2. 2
LEY DE GRAVITACION UNIVERSAL.
“La magnitud de cada una de las fuerzas gravitacionales
con que interactúan dos masas puntuales es directamente
proporcional al producto de las masas e inversamente
proporcional al cuadrado de la distancia que las separa”
F
m1
y
m2
m1m2
2
r
son masas gravitacionales.
Marcos Guerrero
3. 3
Principio de la balanza de Cavendish, empleada para determinar
el valor de G.
G 6.67 10 11 N m 2 / kg2
Marcos Guerrero
4. 4
F12
G
m1m2
r12
2
ˆ
r12
De la misma manera:
F21
G
m1m2
En general:
Forma vectorial de la ley
de Gravitacion Universal
F
G
m1m2
r
2
r212
ˆ
r21
ˆ
r
Marcos Guerrero
5. 5
Forma escalar de la ley de
Gravitación Universal
F G
m1m2
r2
G es la constante de Gravitación Universal.
G
6,67 x10
11
N .m 2 .kg
2
Marcos Guerrero
9. El campo gravitatorio.
Movimientos bajo fuerzas
gravitatorias
La ecuación de Newton proporciona la expresión de la fuerza entre dos masas:
m m'
m m'
r
F G 2 ( ur ) siendo ur
G 3
F
r
r
r
r
z
Para explicar la acción que una masa ejerce sobre otra
situada a cierta distancia, se introduce el concepto de
campo de fuerzas
m’
r
La masa m hace que las propiedades del espacio que
la rodea cambien, independientemente que en su
proximidad se sitúe otra masa m’
m
y
El campo gravitatorio
La intensidad del campo gravitatorio g en un punto es la
fuerza por unidad de masa, calculada en dicho punto
g
F
m'
G
m
r
3
r
cuyo módulo es: g
G
m
r
2
g
x
y se expresa en N/kg en el S.I.
La fuerza gravitatoria sobre otra masa inmersa en el campo es: F
mg
10. El campo gravitatorio.
Movimientos bajo fuerzas
gravitatorias
Los campos de fuerzas se representan
mediante líneas de campo
En el campo gravitatorio, las líneas de
campo no parten de ningún punto
definido, carecen de fuentes, y acaban en
los cuerpos con masa o sumideros
m
M
Representación del campo
Características de las líneas de campo
Módulo: se indica mediante la densidad de líneas de campo
Dirección del campo en un punto es la tangente a la línea en dicho punto
El sentido viene indicado por la flecha, y es el que seguiría la unidad de masa
colocada en dicha línea por efecto de las fuerzas del campo
11. El campo gravitatorio.
Movimientos bajo fuerzas
gravitatorias
La intensidad del campo en un punto P, creado por un conjunto de masas puntuales, se
obtiene calculando la creada por cada una de ellas y sumando los resultados parciales
n
gT
g1
g2
...
siendo u i
gn
i 1
G mi 2 . u i
ri
P
ri
g3
ri
También se puede aplicar al cálculo de la
fuerza ejercida sobre cierta masa por la
acción de un conjunto discreto de ellas
r3
FT
m gT
i 1
gT
m1
g3
r2
m2
Fi
Si un cuerpo está sometido a la acción
de varias fuerzas gravitatorias, el
efecto total resultante es la suma de los
efectos individuales de cada fuerza
r1
g2 g
1
Principio de superposición
n
g1
m3
30. 30
PESO E INGRAVIDEZ.
Una cosa es el peso, y otra es la sensación de peso.
La fuerza de atracción que ejerce la Tierra sobre la nave y sus tripulantes, el peso,
proporciona la fuerza centrípeta necesaria para mantenerlos en movimiento orbital.
Al no existir una fuerza de contacto que los sostenga, los astronautas no tienen
sensación de peso y se encuentran en un estado de ingravidez, exactamente igual que
la que se experimenta en una caída libre (como si se encontraran en el interior de un
ascensor que se está cayendo).
Marcos Guerrero
31. 31
En el techo del ascensor se encuentra sostenido un dinamómetro que a su vez
sostiene una bolsa de masa m. Además se encuentra una persona en el interior
del ascensor.
El ascensor se encuentra en reposo o se mueve a velocidad constante hacia arriba
o hacia abajo.
La lectura del dinamómetro es igual al
peso de la bolsa y la persona tiene una
sensación de una fuerza igual a su peso.
Marcos Guerrero
32. 32
El ascensor se mueve hacia arriba con una aceleración constante de magnitud
igual a la mitad de la aceleración de la gravedad.
La lectura del dinamómetro es mayor al
peso de la bolsa y la persona tiene una
sensación de una fuerza mayor a su peso.
Marcos Guerrero
33. 33
El cable del ascensor se rompe y se mueve hacia abajo con una aceleración
constante de magnitud igual a la aceleración de la gravedad.
