqueelánguloesobtuso. π
y 2
x + y x − y
)2x d)2y e)x
2
f)y
2 26.Usandolasfórmulasdelángulomitad,
al
ulalasrazonestrigonométri
asde22, 5◦2278..CtTrraia
l
anussfldaoerumlnoaasefsnóurmpmrauonldaduop
sta.orsalealssseingouideentleasssuummaasdeytdreifseráenng
uialossy,elnuefguon,
ióanl
udlealasussravzaol.onreess,trsiignon
aolm
ué-- laa)dora: sen 75◦ + sen 15◦ b)sen 75◦ − sen 15◦
)cos 75◦ + cos 15◦ d)cos 75◦ − cos 15◦ e)tg 75◦ + tg 15◦ f)tg 75◦ − tg 15◦ 29.Sabiendoquesen x = 0, 2,halaelsen 3x 30.Transformaenprodu
tosen 105◦ − sen 15◦ 31.Cal
ula y
al
ulaluegosuvalor. cos 105◦ + cos 15◦ 32.aT)ransformaensumas: sinusartablasni
al
uladora. sen 40◦ cos 70◦ b)sen 70◦ cos 40◦
)cos 100◦ cos 30◦ d)sen x sen 2x sen 3x 33.aSi)mpli
a: cos 70◦ − cos 10◦
sen 70◦ + sen 10◦
cotg 30◦ b)cos 3x − cos x
tg x 34.aC)ompruebasison
e))d)sen 3x − sen x
tg2 α(cos2 α − 1) + tg2 α = 0 sen2 x − sen2 y = sen(x + y) sen(x − y) sen2
iertaslassiguientesidentidades: tg α − cotg α
tg α + cotg α
= 1 − 2 cos2 α b)1 − tg2 α
= cos 2α
1 + tg2 α

x
1 =
− cos2 x
= tg b 2
4 cos2(x/2)
b)os −sen x = 1 cos x = −1/2
f)cos(a + b) − cos(a − b)
sen(a + b) + sen(a − b)
1.435..Ra)eEsu
eluveal
asiosingueiesntyeses
iusat
ieonmesatrsigotnroimgéotrni
oasm:étri
)sen x = cos x 7

36.Ra)esuelvelassiguientese
ua
ionestrigonométri
as: 2/3 sen x + 7 sen x = 23/6 b)2 sen2 x = sen 2x
)(1 + tg2 x) cos x = 1 d)tg x = 2 sen2 x e)sen 2x = −√3 cos x f)cos 2x + cos x = 0 g)sen 3x − cos x = −sen x h)sen 3x = sen x − sen 2x i)cos 2x + sen x = 4 sen2 x j)8 tg2(x/2) = 1 + sec x k)6 cos2 x + cos 2x = 5 l)sen 2x = cos x m)cos x · sen x = 1/2 n)sen2 x − cos2 x = 1/2 ñ)cos 2x = 1 + 4 sen x o)4 sen(x/2) + 2 cos x = 3 p)cotg x +
= 2 q)cos 2x − cos 6x = sen 5x + sen 3x 37.Ra)esuelvelassiguientese
ua
iones: cos2 x
)sen x
1 + cos x
b)= sen x tg 2x = −tg x
sen x + cos2 x =
g)e)f)= 2 cos 2x
= 2 − 3 sen2 x sen x + 2 = 3 cos 2x sen(π − x) = cos
i)− sen2 x
ñ)m)k)2 2
5
h)4
j) o)l)n)cos 4x + cos 2x = 0 38.Ra)esuelvelossiguientessistemas,dandolassolu
3 sen 2x · cos x = 2 sen3 x cos x + sen2(x/2) = 1 sen x + sen 5x = sen 4x + sen 2x 3 sen x − cos2 x = −3 cos 5x − cos x = 0 sen x + 2 cos 2x = 1/2 cos 2x + 5 cos x + 3 = 0 d)cotg x + tg x
cotg x − tg x
2

3π
2 − x
ionesse

nor2rxes+posnedni4exnt+essaelnp3rxim=er0
uadrante: √3
2 e)

sen2 x + cos2 y =
3
4
cos2 x − sen2 y =
1
4
b)(
sen2 x + y = 2
cos2 x + y = 1
)
cosec x · sec y = −1 g)(

cos(x + y) =
1
2
sen(x − y) =
1
2
d)

sen x + sen y =
3
2
cos
1
2
(x − y) =

sen x · cos y = √2
π
x − y =
2
f)

sen x cos y =
1
2
sen x + sen y = sen 30◦
cos x + cos y = 1 + cos 30◦
h)
1
2 8

sen x + sen y =
3
2
sen x − sen y = −

1.539..AR30emsoetlruos
dieólnpieddeeutnraiá
hnimgeunelaosdefábri
asevelapuntadeésta,bajounángulode68◦40.D
Coaomls
uu
nilrae
sulaensfadelrteeunr
aiadseslea
a
hnitmesentieean.e(nSodleu
riaódni:os746,
2m5my)8
m.Elánguloqueformansusdostangentes. 30◦41.7dL,ea7s2dmia)gonalesde.uCnapl
auralalellaogdrisatmano
miaidqeune6hayy8e
nmtr,erleosspde
otsiv
aenmternosted,eylafosr
mira
nunafle
roernt
aiarsse.(uSnoláun
gióunlo: 60◦.Cal
43.Dospuntos 42.Untúnel medidas ulaelperímetroyelárea.(Solu
hadeatravesarunamontaña.Parahalarsulongitudsetomandesdeelpuntom,myión:perímetro:.Haladi
myárea:mlas ) 2(√13 + √37)
12√3
2 AB C AC = 1250BC = 1700ACB = 132◦halongitud.(Solu
ión:2.701,17m) A yB distan24km.DesdeA ángulode selanzaunmisil
uyatraye
toriare
tilineaformaun 30◦
onlare
taAB.DesdeB formaunángulode selanzaunantimisil
onunatraye
toriare
tilineaque 45◦
iadeA ydeB 44.P(Saorlau
iaóln
:ul1a7r,5l7akamn
yhu1r2a,42km) seprodu
setomanlasmedidas: onlare
deunrío,seeligeunpuntom,ta.¾Aquédistan
yqueestáenlamismaorilaque.¾Cuálesladistan
irálainter
ep
ión? y ABAB C A AC = 67BAC = 99◦ ACB = 20◦iaentreA yB45.(USnolpua
sióilnlo:2d6e,21m0m)delargoyqueformaunángulode ? 25◦
ptournrteo.Cmaáls
uallatolaesaldtueradeésta,sabiendoquedesdeelini
io
odnellapahsoirliozoenltáanl,g
uolonddue
eeleavlap
iieóndedeunsua 82◦46.Elángulodeeleva
iónde?u(nSaolup
eiñóan:m6i0d,e26m) 47◦pendientein
linada .Despuésde
aminar1000mha
iaelasubiendouna 32◦ respe
todelahorizontal,suángulodeeleva
iónesde77◦47.dUenala
poeluñman
aonesrteáspsiet
utaodaalspolbarneouhnoaripzoeñntaa.lDdeesdlaepurnimpuernatoobserva
ión.(Solu
ión1..03H4a,l3lma)laaltura C deeleva
iónde lapartesuperiorseve
onunángulo 55◦.SituándoseenunpuntoDtransformaen ,40mmás
er
a,seobservaquedi
hoángulose 80◦ yeldelabasedela
49.Eadleltluperudapiqit
48.(Dseoslud
eiólan:az5o3t,e0a3mde)unedi
urieeo.ed(leSloauldnuo
aiiólnunfme:r3nio2or,9sd6eemel)na
io,sevela
puieznatrrraa,ay3émlldaevleabpaijzoarurna,álnogsuolojodsedelalumnoes.táHnalalalalamalitsumraa alede12mdean
olumnavaleho,.ba¾jCouuánláensglualoadlteuradela
olumna? 50.pEilzáanrgau?lo(Saogluud
60◦laalturadelparalelogramoysuárea.(solu
oióqnu:e1,f7o3rmm)anlosladosdeunparalelogramoesde ión: ,yelosmiden9y20
.¾Cuáleslaalturadela 20◦30◦60◦m.Hala h =
51.
NDaoosssas
saibtsuaaajodmeuo
iade16mdelpi.e¾dQeuuéndaisttoarnr
nsaeámnnpguounltoi
edanesetniluonqoubestdái
sutalo2e0nktmredelelausnqaueyn1o5skimmpdiedelamoetdriar,lyaddiesstda)en
ei,aehlaáyngeunltoredelasel
eavasa
mysió?n(Sdoelusu
iópnu:n1t0o,2m6áksma)ltoesdem52.Aladistan
53.e2HDs.ae5dsl7lde0aemlau.nHalbatualrra
éilasqeuoeblsaesrvseapnalraas. 9√3
S = 90√3
22
30◦36◦aoladseaelltamuitrdoaerd,reep.ol(arsomrlauod
naitóran,ñ:laa1,1ds,ia6sbt2amienn)
diaoaqulae
eilmáangduelounqauemfoornmtaañala,dvaisnudaol
uonnreelsuhlotraidzoondtee. 29◦54.mLaidsesoCmabr.lroa(sSs?odl¾euC
Muióáanlr:íea1s.y2la4C6amaltru)lorsamanidgeunla,rressopber
etievlahmoerniztoen2te,2?5(mSoylu2
,i4ómn:.1M,7a6rmíaymide1,65m¾Cuánto 36◦9 )

55.Desdeelpuntomediodeladistan
ia superioresson entredostoresA yB,losángulosdeeleva
ióndesusextremos 30◦ y60◦ respe
tivamente.SiA tieneunaalturade40m,halalaalturadeB 56.dDiesstdane
iaieretnotrpeulnatsotdorerlessu.e(lSooslue
vióene:l1p2u0nmtoym1á3s8,a5lmto)deunatoreformandounángulode yla 30◦
lahorizontal.Sinosa
er
amos75mha
iaelpiedelatore,esteángulomide
on 60◦57.duLenalajaungt
aohdrurorera.sd(iSetuoulaund
o
ióaenmn:p6uo5nmdpe)ufnúttobodleelsadbea5n0dmalyatlearadleqlauepoesrttáeraía270mm.d¾Bealajolíqnueaéádnegfuo.lnoHdvaoel?lal(aSlapooluarl
ttieuórrníaa:
7◦52′14′′58.Emledalitaínmtee)turonadeviusunaalvqióunefroergmisatraun10á9n5gmulodedaeltitud.Elpilotovelatorede
ontroldelaeropuerto 81◦
60.(DinSodosil
59.vDueesldaeeulnavbióanr
uoa
bnióseunrn:va2a,dd7o2isr6teasmn
?o(Sseolvue
ilóan:di7sktamn)
iaentredosislasb
aojnoluanváerntgi
ualol.d¾eAquédistan
iadelaeropuerto 28◦alsatéliteyalotroobserdviasttaonritoesfo2r4m8kamn,usneáon
ililaasa)lasislasde3,2y5,1milasrespe
yguuplaonddeelseguimientodeunsatélite.Lasdire
tivamente.Hala.lLaodsisatpaanr
aitaoesndtereaambobradso. A B 61.qDduieseltaifnnos
62.tUonrae
.h(iSmoleun
rtmiiataudnteollaassalthvéoilsistupeaitlaeasl
eiaóna:r7o0j0a,4u1n3ams)ombrade24m.sobrelafaldadeu.nCaa
haadalyaa7ot2bo0srmerrevyyataoalrlaioht?oosr(prsieotladule
lyiópnea:srq3du4e3e,112840mm.yD3e1sd5e,2e2l1imns)titutosem.id¾eCeuláálnegsullao desdel
ydedesde62◦ oulilnaalaqudeisttiaenn
A 74◦ eiaundaelinh
Bolisnpait
aiólnadlae
iones 76◦onlahorizontal.Sabiendoqueenesemomentoelángulodeeleva
ióndelsolesde49◦63.oáDlanpeguasudeltsleuotrasloa.daEdelestdtoloeasdp
eráhenusimignóunealno
deasaens.tloia(lnSapodalour
tdeieóin1n:4fe30r1mi,o3rq6umye)dhealyaepnaurtneasduepelarisoorrdilelalsa
daenutnilardíoo,quunethoapyógernafloa.vHoerailllollaas 80◦ y40◦ 64.oHpauleasteal.á(rSeoalud
eióunn:1p1e9n,t2ámgo)noregulardrees1p0em
tidvaemlaednot.e.(sHolaul
aiólna:a9l0t,u8r2amdela
65.dUenalasesf
10◦
aa
lhearadadsefboormmabeurnosáqnugeulmoi
doen1e0lms,ueselohdaejadoenunpuntodela
antiladodelaorila 2al)le.Siseapoyasobreuna 45◦ ysiseapoyasobrelaotraformaunángulode
30◦66.(H
psaiaoetlle.luddaH
erilaaóuallnn,la:dosi1alsa5batl,ai7eapnn3nu
67.oDtorsatboarjroesuinguáanlgeuslodidsteandeepnrterseiósnid1kem.Desdelaparrteesspuep
md
inaho;tuo7dqr,ueam0le7ádpmaseumalnyalbtto5oo
msamdle)leedál.sio¾ta
Arilootosqsuoddéniesatlalatnutreoanrtrsreeedaseli
ya1tne3l5zea0
mo
moynunldoii
s
ahá
aniogenuse
losaslaedlraepuosobnbsteorervm
aaá
disóanafltado
ehsddaeedalea?l 25◦ 36◦ teirviaomrdenetue.n(aSdoelue
lilóans:s1e38v6e,5lamb)asedela 5◦68.Para
al
ularelan
hodeunrío,semidió.¾uQnuaédiaslttaunr
aiatienenlastores?(Solu
ión:87,5m) AB = 20elpunto malolargodesuorila,tomándose A dire
tamenteopuestoaunárbolC,situadoalotrolado.DesdeB semidióABC = 61◦69.¾aLClolsualádalodeomssládasealuannr
ghtoruiráyanegdlueállorremíao?idde(eSlnot1rlui4á
nimógn,u:1lo63.
6m(mS)oylu18
i
ómn:re1s2pme)
tivamente.Halalaaltura
orespondiente. 70.Sedirigenvisualesadosobjetosina
esiblesA yB desdedospuntosC yD semiplanodelosdosquedeterminanlare
taquepasapor situadosenunmismo A yB.LospuntosC yD si562m.Semidenlosángulos distanentre ACB = 62◦,BCD = 41◦,ADB = 60◦ yADC = 34◦distan
ia .Halala AB.(Solu
ión:705,7m) 10

TVeem
tao2resenelplano
2.11..PaEralloessvpe
ato
reisove
torialdelosve
toreslibresenelplano ~u = (1, 2) y~v = (3, 5) a) hala: 2~u + 3~v b)
)3(~u − 2~v) 2.Seanlosve
tores~u = (2, 4) y~v = (3,−3)a)Dibújalos b)Hala : 2~u,1
~v. 3.Dadoslosve
tores~u = (3, 4) y~v = (−3, 4)a) .Hala:
−~u y
−~v4.Ea)studia
−~u + 4~v
uálesdelossiguientesparesdeve
yb)toressonlinealmen.tedependientesopropor
yionales: (15, 12) (10, 8) (1,−1) (1, 3)
esunabasede2
6.Halalas
oordenadasdelve
tor . V2(3,−2)
~u,
−~u y~u −
1
3
−~u y
−~v. b)Representagrá
amente~u,
~v)(5, 12) y(1, 10) 5.Estudiasi
omo
ombina
iónlinealdelosve
tores(1,−1) y(2, 5)7.Dadoslosve
tores . ~v1 = (1, 3) y~v2 = (2,−5),halarunve
8.SCioemndporobarelresultado. ,y,halarlas
tortalque:. {(1,−1), (1, 2)}
omponentesdelve
torsabiendoque:
~v (~v2+~v1)+~v = ~v2−(~v1+~v2)~u = (3, 5)~v = (−7,−2) w ~= (0, 5)~x ~u+~x=~w+(-~v)2.2. Produ
.toes
alar 9.Dadoslosve
tores~u = (1, 2) y~v = (2,−3)a)Elprodu
toes
alar ,referidosalabase
anóni
a,
al
ula: ~u · ~v)Elánguloqueforman . b)Losmódulosdeambosve
tores. ~u y~vd)Unve
torenladire
iónysentidode~u e)¾Son queseaunitario. ~u y~v ortogonales?En
aso
ontrario,bus
aunve
tor
ualquieraortogonala~u10.Dadoslosve
tores . ~a(−1, 4) y~b(2,−3)a)Produ
toes
alar .Sepide: b)Módulode~a
)Ánguloqueforman d)Proye
iónde~a sobre~b 11.Halar~u · ~v sabiendoque
|~u| = 2,
|~v| = 2 yqueelánguloqueforma(d~u, ~v) = 60◦12.Cal
ular . ~u · ~v a) enlossiguientes
asos: ~u = (0, 1) y~v = (6,−2) b)~u = (−2, 3) y~v = (3, 2)
)~u = (√2,√27) y~v = (√8,√3) d)~u = (1, 1) ~v = (3,−2) 11

