Le modèle de Black Scholes

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- Les hypothèses du modèle black scholes
- Le modèle black scholes
- Les formules black scholes
- les ratios de couverture d'une option européenne
- La volatilité implicite
- Les limites du modèle BS

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Le modèle de Black Scholes

  1. 1. F aculté des U S niversité C A T ciences et adi yyad echniques M arrakech Introduction Les Hypothèses du Modèle Le Modèle Black Scholes Les Formules de Black Scholes Modèle de Black Scholes Les Ratios de Couverture d'une option européenne La Volatilité Implicite Les Limites du Modèle BS Preparé par : Amal ELJADIRI Evalué par : Mme.Khadija AKDIM Année Universitaire : 2012/2013 Conclusion
  2. 2. PLAN Introduction Les Hypothèses du Modèle Le Modèle Black Scholes Introduction Les Formules de Les Hypothèses du Modèle Les Ratios de Black Scholes Couverture d'une Le Modèle Black Scholes Les Formules de Black Scholes Les Ratios de Couverture d'une Option Européenne La Volatilité Implicite Les Limites du Modèle BS Conclusion option européenne La Volatilité Implicite Les Limites du Modèle BS Conclusion
  3. 3. Introduction Introduction Les Hypothèses du Modèle Le Modèle Black Scholes Les Formules de Black Scholes Les Ratios de Couverture d'une option européenne La Volatilité Implicite Un peu d'historique... Robert C. Merton a été le premier à publier un article développant l'aspect mathématique d'un modèle d'évaluation d'option en citant les travaux de Fischer Black et de Myron Scholes. Ceux-ci, publiés en 1973, se fondent sur les développements de théoriciens comme Louis Bachelier ou encore Paul Samuelson. Robert Merton et Myron Scholes (Fischer Black était décédé en 1995) ont obtenu en 1997 le prix de la Banque de Suède en sciences économiques en mémoire d'Alfred Nobel. Black a été cité comme contributeur. Les Limites du Modèle BS Conclusion
  4. 4. Introduction Introduction Les Hypothèses du Modèle Le Modèle Black Scholes Le concept fondamental de Black et Scholes fut de mettre en rapport le prix implicite de l'option et les variations de prix de l'actif sous-jacent à temps continu. Black et Scholes avaient proposé une formule pour Les Formules de Black Scholes Les Ratios de Couverture d'une estimer la valeur théorique d'une option nancière de type européenne option européenne (call ou put). La Volatilité Le modèle de Black Scholes est devenu la référence en termes de Implicite Les Limites du modèle d'évaluation des produits dérivés. Il a eu un impact majeur sur Modèle BS les méthodes utilisées par les traders, tant vis-à-vis de l'évaluation du Conclusion prix des options que dans l'élaboration de technique de couverture. Ce modèle constitue le point de départ de l'essor de l'ingénierie nancière dans les années 1980 et 1990.
  5. 5. Les Hypothèses du Modèle Introduction Les Hypothèses du Modèle • • Le temps est une fonction continue, Les options sont de types européennes : elles ne peuvent s'exercer qu'à la maturité, • Le sous-jacent considéré ne paye pas de dividendes pendant la période considérée (ou du moins un dividende constant), • • • • Le prix de l'actif sous-jacent suit un mouvement brownien, Les Formules de Black Scholes Les Ratios de Couverture d'une option européenne La Volatilité Implicite La vente à découvert est possible, Les Limites du Les coûts de transactions sont nuls, et il n'y a pas de restriction sur Il n'y a pas de taxes, Il existe un taux d'intérêt sans risque, connu et constant pendant la période considérée, • Scholes Il n'y a pas d'opportunités d'arbitrage, leurs volumes, • • Le Modèle Black Les sous-jacents sont parfaitement divisibles (on peut par exemple acheter 1/100e d'action). Modèle BS Conclusion