La lectura del dinamómetro es cero y la
persona no tiene una sensación de una
fuerza (ingravidez).
Marcos Guerrero
38. La fuerza gravitacional se encargará de mover 38masa m del punto A al punto B.
la
Recordemos que la magnitud de la fuerza gravitacional entre la Tierra y la masa viene
dada por la expresión:
Fg
GMT m
r
2
y
g
GmT
RT 2
De esta expresión podemos observar que la fuerza gravitacional es inversamente
proporcional al cuadrado de la distancia que separa a las dos masas.
El área bajo la curva nos da el trabajo de la
fuerza gravitacional, por lo tanto tenemos:
r2
WFg
Fr dr
r1
Marcos Guerrero
39. 39
Sustituyendo la componente radial e la fuerza
gravitacional, tenemos:
r2
dr GmT m GmT m
WFg = -GmT m ò 2 =
r2
r1
r1 r
Imaginemos que tenemos una masa m que se mueve
desde el punto A que está en el infinito al punto P, por
lo tanto:
r2
r1
r
0
Reemplazando en la siguiente ecuación tenemos:
WFg
GmT m
r2
GmT m
r1
U
GmT m
r
Por lo tanto:
Marcos Guerrero
40. 40
Entonces podemos decir que la energía potencial gravitacional entre 2 masas
es:
U
GMm
r
Definición:
La energía potencial gravitacional de una masa m, en un punto p en el
espacio, se define como el trabajo que realiza la fuerza gravitacional
cuando la masa m se traslada desde el infinito hasta ese punto.
Marcos Guerrero
41. 41
GRÁFICO DE LA ENERGÍA POTENCIAL
GRAVITACIONAL EN FUNCIÓN DE LA
DISTANCIA.
Marcos Guerrero
43. 43
La energía potencial gravitacional del satélite es:
U =-
GMm
r
La energía cinética del satélite es:
1
mV 2
2
EC
Recordemos que la rapidez orbital del satélite viene dada por la expresión:
V
GM
r
Reemplazando la ecuación de la rapidez orbital en la de energía cinética tenemos:
EC
1 GMm
2 r
Marcos Guerrero
44. 44
La energía total del satélite viene dada por la expresión:
ETOTAL
EC
EPg
Reemplazando las ecuaciones de energía cinética y energía potencial gravitacional
del satélite en la ecuación anterior, tenemos:
ETOTAL
1 GMm
2 r
Para una distancia fija r las ecuaciones de energía potencial
gravitacional, energía cinética y energía total del satélite
permanecen constantes.
Marcos Guerrero
45. 45
Mas sobre la fuerza gravitacional y la energia potencial
La componente de la fuerza dada en una dirección, es igual al negativo
de la derivada U respecto a la coordenada correspondiente. Para
movimiento en el eje x:
Fx
dU
dx
La fuerza gravitacional tiene componente solo en la dirección radial, así
que:
Fr
dU
dr
d
GmT m
(
)
dr
r
GmT m
r2
Si estamos cerca de la superficie terrestre la ecuación de U, se reduce a
U=mgy.
Wgrav
r1 r2
GmT m
r1r2
Marcos Guerrero
46. 46
Mas sobre la fuerza gravitacional y la energia potencial
Si el cuerpo se mantiene cerca de la tierra, en el denominador podemos
sustituir de la siguiente manera:
Wgrav
r1 r2
GmT m
2
RT
Según la ecuación:
g
GmT
RT
2
Tenemos:
Wgrav
mg (r1 r2 )
Marcos Guerrero
48. 48
GRÁFICO DE LA ENERGÍA POTENCIAL GRAVITACIONAL ,
ENERGÍA CINÉTICA Y ENERGÍA TOTAL EN FUNCIÓN DE LA
DISTANCIA.
Marcos Guerrero
49. 49
TRAYECTORIAS ELÍPTICAS.
Energía cinética del
planeta aumenta
conforme se mueve del
apogeo al perigeo.
Perigeo o
perihelio
Apogeo
o afelio
Energía cinética del
planeta disminuye
conforme se mueve del
perigeo al apogeo.
La componente tangencial de la fuerza gravitacional es la que produce
trabajo sobre el planeta haciendo que su energía cinética cambie.
Marcos Guerrero
50. 50
¿Por qué la energía cinética del planeta cambia conforma órbita alrededor
del sol?
Recordemos el teorema del trabajo y la energía cinética, entonces tenemos
que:
WNETO
EC
La única fuerza que produce trabajo sobre el planeta es la componente
tangencial de la fuerza gravitacional, por lo tanto:
WFgTANGENCIAL
EC
Marcos Guerrero
57. 57
RAPIDEZ ORBITAL Y PERIODO
ORBITAL.