13.Aa)veriguarsilossiguientesparesdeve
toressonperpendi
ulares: (1, 2) y(1, 5) b)(2, 0) y(0, 1)
)(−1, 5) y(5, 1) d)(v1, v2) y(−v2, v1) 14.Dadoelve
tor~u = (4,−7),en
uentradosve
toresquetenganlamismadire
iónque~u 15.uHnailtlaaruions.ve
torquetengalamismadire
iónque ysean ~a(4,−3)16.Halaunve
torperpendi
ularalve
tor ,módulo2ydistintosentido. ~a(1, 3) 17.Normalizaelve
tor yquetengamódulo2. ~v(1,√2)18.Cal
ular . a paraqueelprodu
toes
alarde~x(a, 1) por~y(2,−3)19.Hala ,sealaunidad. h,sabiendoqueelmódulodelve
tor~x(h, 3) 20.¾Quémodi
a
iónsufreelmódulodeunve
tor es5. ~v sisemultipli
ansus
omponentesporunes
alar
k21.H?alalas
oordenadasdelve
tor~x sabiendoque~v · ~x = 0 y~w · ~x = 2,siendo~v(2,−3) y~w(−1, 0)22.Hala . h paraqueelve
23.Hala ,sabiendoquetory
seaortogonal
on. ~v(3, h) w(−~1, 4)m~x(m, 5) |~x| = 1324.Determinaelvalorde . b,paraquelosve
tores~x(3, b)e~y(2,−1) formenunángulode45◦25.Dadoslosve
tores . ~u(3, 5) y~v(a,−1),halaelvalordea,paraqueelve
tor~v dire
iónqueelve
tor tengalamisma ~u +~v26.Unve
tor . ~x,demódulo3,formaunángulode60◦
28.Halalos
27.Halalalongituddelaproye
osenosdire
toresdelve
ióndelve
tor tor . onelve
sobreeltor. .Halasus
omponentes. 29.Halaunve
tor
uyoprodu
toes
alar
on sea9y
~a(−√3, 1)~a(5,−2) ~b(3, 4)~a(0,−7)~a(−3, 1) on~b(7, 2) 30.Hala sea5. x paraqueelprodu
31.Dadoslosve
32.aH)alPlaaralelos tores ytoes
alardelosve
.Halaparba)qPueerpseeannd:i
toresysea
. ~a(2x, 5) ~b(3, 2) −8~a(x, 1) ~b(12,−5)x ulares x paraqueseanperpendi
33.Demuestraquesi ysonunitarios,severi
ulareslosve
toresy.Hala
. ~u(2, x) ~v(3, 2)~a ~b tor~v,talque,~a · ~v = 1 y~v⊥~b36.Haladosve
tores . ~x e~y de
oordenadasenterasyque
umplan:|~u ,
+~v|
,
y
~x · ~y = 2|~x| = √5|~y| = 5 a:(~a +~b)⊥(~a −~b)34.Si .
35.Dadoslosve
,
tores yyysonperpendi
.Halaunve
ulares.Hala
. |~u| = 3|~v| = √7 ~u ~v ~a(2, 1) ~b(6, 2)38.Dosve
tores ysontalesque
|~u −~v|
ulaelmódulode. ~v~a ~b ~x · ~z = −4,siendo~z(1, 6)37.Sean . ~u y~v dosve
torestalesque
|~u| = 9 y(~u +~v) · (~u −~v) = 17.Cal
|~a| = 10,
|~b| = 10√3 y
|~a +~b| = 20ve
tores .Halaelánguloqueformanlos ~a y~b.
12

TGeemoam3etríaanalíti
aenelplano
3.11..Csae)agAlm
)upelnaltiol
asdae
toeimrompnionneaedsnotedesned
yealldooassv
aev
soteo.
retso
uryeosorigenyextremosedan,así
2.Siendoelpuntomediodelsegmentod)b)yyomoelpuntomediodel A = 1,−√(2,−1) B = (4, 7) 2,√P = ((√0,−2,−√5) Q = (3,−4)
A = (2) B = (−2) P = 3) Q = (−√3,√2) M = (2, 3) AB
3.Dadaslas
oordenadasdelospuntosmediosdelosladosdeuntriángulo on,halalas
,oordenadasde,. y
B = (−1, 8)AABCM(2, 4)N(1, 1) 4.Dadoelsegmentodeextremos ,halalas
oordenadasde,yy. ,
P(2, 0)AB CA(3, 5) B(6, 15)al
ulalas
oordenadasdelospuntosC,D yE quedividealsegmentoAB 3.2. E
ua
ionesdelaenre4
patratesiguales. 5.Cal
ulalase
ua
ionesve
torial,paramétri
a,
ontinuaygeneraldelare
tadenidaporelpunto
a) yelve
tordedire
iónenlossiguientes
A ~v asos: A(0, 2), ~v = (4, 3) b)A(2, 7), ~v = (−1, 2)
)A(5,−4), ~v = (2,−2) d)A(0, 3), ~v = (2, 0) e)A(−1/2, π), ~v = (0,−2) f)A(0, 0), ~v = (−1/3, 1/2) 6.Cal
ulalae
ua
iónexplí
itadeunare
tadelaquese
ono
eunpuntoA ylapendientem aa)sossiguientes: enlos A(1, 3), m = 2 b)A(4,−3), m = 0
)A(0, 3), m = 1/3 7.Halalae
ua
ióngeneraldelare
tadenidaporlospuntosA yB a) enlossiguientes
asos: A(2, 0) yB(0, 3) b)A(1,−2) yB(3,−2)
)A(1,−1) yB(−1, 1) 8.Halalae
ua
ióndelare
taquepasaporelpunto(0, 2) yformaunángulode30◦
onelejeOY 9.Ha)alaunve
tordire
toryunonormalalasre
tasdee
ua
iones: . 2x − 5y + 10 = 0 b)
= y − 4 10.Ceal)apl
asos,lase
ua
ionesdelare
taperpendi
ularyparalelapor y = −2x + 6; P(1, 1) b)2x − 4y + 5 = 0; P(0, 3)
11.Dadoelpuntoylare
x = 1 − 2λ
y = 3λ
; P(0, 0) A(−1. − 3) )d)x + 2
y = 4x − 8 3
uunltao,eqnue
asdeainudnio
ad:elossiguientes
)x − 2 =
y + 4
3
tar : x + 2y − 1 = 0a)E
ua
ióndelare
taquepasapor .Hala: A yesparalelaarb)E
ua
ióndelare
taquepasapor . A yesperpendi
ularar12.Compruebasilasdiagonalesdel
uadriláterodevérti
es . A(2, 1),B(4, 2),C(4,−3) yD(−2,−4) ortanenelpuntomedio. 13 se

13.Dadoeltriángulodevérti
esA(2, 3),B(4, 7) yC(7,−1).HalalospuntosmediosdelosladosAB yBC.Halalae
14.Halarlae
di
a)Perpendi
ua
ión b)Perpendi
hare
tarespe
ua
ióndelare
ularaleje todeladree
taquepasaporelpunto?latareq
uteapqauseaupnoerestospuntosmedios.¾Cuáleslaposi
yyes: iónrelativade A C(5, 4) OX. OY 15.Halarlae
ua
ióndelamediat.rizdelsegmentodeterminadoporlospuntosA = (−1, 3) yB = (3, 5)16.Dadoelhazdere
tas . y − 3 = m(x − 1)a)Laquepasaporelpunto ,halardeentrelasmismas: (5, 1)b)Laqueesparalelaa . 5x − 4y + 8 = 0)Lae
ua
ióngeneraldelaqueesperp.endi
ularax − 3y + 1 = 017.Halalaperpendi
ularalare
ta . 2x + y + 4 = 0 quetieneporordenadaenelorigenn = 518.Halar . a paraquelasre
tasr : ax − y + 1 = 0 yr′ : 3x + ay + 5 = 0 19.E
osrttued
iaualnadpoolsoi
hióanyar:elativade
adaunodelossiguientesparesdesreea
tnaspeyrp
eanl
dui
laurlaerlesp.untode
20.Halarelpuntodeinterse

ióndelasre
tas:
r : y = −x + 10
s : y = x − 7 21.Halarlae
ua
r ióndelare
: x − 3y + 5 s : 2x − 6y + taquepasaporelpuntointerse
= 0
9 = 0
iónde:
r′ : x − 2y = 1
r : 3x + 2y − 12 = 0
s : x − y + 7 = 0

r : x + 2y − 3 = 0
s : 2x + 4y − 6 = 0

r : x − 3 = 0
s : x + 2 = 0

r : y = 2x − 5
s : y = x + 4

22.Halarlae
siendoelánguloqueformaelejeua
ióngeneraldelare

r :
taquepasaporelpuntodeinters.e
x y positivo
= 2 + λ
= −2λ
ondi
hare
tadeióndelasre
tas:
y
− 2 OX 45◦
r : 5x − 2y + 4 = 0
23.Halarelpiedelaperpendi

x s :
− 3
=
24.Halarelsimétri
yesparalelaalaquetienepore
odelpunto ulara ua
iónrespe
3
. trazadadesdeelpunto. r : x + 2y + 4 = 0
s : 3x − + 5 = 0 y = 6r : x + y − 3 = 0 (3, 2)A = (4, 0) 26.Lase
25.Lae
las
oordenadasde ua
ióndelamediatrizdeunsegmento ionesdedos.re

ua
tassontodelare
taab
)))LLLaaasssrrreee
tttaaasssssseeeaaannn
ppoaeirrnpa
leiendladesni
.tuelsa.res. y es.Halaelvalorde.Siendo. paraque: halar d)Lasegundare
tapaseporelpuntor : x + y + 1 = 027.Dadaslasre
tas yAB . m : 2x .Hala+ y ulapreasraquesean: − 2 = 0A = (−2, 1) a)Paralelas B3x − 5y + 2 = 0 b)Perpendi
6x + my = 1m (6, 5)r : 2x + y − 1 = 0 r′ : 3x + 14
ay + 5 = 0a

3.328..CaÁl
unlageulláongsulyofodrmisatdaosnp
orialassre
tasr : x − y + 5 = 0 yr′ : −x − y + 1 = 029.Cal
ulaelánguloformadosporlasre
tas . r : 5x + 4y − 1 = 0 ys :
x = 1 − 2λ
y = 3 + λ 30.Cal
ulaelánguloformadosporlasre
tasr : x − 3y + 1 = 0 ys :
32.Hala 31.Halaparaquelare
paraquelare
taformeunángulode
onlare
ta.
x = 1 + λ
y = 2 − 2λ k 2x + ky + 4 = 0 45◦
x + 4y − 1 = 0k ta3x+ky +2 = 0 formeunángulode60◦
33.aaCb)asl
iuslaa.ladistan
iadelorigende
oordenadasalossiguientespun
toons:elsentidonegativodelejede P(3, 4) b)Q(8,−6)
)S(√3,−1) 34.aC)al
ulaladistan
iaentrelossiguientesparesdepuntos: A(5, 3) yB(−3, 8) b)P(√3,√2) yQ(√2,−√3)
)R(5, 2) yS(−3,−7) 35.aC)lasi
alossiguientestriángulos,
uyosvérti
esson: O(0, 0);A(2, 4);B(4, 2) b)P(5,−2);Q(1,−7);R(−1,−2)
)A(−1, 7);B(−1, 2);C(−5, 2) 36.Halaladistan
iadelpuntoA(3, 5) alare
ta3x + 4y − 1 = 037.Halaladistan
iaentrelasre
tas . r :
ys : 6x − 4y + 1 = 0 38.Halaladistan
iaentrelasre
tasparalelasr : 2x + y = 0 ys :
x = 2 + t
y = 1 − 2t 3.439..ElPlardoobdelseigmuaalsdevuanrtiraiádngousloisós
elestieneporextremosA(−1,−1) yB(4, 0).Elvérti
pertene
ealare
ta.Determinalas
x
2
eC x − 2y + 8 = 0=
40.Uelnárteraiádneglutloriáisnógsu
otrovérti
e, ,estásobrelare
leole.stieneporporbaseelsegmentoqueunelospuntos oordenadasde,lalongituddelaalturayyel y Chc A(1,−2) B(6, 3) Cy − 1
3

41.Elparalelogramo tienelosvérti
ta.Halalas
oordenadasde. 3x − y + 8 = 0CABCD esA(−1, 1),B(0,−1)yC(3, 2).Halalas
oordenadasde
D 42.Haylasueláráerae.adel
uadriláteroformadoporelejeOX ylasre
tasy − 1 = 0,x + 2y − 6 = 0 y
x + 2y − 2 = 043.Determinasob.relare
ta3x − 5y + 25 = 0 unpuntoquedistelomismodeA(3, 4) ydeB(7, 8)44.Determinalae
ua
ióndellugargeométri
odelospuntosdelplano
uyadistan
iaalare
ta.r :
3x − 2y + 4 = 0 45.Dosvérti
esopueesst2o.s¾dQeuuéngroumrab
oosnosntitluoysepduin
thooslugar? A(3, 5) yC(2, 1).Elvérti
46.¾Cuáleslae
deabs
isa.Cal
ua
ulalas
ióndeunare
oordenadasdel
taqueformaunángulo.deuartovérti
e epertene
ealeje B D45◦
onlapartepositivadelejeOX 47.dHiastlaa4lauen
iduaad
ieósnddeelolarigree
ntadequ
oeopradseannaddoasp?orelpunto y (2,−3) forma
onlare
ta2x + 5y + 1 = 0 unángulode45◦. 15

48.Dadoeltriángulodevérti
49.Haab
l)))laLSLluaaaolleoor
nntuogga
ii
tteuuinóddtnrddodeeeyssluubassamrttirr
eeeedssniatamrtlroteiu.dzriaadnse.aless50.Halalamediatrizdelsegmento.deextremosánguloqueforma
s.,ey,o
paol
rulloas:puntosA(7,−7)B(1. −5)C(3,1)51.Lare
ta oneleje esmediatrizdelsegmentoegmentodtermyin.Siendoad. .Halalas
oordenadasde
yyel A(1,−2) B(3, 0) OXA(1, 3) B(5,−1)2x + y − 5 = 0 ABA(−1, 2)B52.Ha.laladistan
iaentreelorigende
oordenadasyelpiedelaperpendi
ulartrazadadesdeelpunto
53.Halaelpuntodelare
alare
tata . (2, 5) x + 2y − 1 = 0r :
55.Halalas
54.Halalae
ua
oordenadasdelospuntossituadossobrelare
ióndelare
taparalelaa quediste2delorigen. quediste2delpunto
ta quedistendelare
. x = 2t
y = 1 + t
2x − y − 1 = 0 (1,−3)x + 2y − 3 = 0 ta
4x − 3y + 9 = 0 56.Halaladistan
ia2duenlidbaadrei
se.ntrodeltriánguloA(2, 3),B(1,−5) yC(−3,−1) alladoBC57.Cal
ulaeláreadeltriángulo
uyosladosestánenelejedeabs
isasyenlasre
tas . x − y = 0 y
3x + 5y − 24 = 058.Halalae
ua
ión.deunare
taquepaseporelpuntoP(−1, 0) untriángulodeárea yforme
onlosejesde
oordenadas 3
2
u259.Halaladistan
iadelpun.toP(3, 0) asusimétri
orespe
todelare
tax − y + 1 = 060.Dadoeltriángulo . ABC
onA(0, 0),B(7, 0) yC(2, 6)ab
)))CCCooommorppdrreuuneeabbdaaasqquudeeelleabstadárinis
teaanlnitn
rieoaa,deoonrstt.ore
eenltbroaryi
e
nirt
ruony
.eSenletorporit.doe
:entroesdoblequeladistan
iaentre 61.Halaellabae
riu
ae
nitórnodyeelun
iar
ruen
taenstarbo.iendoquelaperpendi
ulartrazadadesdeelorigenaelatiene
62.Dadalare
a unidadesdelongitudyque,di
ta yelpuntohare
taforma
,halaelpuntoonelejedeabs
deisasunángulodetalqueseaperpendi
. √2 45◦r : y = x − 2 A(1, 0)X r A−−→X ular r′ : y = 4x − 363.Lasre
tas . ax − y − 4 = 0 yx − y + b = 0 puntosquedistanentresí5unidades.Halasonperpendi
ularesy
ortanalejedeabs
isasendos a yb.
16

TFeumna
i4onesrealesdevariablereal. Familiasdefun
iones
4.11..DeClaosnsi
gueiepntteosgdráe
afsu,n¾
uáiólesndeelasno
orespondenaunafun
ión?
PSfragrepla
ements
a) b)
)
d) e) f)
g) h) i)
1
1 1
1 1 1
2.Seanlasfun
ionesf(x) yg(x)a)Dominioeimagen .Indb)i
ade
adaunadeelas: f(2) yf(0)
1 1 ),y1
PSfragrepla
ementsg(0)g(2) g(3) f(x)
1 17
g(x)
1