  6. 6. Le Modèle Black Scholes Introduction Les Hypothèses du Modèle Le Modèle Black Énoncé Scholes Le modèle de BlackScholes est, à l'origine, un modèle à deux actifs : l'un risqué St (l'action sous-jacente à l'option), l'autre pas Rt(une obligation). La Volatilité Implicite Les Limites du Modèle BS stochastique (EDS) suivante : Conclusion dSt = µSt dt + σ St dWt (∗) : paramètre réel Les Ratios de option européenne Le prix de l'action, St t=0, est régi par l'équation diérentielle µ Black Scholes Couverture d'une Rt = e rt , où r le taux sans risque. Wt Les Formules de σ : la volatilité de l'actif, 0 S0 : mouvement Brownien sur un espace probabiliste (Ω,F,P) : connu
  7. 7. Le Modèle Black Scholes Introduction Les Hypothèses du Modèle Le Modèle Black Scholes Les Formules de Black Scholes Signification Les Ratios de Couverture d'une (*) = dSt = µdt + σ dWt St C'est le rendement du spot St . Il est à peu près constant égal à µdt, une (petite) perturbation aléatoire σ dWt . L' amplitude de cette perturbation est mesurée par la volatilité σ . option européenne La Volatilité Implicite à Les Limites du Modèle BS Conclusion
  8. 8. Le Modèle Black Scholes Introduction Les Hypothèses du Modèle Solution de l'EDS (*) Le Modèle Black Scholes La solution est : t St = S0 + 0 µSu dx + t 0 Les Formules de Black Scholes σ Su dWu St = S0 e 2 Couverture d'une option européenne Ou encore, en utilisant la Formule d'Ito : 2 (µ− σ Les Ratios de La Volatilité Implicite )t +σ Wt Les Limites du Modèle BS Conclusion Rappel : La formule d'Ito Si f : IR - IR de Classe C2 f (W t ) = f (0) + , Alors : t 0 f (Ws ) dWs + t 1 2 0 f (Ws ) ds
  9. 9. Le Modèle Black Scholes Introduction Exemple Les Hypothèses du Considérons un agent qui investit dans ce marché. Désignons par βt αt et les nombres respectifs d'obligations et d'actions détenues par l'agent à l'instant t. La valeur du portefeuille de cet investisseur est : Modèle Le Modèle Black Scholes Les Formules de Black Scholes Vt = αt .Rt + βt .St la stratégie de nancement( αt , β t) est un processus adapté : pour déterminer la stratégie on n'anticipe pas sur le futur car on ne dispose que de l'information jusqu'à l'instant t. Cela proscrit en particulier les délits d'initiés. Nous supposons que cette stratégie est autonancée. c'est à dire : dVt = αt .dRt + βt .dSt Donc le portefeuille actualisé ˜ Vt = e −rt Vt est aussi autonancé, et on a : ˜ ˜ d Vt = αt .d St Les Ratios de Couverture d'une option européenne La Volatilité Implicite Les Limites du Modèle BS Conclusion
  10. 10. Le Modèle Black Scholes Exemple (suite) Introduction - Le marché est viable : il existe une probabilité ˆ P pour laquelle ˜ St est une martingale locale. C'est l'équivalent de l'AOA dans un marché Modèle Le Modèle Black Scholes discret. c r −µ ˆ d P = e c .Wt − .T , c = σ 2 Les Formules de 2 - Le marché est Black Scholes µ−r ˜ ˜ ˆ ˆ , d St = σ.St .Wt , Wt = Wt − .t (MB ) σ complet : Tout actif de la forme : Zt=φ(St) (donc σ ˆ ˜ St = S0 .e σ.Wt − 2 .t 2 toute variable aléatoire Ft mesurable) est réplicable (duplicable). Cela résulte du théorème de représentation des martingales dû à Ito. Résultat En notant Les Hypothèses du ˆ E l'espérance pour la probabilité ˆ P, on a : ˜ ˆ ˜ ˜ ˜ Vt = E (ψ(St )/Ft ) = f (t , St ), ψ(St )martingale Avec, f (t , x ) = 1 (2π) +∞ . √ −y ψ(x .e σ.y . (T −t ) ).e dy 2 2 −∞ Les Ratios de Couverture d'une option européenne La Volatilité Implicite Les Limites du Modèle BS Conclusion