Imaginemos que tenemos un satélite y que está orbitando alrededor de la Tierra, tal
como se muestra a continuación.
VORBITAL :
r:
Velocidad orbital del satélite.
Radio orbital del satélite.
FG :Fuerza gravitacional que ejerce la
Tierra sobre el satélite.
m : Masa del satélite.
aC : Aceleración centrípeta del
satélite.
:Radio de la Tierra.
RT
MT :
Masa de la Tierra.
Marcos Guerrero
58. 58
Aplicando la Segunda Ley de la Mecánica de Newton para el satélite, tenemos:
FC
maC
La fuerza centrípeta es suministrada por la fuerza gravitacional que ejerce la Tierra
sobre el satélite y recordando la ecuación de la aceleración centrípeta, entonces tenemos
que:
2
FG
VORBITAL
m
r
Recordando la expresión de la fuerza gravitacional y reemplazando en la ecuación
anterior, tenemos:
GmM T
r2
VORBITAL
m
r
2
Marcos Guerrero
59. 59
GM T
r
2
VORBITAL
De la ecuación anterior, despejemos la rapidez orbital, entonces tenemos:
VORBITAL
GM T
r
Podemos observar que la rapidez orbital del satélite es independiente
de la masa del satélite, sino que depende de la masa de la Tierra, el
radio orbital y la constante de Gravitación Universal.
Marcos Guerrero
60. 60
V VORBITAL : Trayectorias posibles 1, 2 y 3
V VORBITAL : Trayectoria 4
V VORBITAL : Trayectorias posibles 5, 6 y 7
Marcos Guerrero
61. 61
Recordemos la ecuación de la rapidez orbital en función del periodo orbital y el radio
orbital (ecuación del M.C.U.) , entonces tenemos:
2 r
T
VORBITAL
T : Periodo orbital del satélite.
Igualando las ecuaciones:
2 r
T
VORBITAL
VORBITAL
GM T
r
Tenemos:
2 r
T
GM T
r
Ahora elevemos al cuadrado ambos lados de la ecuación:
2 r
T
2
2
GM T
r
Marcos Guerrero
66. 66
LEYES DE KEPLER.
F1 y F2 : puntos focales.
f : distancia focal.
f : distancia focal.
a: semieje mayor.
b: semieje menor.
e: excentricidad.
¿Qué es la excentricidad?
Es un número sin unidades que está entre 0 y 1 incluidos y que
determina el tipo de trayectoria.
Por ejemplo para una trayectoria circular la excentricidad es igual a 1
Marcos Guerrero
67. 67
PRIMERA LEY DE KEPLER.
También llamado ley de las órbitas.
“Todos los planetas se mueven en orbitas elípticas con el Sol en uno
de los puntos focales”.
Marcos Guerrero
68. 68
SEGUNDA LEY DE KEPLER.
También llamado ley de las áreas.
“Una línea trazada desde el Sol a cualquiera de los planetas, barre
áreas iguales en intervalos de tiempos iguales”.
A1
A2
t1
Marcos Guerrero
t2
69. 69
La rapidez con la que se barre el área,
dA/dt, se denomina velocidad de
sector:
De esta manera, rv sin es la magnitud del producto vectorial r
v
que es 1/m veces el momento angular del planeta con respecto al Sol.
Tenemos, entonces,
Finalmente:
Marcos Guerrero
70. 70
TERCERA LEY DE KEPLER.
También llamado ley de los períodos.
“El cuadrado del periodo orbital de cualquier planeta es
proporcional al cubo de la distancia media entre el planeta al Sol”.
Si la trayectoria es elíptica la distancia media entre el planeta al Sol es el semieje
mayor en cambio si la trayectoria es circular la distancia media entre el planeta y el
Sol es el radio orbital.
Recordemos que el periodo orbital es:
T
4 2r 3
GM S
Marcos Guerrero
71. 71
Despejemos el periodo orbital al cuadrado, entonces tenemos:
T2
4 2 3
r
GM S
De la ecuación anterior podemos concluir que:
T2
r3
Marcos Guerrero
72. 72
ORBITA GEOESTACIONARIA DE
UN SATÉLITE ALREDEDOR DE LA
TIERRA.
Definición:
Un satélite tiene una órbita geoestacionaria (geosincrónica)
cuando su periodo de rotación es igual al periodo de rotación de
la Tierra alrededor de su propio eje.
¿Cuál es el periodo de rotación de la Tierra alrededor de su propio eje?
24 horas
Marcos Guerrero
73. 73
Determine la distancia entre un satélite artificial y el centro de la Tierra para que este
tenga una órbita geoestacionaria.
Marcos Guerrero
74. 74
De la ecuación del periodo orbital despejemos r, entonces tenemos:
r
3
GM T T 2
4
Marcos Guerrero