4.23..eaRj)eeFps:ruesnen
tiaolnasessigupieontleisnróe
mtasi,
aals
ulandodominio,
onjuntoimagenypuntosde
ortes
onlos y = −5 b)y = 0
e))d)y =
y = 3x y = −
h)y = 4x − 3 4.Ra)epresentalassiguientesparábolas
al
ulandodominio,imagen,vérti
eypuntosde
ortes. y = x2 b)y = x2 − 4
5.Raep)resentalassiguientesfun
e)f)g))5
2
h)d)y = x2 − 3x y = x2 − 4x + 1 y = −x2 + 9 y = x2 − 3x + 2 y = −x2 + 3x − 2 y = −x2 − 9 1
b)2
)paraparaparaiones: 6.Representagrá
a) amentelafun
iónyapartirdeelarepresenta: f(x) = x2 − 2x x ∈ [−2, b)3] f(x) = −2x + 1 x ∈ (0,+∞)
f(x) = −5 x ∈ [4, 7) f(x) = 2x2 f(x) = 2x2 + 3 f(x) = 2x2 − 4
f)g)x 3
x y = −5x + 3 y = − − 2
)f(x) = 2(x + 1)2 d)f(x) = 2(x − 3)2 e)f(x) = −2x2 f)f(x) = −2x2 + 2 4.37..aaRs)eFínptruoestneans
:tiaognráes
amraen
teiolansasilgeusientesfun
iones,
al
ulandodominio,imagen,puntosde
ortesy f(x) =
1
x
b)f(x) =
2
x − 2
)f(x) = − 1
x + 3 d)f(x) =
d)2x + 1
x − 1
x3 − 3x2 + x f(x) =
e)f(x) =
x + 1
x + 3
f)f(x) = − x
x + 2 8.Ca)al
ulaeldominiodelassiguientesfun
iones: f(x) =
g)1
(x − 2)(x − 3) f(x) =
x3 + x2 + 4x + 4 4.49..
aRo)eFnpruloessneen
2x2 − 5x amirernate
+ 2
liaosnsigaulieenstesfun
b)iones,
al
ulandodominio,imagenypuntosde
ortes f(x) = √x f(x) = −√x
b)f(x) =
2x
x2 + x + 1
)f(x) =
7x − 1
x2 − 1
x2 − 2x
e)f(x) =
2x
x2 − 2x + 1
f)f(x) =
1
3x
x3 − x2 − 6x
h)f(x) =
2x2 − 3x
x4 − 5x2 + 4
i)f(x) =
x3 − 1
jteiaso:gnráes
)f(x) = √x + 7 d)f(x) = √2x + 4 e)f(x) = x + √x f)f(x) = √3 x g)f(x) = √3 x + 1 h)f(x) = 3 − √x − 2 i)18 f(x) = 2 + √x

10.aC)al
iones: f(x) = √x + 3 b)f(x) = √4 9 − 4x2
)f(x) = √x2 + x + 1 d)f(x) = √2x2 − 5x + 2 e)f(x) = √x − 1 + √5 − x f)f(x) = √x3 − 4x g)f(x) = √2x + 5 h)f(x) = √x2 − 2x + 1 i)f(x) = √5x − 2 j)f(x) =
m)s
x − 3
x + 3 f(x) =
4.511..R
oeFrptreuessn
ntiaolognsráeejes
x
eon
x + sa,mameontntreootloaznsoíasisgyuaie
1
notteas
ifóunn:
x + 6 k)f(x) =
s
x − 1
2 − x
l)f(x) =
s
√x √− 3
x2 − 4
a)ionesy
al
ulasudominio,
onjuntoimagen,puntosde f(x) =
n)f(x) =
s
x + 2
x − 7
ñ)f(x) =
s
x2 + 3x
2x − 3 six 0
3 x ∈ [0, 1]
2x + 3 six 1 e)f(x) =


1 six ≤ 1
x 1 x ≤ 3
−x + 6 si3 x ≤ 6
0 6 x
b)f(x) =


g)si
si3 x −1
1 − 2x −1 ≤ x 1
3x − 1 x ≥ 1 f(x) =
0 six 0
x 0 x ≤ 2
0 six ≥ 3
)f(x) =

i)sisi−x x 0
0 0 ≤ x ≤ 1
1 − x x 1 f(x) =
0 six ∈ Z
x x6∈ Z
d)f(x) =




sisi5x − 2 x ≤ 1
−2 x = 2
1
x x 2
2
f)f(x) =


4.612..Reas)etFpurudeisanene
si−x + 3 0 x 3
x − 3 x 3 

1
x
si1 − x2 x 1
six 0
x2 + x six ≤ 0
h)f(x) =




x2 − 1 si
x −1
0 −1 ≤ x ≤ 1
j)f(x) =


−x − 3 si
x −3
x + 3 −3 x 0
ltiadóognmráinv
ioaa,mlroeen
roterarliadbsossyoigpluuuientntotoessdfeun
o
irotnese:s,ha
iendoeldesglose
omofun
ionesatrozosy f(x) = |x − 2|
d)b))f(x) = |2x + 4|
f(x) = |x| + x f(x) = |3x|
g)e)f)f(x) = x + |x − 1|
f(x) = x − |x| f(x) = |1 − x2|
13.Rfau)enp
h)i)f(x) = |x2 − x − 2|
f(x) = |x − 3| + |x + 2| rieósnensitnavgarálor
aambseonlutetoe:lvalorabsolutodelassiguientesfun
b)iones,representandopreviamentela f(x) = |x2 − 5x + 6|
f(x) = |x − 3|
)f(x) = |x2 − 4| 19

14.aSe)alafun
ióndadaporsugrá
b)a,
al
ula: f(x) y = |f(x)|
y = −f(x)
)y = f(x) + 2 d)y = f(x − 2)
PSfragrepla
ements 1 4.715..aC)aFl
uulna
eliodonmeinsioedxeplasosnigeunien
tieaslfuens
ioynesloygreaprreístémntail
asagsrá
amente: f(x) = log3 x b)f(x) = log3 |x|
)f(x) = |log3 x| d)f(x) = log3 x2 e)f(x) = 2 + log3 x f)f(x) = log3(x + 2) g)f(x) = 2 + log3(x + 2) h)f(x) = 3x i)f(x) = 2 + 3x j)f(x) = 3x−1 k)f(x) = 3x−1 − 2 l)f(x) = −3x 16.Ca)al
iones: f(x) = log2(x − 1) b)f(x) = ln
d)e))

x + 1
f(x) = log(x2 − 5x) x − 1
2x
f(x) = log3(x2 + x − 6) f(x) =
1 − ln x
f)f(x) =
ln x
√x − 3 g)y = log(x2 − 4) h)y = log(x2 − 6x + 8) i)y = log
1 − x
1 + x j)y = log
1 − x2
x + 3
k)y = log |4x2 − 9|
l)y =
log3(x − 1)
3x − 9 4.817..aR)eFpruesnen
tiaognráes
amtrenigteolansosimguiéenttresi
b)fuans
ioneseindi
asisonperiódi
)asyqueperiodotienen: f(x) = 1 + sen x f(x) = −cos x
f(x) = sen
18.aH)alaeldominiodelassiguientesfun
d)e)f)
π
x +
2
f(x) = cos 2x f(x) = 2 cos x f(x) = | cos x| iones: f(x) = sen

1
x
b)f(x) = tg(2x − 3)
)f(x) =
d)2
sen x 1
f(x) =
sen x + cos x
e)f(x) = √cos x f)f(x) = 1 + tg 2x 20

g)f(x) = 2 sen(2x) + 1 h)f(x) = log(sen x) i)f(x) =
1
4.919..aH)aFluanel
dioomnineiosdeelnasgsigeunieentreaslfun
iones: sen x − 1 f(x) = x2 + 3x + 3 b)f(x) =
4 d)f(x) =
j)g)h)k)x − 4
m)n)x + 2
i)l)x − 1
x + 3 2f(x) = ex−4 f(x) = e(x+3)/(x−2) f(x) = |x2 − 2| f(x) = log(x2 − 16) f(x) = log√x2 − 25 f(x) = x2 · e1/x f(x) = log(x2 − 3x + 2) f(x) = ln
)f(x) =
3x − 1
o)x + 3
x2 − 8
20.Determinaeldominioyelre
oridodelassiguientesfun
p)q)ñ) iones:
f(x) = √x + 1 + √5 − x f(x) = cos x2 f(x) = e(2x+3)/x f(x) = sec 2x e)f(x) = √x2 − 1 f)f(x) =
s

x2 − 1
x2 − 4
a) b)
)
d) e) f)
g) h)
i) 1 1
PSfragrepla
ements
1
1 1
1 1 1
21

21.
aRo)erptreess
eonntalogsráeje
sa,mmeonnteotloansíasigyuaie
b)notteas
ifóunn:
ionesy
al
ulasudominio,
onjuntoimagen,puntosde f(x) = −2x f(x) = −4
)f(x) = x2 − 2x d)f(x) = −x2 + 6x − 8 e)f(x) =
f)f(x) = 2 + √x − 3 g)f(x) = |2x + 3|
h)f(x) = |2x| − x i)f(x) = E(x) 22.
aRo)erptreess
ionesy
al
ulasudominio,
onjuntoimagen,puntosde y = 2x−1 b)y = 3x−2 − 4
x + 2
x − 2
23.
aRo)erptreess
si2x x 0
x − 1 x 0 eonntalogsráeje
notteas
ifóunn:
)y = 1 + 2x d)y = 2−x e)y = log2(x + 3) f)y = 1 + log3(x + 5) g)y = log2(x + 1) h)y = 3 + log2 x i)f(x) =
eonntalogsráeje
notteas
ifóunn:
ionesy
al
ulasudominio,
onjuntoimagen,puntosde
f(x) =
1/x six ≥ 1 √x x 1 e)f(x) =

24.Delassiguientesgrá
as.¾
uáles
orespondenaunafun
ión?Deelasindi
si
asudominioyre
orido.
|x|
x 2
−x + 4 2 ≤ x ≤ 5 x + 2 six 1
1/x x ≥ 1
b)f(x) =


1
x − 1
si1 x ≤ 3
√x − 3 six 3
)f(x) =


2x + 1 six 0
1 x = 0
1 + x2 six 0
d)f(x) =



x2 − 1 six 2
3 2 x ≤ 4
−2x + 10 si4 x ≤ 5
f)f(x) =
PSfragrepla
ements
a) b)
) d)
1 1
1
1
22

TÁelmgeab5radefun
iones
5.11..AOpaprteirrdae
laiosnfuen
sio.nCesomposi
ión f(x) = x + 1 yg(x) =
ionesysus (f + g)(x) b)(f · g)(x)
4.Dadaslasfun
iones 2 − x
3x − 6
,
al
ulaysudominio. (f · g)(x) f(x) =
rae)spe
tivosdominios: realizalassiguientesopera
)(f/g)(x) 2.Sif(x) = √x + 1 yg(x) = x + 1,averigua(f/g)(x) 3.Dadaslasfun
iones ysudominio. f(x) =
,
al
ula(f +g)(x),(f −g)(x) yf/g)(x) 5.yDasduassdloamsifnuino
si.onesf(x) = √x + 3 yg(x) = √25 − x2,
6.Hala.ysusdominios. yysudominio,siendo:
√x + 1
2x
al
ula,,,(f + g)(x)(f − g)(x)f/g)(x)f · g g ◦ ff + g yg(x) =
√x + 1 − 2
x + 1
3 + x
x2 − 3x
yg(x) =
3x − 5
x2 − 4x + 3
7.Dadaslasfun
iones:
six ≥ 2 f(x) =
8.Dadaslasfun
Cal
ulayiosnuesdominio. six 2 f + g f(x) =


−x2 + 1 six ≤ 0
1 − x
2
six 0
y g(x) =


2x + 1 si
x −2
2 −2 ≤ x 2
1
5 − x
f(x) = √x − 1 y g(x) =
ompuesta
ong 9.Hala ysudominio. (f ◦g)(3) siendof(x) =


x + 1 si
x −1
2 + x y
al
ulag◦f yf ◦g 10.dAompairntiiors.delossiguientesparesdefun
ioneshala y,así
−1 ≤ x ≤ 2
1
5 y+ x
a) ,indi
omosusrespe
tivos g ◦ f f ◦ gandosusdominios. f(x) = 2x2 + x − 3 yg(x) =
2 − x
11.Siyx + 1
,
b)yf(x) = √x2 + 1 g(x) = 3 f(x) = 2x−x2 g(x) = √x − 2yg(x) = √2x − 1,
al
ulaf
al
ulag ◦ f yf ◦ g 12.saEe)xopbressearvlaa?s¾sEigsuiseinemtepsrfeunp
oisoinbeles
3 − x2
x + oommpoo
1
b)noemrpfuonsi
iioónnesd?efuyn,
aiosín
eos,miondsiu
sanredsopées
ttaivsoúsldtiommaisn:ios.¾Qué h(x) = 5√x + 5 h(x) = √x2 + 3
yg(x) =
x − 1
2
1
x + 1
)h(x) = 5x4 + 2x2 + 6 23

14.Dadaslasfun
13.Dadaslasfun
iones iones,determinarparaque. f(x) = 3x − 7 g(x) = 2x + kk f ◦ g = g ◦ f1
f(x) =
ioaresipnovndeerns
x2 − 1
iaainversarespe
todela
omposi
ióndelassiguientesfun- f(x) =
yg(x) = √x + 2,es
ribelos
riteriosydominiosdelasfun
iones:
15.Halalasfun
a) ),,iones
,yompuestas ,y. ysiendo: b)y5.216..C
ai)aoCln
f · gf(f(euoslaryrssieuesdspopmooisnnibidole:e,lna
yd)yf/gg ◦ ff ◦ gg ◦ g f ◦ fg ◦ f f ◦ g x) = x2 g(x) = ln x f(x) = ex g(x) = ln(x + 1)
x) = log2 x g(x) = (√2)x f(x) = 2x g(x) = log4 x 1 − 3x
6
b)f(x) =
3 − x
4 + 5x
)f(x) =
7 − x
x d)f(x) = −3x2 + 27 e)f(x) = x2 − 2x f)f(x) = √3 x − 2 17.aH)alalainversadelassiguientesfun
ionesysudominio: f(x) = log2(x + 1) b)f(x) = 2x+1
)f(x) = ln√x − 1 d)f(x) = ex2−1 e)f(x) = 2 + 3x f)f(x) = 2 · 3x−1 g)y = log2 3x − 1 h)y = 3x+2 i)y = 2 + log3 x j)y = 1 − 2x+3 k)y =
5 18.Dadaslasfun
ionesf(x) = log2(x2 − 3),g(x) = 1 + 2x yh(x) = log3(2x − 3)a) ,hala: (g ◦ f)(x) b)(g ◦ h)(x)
19.Halala
a) e)omposi
ióndef)log4(x − 1)
yenlossiguientes
2
g))d)h)(f ◦ g)(x) (h ◦ g)(x) (h ◦ f)(x) (f ◦ h)(x) (f ◦ g−1)(x) (h ◦ g−1)(x) f g l)y = 1 − log3
x
5 m)y =
4 − 3 log(x2 + 4)
20.Ha)alala
asos: b)f(x) = cos 2x; g(x) = arc cos x f(x) = sen 2x; g(x) = arc cos x oresponden
iainversadelasfun
iones: f(x) = sen
x
2
b)f(x) = √1 − sen x
)f(x) = cos(x + 1) d)f(x) = arc sen x2 21.Dadaslasfun
ionesf yg.Cal
ula(f+g)(x),(f−g)(x),f/g)(x),1/f,f−1,g−1 yg◦fsau)sdominios: ,espe
i
ando f(x) =
e)2
2
, g(x) =
x
x − 3
, g(x) = x2 + 3 f(x) = x2 − 4, g(x) =
b)f(x) =
24
1
x + 2
1
x + 1 , g(x) = x2 − 5
)f(x) = √x, g(x) =
1
√x
d)f(x) =
x − 1
x + 1
x + 1
1 − x
f)f(x) =
2
x − 2
, g(x) =

TLeímmait6edefun
iones.Continuidad 1.aC)al
ulalossiguienteslímites: l´ım
x→2
(3x2 − x + 5) b) l´ım
(x2 + 1) e)l´ım
x + 1
x − 2 g)l´ım
i)(3x − 1)
x→+∞
x3 + x2 + 2 l´ım
) l´ım
x→−∞
(−x2 + 5x + 7) d) l´ım
k)x→−∞
3x4
x3 + x2 l´ım
m)x→∞
x3 + 5x2 + 3x − 9
x3 + 7x2 + 15x + 9 l´ım
2x + 1
x − 2
f)l´ım
x→2+
ñ)x→2
l´ım
1
2x − 4
h)l´ım
x→2
x3 − 6x2 + x + 14
p)x→1
x4 − 1
x2 − 1 l´ım
x3 − 6x2 + 6
x4 − x3 + x − 1
j)l´ım
x→0
r)x→5
3x3 − 4 l´ım
x2 − 25
x2 − 5x
l)l´ım
x→−3
t)x→1
l´ım
x4 − 6x2 + 8x − 3
x4 − 2x3 + 2x − 1
n)l´ım
x→2

x − 2
x2 − 4 −
x2 − 4
x − 2
2.Ca)al
x→∞
x2 − 6x + 8
x2 − 2
o) l´ım
x→−∞
x→∞
x5 − 1
x7 − 1
q)l´ım
x→∞
2x3 − 3x + 5
x→2
s
x2 + x − 6
x2 − 3x + 2
s)l´ım
d)l´ım
x→2

x − 2
x + 3 ·
1
x2 − 5x + 6
e) x→∞
√x + 8 − √2x + 7
√x + 3 − √3x + 1 l´ım

x2 + 4
1 − x ·
x + 3
x2
u)l´ım
f)l´ım
x→0

x5 − 7x3 + 2x2
3x4 + 6x2
x→0
g)x
1 − √x + 1
l´ım
b)l´ım
3.Ca)al
x→3
(√x + 3 − √x + 2) √x + 1 − 2
x − 3
) l´ım
x→+∞
p
x2 + 1 − x
x→1
x→+∞
p
x2 + 1 −
p
x2 − 1
x→∞
p
x3 − x2 + 1 −
p
x3 − x
(
e)x→∞
√4x2 − 7 − √4x + 1
√2x + 5 − √x + 7 l´ım
p
x2 − 2 − x) h)l´ım
x→∞
x→∞
2√x2 + x + 3 √3 x3 − 1
4x2 − 4x
b)l´ım
25
x→∞
√2x + 1 − √x + 1
√x2 + 4 − √x + 4 √4x4 + 2 + 3√x2 + x
√2x2 − x + 1 + √x4 − 1
)l´ım
x→∞
x√x2 − 1 + x2
√x4 − 4 + 2
d)l´ım
x→2
x→1
√x2 − 1 − √x − 1
√x + 3 − √2x + 2
f)l´ım
x→0