  11. 11. Le Modèle Black Scholes Introduction Les Hypothèses du Modèle Le Modèle Black Scholes Les Formules de Black Scholes Pour une option Les Ratios de Couverture d'une - Son prix est : option européenne ˜ V0 = V0 = f (0, S0 ) La Volatilité Implicite - Avec : Les Limites du f (0, S0 ) = 1 (2π) +∞ . −∞ ψ(S0 .e √ σ.y . (T ) ).e −y 2 2 Modèle BS dy Conclusion
  12. 12. Les Formules de Black Scholes Pour un Call Introduction La valeur d'un actif à l'instant T est (St − K )+, ¯ C = S0 . N ( d 1 ) − K . e où ¯ N −rT et à la date t est : ¯ .N ( d 2 ) Les Hypothèses du Modèle Le Modèle Black Scholes Les Formules de Black Scholes est la fonction de répartition d'une N(0,1) : ¯ N (x ) = et d1 = Les Ratios de x 1 (2π) e . −u 2 Couverture d'une du −∞ log ( S ) + T (r + K 0 σ 2 (T ) Les Limites du σ2 2 ) (T ) (K − St )+, ¯ P = −S0 .N (−d 1) + K .e −rT Modèle BS Conclusion Pour un Put La valeur d'un actif à l'instant T est La Volatilité Implicite et d2 = d1 − σ option européenne et à la date t est : ¯ .N (−d 2)
  13. 13. Les Formules de Black Scholes Introduction Les Hypothèses du Remarque : Modèle - La Formule de Call Put Parity est bien vériée. En eet, puisque est une martingale sous C −P =e −rT ˆ P, on a : Le Modèle Black Scholes Les Formules de ˆ .E ((ST − K )+) − e −rT Black Scholes ˆ .E ((K − ST )+) Les Ratios de Couverture d'une option européenne Donc C −P =e −rT ˆ .E (ST ) − e −rT .K La Volatilité Implicite Les Limites du Finalement C − P = S0 − e - Connaissant K, ˜ St S0 , r, µ −rT Modèle BS .K et T, on peut facilement calculer la valeur du Call et du Put sous Excel : Conclusion
  14. 14. Les Ratios de Couverture d'une option européenne Introduction Les Hypothèses du Modèle Les Grecques Le Modèle Black Les Grecques sont des indicateurs qui mesurent la sensibilité du prix par Scholes rapport à un paramètre donné. Les Formules de •∆ Black Scholes mesure la sensibilité du prix par rapport au sous jacent : ∂f ∆ t (S t ) = ∂x Couverture d'une ( t , St ) couverture ! La Volatilité Les Limites du Modèle BS Conclusion mesure la sensibilité du delta par rapport au sous jacent : Γt ( S t ) = ∂∆ ∂x ( t , St ) C'est aussi une mesure de la fréquence de rebalancement du portefeuille de couverture ! option européenne Implicite C'est aussi la quantité de l'actif risqué dans le portefeuille de •Γ Les Ratios de
  15. 15. Les Ratios de Couverture d'une option européenne Introduction Les Grecques (Suite) Les Hypothèses du •Θ Le Modèle Black Modèle mesure la sensibilité du prix par rapport au temps : Θt (St ) = ∂f ∂t (t , St ) Scholes Les Formules de Black Scholes Les Ratios de Couverture d'une •ρ mesure la sensibilité du prix par rapport au taux d'intérêt : option européenne La Volatilité ∂f ρt (St ) = ∂r Implicite ( t , St ) Les Limites du Modèle BS Conclusion • Vega (qui n'est pas une lettre grecque ! ! !) mesure la sensibilité du prix par rapport à la volatilité : Vegat (St ) = ∂f ∂σ ( t , St ) C'est aussi un indicateur des précautions à prendre dans l'estimation de la volatilité !
