Este documento describe el efecto de tunelaje tipo Klein en el grafeno. Explica que el grafeno se comporta como fermiones de Dirac, lo que permite el tunelaje cuántico relativista de Klein a potenciales bajos. Resuelve la ecuación de Dirac para grafeno para un problema de barrera de potencial y calcula la probabilidad de transmisión en función del ángulo de incidencia.

1. Efecto de tunelaje tipo Klein en el
Grafeno.
˜
Rodolfo Briseno Rodriguez
2o Taller de F´sica de Nanoestructuras, CNyN-UNAM.
ı
September 2, 2011

2. Efecto de tunelaje
´
Contenido de la Presentacion tipo Klein en el
Grafeno.
˜
Rodolfo Briseno
Rodriguez
´
Introduccion
Grafeno.
Planteamiento del
problema.
´
Tunelaje Cuantico
Relativista de Klein.
Tunelaje Tipo Klein en el
Grafeno
Resultados

3. Efecto de tunelaje
Grafeno tipo Klein en el
Grafeno.
˜
Rodolfo Briseno
Rodriguez
´
Introduccion
Grafeno.
Planteamiento del
problema.
´
Tunelaje Cuantico
Relativista de Klein.
Tunelaje Tipo Klein en el
Grafeno
Resultados

4. Efecto de tunelaje
Paradoja de Klein tipo Klein en el
Grafeno.
˜
Rodolfo Briseno
´
Un efecto de tunelaje maximo para part´culas relativistas en
ı Rodriguez
presencia de potenciales mayores que mc 2 :
´
Introduccion
-Funciones de onda conjugadas. Espinores de Dirac Grafeno.
Planteamiento del
problema.
´
Tunelaje Cuantico
Relativista de Klein.
Tunelaje Tipo Klein en el
Grafeno
Resultados
´
-Simetr´a de conjugacion de carga
ı
-Electrones y Positrones
´
-Predicciones dif´ciles de comprobar. Efectos observables solo a
ı
grandes energias. ( > 1016 V /cm)

5. Efecto de tunelaje
tipo Klein en el
Grafeno.
Para Grafeno: ˜
Rodolfo Briseno
Rodriguez
-Comportamiento similar de fermiones de Dirac de QED
con cuasiparticulas ´
Introduccion
Grafeno.
Planteamiento del
problema.
´
Tunelaje Cuantico
Relativista de Klein.
Tunelaje Tipo Klein en el
Grafeno
Resultados
-Los
valores de potencial para observar tunelaje de Klein son
mucho menores( > 105 V /cm)

6. Efecto de tunelaje
Hamiltoniano del grafeno. tipo Klein en el
Grafeno.
˜
Rodolfo Briseno
Rodriguez
´
Introduccion
´
Ecuacion tipo Dirac para el Hamiltoniano del grafeno Grafeno.
Planteamiento del
ˆ
Ho = −i vF σ · problema.
´
Tunelaje Cuantico
Relativista de Klein.
Tunelaje Tipo Klein en el
Donde Grafeno
σ = (σx , σy ) Resultados
matrices de Pauli (Pseudospin)
Operando sobre pseudoespinores de Dirac
Ψ1 (x, y)
Ψ(x, y) =
Ψ2 (x, y)

7. Efecto de tunelaje
Hamiltoniano del grafeno. tipo Klein en el
Grafeno.
˜
Rodolfo Briseno
Rodriguez
´
Debemos resolver la ecuacion de eigenvalores
´
Introduccion
Grafeno.
ˆ
Ho Ψ = EΨ Planteamiento del
problema.
ˆ
Ho = −i vF σ ·
´
Tunelaje Cuantico
Relativista de Klein.
Tunelaje Tipo Klein en el
Grafeno
−i vF σ · Ψ = EΨ Resultados
Componentes del seudospinor acoplados.
∂ ∂ E
−i Ψ2 = i Ψ1
∂x ∂y vF
∂ ∂ E
+i Ψ1 = i Ψ2
∂x ∂y vF

8. Efecto de tunelaje
Hamiltoniano del grafeno. tipo Klein en el
Grafeno.
Planteamiento del problema ˜
Rodolfo Briseno
Rodriguez
´
Introduccion
Grafeno.
Planteamiento del
problema.
´
Tunelaje Cuantico
Relativista de Klein.
Tunelaje Tipo Klein en el
Grafeno
Resultados
R1 , R3
−∞ < xR1 < 0
0 < xR3 < ∞
V =0
R2
0 < xR2 < L
V = Vo

9. Efecto de tunelaje
tipo Klein en el
Grafeno.
˜
Rodolfo Briseno
Rodriguez
´
Introduccion
Grafeno.
Condiciones de continuidad Planteamiento del
problema.
´
Tunelaje Cuantico
Relativista de Klein.
Ψ1 (0, y ) = Ψ2 (0, y ) Tunelaje Tipo Klein en el
Grafeno
Resultados
Ψ2 (L, y ) = Ψ3 (L, y )

10. Efecto de tunelaje
Resultados tipo Klein en el
Grafeno.
˜
Rodolfo Briseno
Rodriguez
´
Introduccion
´
Soluciones a la ecuacion de eigenvalores dada para la Grafeno.
barrera de potencial Planteamiento del
problema.
´
Tunelaje Cuantico
Relativista de Klein.
Tunelaje Tipo Klein en el
(eikx x + re−ikx x )eiky y
 Grafeno
 x <0
Resultados
Ψ1 (x, y ) = (aeiqx x + be−iqx x )eiqy y 0<x <L
teikx x eiky y x >L

s(eikx x+iφ − re−ikx x+iφ )eiky y

 x <0
Ψ2 (x, y ) = s (aeiqx x+iθ − be−iqx x+iθ )eiqy y 0<x <L
s(teikx x+iφ )eiky y x >L


11. Efecto de tunelaje
tipo Klein en el
Grafeno.
Coeficientes ˜
Rodolfo Briseno
Rodriguez
´
Reflexion
´
Introduccion
2ieiφ sen(qx D)(sen(φ) − ss sen(θ) Grafeno.
r= Planteamiento del
ss [e−iqx D cos(φ + θ) + eiqx D cos(φ − θ)] − 2isen(qx D) problema.
´
Tunelaje Cuantico
Relativista de Klein.
´ ´
Probabilidad de transmision (aproximacion para Tunelaje Tipo Klein en el
Grafeno
|Vo | >> |E| Resultados
cos2 (φ)
T =
1 − cos(qx D)sen2 (φ)
Casos resonantes.
qx D = πN
para N = 0, 1, 2 . . .

12. Efecto de tunelaje
tipo Klein en el
´
Probabilidad de transmision de cuasipart´culas en
ı Grafeno.
˜
Rodolfo Briseno
´ ´
funcion del angulo de incidencia φ Rodriguez
´
Introduccion
Grafeno.
Planteamiento del
problema.
´
Tunelaje Cuantico
Relativista de Klein.
Tunelaje Tipo Klein en el
Grafeno
Resultados

13. Efecto de tunelaje
Preguntas tipo Klein en el
Grafeno.
˜
Rodolfo Briseno
Rodriguez
´
Introduccion
Grafeno.
Planteamiento del
problema.
´
Tunelaje Cuantico
Relativista de Klein.
Tunelaje Tipo Klein en el
Grafeno
Resultados