4.aC)al
x→±∞
e)
4x + 1
x l´ım
g)2x
x−1 l´ım
x b)l´ım
x→∞

4x + 1
2x2
x2
)l´ım
x→∞

x − 2
x + 1
2x d)l´ım
i) x→∞
x+5 l´ım

x2 + 1
x2 − 2
5.aC)al
x→∞
x s
x + 1
x − 1
!x f)l´ım
x→1

2
x + 1
1
d)x→∞
l´ım

2x + 1
2x − 3
1−x h) l´ım
x→+∞

3x + 2
x + 1
6.aC)al
x→+∞
log x2
3x + 1
5x − 3
x+3 j)l´ım
x→∞
ln

x + 1
x
ulalossiguienteslímites:
l´ım
log1/2(x) + log2
x→+∞
f(x) f) l´ım
1
k)Lase
ua
ionesdelasasíntotas
g)x
h)i)j)f(x) f(0) f(−1) Dom(f) Im(f) b)l´ım
x→0+

log1/2(x) + log2
1
x

)l´ım
x→0
ln

x2 + x
x
x→1+

log1/2(x − 1) +
2x + 1
x + 1
e)l´ım
x→∞
ln

x + 1
x
x f)l´ım
x→1
ula: l´ım
x→−∞
f(x) b)l´ım
x→−2
f(x)
)l´ım
x→−1
f(x) d)l´ım
x→0
f(x) e)l´ım
x→2
x→+∞
1 7.Ca)al
ularlossiguienteslímitesenlospuntosenqueseindi
an: f(x) =

8.Hala enx = 0 l´ım
x + 1 six ≥ 0
−x + 1 x 0
enx = 0 b)f(x) =


x2 six 2
0 x = 2
x + 2 six 2
enx = 2
)f(x) =


2 six 3
x − 1 3 ≤ x 5
−x − 3 six ≥ 5
enx = 3 yx = 5 d)f(x) =


x2 + 1
x + 2
six ≥ 0
3x + 2 six 0
x→1
f(x),l´ım
x→2
f(x),l´ım
x→+∞
f(x) yl´ım
x→−∞
f(x),siendo:f(x) =


3x − 5 six ≤ 1
x2 − 1
x2 − 3x
six 1 26

9.Halal´ım
six ≥ 1 10.Halak Paraquel´ım
3
7 11.Cal
ulalasasíntotasdelassiguientesfun
iones aas)íntota: yestudialaposi
x→0
ióndelagrá
a
onrespe
toala f(x) =
f(x),l´ım
x→1
f(x),l´ım
x→+∞
f(x) yl´ım
x→−∞
f(x),siendo:f(x) =


x2 − 1
2x − 2
six 1
√x + 1
2
x→2
x3 − 4x2 − x + 4
3x3 + kx2 + 2x − 2
= −
2x2 − 8
x2 + x − 6
b)f(x) =
x
x2 − 4
)f(x) =
x3 + x2 + x + 1
−x2 + x + 2 d)f(x) = arctan x e)f(x) =
1
),tamente
re
y
ienteen1 + ex
y(−∞, 1) Rec(f) = (−∞, 4]
f(x) 0∀x 2f(x) ≤ 0∀x 2 6∃ l´ım
f)f(x) =
3
x − e−x g)f(x) =
2x2
x2 − 4
h)f(x) =
2x
13.Clasi
alospuntosdondesondis
ontinuaslasfun
x2 + 2x iones:
+ 1
f(x) i)f(x) =
3
ex 12.Raep)resentagrá
amentefun
ionesquesatisfaganlassiguientes
ondi
iones: l´ım
x→2
f(x) = −2,f(2) = 5,Dom(f) = R yRec(f) = (−2,+∞) b)l´ım
a) x→1
b)
14.Sedenelafun
iónporlaexpresión:f(x) =
f(x) = 4,f estri
x→2
1 1 PSfragrepla
ements

 0 six ∈ Z
siamenteyde
ir 1 x /∈ Z
f(x) =
15.eDnadqauélapufunnt
oisónesdis
ontinua. .Representarlagrá
oodnetinf.uaenalgúnp.uSnetop?ide: x = 2 lafun
x2 − 4
x − 2
a
b)))ED¾Enosmdinisi
iónnoestádenida.¾Esposibledenirf enx = 2 16.Sealarefsuunlt
aiónntesea
ontinuaentodalare
tareal? demodoquelafun
ión f(x) =
x2 − 3 six 2
x − 1 2 ≤ x ≤ 4
2x + 3 si4 x
a)Cal
ulareldominiode . fb)Cal
ular . l´ım


x→3
f(x),l´ım
x→2
f(x) yl´ım
x→4
f(x).27

17.Est)udLioa
laali
zoanltoisnupiudnatdosdedeladfius
no
niótinn:uidad.
2 six ≤ 0
x + 2 0 ≤ x 3
x2 − 9 six 3 18.aER)setpurdeisaénltaa
laongtriánu
idamadendtee.lassiguientesfun
f(x) =
iones
lasi
andolasdis
ontinuidades: f(x) =


e)
sie1/x x6= 0
0 x = 0 f(x) =
x + 1 six ≥ 0
x − 1 x 0
b)f(x) =


3 − x2
2
six ≤ 1
1
x
six 1
)f(x) =


x + 1 six 3
x2 3 ≤ x 4
0 six 4
d)f(x) =



ex
1 − ex
six 0
x2 + 1 six ≥ 0
f)f(x) =
(
|3 − x|
six ≤ 5
ln e2 six 5 19.Lafun
iónf(x) =
x2 − 1
x − 1
noestádenidaenx = 1.Halak demodoquelafun
ión
f(x) =


x2 − 1
x − 1
six6= 1
k six = 1
sea
ontinua.
20.Ídemparalafun
iónf(x) =
ontinuaenx = 122.qCuaél
tuilpaordelevdailso
rondteinuidadpresentaendi
ar a yb a) paraquelassiguientesfun


x2 + 3x
x − 1
six 1
k six = 1
2x + 3 x 1 21.Probarquelafun
iónf(x) =
x2 − 1
23.Coan)struyegrá
x2 + 7x − 8
sieax x ≤ 0
x2 + bx + c x 0 ,parax6= 1,f(1) = 34,noes
hopunto. ,eindi
ionessean
ontinuas?
f(x) =
x + 1 six ≤ 1
3 − ax2 x 1
b)f(x) =

x2 + ax six ≤ 2
a − x2 x 2
)f(x) =
b)
f(x) = 2; f−1(0) = {0, 2} Dom(f) = R − {0, 2}; Rec(f) = [−∞, 0) ∪ {1} ∪ (3,+∞); l´ım
eax six ≤ 0
x + 2a x 0
d)f(x) =

asque
umplanlassiguientes
ondi
iones: Dom(f) = R; Rec(f) = [−1,+∞); l´ım
f(x) = 1 24.aE)studiala
ontinuidaddelassiguientesfun
f(x) = 3; l´ım
x→−∞
iones
lasi
x→+∞
andolasdis
ontinuidades: f(x) =
f(x) = +∞; f(3) = 3;
l´ım
x→3
28
f(x) = 0;
x→−∞
2x2 − 5x + 2 l´ım
x→+∞
f(x) = 1 l´ım
x→0
f(x) = ∞; l´ım
x→2−
f(x) = 3; l´ım
x→2+
x + 1
x2 + 1
b)f(x) = |x|
x
)f(x) =
3x + 5

d)f(x) = √x − 5 e)f(x) = x3 + 5x − 3 f)f(x) = |x − 1| + |x − 4| g)f(x) =
j)k)h)i)1
f(x) = ln(1 cos x) f(x) = ln(1 + ex) 2 − ln x
− f(x) = sen(x2 + 2) f(x) = arctan
1
x
l)f(x) = cos(sen x2)
29

SÁulmgeabradelímites
Produ
l´ım
f(to
x) L L x→a
+∞ −∞ +∞
l´ım
g(x) M x→a
±∞ +∞ −∞ −∞
l´ım
(f(x) + g(x)) L +M L ±∞ = ±∞ +∞+∞ = +∞ −∞−∞ = −∞ ∞−∞ =? x→a
Co
liente
´ım
f(x) L L= 60 ∞ 0
x→a
l´ım
g(x) M x→a
∞ ∞ ∞
l´ım
(f(x) · g(x)) L ·M L ·∞ = ∞ ∞·∞ = ∞ 0 ·∞ =? x→a
Poten
l´ım
f(x) L L6= 0 L x→a
∞ 0 ∞
l´ım
g(x) M6= 0 0 ∞ M 0 x→a
∞
f(ia
x)
L
L
L
0
l´ım
= ∞
= 0 ∞
= ∞
=? x→a
g(x)
M
0
∞
M
0
∞∞
=? l´ım
x→a
f(x) L L6= 0, 1 L6= 0, 1 0
l´ım
x→a
g(x) M +∞ −∞ M6= 0
l´ım
x→a

f(x)g(x)

LM L+∞ =

+∞
siL 1
0 0 L 1
L−∞ =

0 siL 1
+∞
0 L 1
0M =

0 siM 0
+∞
M 0
l´ım
x→a
f(x) 0 0 +∞ +∞ +∞
l´ım
x→a
g(x) +∞ −∞ M +∞ −∞
l´ım
x→a

f(x)g(x)

0+∞ = 0 0−∞ = +∞ (+∞)M =

+∞
siM 0
0 M 0
(+∞)+∞ = +∞ (+∞)−∞ = 0
l´ım
x→a
f(x) 0 +∞ 1
l´ım
x→a
g(x) 0 0 ∞
l´ım
x→a

f(x)g(x)

00 =? (+∞)0 =? 1∞ =? 30

ITnetmraod7u
iónal
ál
ulodiferen
ial. Derivadas
7.11..ApDli
eandnoil
aidóenni
dióenddeedreriivvaaddaadeunafun
iónenunpunto,
al
ulaladerivadaenx = 3 lafun
ión para f(x) = 5x2 − x + 22.Cal
ula,laderivadade . f(x) = x2 enx = 33.Demuestra,apli
andoladeni
ióndederiv.ada,quesif(x) = x3,enton
esf′(2) = 124.faCu)anl
iuolnaemseednialonstepluandtoesnqiu
eiósnedienddie
raivna:dadeunafun
b)iónenunpunto,lasderivadasde.lassiguientes f(x) = −3; f′(2) f(x) = −
)f(x) = 3x2 − 2x + 2; f′(−1) d)f(x) = (2x − 1)2; f′(2) e)f(x) = √x + 3; f′(6) f)f(x) =
7.25..Ea)sCtfu(doxi)na=tl|axi|n
g)ountiidnuaiddadyyddereivraibviblai)dbadildiedlaasdsiguientesfun
h)5
; f′(1)
x
; f′(0) f(x) = ln(x + 1); f′(1) f(x) = ln x; f′(2) iones: 2
f(x) = √3 x
x2 + 1
d))f(x) = x|x| f(x) =
−x2 six 0
x2 0 ≤ x ≤ 3
6x six 3 6.Doa,)iesnis
oansodnereigvaatbivleos,ldais

fuuánn
itoonveaslesingulaiesndteesrivenadlaosslpautnertaolsesq.ueseindi
an.Daelvalordeladerivada f(x) =
x2 − 2x six ≤ 1
x − 2 x 1
e)f(x) =



3x − 1 six 2
x2 − x + 3 x ≥ 2
b)enx = 2
f(x) =
x2 − 1 six ≤ 1
2x − 2 x 1
enx = 1
)f(x) =

3x − 2 six ≤ 1
x2 x 1
enx = 1 d)f(x) = |x2 − x − 6|
enx = −2 yx = 3 7.Cal
ulaa yb a) paraquelafun
iónseaderivableentodo: R
f(x) =
ax2 + b si x ≤ 2
x2 − bx − 4 si x 2
b)f(x) =
31

ax + 5 si x ≤ 2
bx2 + x − 1 si x 2

)
ax + 4 si x ≤ 1
bx2 + x − 3 si x 1
d)
a/x si x 1
x2 + bx si x ≤ 1 e)
2ax + 4 si x ≤ 2
b/x si x 2 8.Estudialaderivabilidaddelafun
iónf : R −→ R denidapor:
2x + a si0 ≤ x 1
x2 + b 1 ≤ x 3
6x + c six ≥ 3 a)Estudiasies
ontinuaen7.310..Ca)abFl)
f(x) =
uuElnast
luaidsoiafunsnie
eisosnddeesreidvreairbvivleaadpdaasaradseesloassvsaipglaourriaeens.te,y. [0,b)+∞)a=s:1b = 2 c = 3f(x) = x4 f(x) = x−2


x
1 − |x|
six6= −1 yx6= 1
0 six = −1 ox = 1 9.Sealafun
iónf : [0,+∞) −→ R denidapor:
f(x) =


)f(x) = √3 x2 d)f(x) = 2x4 − 3x3 + x2 − 7 e)f(x) = 6x3 + 5x2 − 1 f)f(x) = 5x4 + 2x2 − 5x g)f(x) =
m)o)n)k)ñ)l)1
x5 2
+
5
3
x−3 f(x) = (x2 − 1)(x3 + 3x) f(x) = (x3 + 1)(x + 2) f(x) = (x2 − 3)(x2 + x − 1) f(x) = (2x3 + 3)x−2 f(x) = x−4(x + 2) f(x) =
x3 − 8x h)f(x) = 3x−2 +
1
x
i)f(x) =
1
x2 + x−3 + 2x−1 j)f(x) = 4x−4 + 2x−2 +
1
3
x3 − 3
5
p)f(x) =
1
x2 − 2x + 1
q)f(x) =
x2 − 2
x3 + 3x2 r)f(x) =
g)2x + 1
2x − 1
h)i)
−2 f(x) = (x2 − 3)5 f(x) = (e2x + 3)4 f(x) =
s)f(x) =
x3
x − 3
t)f(x) =
x2 − 1
x + 4 11.Ca)al
ulalasfun
ionesderivadasdelassiguientesfun
iones: f(x) = x · 4x b)f(x) = sen x + cos x
)f(x) = sen x + 2ex d)f(x) = 3x · ln x e)f(x) = (2x3 + x)4 f)f(x) =
j)o)m)k)n)p)q)ñ)l)
1
x−2 +
x
ex
x f(x) = x2 · 2x · a2x f(x) = sen 4x f(x) = sen4 x f(x) = sen x4 f(x) = tg 2x2 f(x) = ln(cos 2x) f(x) = arc tg√x f(x) = ecos x f(x) = ln
12.Ca)al
r)t)1 − x
1 + x f(x) =
f(x) = ln(tg(1 − 2x) )r
32
f(x) = (sen x)x ulalasfun
r
ionesderivadasutilizandoladeriva
iónlogarítmi
a: 1 + sen x
b)1 − sen x
f(x) = xx f(x) = (√x)√x
s)f(x) = ln

cos
x2
2

d)f(x) = (ln x)lnx e)f(x) = (√x)tg x f)f(x) = (tg x)√x g)f(x) = (cos x)sen 2x h)f(x) =
14.aO)bténlasderivadasn-ésimasdelassiguientesfun
)
1
x +
d)x
f(x) = sen 3x f 10)(x) f(x) = ln(x + 2) f 5)(x) x i)f(x) =

arc sen x2
13.aC)al
ulalasderivadassu
esivasqueseindi
an: b)2x f(x) = 23x ′′′
f
(x) f(x) =
2
x − 1
f 4)(x)
iones: f(x) = ln(x − 1) b)f(x) = ex + e−x
)f(x) =
1
x2 15.aC)al
ulalasfun
ionesderivadasdelassiguientes: y =
d)e) x4
+
2
√y = 3 x2 √√+ 6 x + 4 x3 y =
x3
3 − 5x + 2 b)y = 3x−2 + 2x−3 − 5x−1
)y = 5

1
x2 +
1
x3
x2 + x
3
f)y =
x + 1
x − 1 g)y = √x2 + 1 h)y = (x2 + 1)10 i)y =
j)k)(1 − x)3
(1 + x)4 p
y =
x + √x y = 3
o)s
1 − x
1 + x2
y = ln
l)y =
1 + ex
1 − ex m)y = ln(ln x) n)y = ln(1 − x2)2 ñ)y = ln

1 + x
1 − x

1 − √x
1 + √x
p)y = x · sen x q)y =
ex + e−x
e−x 16.aC)al
ulalasderivadasdelassiguientesfun
iones: y = sen x2 + sen2 x + sen 2x b)y = (1 + cos2 x)3
)y = ex cos x d)y = ln
m)1 + sen x
1 − sen x
n) y = arc sen√1 − x2 y =
e)y = ln(cos2 ex) f)y =
x
ln x g)y =
o) tg x
x
y = arc tg
h)y = arc tg
1 + x
1 − x
i)y =
1 + tg2 x
1 − tg2 x j)y = arc sen
x
2
k)y =
1
r)√3 arc cos x
x + 1
x − 1 y = arc tg
l)y = arc tg