  16. 16. Les Ratios de Couverture d'une option européenne Introduction Les Hypothèses du Modèle Le Modèle Black Pour un Call/Put Scholes Les Formules de Black Scholes Les Ratios de Couverture d'une option européenne La Volatilité Implicite Les Limites du Modèle BS Conclusion Ce sont les valeurs des Grecques à t=0. Pour avoir celles en t, il sut de remplacer T pat T-t. x := St
  17. 17. Les Ratios de Couverture d'une option européenne Introduction Les Hypothèses du Interprétation des Grecques pour un Call Modèle Le Modèle Black DELTA : Scholes Les Formules de ∆ = N (d 1) Il mesure la variation d'un Call en euros pour une variation de 1 euro du sous-jacent : si le delta de ce Call est de 50 %, alors la variation du sous-jacent de 1 euro fera augmenter la valeur du Call de 50 centimes. Un delta intéressant se situe entre 25% et 75%. En eet, pour simplier, le delta représente la probabilité que le Call a de terminer dans la monnaie à échéance. Plus le delta est proche de zéro, plus le call est risqué. Black Scholes Les Ratios de Couverture d'une option européenne La Volatilité Implicite Les Limites du Modèle BS Conclusion
  18. 18. Les Ratios de Couverture d'une option européenne Introduction Les Hypothèses du Modèle Le Modèle Black Interprétation des Grecques pour un Call GAMMA : Γ= N (d 1) 0 St .σ. (T − t ) Le gamma représente la variation du delta par rapport à la valeur de l'actif sous-jacent. Mathématiquement parlant, c'est la dérivée seconde de la valeur d'un portefeuille par rapport au cours de l'actif. Il représente donc la vitesse d'évolution du delta : si le gamma est faible, le delta varie lentement. Scholes Les Formules de Black Scholes Les Ratios de Couverture d'une option européenne La Volatilité Implicite Les Limites du Modèle BS Conclusion
  19. 19. Les Ratios de Couverture d'une option européenne Introduction Interprétation des Grecques pour un Call Θ=− Les Hypothèses du Modèle THETA : Le Modèle Black 2 St .σ N (d 1) (T − t ) −Ke −r (T −t ) rN (d 2) le thêta est le taux de variation d'un Call dans le futur en fonction du Scholes Les Formules de Black Scholes Les Ratios de Couverture d'une option européenne La Volatilité Implicite Les Limites du temps. Un thêta de -1% sur une Modèle BS période de 24h signie que le Call Conclusion concerné perdra 1% de sa valeur tous les jours à cause de la diminution de sa valeur temps. Il est donc préférable de choisir un Call dont le thêta est le plus petit possible surtout si on investit sur le long terme. Absence d'arbitrage, lorsque : Θ + r .St .∆ + 1 2 .σ 2 .St2 .Γ − r .C = 0
  20. 20. Les Ratios de Couverture d'une option européenne Introduction Les Hypothèses du Modèle Le Modèle Black Scholes Les Formules de Interprétation des Grecques pour un Call RHO : ρ = K (T − t )e −r (T −t ) Black Scholes Les Ratios de Couverture d'une N (d 2) 0 option européenne La Volatilité Implicite Il représente la variation de la valeur du Call par rapport aux taux Les Limites du d'intérêts : Plus le taux d'intérêt est élevé plus le prix du call l'est, et Modèle BS plus le taux d'intérêt est élevé moins on veut emprunter pour investir. Conclusion Ainsi il est plus intéressant de se positionner sur le call ce qui fait grimper sa valeur. Mais il reste le paramètre qui inue le moins sur la valorisation des Calls.
  21. 21. Les Ratios de Couverture d'une option européenne Introduction Interprétation des Grecques pour un Call VEGA : Les Hypothèses du Modèle Le Modèle Black Scholes Vega = St . (T − t ).N (d 1) 0 Les Formules de Black Scholes Le call est très sensible à la volatilité Les Ratios de car c'est elle qui peut amener l'ac- option européenne tion sous le strike. Cela est d'autant La Volatilité plus vrai dans la monnaie. Le véga mesure la variation du prix d'une option pour une variation de 1% dans la volatilité implicite. La volatilité étant une mesure du risque, une hausse de cette dernière augmente la valeur de l'option. Un call avec un véga de 0,20 augmente de 0,20 Euros à la suite d'une hausse de volatilité de 1%. Le véga est plus élevé pour les options à long terme que celles à court terme. Couverture d'une Implicite Les Limites du Modèle BS Conclusion
  22. 22. La Volatilité Implicite Introduction Les Hypothèses du Modèle Le Modèle Black Scholes Définition de la volatilité C'est une mesure des amplitudes des variations du cours d'un actif nancier : Plus la volatilité d'un actif est élevée, plus son cours varie fortement sur une période donnée, et plus l'investissement dans cet actif Les Formules de Black Scholes Les Ratios de Couverture d'une option européenne La Volatilité sera considéré comme risqué et par conséquent plus l'espérance de gain Implicite (ou risque de perte) sera important. Les Limites du Aurement dit, la volatilité permet de calculer l'amplitude des variations positives et négatives de la valeur d'un titre autour de sa valeur moyenne. Elle constitue une des mesures du risque d'investissement. Modèle BS Conclusion
