Estudo das Equações do Segundo Grau em Matemática

1. Unidade 7 – Equações do 2 Grau
Prof. Milton Henrique
mcouto@catolica-es.edu.br

2. Função do 2 Grau
2
𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐
incógnita
𝒙
𝟐
Equação da Parábola

3. Equações do 2º Grau
Forma Geral
Solução
𝐴. 𝑥 2 + 𝐵. 𝑥 + 𝐶 = 0
x=
−𝐵 ±
𝐵2 − 4. 𝐴. 𝐶
2. 𝐴
Fórmula de Báskara
Se ∆ = 𝐵2 − 4𝐴𝐶 > 0, a equação tem duas raízes reais distintas
Se ∆ = 𝐵2 − 4𝐴𝐶 = 0, a equação tem duas raízes reais e iguais
Se ∆ = 𝐵2 − 4𝐴𝐶 < 0, a equação não tem raízes reais

4. Equações do 2º Grau
𝑥2
− 5. 𝑥 + 6 = 0
x=
− −5 ±
5±1
x=
2
A=1
B = -5
C=6
x=
−𝐵 ±
𝐵2 − 4. 𝐴. 𝐶
2. 𝐴
−5 2 − 4. 1 . 6
5 ± 25 − 24
→ 𝑥=
2. (1)
2
X1 = 2
X2 = 3

5. Exercícios – Resolva as Equações:
1) 𝑥 2 + 7. 𝑥 + 10 = 0
2) 𝑥 2 − 2. 𝑥 − 15 = 0
3) 4. 𝑥 2 + 4. 𝑥 + 1 = 0
4) 𝑥 2 − 4. 𝑥 = 3. 𝑥 + 8
5) 2. 𝑥 𝑥 + 1 = 0
6) 𝑥 2 = −𝑥
7) 𝑥 2 = 16
8)
𝑥.(2𝑥+1)
3
=5

6. Função Quadrática
𝑦 = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐
y
Parábola
0
x

7. Função Quadrática – Pontos Importantes
y
Cruzamento com o eixo 0𝑥
𝑦=0
𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
x1
0
x2
x
𝑥=
−𝑏 ±
𝑏 2 − 4. 𝑎. 𝑐
2𝑎

8. Função Quadrática – Pontos Importantes
y
Cruzamento com o eixo 0𝑦
𝑥=0
c
0
𝑦= 𝑐
x

9. Função Quadrática – Pontos Importantes
Vértice
y
Ponto (x,y) onde:
−𝑏
x=
2𝑎
0
x
(x,y)
−(𝑏 2 − 4𝑎𝑐)
y=
4𝑎

10. Função Quadrática – Pontos Importantes
y
Eixo de Simetria
−𝑏
x=
2𝑎
É a reta:
−𝑏
x=
2𝑎
0
x

11. Função Quadrática - Concavidade
y
𝑦 = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐
Concavidade para cima
𝑎>0
Concavidade para baixo
𝑎<0
0
x

12. Exemplo
Construa a Representação Gráfica da Função
Quadrática 𝒚 = 𝒙 𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝟖
Vértice
Cruzamento com o eixo 𝟎𝒙
𝑥=
−𝑏 ±
X1= 2
𝑏 2 − 4. 𝑎. 𝑐
2𝑎
−𝑏
x=
2𝑎
X2= 4
X= 3
𝒚= 𝟖
y= -1
Eixo de Simetria
Cruzamento com o eixo 𝟎𝒚
𝑦= 𝑐
−(𝑏 2 − 4𝑎𝑐)
y=
4𝑎
−𝑏
x=
2𝑎
Concavidade
𝑎=1 → 𝑎>0 →
Concavidade para cima
X= 3

13. Continuação do Exemplo
𝑦 = 𝑥 2 − 6𝑥 + 8
y
X=3
8
2
4
0
Concavidade
para cima
x
(3,-1)

14. Exercícios – Construir a Representação
Gráfica das Funções
1)
2)
3)
4)
5)
6)
𝑦 = 10𝑥 − 𝑥 2
𝑦 = 𝑥2
𝑦 = −𝑥 2 + 3𝑥 − 10
𝑦 = 16 − 𝑥 2
𝑦 = 𝑥 2 − 9𝑥 + 14
𝑦 = 𝑥2 + 1

15. Sinal do Trinômio do 2º Grau
Se ∆ = 𝐵2 − 4𝐴𝐶 > 0, a equação tem duas raízes reais distintas
Mesmo sinal de A
Sinal diferente de A
x2
x1
𝑨< 𝟎
-
Mesmo sinal de A
𝑨> 𝟎
+
-
+
-
+

16. 2
∆ = 𝐵 − 4𝐴𝐶 > 0
∆ = 𝐵2 − 4 . 𝐴. 𝐶
𝑦 = 𝑥 2 − 7. 𝑥 + 12
∆ = (−7)2 −4 . (1). (12)
A=1
B = -7
C = 12
∆ = 49 − 48
∆=1
∆> 𝟎
2 raízes reais e distintas
X1 = 3
X2 = 4
+
𝑨> 𝟎
3
-
4
+

17. Sinal do Trinômio do 2º Grau
Se ∆ = 𝐵2 − 4𝐴𝐶 = 0, a equação tem duas raízes reais e iguais
Mesmo sinal de A
Mesmo sinal de A
X1 = x 2
𝑨> 𝟎
X1 = x 2
-
-
𝑨< 𝟎
+
+
X1 = x 2

18. 2
∆ = 𝐵 − 4𝐴𝐶 = 0
∆ = 𝐵2 − 4 . 𝐴. 𝐶
𝑦 = 4. 𝑥 2
∆ = (0)2 −4 . (4). (0)
A=4
B=0
C=0
∆=0 −0
∆=0
∆= 𝟎
2 raízes reais e iguais
X1 = 0
X2 = 0
𝑨> 𝟎
+
0
+

19. Sinal do Trinômio do 2º Grau
Se ∆ = 𝐵2 − 4𝐴𝐶 < 0, a equação não tem raízes reais
Mesmo sinal de A
𝑨> 𝟎
-
-
𝑨< 𝟎
+
+

20. 2
∆ = 𝐵 − 4𝐴𝐶 < 0
∆ = 𝐵2 − 4 . 𝐴. 𝐶
𝑦 = 𝑥2 + 𝑥 + 1
∆ = (1)2 −4 . (1). (1)
A=1
B=1
C=1
∆=1 −4
∆ = −3
∆< 𝟎
Não tem raízes reais
𝑨> 𝟎
+
+

21. Quem sou eu?
Prof. Milton Henrique do Couto Neto
mcouto@catolica-es.edu.br
Engenheiro Mecânico, UFF
MBA em Gestão Empresarial, UVV
MBA em Marketing Empresarial, UVV
Mestre em Administração, UFES
Pós-MBA em Inteligência Empresarial, FGV
http://lattes.cnpq.br/8394911895758599

22. Professor Universitário
2004
2011
2006
2007
2009
2011

23. Disciplinas
Lecionadas
Marketing
Empreendedorismo
Administração de Materiais
Matemática
Matemática Financeira
Gestão Financeira
Fundamentos da Administração
Gestão de Processos e Empresas

24. miltonhenrique
miltonhcouto
miltonhcouto

25. Este e outros arquivos estão
disponíveis para download no
www.slideshare.net/miltonh