1 + ex
1 − ex
ex
arc tg x
ñ)y = arc sen

1 − x2
1 + x2

1 − cos x
1 + cos x
p)y = arc sen

2x√1 − x2
q)y = arc tg
s

e2x + e−2x
e2x − e−2x
33

RSEumGaL/ADSifePrAenR
iAaELCÁLCUPLroOduD
tEoFUNCIONESDCEoR
ieIVntAeDAS
v2 Constanteporfun
ión Composi
ión Re
ordatorio
FunF
y = UióNnCIONDEeSrivEaLdEaMENTALES u ± v ⇒ y′ = u′ ± v′ y = u · v ⇒ y′ = u′ · v + u · ióFnUNCIDOeNriEvSadCaOMPUESTAS
v′ y =
Fun
1
sen2 x u
v ⇒ y′ =
u′ · v − u · v′
y = k · u ⇒ y′ = k · u′ y = (u ◦ v)(x) = u(v(x)) 1 + tg2 x = sec2 x =
1
cos2 x
⇒ y′ = u′(v(x)) · v′(x) 1 + cotg2 x = cosec2 x =
y = k y′ = 0
y = xn y′ = n · xn−1 y = un y′ = n · un−1 · u′
y = √x y′ =
1
2√x
y = √u y′ =
u′
2√u
y = n√x y′ =
1
n n√xn−1
y = n√u y′ =
u′
n n√un−1
y = loga x y′ =
1
x · loga e y = loga u y′ =
1
u · loga e · u′ a 0
y = ln x y′ =
1
x
y = ln u y′ =
1
u · u′
y = ax y′ = ax · ln a y = au y′ = u′ · au ln a
y = ex y′ = ex y = eu y′ = eu · u′
y = sen x y′ = cos x y = sen u y′ = u′ · cos u
y = cos x y′ = −sen x y = cos u y′ = −u′ · sen u
y = tg x y′ = 1 + tg2 x = sec2 x y = tg u y′ = u′(1 + tg2 u) = u′ · sec2 u
y = cotg x y′ = −(1 + cotg2 x) = −cosec2 x y = cotg u y′ = −u′(1 + cotg2 u) = −u′ · cosec2 u
y = cosec x y′ = −cosec x · cotg x y = cosec u y′ = −u′ · cosec u · cotg u
y = sec x y′ = sec x · tg x y = sec u y′ = u′ · sec u(x) · tg u
y = arc sen x y′ =
1
√1 − x2
y = arc sen u y′ =
u′
√1 − u2
y = arc cos x y′ = −
1
√1 − x2
y = arc cos u y′ = −
u′
√1 − u2
y = arc tg x y′ =
1
1 + x2 y = arc tg u y′ =
u′
1 + u2
1 + x2 y = arccotg u y′ = − u′
1 + u2
y = arccotg x y′ = − 1
y = arcsec x y′ =
1
x√x2 − 1
34
u′
y = arcsec u y′ =
u · √u2 − 1
u · √u2 − 1 y = arccosec x y′ = − 1
x√x2 − 1
y = arccosec u y′ = − u′

TAepmlia
a8
ionesdelasderivadas oMbliCPégaaottrmooarodihonaoo
seermgprualaiargrreeaelnpmerrreiasselmepneostrtaou
erdidósiaenenrneg,mrntáioase
rsaytu
dudaeinla
uruanltaaorfdefuuomnsno
lsio
ó:sniópsanesgousirqeumeosseeinldsii
gaunie.nteesquema,aunquenoes 123...PCDuoonnmttiionnsuiodi.dea
dorytedser
iovnabliolsideajde.s: a)Corte
onelejeOX:
b)Corte
oneleje :ledamosaal
ulamoslosvaloresdey
paralos
uales. x y = 0OY x = 0 al
ulamoselvalor
orespondientedey4.Siam)eStiría: . f(x) = f(−x)b)oSridenadas. ,diremosquelafun
iónesparyserásimétri
a
onrespe
toalejede f(x) = −f(−x)5.Signo
oodredelnaafduans.
iónL,odsirinemteorvsaqlousedlaonfduen
iónesimparyserásimétri
arespe
toalorigende f valoresde espositivaonegativavienendeterminadosporlos x queveri
anf(x) = 0 6.Aas)ínAtostínatsotasverti
ales:sonlasre
ytapsorlasdis
ontinuidadesdelafun
ión. x = a que
umplenunadeestas
ondi
iones:
b)CAosínnvtioetnaeshhaolrliazroneltasliegsn:osodnellainsrnei
ttoasparasituarlagrá
l´ım
f(x) = ±∞ x→a−
que
umplenunadeestas
a
onrespe
toalaasíntota. ondi
iones:
y = b f(x) = ±∞ o l´ım
x→a+
l´ım
x→−∞
f(x) = b o l´ım
x→+∞
f(x) = b
)Asíntotasobli
uas:Sonlasre
tasy = mx+n que
umplenunodeestosparesde
ondi
iones:
m = l´ım
x→−∞
f(x)
x
n = l´ım
(f(x) − mx)
x→−∞


m = l´ım
x→+∞
f(x)
x
n = l´ım
(f(x) − mx)
x→+∞


7.Monotonía.MáximOobsli
yuampíonrimlaoiszqrueileartdiavos:SeestuOdbiali
eulasipgonroldaedere
ha f′(x).Severi
a:
f(x) es
re
ienteenaquelosintervalosdondef′(x) 0.
f(x) esde
re
ienteenaquelosintervalosdondef′(x) 035 .

vLeorsim
aánximosymínimosrelativosdelafun
iónseen
uentranentreaquelospuntosx0 que f′(x0) = 0.Siademás:
f′′(x0) 0,enx0 hayunmínimorelativo.
f′′(x0) 0,enx0 hayunmáximorelativo.
f′′(x0) = 0 8.Con
avidad-
onevnetxoind
aeds.haPyuqnuteosred
ueriniraexnuióenva:sSdeeersivtuaddiaas.elsignodef′′(x)Si .Severi
lafun
iónes
a: f′′(x) 0 Lospuntosdeinexiónseen
Silafun
iónesuentranentrelosvaloresdequeveri
f′′(x) 0 x0 anf′′(x0) = 0.Si
f′′′(x0)6= 0 elpuntoesdeinexión.Sif′′′(x0) = 0 9.bTaasbtalapdareavealloor
eosn:sAtruvier
uesnaesta
obnlave
noinenltoes
paul
nutolasrqaulgeu
nrsoeeasmevsaotlusodr
eioasnnmveláanssieddneetreliav
afaudl
nau
sliaósurn.
pesairvaast.razarla,
f(x) = x4 − 2x2 1.Dominio:Esunafun
ióndetipopolinómi
a,yportanto,sudominiosontodoslosnúmerosreales.
23..PCauo)nnttCionosurtdiede
ao
dnoryetledesejer
iovnabloilsideajde:sAlserpolinómi
Dom(f) = R :ha
emos aes
ontinuayderivableen. ROXy = 0
x2 = 0 =⇒ x = 0
x2 − 2 = 0 =⇒ x2 = 2 =⇒ x = ±√2 Puntosde
ortes
onOX:(0, 0),(√2, 0),(−√2, 0)b)Corte
oneleje . OY ha
emos : x = 0 =⇒
tenemoselpunto(0, 0) 4.Simetría:f(−x) = (−x)4 − 2(−x)2 = x4 − 2x2 = f(x) =⇒
ejedeordenadas.Bastaestudiarlaenelintervalo lafun
(
5.Signodelafun
x4 − ión: 2x2 = 0 =⇒ x2(x2 − 2) = 0
. iónessimétri
a
onrespe
toal Signode(0,+∞)f
+ − − + Tenomesatmeo
assuonppournsteordseim
aédtrai
iant
eorvnarloesppaer
atovearleeljesignoquetomalafun
iónendi
hointervalo,aunque OY lapartepositiva. ,bastamirarlosintervalos
orespondientesa
−∞ −√2 0 √2 +∞
x = 1; f(1) = −1 0
x = 2; f(2) = 24 − 2 · 22 = 16 − 8 = 8 0 Portanto: 36

f espositivaen(−∞,−√2) ∪ (√2,+∞) f esnegativaen6.Aas)ínAtostínatso:tashorizontales: (−√2, 0) ∪ (0,√2) l´ım
i
uaalse:s:notiene. ,portantonotieneasíntotashorizontales. m = l´ım
7.Monotonía.Máximosymínimosrelativos:,portantonotieneasíntotasobli
(x4 − 2x2) = x→±∞
+∞
b))AAssíínnttoottaassovberlit
Signodex→∞
x = 0
x2 − 1 = 0 =⇒ x2 = 1 =⇒ x = ±1 f′
x4 − 2x2
x
= ∞
uas.
f′(x) = 4x3 − 4x =⇒ 4x3 − 4x = 0 =⇒ 4x(x2 − 1) = 0
(
−∞ −1 0 1 +∞
− + − +
x = −2; f′(−2) = 4(−2)3 − 4 · (−2) = −32 + 8 = −24 0
x = −0,5; f′(−0,5) = 4 · (−0,5)3 − 4 · (−0,5) = −0,5 + 2 0
x = 0,5; f′(0,5) = 4 · (0,5)3 − 4 · (0,5) = 0,5 − 2 0
x = 2; f′(2) = 4 · 23 − 4 · 2 = 32 − 8 = 24 0 Portanto:
Sededu
relativopara Mínimosrelati.vosenlospuntoses
edeloanteriorquelafun
re
ienteeniónal
anzamínimosrelativosenesde
re
ienteenyyunmáximo f (−1, 0) ∪ (1,+∞) y
f (−∞,−1) ∪ (0, 1) x = −1 x = 1 x = 0(−1,−1) (1,−1). Máximorelativoenelpunto(0, 0)8.Con
avidad-
onvexidad.Puntosdeinexión. .
Signoder
12x2 12x2 x2 4
1
1
1
√3
f′′(x) = − 4 =⇒ − 4 = 0 =⇒ =
=
=⇒ x = = = 12
3
±
3
±
√3
±
3 f′′
−∞ −√3/3 √3/3 +∞
x = −1; f′′(−1) = 12(−1)2 − 4 = 12 − 4 = 8 0
x = 0; f′′(0) = 12 · 02 − 4 = −4 0
x = 1; f′′(1) = 12 · 12 − 4 = 12 − 4 0 Portanto:
+ − +
37

Sededu
Enes
edeloanteriorquepara f x = −
Puntosdeinexión: lafun
Tra9z.amTaobsllaagdreáv
−∞,−
aalo
roensloEsndeasttoes
oabsotennoideoss:ne
! √3
3
!
∪
ióntienepuntosdeinexión.
−
√3
!
3
,+∞
f es
esario

al
ularotrosvaloresdelafun
ión.
En
−
√3
3
,
√3
3
!
√3
3
yx =
√3
3
√3
3
, −5
9
! y √3
1
3
1 2
, −5
9
-
-
PSfragrepla
ements
p3/3 p3/3
p2 p2
−
5/9
−1
−1 −2
y = x4 − 2x2
f(x) = x3 + x2 − x − 1 1.Dominio:Esunafun
ióndetipopolinómi
a,yportanto,sudominiosontodoslosnúmerosreales.
23..PCauo)nnttCionosurtdiedea
odonryetledseejre
iovnabloilsideajde:sAlserpolinómi
Dom(f) = R aes
ontinuayderivableenR. OX:ha
emos y = 0;x3 + x2 − x − 1 = 0genraedsot,eb
uass
oasmoonsprimerolasraí
esenterasentrelosdivisores.dAelltséerrmuinnoaien
dueap
einóndiednetet,erq
ueer 1 y
−1.
13 + 12 − 1 − 1 = 0 =⇒ x = 1 esraízdelpolinomio. Dividimosx3 + x2 − x − 1 = 0 entrex − 1 yloha
emosapli
andoRuni.
1
0 38
1 1 −1 −1
1
1
2
2
1
1

Portantolasotrasraí
eslasobtenemosderesolverx2 + 2x + 1 = 0
b)Corte
Puntosde
one
loretjees
2 √4 4
2
x = −± − = −= 1 2
2
−onOX:(1, 0) y(−1, 0). OY ha
emos : x = 0 =⇒
obtenemoselpunto(0,−1) 4.Simetría:
f(−x) = (−x)3 + (−x)2 − (−x) − 1 = −x3 + x2 + x − 16= f(x) =⇒
Lafun
iónnoespar.
−f(−x) = −[(−x)3 + (−x)2 − (−x) − 1] = x3 − x2 − x + 16= f(x) =⇒
5.Signodelafun
ión: lafun
iónnoesimpar. Signodef
Tomamosunpuntode
adaintervaloparaverelsignoquetomalafun
−∞ −1 iónendi
1 hointervalo.
+∞
− − + x = −2; f(−2) = (−2)3 + (−2)2 − (−2) − 1 = −8 + 4 + 2 − 1 = −3 0
x = 0; f(0) = −1 0x = 2; f(2) = 23 + 22 − 2 − 1 = 8 + 4 − 2 − 1 = 9 0 Portanto:
f espositivaen(1,+∞) f esnegativaen(−∞,−1) ∪ (−1, 1) 6.Aas)ínAtostínatso:tashorizontales:Notieneasíntotashorizontales,pues:
(x3 + x2 − x − 1) = −∞ b))AAssíínnttoottaassovberlit
7.Monotonía.Máximosymínimosrelativos: ,portantonotieneasíntotasobli
uas. f′(x) = 3x2 + 2x − 1
(x3 + x2 − x − 1) = +∞ l´ım
l´ım
x→+∞
x→−∞
i
uaalse:s:notiene. m = l´ım
x→∞
x3 + x2 − x − 1
x
= ∞
Signode3x2 −2 ± √4 + 12
2 4
+ 2x − 1 = 0 =⇒ x = = −± =
6
6
= −1 f′


−2 + 4
6
=
2
6
=
1
3
−2 − 4
6
= −6
6
−∞ −1 1/3 +∞
Portanto: + − +
x = −2; f′(−2) = 3(−2)39
2 + 2 · (−2) − 1 = 12 − 4 − 1 = 7 0
x = 0; f′(0) = −1 0
x = 1; f′(1) = 3 · 12 + 2 · 1 − 1 = 3 + 2 − 1 = 4 0

f es
re
ienteen(−∞,−1) ∪
para Sededu
Mínimo.relativoenelpuntoedeloanteriorquelafun
iónal
anzaunmínimorelativoenyunmáximorelativo x =
x = −1

1
8.Con
avidad-
onvexidad.Puntosdeinexión. 3
,+∞
. Máximorelativoenelpunto.
(−1, 0)f esde
re
ienteen
−1,
1
3
1
3
1
3
, −32
27
Signode2
f′′(x) = 6x + 2 =⇒ 6x + 2 = 0 =⇒ x = −6
3 f′′
= −1
x = −1; f′′(−1) = 6(−1) + 2 = −6 + 2 = −4 0
x = 0; f′′(0) = 2 0 PortEannto:
−∞ −1/3 +∞
− +
Puntosdeinexión: ylafun
Tra9z.amTaobsllaagdreáv

1
∞, aalo
−3
roensloEsndeasttoes
oabsotennoideoss:ne
f es En
ióntieneunpuntodeinexión.
−1
3
,+∞

−1
f es
Sededu
edeloanteriorqueparax = −1
3
3
, −16
27
esario
al
ularotrosvaloresdelafun
ión.
PSfragrepla
ements 1
1/3 - 1/3
1 2
−1
−2
−2
−3
y = x3 + x2 − x − 1
−
16
27
40
32
27
−

1.Dominio:Esunafun
queanulanaldenominadord.eEtnipeostrea
x
ión aiosno,al.Sudominiosontodoslosnúmerosrealessalvoaquelos f(númerosreales. x) =
nun
aes
eroyportantoeldominiosontodoslos
x2 + 1 x2 +1 2.
3.Pau)ntCoosrCaoson,tiennuidadyderivabilidad:Alserra
tde.e
o
noretleesje
ionales
ontinuayderivableensudominio,ennuestro Dom(f) = R Ronlosejes OX:ha
emos y = 0
= 0 =⇒ x = 0. Puntosde
ortes
onOX:(0, 0)b)Corte
oneleje , OY ha
emos : x = 0 =⇒
obtenemosnuevamenteelpunto(0, 0) 4.Simetría:f(−x) = −x
5.S
oingnroespdee
tloaafluonr
igióenn.: lafun
x
x2 + 1
iónesimpar,yportantosimétri
a Signodex
= −= f(x) (−x)2 + 1
x2 + 1
−=⇒
f
Tomamosunpuntode
−∞ 0 iónendi
hointervalo.
+∞
− + 0 Portanto:
6.Aas)ínAtostínatso:tashorizontales:espositivaen1
1
x = 1; f(1) =
=
esnegativaen 0
12 + 1
2
f (0,+∞) f (−∞, 0) l´ım
1
1
bo))nAAotssoíínnnttooíatt.aassMovbeárlxit
ii
muaalose:ss:Aynlomtetníineenrimea.soísntroetlaahtiovroizso:ntal,notieneobli
x = −1; f(−1) ,portantolare
= −= −(−1)2 + 1
ta2
7.M
x
= 0x = 0 x→±∞
x2 + 1
ua.esasíntotahorizontal.
1 − x2
(x2 + 1)2 = 0 =⇒ 1 − x2 = 0 =⇒ x2 = 1 =⇒ x = ±1 41
f′(x) =
1 · (x2 + 1) − 2x · x
(x2 + 1)2 =
x2 + 1 − 2x2
(x2 + 1)2 =
1 − x2
(x2 + 1)2