  23. 23. La Volatilité Implicite Introduction Types de Volatilité Les Hypothèses du - La volatilité historique : basée sur les variations historiques que le cours d'un titre a connu. Elle peut être calculée sur diérents horizons de temps suivant l'analyse désirée. La seule limite à cette méthode repose sur le fait qu'il est dicile de se baser sur des données historiques pour prédire les variations futures. Mais, elle est simple à calculer : Modèle Le Modèle Black Scholes Les Formules de Black Scholes Les Ratios de Couverture d'une option européenne σ= où : n est le nombre de périodes, titre à la période i et x ¯ ¯ i (xi − x ) n xi , i = 1, .., n La Volatilité Implicite Les Limites du le cours de clôture du la moyenne des cours passés. - La volatilité implicite : correspondant au prix du risque d'une option. Elle représente la volatilité anticipée par les acteurs du marché pour la durée de vie de l'option et transparaît dans la prime de l'option. Ainsi, plus la volatilité implicite est élevée et plus la prime de l'option sera élevée et inversement. Modèle BS Conclusion
  24. 24. La Volatilité Implicite Introduction La Volatilité Implicite La volatilité implicite est la valeur du paramètre volatilité permettant d'égaler le prix Black Scholes au prix du marché. Elle est obtenue par inversion de la formule Black Scholes : C'est la solution de l'équation C B (σ) = C , marché et où C est le prix d'une option européenne observé sur le CB son prix selon BS. Elle est unique en l'absence d'arbitrage. Les Hypothèses du Modèle Le Modèle Black Scholes Les Formules de Black Scholes Les Ratios de Couverture d'une option européenne La Volatilité Implicite Les Limites du Modèle BS Conclusion
  25. 25. La Volatilité Implicite Introduction Les Hypothèses du Modèle Calcul de la Volatilité Implicite Le calcul s'eectue par itérations se basant sur le modèle de Black Scholes et sur l'algorithme de Newton-Raphson. Le Calculateur de volatilité implicite intégré au Calculateur d'options disponible dans les outils de négociation en ligne donne le résultat en faisant entrer les paramètres connus (S0,K,r,T,St). Le Modèle Black Scholes Les Formules de Black Scholes Les Ratios de Couverture d'une option européenne La Volatilité Implicite Les Limites du http : //www .strategies − options .com/implied − volatility − matrix .html L'investisseur peut ainsi comparer la volatilité implicite à la volatilité historique de l'actif sous-jacent, et se forger sa propre opinion de la volatilité à venir pour l'aider à implanter la stratégie sur l'option qu'il juge optimale. Modèle BS Conclusion
  26. 26. La Volatilité Implicite Introduction Calculateur de la Volatilité Implicite en Ligne Les Hypothèses du Modèle Le Modèle Black Scholes Les Formules de Black Scholes Les Ratios de Couverture d'une option européenne La Volatilité Implicite Les Limites du Modèle BS Conclusion
  27. 27. La Volatilité Implicite Introduction Calculateur de la Volatilité Implicite en Ligne Les Hypothèses du Modèle Le Modèle Black Scholes Les Formules de Black Scholes Les Ratios de Couverture d'une option européenne La Volatilité Implicite Les Limites du Modèle BS Conclusion
  28. 28. La Volatilité Implicite Introduction Les Hypothèses du Modèle Le Modèle Black Scholes Les Formules de Black Scholes Les Ratios de Couverture d'une option européenne Calcul de la Volatilité Implicite sous Excel Via la fonction Valeur Cible dans Données... La Volatilité Implicite Les Limites du Modèle BS Conclusion
  29. 29. La Volatilité Implicite Introduction Les Hypothèses du Modèle La Volatilité Implicite selon BS Le Modèle Black Scholes Le modèle de Black-Scholes implique que la volatilité implicite de toutes Les Formules de les options sur le même sous-jacent doit être la même, et égale à la Black Scholes volatilité historique du sous-jacent. Les Ratios de Couverture d'une option européenne La Volatilité Implicite Les Limites du Modèle BS Conclusion
  30. 30. La Volatilité Implicite Introduction En Pratique.. Les Hypothèses du Lorsqu'on calcule la volatilité implicite à partir des prix des diérentes Modèle options observés sur le marché, on constate que : Le Modèle Black • La volatilité implicite est toujours supérieure à la volatilité du Scholes Les Formules de sous-jacent. Black Scholes • Les Ratios de Les volatilités implicites de diérentes options sur le même sous-jacent dépendent de leur strikes et maturités. Couverture d'une option européenne La Volatilité Implicite Les Limites du Modèle BS Conclusion Optionsd AchatCAC40au20 /02 /06