Signodef′
−∞ −1 1 +∞
− + −
0 Portanto:
1 2)2
1 Sededu
edeloanteriorquelafun
x = −2; iónal
f′(−2) anzaunmínimorelativoen=
− (−=
− ((−2)2 + 1)2 (25)
para Mínim.orelativoenelpuntox = 0; f′(0) = 1 0
1 − 22
1 − 4
re
4
ienteen−3
= 0
25
−3
x = 2; f′(2) =
=
= (22 + 1)2 (25)
yunmáximorelativo (−∞,−1) ∪ (1,+∞) x = −1 x = 1
25
8.Con
avidad-
onvexidad.Puntosdeinexión. .
f es
re
ienteen(−1, 1) f esde
−1, −1
2
. Máximorelativoenelpunto
1,
1
2
f′′(x) = −2x · (x2 + 1)2 − 2(x2 + 1)2x(1 − x2)
(x2 + 1)4 = −2x · (x2 + 1) − 2 · 2x(1 − x2)
(x2 + 1)3 =
−2x3 − 2x − 4x + 4x3
Signode2x3 =
− 6x
(x2 + 1)3 (x2 + 1)3
x = 0
x2 − 3 = 0 =⇒ x2 = 3 =⇒ x = ±√3 f′′
2x3 − 6x
(x2 + 1)3 = 0 =⇒ 2x3 − 6x = 0 =⇒ 2x(x2 − 3) = 0
(
−∞ −√3 0 √3 +∞
− + − +
x = −2; f′′(−2) =
2(−2)3 − 6(−2)
−16 + 12
= ((−2)2 + 1)3 125
= −4
125
0
PortEannto:2(−1)3 − 6(−1)
−2 + 6
1
x = −1; f′′(−1) =
= =
0
((−1)2 + 1)3 8
2
2 x = 1; f′′(es1) =
· 13 − 6 · 1
2 − 6
1
=
= − 0
Sededu
edeloanteriorquepara(12 + 1)3 8
2
2 x = 2; f′′(2) =
· 23 ,− 6 · 2
y=
En16 − 12
lafun
=
0 (22 + 3 es(−√3, 0) ∪ (√3,+∞) f 42 1)125
(−∞,−√ 3) ∪ (0,√3) f x = −√3x = 0 x = √3 ióntienepuntosdeinexión.
4
125

Puntosdeinexión:
Trazamoslagrá
a
onlosdatosobtenidos:
−√−√3
3, 4
−3
10 !,(0, 0) y
√3,
√3
4
9.Tabxlade0valo1resC-1al
ulemosalgunosvaloresdelafun
ión!:
−√3 √3 y=f(x) 0 2 -2 3 -3 1
2
−1
2
−√3
4
√3
4
2
5
−2
5
3
10
-
1.Dquoemaninuiloan:Easlduennaofmunin
aiódnord.eEtnipeostrea
iaosnoa:l.Sudominiosontodoslosnúmerosrealessalvoaquelos
-
x − 5 PSfragrepla
ements
p3
p3
1/2
1/2
1 2
−1 −2
−3
3
y = x/(x2 + 1)
f(x) =
x2 − 5x + 4
2.C
3.Pau)ntCoosrtdee
aoson,tiennuidadyderivabilidad:Alserra
o
noret.leesje
x − ionales
5 = 0 =⇒ ontinuayderibableensudominio,ennuestro x = 5
Dom(f) = R − {5} R − {5}
onlosejes OX:ha
emos = 0
b)Corte
Puntosde
oneleje ortes
on: :x2 − 5x + 4
x2 ha
emos y . = 0 =⇒ − 5x + 4 = 0
x − 5
= 1 OX(4, 0) (1, 0)OY 4
x = 0 =⇒ y = −4.Simetría:
5 √25 16
5 3
=⇒ x =
± − =
± =
2
2
f(−x) =


5 + 3
2
=
8
2
= 4
5 − 3
2
=
2
2
5
obtenemoselpunto
0, −4
5
(−x)2 − 5(−x) + 4
−x − 5
=
x2 + 5x + 4
−x − 56= f(x) =⇒
lafun
iónnoespar.
f(−x)6= −f(x) =⇒
5.dSeigtenromidnaerllaosfiuntne
rivólaanlof:sunEd
noinóednsetneloa
efasusniom
,ipóanañram.dNaimnotohiseanyee,leppluusenisgt,nonoidn
egoundnsitasa
nsoitnmet.ienturíiad.addelafun
iónpara 43

Signodef
Tomamosunpuntode
−∞ 1 4 5 iónendi
hointervalo.
+∞
− + − + x = 0; f(0) = −4
Portanto:
5
= 10 0 0
x = 2; f(2) =
6.Aas)ínAtostínatso:tashorizontales:espositivaenesnegativaenf (1, 4) ∪ (5,+∞) f (−∞, 1) ∪ (4, 5) l´ım
22 − 5 · 2 + 4
2 − 5
=
4 − 10 + 4
−3
=
2
3
0
x = 4, 5; f(4, 5) =
(4, 5)2 − 5 · 4, 5 + 4
4, 5 − 5
=
20, 25 − 22, 5 + 4
−0, 5
=
1, 75
−0, 5
0
62 − 5 · 6 + 4
36 30 + 4
x = 6; f(6) =
=
− b)Asíntotasverti
ales: 6 − 5
1
nohayasíntotashorizontales.
lare
taeusaus:naasíntotaverti
x2 − 5x + 4
= )Asíntotasobli
x→±∞
x − 5
∞ =⇒
x2 5x + 4
l´ım
− = ∞ =
x→5
x − 5
=⇒ x = 5 

l´ım
x→5+
x2 − 5x + 4
x − 5
= +∞
l´ım
x→5−
x2 − 5x + 4
x − 5
= −∞
al. y = mx + n
7.Monotonía.Máxiemsousnayamsíníntoitmaoosblri
lare
taf(x)
eulaat.ivos:
x2 − 5x + 4
m = l´ım
= l´ım
= 1 m = 1
x→∞
x
x→∞
x2 − 5x
=⇒

x2 − 5x + 4
n = l´ım
(f(x) x→∞
− mx) = l´ım
x
=
x→∞
x − 5 − x2 − 5x + 4 x2 + 5x
4
l´ım
− = l´ım
= 0 n = 0 x→∞
x − 5
x→∞
x − 5
=⇒ =⇒ y = x f′(x) =
(2x − 5) · (x − 5) − (x2 − 5x + 4)
(x − 5)2 =
2x2 + −10x − 5x + 25 − x2 + 5x − 4
(x − 5)2 =
x2 − 10x + 21
(x − 5)2
= 3 44
x2 − 10x + 21
(x − 5)2 = 0 =⇒ x2 − 10x + 21 = 0 =⇒
=⇒ x =
10 ± √100 − 84
2
=
10 ± 4
2
=


10 + 4
2
=
14
2
= 7
10 − 4
2
=
6
2

Signodef′
−∞ 3 5 7 +∞
+ − − +
x = 0; f′(0) =
21
25
0
0 Portanto:
x = 4; f′(4) =
Sededu
8.Con
para Mínim.orelativoenelpuntoedeloanteriorquelafun
iónal
anzaunmínimorelativoenre
ienteenyunmáximorelativo avidad-
onvexidad.Puntosdeinexión. . Máximorelativoenelpunto(−∞, 3) ∪ (7,+∞) .
x = 7 x = 3(7, 9)(3, 1)16 − 40 + 21
(4 − 5)2 = −3 0
x = 6; f′(6) =
36 − 60 + 21
(6 − 5)2 = −3 0
x = 8; f′(8) =
64 − 80 + 21
(8 − 5)2 =
5
9
f esde
re
ienteen(3, 5) ∪ (5, 7) f es
nun
aseha
e
ero.Losintervalosdondef úni
amenteelpuntodonde es
(2x − 10) · (x − 5)2 − 2(x 5)(f′′(x) =
esdis
− (x − 5)4 (2x − 10) · (x − 5) − 2 · (x2 − 10x (x − 5)3 ón
x2 − avao
10x + 21)
=
+ 21)
=
onvexalovaadeterminar Signode 2x2 − 10x − 10x + 50 − 2x2 + 20x − 42
8
=
(x − 5)3 (x − 5)3
f 8
(x − 5)3
ontinua,queesel5. f′′
−∞ 5 +∞
− +
Portanto:
8
8
x = 0; f′′(0) =
= −(0 − 5)3 125
= 8 0 (6 − 5)3 0
x = 6; f′′(6) =
8
45

TrazamSeosdeladug
Enreád
ealo
oanntloersiodratqouseonbotehnaidyops:untosdeinexión. es
Enes
(5,+∞) f
(−∞, 5) f y
PSfragrepla
ements 15
15
10
10
5
−5
5
−2,5
f(x) =
x2 − 5x + 4
x − 5
46

8.11..aH)aRlael
astare
ttaasntagngeenntteeyynornmoalramlaaslsiguientes
urvasenelpuntoqueseindi
a: f(x) = −x2 + 2x + 5 x = −1 b)f(x) = x3 + 4x x = 2
)f(x) = x5 − 3x4 − 2x + 1 x = 1 d)f(x) =
x = 4 e)f(x) = ln(tg 2x) x = π/8 f)f(x) = √sen3 5x x = π/6 2.Detodaslasre
tastangentesala
urvaf(x) = ex−13.Es
ribelae
ua
ióndelare
tatangentea ,halalaquepasaporelorigende
oordenadas. y = x2 + 4x + 1 quetieneunain
lina
iónde30◦4.Halalatangenteala
urva . y =
enelpuntodeordenadax
√x2 + 9
5.Lare
tadependiente3quepasaporelpunto estangenteala
. y = 4(0,−2) urvay = x36.
Hoaolrladelnaatdaansgednetlepaunlatogdráet
aangdeen
ia. queesparalelaalare
.Cal
ulalas f(x) = x2 + 2x + 2 ta8x + 2y − 3 = 0 7.Haladosre
tasparalelasa5x − y + 10 = 0 queseantangentesay =
x3
2 − x8.dEes
armibbealsartea
ntagse.ntealagrá
ade .Es
ribelae
ua
ión f(x) = 6 ln x − 5
8
x − 3
uyapendienteseam = 39.Bus
alae
ua
ióndelaparábola . y = ax2 +bx+c queestangentealare
tay = 2x−3 enelpunto
P(2, 1) ypasaporelpuntoA(5,−2)10.¾Enquépuntolatangentealaparáb.olay = x2 − 7x + 3 esparalelaalare
tay = −5x + 311.Hala . a paraquelafun
12.Dadala
urva iónylare
ylare
taseantangentes. y = 2x2 − 3x + a y = 2x − 3 y = 3x2 + 5 14.Sehalanzadoverti
13.Lae
velo
segundosvienedadaporlaexpresióna)Halalavelo
idadenelinstante ua
ióndelespa
almenteh.a
iore
oridoporunmóvilenfun
ta.Halaiónpdaeraltqieumeplaorees
taseatangenteala
.Halala urva. b)s¾uE
nedailóg?únmomentolavelo
idadmediaenelintervalo
iaaribaunapiedra.Laalturaenmetrosal
y = 4x + omprendid.oentrekk yanzadaal
abodes(t) = 3t2 −t+ 1t = 2t e = f(t) = 20t − t2t = 0 t = 5idaddelapiedrahasidode15m/s?.Si.esasí,¾aquéaltura 8.215..aE)sMtudoianlaomtoonnoítaon.íaEdexltarsesimguioenstesrefulna
itoinveso:s f(x) =
d)b))1
f(x) = x3 − 3x2 + 1
f(x) = (x3 − 4x2 + 7x − 6)ex x
f(x) =
1
x2
e)f(x) = cotg x f)f(x) =
x2 + 1
x2 − 1 g)f(x) = x4 − 2x2 h)f(x) =
i)f(x) = ln[(x − 1)(x + 1)] 47
ex + e−x
2

16.aH)alalosextremoslo
ales(indi
ando
ualessonmáximosy
uálessonmínimos). f(x) = x3 − 6x2 + 12 b)f(x) = x4 − 2x2
)f(x) =
d)f(x) = cos x − sen x; x ∈ [0, 2π) e)f(x) = sen x cos x; x ∈ [0, 2π) f)f(x) = x4 + 6x3 + 12x2 + 10x + 8 g)f(x) = x5 + x + 1 h)f(x) =
17.aE)studialamonotoníayhalalosextremosabsolutosyrelativosdelassiguientesfun
18.Sealaparábolax2 + 1
x2 1
ab))QTiueenepausnaepxotrreemlooreignende
− enb)eniones: x2 + 1 f(x) = sen x + cos x [0, 2π] f(x) = x + 5 − 2 sen x [0, 2π] f(x) = ax2 + bx + cCurvatura.Puntosde.Dineteremxiniaólnanaturalezadelextremoanterior. oord.eDneatdearsmtiannagseuns
i
aolmee
nietentaeslasabbisieen
1
dtroi:zdelprimer
8.3. uadrante. 19.anDe)est:erminalosintervalosde
x = −0, 5on
avidady
onvexidadypuntosdeinexióndelassiguientesfun
io- f(x) =
d)b)e))1
x7 3
x4
−
x5 − 8x3 + x f(x) =
f(x) = √3 x 7
5
x2 − 1
f(x) = x3 − 5x2 + 2x − 1 f(x) =
x + 1
x − 1
f)f(x) =
21.Dadalafun
20.Dadalafun
ala
abs
enelpunto isa urvaenelpuntodeinexión ió.nión.Hala.Halaes,,yysabiendoquelafun
yquetieneunextremoenelpuntode sabiendoquelae
ua
ióndelatangente x6
x − 1 f(x) = ax3 +bx2+cx+dabc d (1, 0) y = −3x + 3 x = 0f(x) = ax3+bx2+cx+dabc d ióntieneunmáximo (0, 3),unmínimoparax = 2 yunpuntodeinexiónen(1, 1)8.4. Representa
ióngrá
adefun
iones . 22.Raeb
p)))rePCDsuooennnmtttiiaonnsiugodridáedae
d
oad.rmeteesnni
t
oeiónlnal.sossiegjueise.ntesfun
iones
al
ulando: a)h)Curvaturaypuntosdeinexión. dgef))))SSAMiisgmoínnneototo.trtoíaan.sí.a.Máximosymínimosrelativos. b)y = x3 − 3x + 2 y =
d)5x + 8
x2 + x + 1
9 y =
)y =
x4 + 4x3
x2
x2 − 4x + 3
e)y =
x2 − 1
x
f)y =
x3 + 4
x2 48

PSfragrepla
23.¾Cuáldeestasgrá
deabs
ementsa) isa
.Razonalarebsp)uesta.
as orespondenaladerivadadeunafun
) iónquetieneunmáximoenelpunto d)
x = aa a a PSfrag2r4e.pAelaxs
poel
mi
iaaen
aitósn
aa.)daunadelasfun
Y Y Y Y a
X X
X
X
bi)onesquesedibu
j)anlaquese
reesd)suderivada,dandoalguna
Y Y Y Y
1) 2) 3) 4) 25.Otfuabnqs
euiórevnalalsasrieg
X a
aiosmymaissepuenatñhdoaaendrrieevmpalardaeras
feausndnetog
X
aiuóenunndnlaaea.nfgEurlnoxás--- PSfragrepla
ements
utaiesntteragzraáda
sa.sTonentieanndgoenetnes
uaenla- f(x),halaf′(−2) yf′(4).
X
X
X
X
X
X
Y Y Y Y
PSfragrepla
ements
X
Y
4
−3−2 1
3 4
5
26.p
pEi
ullóian
ngat,
roáosesnul
ulodeoyetmqarrauipvaseaob.drsat
ff ′ ′′
b
c
X
Y
a
f
27.Enlassiguientesgrá
asestándibujadaslasfun
ionesderivadasdef(x) yg(x)PSfragesrbeopzloa
deemleanstmsais)masapartirdelainforma
iónquepropor
bi)onanlasderivadas..Sepideha
erun
Y Y
f′ g′
1
49
X X
−1
3
4

SAopléun
diio
enaArio
A.11..a)Solu
ionariodeltema1:Trigonometría b)5π
2π
36
3
5.a) rad 22
)4π
3
d)23π
12
e)11π
6
f)7π
3.a)2.a)e)b)
b)f))d)6 210◦ 400◦
36◦ 57, 2958◦ = 57◦17′44′′ 135◦ 630◦ 2 · 360◦ −120◦ − 8 · 360◦
4.a)radrad b)rad)rad
)d)180◦ + 2 · 360◦ 20 · 360◦ − 13π
10π = (0 + 5 · 2π) 60π = (0 + 30 · 2π) 7.1/8radm 98..aN)opro
4
= 38, 18◦ = 38◦10′48′′ = 7, 16◦ = 7◦9′43′′ rad=