  31. 31. La Volatilité Implicite Introduction Les Hypothèses du Modèle La Surface de Volatilité Le Modèle Black Le graphique trace les volatilités implicites des options sur l'indice SP 500 du 23 janvier 2006. Scholes Les Formules de Black Scholes • Pour presque tous les strikes : la volatilité implicite décroît en fonction du strike : Phénomène su skew. • Pour des très grands strikes : une légère remontée de la volatilité implicite : Phénomène su smile. • Les phénomènes de smile et skew sont les plus prononcés pour les options de courte maturité ; la courbe de volatilité implicite en fonction de strike s'aplatit pour les grandes maturités. Les Ratios de Couverture d'une option européenne La Volatilité Implicite Les Limites du Modèle BS Conclusion
  32. 32. La Volatilité Implicite Introduction Les Hypothèses du Modèle Le Modèle Black Scholes Le Smile Les Formules de Black Scholes Les Ratios de Couverture d'une option européenne Un `Smile' sourire signie que La Volatilité ces volatilités implicites sont plus Implicite élevées pour les puts et calls hors Les Limites du de la monnaie que pour les options à la monnaie. Modèle BS Conclusion
  33. 33. La Volatilité Implicite Introduction Les Hypothèses du Modèle Le Modèle Black Scholes Le Skew Les Formules de Black Scholes Les Ratios de Couverture d'une option européenne Quand il ne s'agit pas d'un 'sourire', La Volatilité mais d'une pente sur la courbe, on Implicite utilise le terme `skew' : un skew né- Les Limites du gatif donnerai une courbe de pente négatif par exemple. Modèle BS Conclusion
  34. 34. La Volatilité Implicite Introduction Les Hypothèses du Modèle Le Modèle Black Scholes Les Formules de Black Scholes Skew,Smile.. Le phénomène de skew est dû au fait que le modèle de Black Scholes sous-estime la probabilité d'un krach boursier ou d'un grand mouvement de prix en général. Le traders corrigent cette probabilité en augmentant les volatilités implicites des options loin de la monnaie. le smile peut être expliqué par les primes de liquidité qui sont plus élevées pour les options loin de la monnaie. Les Ratios de Couverture d'une option européenne La Volatilité Implicite Les Limites du Modèle BS Conclusion
  35. 35. Les Limites du Modèle BS Introduction Les Hypothèses du Modèle Le Modèle Black Scholes Erreur relative de pricing Les Formules de Black Scholes Le modèle sous estime les prix dans le cas où : Les Ratios de - La maturité est petite, option européenne - Les options d'achat sont fortement dans la monnaie. La Volatilité Il n'est valable que pour les options européennes. Pour le pricing des Couverture d'une Implicite Les Limites du options exotiques, par exemple, supposons que l'on a besoin de pricer Modèle BS un Call avec un prix d'exercice K et qui un a une barrière K' avec K' Conclusion K, doit-on alors utiliser la volatilité implicite de K ? Ou celle de K' ? Ou une combinaison linéaire des deux ?
  36. 36. Les Limites du Modèle BS Introduction Les Hypothèses du Modèle Le Modèle Black Scholes Les Formules de Black Scholes La Volatilité Implicite Dans Black Scholes, on devrait avoir en théorie σ = σ (impl)= Les Ratios de cte. Or, on observe en pratique que c'est pas vrai. Tant que deux de σ, σ dépend de K, elle dépend aussi de S0, ainsi elle dépend des σ (K,S0), dans ce cas un changement de S0 induit un changement donc le risque Vega change également et il doit être couvert plus et devrait être couvert plus correctement (et à moindre coût) que les risques de delta. Couverture d'une option européenne La Volatilité Implicite Les Limites du Modèle BS Conclusion
  37. 37. Conclusion Introduction Les Hypothèses du Modèle Le Modèle Black La prophétie auto-réalisée Scholes Les Formules de Fisher Black lui même ironisait sur le sujet : Black Scholes Les opérateurs savent maintenant utiliser la formule et les variantes. Ils Les Ratios de l'utilisent tellement bien que les prix de marché sont généralement option européenne proches de ceux donnés par la formule, même lorsqu'il devrait exister un écart important... Couverture d'une La Volatilité Implicite Les Limites du Modèle BS Conclusion Les limites de BS nous poussent à utiliser d'autres modèles plus adéquats avec les données du marché, les modèles à volatilité locale (Dupire ) ou encore mieux, des modèles à volatilité stochastique ( Heston SABR ) et on les calibre an de retrouver le smile correct.

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