− 5π
4 − 2π
m b)11, 88
m
)16, 89
m d)55, 68
6.2/3rad
edeponerlasolu
ión. sen x =
cotg x = √3 b)sen x = − 2√5
10.1
2
1
2 − √3
sen x = 11., cos x =
√3
3 sen x =
√3
2
, tg x =
√3
3
cosec x = 2, sec x =
2√3
3
12.5
3 2√5
sen α = − , cos x = − √5
5
, tg x = 2 cosec x = − √5
2
, sec x = −
√5 cotg x =
2
, cos x = − 1
2
, tg x = √3 cosec x = − 2√3
3
, sec x = −2 cotg x =
1
2
, cos x = − √3
2
, tg x = − √3
5 111345...aNN)oopprroo
eeddeeppoonneerrllaassoolluu
iióónn.. sen x b)1 + sen x
)
−tg x d)cotg a 51

16.a)17.eEnstr
d)eie1rtyoelapartadod)yaqueel
b)e)f))1 + cos4 α
cos α 1 + sen α
1 − cos4 α senα senα senα + cos α osenode
ualquierángulosiempreesunnúmero
omprendido
−118.Noesposible.,yaquetendríaqueveri
arse:
20.laea))
19.No,puespuedenserángulosquesediferen
ienenmúltiplosde

2
2
2
2
9
4
13
21. a) IIotyyaInIVIge
nuutaaed.drraannttee sen2 α fb))IIyyIIIV
+ cos2 α = u
audardarnatnete
1 ⇒
+
g))IIyyIIIII
=
uuaaddrraa,nnqtteueetiendhe))neIIlyymIIiVsImI
+
=
6= 1 ouuvaaaddlrroaarnnptteeara 5
5
25
25
25180◦− √3
sen 240◦ = −sen 60◦ = b) 2
√3
3 1
sen 330◦ = −sen 30◦ = − cosec 240◦ = −cosec 60◦ = − 2√3
3
cos 240◦ = −cos 60◦ = − 1
2
sec 240◦ = −sec 60◦ = −2
tg 240◦ = tg 60◦ = √3 cotg 240◦ = cotg 60◦ =
2
cosec 330◦ = −cosec 30◦ = −2
cos 330◦ = cos 30◦ =
√3
2
sec 330◦ = sec 30◦ =
2√3
3
tg 330◦ = −tg 30◦ = − √3
d) 3
3 √3
sen 600◦ = −sen 60◦ = − cotg 330◦ = −cotg 30◦ = −√3
) sen−240◦ = sen 60◦ =
√3
2
cosec−240◦ = cosec 60◦ =
2√3
3
cos−240◦ = −cos 60◦ = − 1
2
sec−240◦ = −sec 60◦ = −2
tg−240◦ = −tg 60◦ = −√3 cotg−240◦ = −cotg 60◦ = − √3
e) 2
√3
3 1
sen 930◦ = −sen 30◦ = − cosec 600◦ = −cosec 60◦ = − 2√3
3
cos 600◦ = −cos 60◦ = − 1
2
sec 600◦ = −sec 60◦ = −2
tg 600◦ = tg 60◦ = √3 cotg 600◦ = cotg 60◦ =
f) 2
cotg 930◦ = cotg 30◦ = √3 sen 1140◦ = sen 60◦ =
cosec 930◦ = −cosec 30◦ = −2
cos 930◦ = −cos 30◦ = − √3
2
sec 930◦ = −sec 30◦ = − 2√3
3
tg 930◦ = tg 30◦ =
√3
3
√3
2
52
cosec 1140◦ = cosec 60◦ =
√3
3 2√3
3
cos 1140◦ = cos 60◦ =
1
2
sec 1140◦ = sec 60◦ = 2
tg 1140◦ = tg 60◦ = √3 cotg 1140◦ = cotg 60◦ =

g) sen−1830◦ = −sen 30◦ = − 1
h) 2
cosec−1830◦ = −cosec 30◦ = −2
√3
2√3
cos−1830◦ = cos 30◦ =
sec−1830◦ = sec 30◦ =
2
3
− √3
tg−1830◦ = −tg 30◦ = cotg−1830◦ = −cotg 30◦ = −√3 sen 135◦ = sen 45◦ =
22. a)3
√2
2
tg 135◦ = −tg 45◦ = −1 cotg 135◦ = −cotg 45◦ = −1 sen 135◦ = √2/2, cos 135◦ = −√2/2, tg 135◦ = −1
cosec 135◦ = √2, sec 135◦ = −√2 cotg 135◦ = −1 b)sen 270◦ = −1, cos 270◦ = 0, tg 270◦ noexiste
cosec 135◦ = cosec 45◦ = √2
√)2
cos 135◦ = −cos 45◦ = −
2
d) noexistenoexiste noexiste cosec 270◦ = −1, sec 270◦ cotg 270◦ = 0
sen 11π = sen π = 0, cos 11π = −1, tg 11π = 0
cosec 11π , sec 11π = −1 cotg 11π sen
sec 135◦ = −sec 45◦ = −√2
24.a)23.a)
π
1
π
√3
π
√3
=
, b)cos
=
b)
, tg
)=
d)
e)f)6
2
6
2
6
3
π
π
2√3
π
√cosec
= 2, sec
=
= 3 6
6
3
6
−√3/2 √3/2
√3 −√2/2 2 1 4/3 −3/4
)4/3 d)
−3/4 e)
−4/3 f)3/4 g)
−4/3 h)3/4 25.sen x = 0, 6 cos x = 0, 8 sen y = 0, 4 cos y = −0, 92 a)sen(x + y) = −0, 256 cos(x + y) = −0, 976 tg(x + y) = 0, 262 b)sen(x − y) = −0, 872 cos(x − y) = −0, 496 tg(x − y) = 1, 758
)sen 2x = 0, 96 cos 2x) = 0, 28 tg 2x = 3, 43 d)sen 2y = −0, 74 cos 2y = 0, 69 tg 2y = −1, 07 e)sen
= 0, 39 f)sen
= 4, 9 26.Elvalordelase

x
= 0, 2
ante,
ose

antey

otangentese

x
x
32 cos
= 0, 73 tg
2
2
al
ulaapartirdelasanteriores. sen 22, 5◦ =
27.

y
28.a)2
√tg 22, 5◦ = 2 − 1 sen(x + y + z) = sen x cos x cos z + cos x sen y cos z + cos x cos y sen z − sen x sen y sen z √6
= 0, 98 cos
29.30.e)f)4 2√3 sen 3x = 0, 568 53
√2/2
y
2

= 0, 2 tg

y
2

p
2 − √2
2
cos 22, 5◦ =
p
2 + √2
2
2
b)√2
2
)√6
2
d)− √2
2

31.√2/2 32.a)1
33.a) 2
(sen 6x − sen 4x − sen 2x)
b)1
(sen 110◦ − sen 30◦) 2
(sen 110◦ + sen 30◦)
)1
2
(cos 110◦ + cos 30◦) d)− 1
4
ierta. x =
−1 b)
3345..ada)))CCiieerrttaa be))CNioeretsa
ierta −tg 2x
f))NCioeretsa
+ k · π; k ∈ Z 36.a)x =
π
d)2
)x = 360◦k; k ∈ Z x =
+ k · 2π; k ∈ Z b)x =
(
120◦ + 360◦k
240◦ + 360◦k
k ∈ Z
)x =
π
4
(
30◦ + 360◦k
150◦ + 360◦k
k ∈ Z b)x =
(
180◦k
45◦ + 180◦k
k ∈ Z
g)(
180◦k
k Z 45◦ + 180◦k
∈ x =
k ∈ Z e)x =


90◦ + 180◦k
240◦ + 360◦k
300◦ + 360◦k
k ∈ Z f)x =


180◦ + 360◦k
60◦ + 360◦k
300◦ + 360◦k
k ∈ Z j)x =


15◦ + 180◦k
180◦k
90◦ + 180◦k
k ∈ Z h)x =


180◦k
60◦ + 360◦k
180◦ + 360◦k
300◦ + 360◦k
k ∈ Z i)x =


210◦ + 360◦k
330◦ + 360◦k
199, 5◦ + 360◦k
350, 5◦ + 360◦k
k ∈ Z m)x = 45◦ + 180◦k n)x =
o)(
ñ)70◦31′ + 360◦k
289◦29′ + 360◦k
k ∈ Z x = 180◦k; k ∈ Z x =
k)x =
(
30◦ + 180◦k
150◦ + 180◦k
k ∈ Z l)x =


90◦ + 180◦k
30◦ + 360◦k
150◦ + 360◦k
(
60◦ + 180◦k
120◦ + 180◦k
37.a)(
60◦ + 720◦k
k Z 300◦ + 720◦k
b)∈ x = 45◦ + 180◦k x =
k ∈ Z p)x =
(
30◦ + 360◦k
150◦ + 360◦k
k ∈ Z q)x =
(
90◦ + 360◦k
360◦k


k ∈ Z 54
180◦k
60◦ + 180◦k
120◦ + 180◦k
k ∈ Z
)x =
(
30◦ + 360◦k
150◦ + 360◦k

d)x =
g)(
30◦ + 180◦k
h)k Z 150◦ + 180◦k
∈ x = 180◦k x =
k ∈ Z e)x =
(
60◦ + 180◦k
120◦ + 180◦k
k ∈ Z f)x =


210◦ + 360◦k
330◦ + 360◦k
19◦28′16′′ + 360◦k
166◦31′43′′ + 360◦k
k ∈ Z j)x = 360◦k k)x =
(
30◦ + 60◦k
90◦ + 180◦l)k
m)k ∈ Z x = 270◦ + 360◦k x =
k ∈ Z i)

180◦k
60◦ + 180◦k
120◦ + 180◦k


60◦k
360◦k
120◦ + 360◦k
240◦ + 360◦k
ñ)(
60◦k
k 90◦k
∈ Z x =
k ∈ Z n)x =


48◦35′25′′ + 360◦k
131◦24′34′′ + 360◦k
210◦ + 360◦k
330◦ + 360◦k
38.a)g)e))(
120◦ + 360◦k
k Z 240◦ + 360◦k
b)h)f)d)∈ A.21..a)Solu
x = 30◦ y = 45◦ x = 90◦ y = 1
x = 45◦ y = 15◦ x = 90◦ y = 30◦ x = 135◦ y = 45◦ x = −30◦ y = 0◦ x = 30◦ y = 0◦ k ∈ Z o)x =


60◦k
120◦ + 360◦k
240◦ + 360◦k
ionariodeltema2:Ve
torexs=e3n0◦ eyl=p9l0a◦no (11, 19) b)(11, 18)
)2.a) b), (−15,−24, )

1

1 1
2~u = (4, 8)@
@
~v
@
@@R
~u
55
~v = (1, 5) 2
~u = (1, 2),
−~u = (−2,−4), ~u −
1
3

3.a)
−~u = (−3,−4) −~v = (3,−4) b)

7

S
S
S
S
So
S

/
S
S
S
S
S
Sw
~v ~u
~ −u ~ −v 4.a)Si b)No
56..Siesbase. )No (19/7, 1/7) 7.~v(−4,−1) 8.~x(4, 2) 9.a)~u · ~v = −4 b)
|~u| = √5,
|~v| = √13
10.a)d)b)
e)Nosonortogonales,))esortogonalad)
([~u, ~v) = 119, 74◦ ~v(1/√5, 2/√5) ~x = (2,−1) ~u [
~a ·~b = −14 |~a| = √17
(~a,~b) = 160◦20′ 17 11.~u · ~v = 2 12.a)~u · ~v = −2 b)~u · ~v = 0
1134..a)No b)Si
))Si d)d)Si ~u · ~v = 13 ~u · ~v = 1
|~b′| = − 14√17
15.(−8/5, 6/5) 16.(−6/√10, 2/√10) 17. √3
4
√65
19.20.Elmódulode18.! quedamultipli
a = 2 h = 4 ~v , − 7
√65
y
− 4
√65
,
7
√65
21. √22.6
,
3
3
adopor. 23.Haydossolu
24.Haydossolu
ionespara:yk~x = (−2,−4/3) ionespara:yh = 3/4 mm1 = 12 m2 = 56
−12 bb1 = −9 b2 = 1

25.22226789.30..3343..Nopro
32.31.a)..~a 0= y1−03,/35x/=() 75 y
b)~x = (−1, 6) x = −3 x = −edelasolu
12/5 ión.
x = 5/12 x = −3 |~u +~v| = √26 |~u −~v| = 435. . ~v = (−1, 3)
36.~x = (2,−1) e~y = (3, 4) 37.
|~v| = 8 38.90◦ A.31..a)Solu
ionariodeltema3:Geometríaanalíti
aenelplano A−−→B(2, 8, ); M(3, 3) b)P−−→Q(3, 1); M
4.3.2.,y

3
9
2
,−
2
! A(5,−2) A(3, 3)B(1, 5) C(1,−3) C
)A−−→B(−3, 2√2); M

−
Pu5n.toyve
1
, 0
2
tor E
ua
iónve
torial Paramétri
as Continua General
d)P−−→Q(−√3 − √2,√2 + √3); M
√2 − √3
2
,
√2 − √3
2

y15
15
,
4
2
x = 4λ
A(0, 2) ~v(4, 3) (x, y) = (0, 2) + λ(4, 3) ,D

9
2
, 10
yE

21
4
,
25
2
y = 2 + 3λ
x
4
=
y − 2
3
3x − 4y + 8 = 0
A(2, 7) y~v(−1, 2) (x, y) = (2, 7) + λ(−1, 2) x = 2 − λ
y = 7 + 2λ
x − 2
− 1
=
y − 7
2
2x + y − 11 = 0
A(5,−4) y~v(2,−2) (x, y) = (5,−4) + λ(2,−2) x = 5 + 2λ
y = −4 − 2λ
x − 5
2
=
y + 4
− 2
x + y − 1 = 0
yx = 2λ
A(0, 3) ~v(2, 0) (x, y) = (0, 3) + λ(2, 0) y = 3
x
2
=
y − 3
0
y − 3 = 0
A(−1/2, π) y~v(0,−2) (x, y) = (−1/2, π) + λ(0,−2) x = −1/2
57 y = π − 2λ
3x + 2y = 0
x + 1/2
0
=
y − π
− 2
x + 1/2 = 0
A(0, 0) y~v(−1/3, 1/2) (x, y) = (0, 0) + λ(−1/3, 1/2) 


x = −
1
3
λ
y =
1
2
λ
x
− 1/3
=
y
1/2

7.a)6.a)b)b))2x − + 1 = 0 = −3
x − 3y + 9 = 0 3x + 2y − 6 = 0 y = −2
)x + y = 0 8.y = √3x + 2, y = −√3x + 2 9.Ve
tordedire
ión:~v;ve
tornormal:~n a)~v(5, 2) y ~n(2,−5) b)~v(−2, 3) y ~n(3, 2)
)~v(1, 4) y~n(4,−1) d)~v(3, 1) y~n(1,−3) 10.Re
taparalela:
)k : 3x − y = 0
⊥ : x + 3y = 0 11.Paralela:x + 2y + 7 = 0;perpendi
ular:2x − y − 1 = 0 1132..No,yaquelospuntosmediosdelossegmentosAC yBD no
oin
iden. PMAB = (3, 5),PMBC =
k
14.aL)asdosre
,re
taqueunelospuntosmediosanteriores:. 16.a)15.tassonparalelas. b)b)4x + 5y − 37 = 0x = 5 y = 4 2x + y − 6 = 0 m = −1/2 m = 5/4
;re
taperpendi
ular:
⊥ a)k : 2x + y − 3 = 0
⊥ : x − 2y + 1 = 0
b)k : x − 2y + 6 = 0
⊥ : 2x + y − 3 = 0

11
, 3
2
19.a)Paralelas 18.17.)b)Se
antes;m = −3 x − 2y + 10 = 0 a = 0
)Coin
identes (9, 13) f)Se
d)Paralelas e)Se
antes;
20.2
33
−
,
5
5

antes;
17
2
,
3
2
22.26.a)25.23.24.21. 9
2
,
5
5
y = x + 2 y = −1 (2, 1) b)(−1,−5) B(2, 3) m = −10 m = 18/5
)Nohaysolu
ión d)m = −7 27.a)a = 3/2 28. b)-6 90◦ 29.71, 57◦ 58

30.81◦52′11, 6′′ 31.Haydossolu
iones:k = −10/3 yk = 6/5 32.k = √3 33.a)5unidades b)10unidades
34.a) )2unidades √89 unidades b)√10 unidades
)√145 35.a)Isós
eles b)Es
aleno
)Es
aleunnoidades 36.28/5 37. unidades. 3√13
26
38. unidades. √5 39. unidades. C
40.41.,altura:unidades,área:u42.4u43.
,área:9us
6
47
3665
1
,
2 11
11
242
C(−1, 5) D(2, 4)2 2
44.Sondosre
tasparalelasalare
taseparadas2unidades:2
y r 3x − 2y + (4 − 2√13) = 0 3x − 2y +
s
47645
121
(4 + 2√13) = 0 45.B
15
29
,
47.Haydossolu
46.Haydossolu
4
4
iones:iones:, y = x + 4√2y = x − 4√2 y + 3 = −
48. a)b)
29
) , 0
2
u,u,yu,u,u u (x − 2) 5√25√22√52√102√52√10H(1,−5) G
yD

− 19
2
, 6
50.49.Mediatriz:51.,ángulo:7
3
52. x + y − 1 = 0135◦ x − y − 2 = 0 B(3, 4) √10
(x − 2),y + 3 =
3
7

11
3
, − 11
3
5
53.Hayudnosidsaodlues
.iones:
54.Haydossolu
iones:yy 6
8
,
2, 0) 5
5
(−59
2x − y + (2√5 − 5) = 0 2x − y + (−2√5 − 5) = 0

55.Haydossolu
56.iones:y
29
31
−
,
(1, 1) 11
11
3√2
2
57.12uunidades. 2 58.3x + y + 3 = 0 59.4√260.Bariu
entro:(3, 2),orto
entro:
62.61.Haydossolu
iones:, 5
2,
3
y = x + 2y = x − 2 X
,
ir
un
entro:
7
2
,
13
6
63.a = −1 yb = −1 ob = −9 A.412...NFa)oaS

moorlieulsip
9
1
5
,−
5
b)aoinoddneenaafruiuonna
y fdiuone
nlióentselomsaapar4ta:doFsdu),ne
),iog)n,he)seir).ealesdevariablereal. yDom(f) = (−∞,−1] ∪ [0, 4] ∪ [5,+∞), Rec(f) = (−∞, 0] ∪ [1, 5], Dom(g) = R Rec(f) = R f(2) = 3 f(0) = 1
)g(0) = 1,g(2) = 2 y g(3) = 4 PSfragrepla
emen3.tsa) b)
) d)
i) e) f) g) h) k) 1 1
1 1
g)e),Puntosde
ortes:f)d),Puntosde
ortes:(0, 5/2) Rec(f) = R(0, 0) Rec(f) = R(0, 0) Rec(f) = R(0, 3), (3/5, 0) Rec(f) = R1
1
1
1
•
a)Todaslasfun
ionessonpolinómi
asyportantosudominioesR. Rec(f) = {5}
,Puntosde
ortes:(0, 5) b)Rec(f) = {0}
,Puntosde
ortes:
{(a, 0), a ∈ R}
)Rec(f) = {5/2}
(−3, 0), (0,−3/2) h)Rec(f) = R(0,−3), (3/4, 0) 60

4.
PSfragrepla
ementsa) b)
) d)
e) f) g) h)
ki)) 1 1
b)1 ;Vérti
1
ortes
onlosejes:(0, 0) Rec(f) = [0,+∞)1 1
1
1
•
aT)odaslasfun
ionessonpolinómi
;Vérti
e:asyportantosudominioes;Puntosde
. RRec(f) = [0,+∞)(0, 0)e:(0,−4);Puntosde
ortes
onlosejes:(0,−4), , (−2, 0), (2, 0)
d));Vérti
;Vérti
e:e:;Puntosde
;Puntosde
ortes
onlosejes:ortes
onlosejes:Rec(f) = [−9/4,+∞)(3/2,−9/4)(0, 0), (3, 0) Rec(f) = [−3,+∞)(2,−3)(0, 1), (2 + √3, 0),
(2 − √3, 0) e)Rec(f) = (−∞, 9];Vérti
f);Vérti
e:;Puntosde
ortes
onlosejes:(0, 9)(0, 9)(−3, 0), (3, 0) Rec(f) = [−1/4,+∞)g);Vérti
e:;Puntosde
ortes
onlosejes:(3/2,−1/4)(0, 2), (1, 0), (2, 0) Rec(f) = (−∞, 1/4]h);Vérti
e:;Puntosde
ortes
onlosejes:(3/2, 1/4)(0,−2), (1, 0), (2, 0) Rec(f) = (−∞,−9]5.
ementsa) e:b)
;Puntosde
ortes
onlosejes:PSfragrepla
(0,−9))
(0,−9) 1
1
1
61

6.
PSfragrepla
ements
a) b)
)
y = 2x2
d) e) f)
hgi)))
1
1
1
1
1
1
1
7.
PSfragrepla
ements
a) b)
)
y y y
d) e) 1
f)
1
hgi))) y
x x x
y
y
;Asíntotas:x = 0 ey = 0b)ejes:notiene. ;Puntosde
ortes
onlos Dom(f) = R−{2}
x ;Asíntotas:1 x e;Puntosde
ortes
1
x
) ejes: . onlos x = 2 y = 0(0,−1)Dom(f) = R−{−3}
1
1
1
1 a)Dom(f) = R−{0}
;Rec(f) = R−{0}
;Rec(f) = R−{0}
;Asíntotas:x = −3 ey = 0losejes: ;Puntosde
. ;62
ortes
on Rec(f) = R−{0}
(0,−1/3)

d)Dom(f) = R−{1}
e) ejes: y;. ;Asíntotas:e;Puntosde
ortes
onlos Rec(f) = R−{2}
x = 1 y = 2(−1/2, 0) (0,−1)Dom(f) = R−{−3}
f) losejes: y;. ;Asíntotas:e;Puntosde
ortes
on Rec(f) = R−{1}
x = −3 y = 1(−1, 0) (0, 1/3)Dom(f) = R− {−2}
8.a) onlosejes: . ;;Asíntotas:b)e;Puntosde
ortes Rec(f) = R−{−1}
x = −2 y = −1(0, 0)Dom(f) = R − {1/2, 2}
Dom(f) = R
e))d)) Dom(f) = R −
Dom(f) = R − {0, 2} Dom(f) = R − {1}
f)Dom(f) = R − {2, 3} g)Dom(f) = R − {0,−2, 3}
(
9.
i)3 − √5
3 + √5
0,
,
h)2
2
a) b)
Dom(f) = R − {±2,±Dom(f) = R − {−1} ) d)
1} PSfragrepla
ements
e) f) g)
h) i)
1 1
1
1
1
1
1
1
1
a)Dom(f) = [0,+∞);Rec(f) = [0,+∞);Puntosde
ortes
onlosejes:(0, 0)b) . Dom(f) = [0,+∞);Rec(f) = (−∞, 0];Puntosde
ortes
onlosejes:(0, 0)) . Dom(f) = [−7,+∞);Rec(f) = [0,+∞);Puntosde
ortes
onlosejes:(−7, 0) y(0,√7)d) . Dom(f) = [−2,+∞);Rec(f) = [0,+∞);Puntosde
ortes
onlosejes:(−2, 0) y(0, 2)e) . Dom(f) = [0,+∞);Rec(f) = [0,+∞);Puntosde
ortes
onlosejes:(0, 0)f) . Dom(f) = R;Rec(f) = R;Puntosde
ortes
onlosejes:(0, 0)g) . Dom(f) = R;Rec(f) = R;Puntosde
ortes
onlosejes:(−1, 0) y(0, 1)h) . Dom(f) = [2,+∞);Rec(f) = (−∞, 3];Puntosde
ortes
onlosejes:(11, 0)i) . Dom(f) = [0,+∞);Rec(f) = [2,+∞);Puntosde
ortes
onlosejes:(0, 2)63 .

10.a)Dom(f) = [−3,+∞) b)Dom(f) =

∪ [2,+∞) e)Dom(f) = [−1, 5] f)Dom(f) = [−2, 0] ∪ [2,+∞) g)Dom(f) =
h)Dom(f) = R i)Dom(f) =

−
3
2
,
3
2

)Dom(f) = R d)Dom(f) =

1
m)k)l)j)−∞,
2
Dom(f) = (−∞,−1) ∪ [0,+∞) Dom(f) = [1, 2) Dom(f) = (−∞,−3) ∪ [3,+∞) Dom(f) = [3,+∞) ∪ (−2, 2) ∪ ∪

ñ)5
−
2
,+∞
11.

2
n)5
,+∞
Dom(f) = (−∞,−2] ∪ (7,+∞) Dom(f) = (−6, 3] ∪ [0,+∞) a) b)
) d)
e) f) g)
h) i) j)
PSfragrepla
ements
1 1 1 1
1 1 1
1 1 1
a)Dom(f) = R;Rec(f) = [0, 3];Puntosde
Cre
ienteen ,de
re
ienteeny
orte:on;Monotonía: (0, 1), (a, 0)
a ≥ 6 (1, 3)(3, 6) onstanteen(−∞, 1)∪(6,+∞)64 ;A
ota
ión:a
otada.

b)Dom(f) = (−∞, 0) ∪ (0, 2] ∪ [3,+∞);Rec(f) = [0, 2];Puntosde
ó;Monotonía:Cre
orte:on(a, 0)
a 0 a ≥ 3 ;ienteeny
ota
ión: (0, 2) Dom(f) = RRec(f) = (R − Z) ∪ {0}
)a
otada.
onstanteen(−∞, 0) ∪ (3,+∞);A
Cre
ienteen
adaintervalodelaforma ;Puntosde
orte:on;Monotonía: (a, 0)
a ∈ Z (a, a + 1)
ona ∈ d) Z;A
ota
ión:noestáa
otada. Dom(f) = R;Rec(f) = (−∞,−3) ∪ (5,+∞) ∪ {3}
;Puntosde
orte:(0, 3)Cre
ienteen ;Monotonía: (1,+∞),de
onstanteen(0, 1)e)tada. ;A
re
;ienteen;Puntosde
y
ota
ión:noestáa
o- (−∞, 0) Dom(f) = (−∞, 1]∪[2,+∞)Rec(f) = Rorte:(0,−2) y(2/5, 0)Cre
iente ;Monotonía: (−∞, 1) ∪ (2,+∞)f) ;A
ota
ión:noestáa
otada. Dom(f) = R;Rec(f) = (−1,+∞);Puntosde
orte:(0, 1) y(1/2, 0)ienteen ;Monotonía:Cre- (−1,+∞),de
onstanteen(−∞,−1)g)inferiormente. ;A
;re
ienteen;Puntosde
y
ota
ión:a
otada (−1, 1) Dom(f) = RRec(f) = (−1/4,+∞)orte:(0, 0) y(−1, 0)ienteen ;Monotonía:Cre- (−1/2, 0),de
re
ienteen(−∞,−1/2)∪(0,+∞)h) ;A
ota
ión:a
otadainferiormente. Dom(f) = R;Rec(f) = R;Puntosde
i) en ;A
orte:on;Monotonía:de
re
iente (a, 0)
0 ≤ a ≤ 1(−∞, 0) ∪ (1,+∞)ota
ión:noestáa
otada. Dom(f) = R;Rec(f) = R;Puntosde
j) en ;A
orte:on
;Monotonía:de
re
iente (a, 0)
−1 ≤ a ≤ 1(−∞,−1) ∪ (1,+∞)ota
ión:noestáa
otada. Dom(f) = R − {−3, 0, 3}
;Rec(f) = (0,+∞)Cre
ienteen ;Puntosde
orte:notiene;Monotonía: (−3, 0)∪(3,+∞),de
re
ienteen(−∞,−3)∪(0, 3)12. mente. ;A
ota
ión:a
otadainferior-
a) b)
)
d) e) f)
g) h) i)
j) 1 1 1
PSfragrepla
ements
1 1 1
1
1 1
a)Dom(f) = R;Rec(f) = [0,+∞);Puntosde
ortes
onlosejes:(2, 0) y(0, 2)65 .

b)Dom(f) = R;Rec(f) = [0,+∞);Puntosde
)
ortes
onlosejes:(−2, 0) y(0, 4). Dom(f) = R;Rec(f) = [0,+∞);Puntosde
d) ;;Puntosde
ortes
onlosejes:on. (a, 0)
a ≤ 0Dom(f) = RRec(f) = [0,+∞)ortes
onlosejes:(0, 0)e) . Dom(f) = R;Rec(f) = [1,+∞);Puntosde
ortes
onlosejes:(0, 1)f) . Dom(f) = R;Rec(f) = (−∞, 0);Puntosde
g) ;;Puntosde
ortes
onlosejes:on. (a, 0)
a ≥ 0Dom(f) = RRec(f) = [0,+∞)ortes
onlosejes:(−1, 0),(1, 0) y(0, 1)h) . Dom(f) = R;Rec(f) = [0,+∞);Puntosde
ortes
onlosejes:(−1, 0),(2, 0) y(0, 2)i) . Dom(f) = R;Rec(f) = [5,+∞);Puntosde
13.PSfragrepla
ementsa) b)
ortes
onlosejes:. dhgfei))))))j) 1 1 ) (0, 5)14.
1
PSfragrepla
ements
1 1
y = |f(x)| y = −f(x)
1
1
66
y = f(x) + 2 y = f(x − 2)

15.
2 4 6 8
3
2
1
-1
-2
-3
-4
4
3
2
1
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
-1
-2
-3
-4
2 4 6 8
4
3
2
1
-1
6
4
2
-10 -5 5 10
-2
-4
2 4 6 8
y
5
4
3
2
1
-1
5
4
3
2
1
-2 2 4 6
-1
-2
5
4
3
2
1
-2 2 4 6
-1
12
10
8
6
4
2
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
12
10
8
6
4
2
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
12
10
8
6
4
2
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
10
8
6
4
2
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-2
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-2
-4
-6
-8
-10
-12
PSfragrepla
ements
a) b)
)
d) e) f)
g) h) i)
j) k) l)
a)Dom(f) = (0,+∞) b)Dom(f) = R − {0}
)Dom(f) = (0,+∞) d)Dom(f) = R − {0}
e)Dom(f) = (0,+∞) f)Dom(f) = (−2,+∞) g)Dom(f) = (−2,+∞) h)Dom(f) = R i)Dom(f) = R j)Dom(f) = R k)Dom(f) = R l)Dom(f) = R 67

16.a)Dom(f) = (1,+∞) b)Dom(f) = (−∞,−1) ∪ (1,+∞)
)Dom(f) = (−∞, 0) ∪ (5,+∞) d)Dom(f) = (−∞,−3) ∪ (2,+∞) e)Dom(f) = (0, e) ∪ (e,+∞) f)Dom(f) = (3,+∞) g)Dom(f) = (−∞,−2) ∪ (2,+∞) h)Dom(f) = (−∞, 2) ∪ (4,+∞) i)Dom(f) = (−1, 1) j)Dom(f) = (−∞,−3) ∪ (−1, 1) k)Dom(f) = R − {±3/2}
l)Dom(f) = (1,+∞) − {2} 17.
PSfragrepla
ements
a)
b)
)
de))
f)
/2
/2
/2
/2
/2
/2

3/2
3/2
3/2
3/2
3/2
3/2
2
2
2
2
2
2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
3
3
3
3
3
3
/2
/2
/2
−1
−2
−1
/2
/2
Ta)odassonperiódi
−3 /2
−
−
−
−
−
−
−3/2
−3/2
−3/2
−3/2
−3/2
−3/2
−2
−2
−2
−2
−2
−2
−5/2
−5/2
−5/2
−5/2
−5/2
−5/2
−3
−3
−3
−3
−3
−3
3
2
1
1
−2
1
−1
3
1
−1
1
1
2
−1
−1
−2
asdeperiodo: 2π b)2π
18.a))b)d)e)f)2π π 2π π Dom(f) = R − {0}
Dom(f) = R −
e)
3
2

, k ∈ Z Dom(f) =
68
π
+ (2k + 1)
4

, k ∈ Z
, k ∈ Z
)Dom(f) = R − {kπ} , k ∈ Z d)Dom(f) = R −

(4k − 1)
π
4

−
π
2
,
π
2
f)Dom(f) = R −

(2k + 1)
π
4

19.a)Dom(f) = R b)Dom(f) = R − {−2}
)Dom(f) = R d)Dom(f) = R − {±√2} e)Dom(f) = (−∞,−1] ∪ [1,+∞) f)Dom(f) = (−∞,−3) ∪ [1,+∞) g)Dom(f) = R h)Dom(f) = R − {2} i)Dom(f) = R j)Dom(f) = (−∞,−4) ∪ (4,+∞) k)Dom(f) = (−∞,−5) ∪ (5,+∞) l)Dom(f) = R − {0} m)Dom(f) = (−∞, 1) ∪ (2,+∞) n)Dom(f) = (−∞,−2) ∪ (−1, 1) ∪ (2,+∞) ñ)Dom(f) = [−1, 5] o)Dom(f) = R p)Dom(f) = R − {0}
q)Dom(f) = R − {x = π/4 + kπ/2, k ∈ R} 20.a)Dom(f) = R;Rec(f) = R b)Dom(f) = R;Rec(f) = {−2, 2}
)Dom(f) = R;Rec(f) = [−2,+∞) d)Dom(f) = (−5,+∞);Rec(f) = [0,+∞) e)Dom(f) = (0,+∞);Rec(f) = R f)Dom(f) = R;Rec(f) = [0, 2] g)Dom(f) = R − {−2, 2}
21.
;h);Rec(f) = R Dom(f) = R − {−2}
Rec(f) = (−∞,−5] ∪ [0,+∞) PSfragrepla
ements
a) b)
)
d) e) f)
g) h) i)
j) 1 1 1
1 1 1
1 1
1
a)Dom(f) = R;Rec(f) = R;Puntosde
orte:(0, 0)b)
ión:noestáa
;otada. ;Monotonía:De
re
ienteen;A
ota- RDom(f) = RRec(f) = {−4}
;Puntosde
orte:(0, 4))ta
ión:estáa
;otada. ;Puntosde
orte:;Monotonía:Constanteen;Monotonía:Cre
;A
o- RDom(f) = RRec(f) = [−1,+∞)(0, 0), (2, 0)ienteen
d) ,de
re
ienteen;A
(1,+∞)(−∞, 1)ota
ión:a
otadainferiormente. Dom(f) = R;Rec(f) = (−∞, 1];Puntosde
orte:(2, 0), (4, 0), (0,−8)ienteen ;Monotonía:Cre- (−∞, 3),de
re
ienteen(3,+∞)69;A
ota
ión:a
otadasuperiormente.

Cuaderno matematicasi12 13

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