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  1. 1. R´sum´ du cours sur les suites. e e1 Suites num´riques r´elles et principe de r´currence e e e1.1 Les deux fa¸ons de d´finir une suite num´rique r´elle c e e eD´finition. On note n0 un entier naturel (en g´n´ral n0 = 0 ou n0 = 1) e e e.Une suite num´rique r´elle est une application qui associe ` tout entier e e anaturel n ≥ n0 un nombre r´el qui est not´ un . e eCe nombre est « le terme de la suite de rang n » et la suite est doncd´finie « ` partir du rang n0 ». e aOn peut d´finir une suite de deux fa¸ons compl`tement diff´rentes : e c e e– Soit on a un moyen de calculer la valeur de un connaissant le rang n : la suite est donc d´finie par une fonction f du rang et on note un = f (n) . e Ex : un = 2n– Soit on connaˆ la valeur initiale de la suite un0 et on sait calculer la ıt valeur de la suite au rang n + 1 connaissant sa valeur au rang n : un+1 = f (un ) . Ex : u0 = 0 et un+1 = un + 2Les deux exemples d´finissent la mˆme suite qui n’est autre que la suite e edes entiers naturels multiples de 2 .Dans le premier cas la suite est d´finie par une fonction (sous-entendu : edu rang) et dans le second, elle est d´finie par une formule de r´currence e eOn commence par une propri´t´ utile pour compter le nombre de termes eedans une somme.Propri´t´. Soit a ≤ b deux entiers naturels. Le nombre d’entiers n com- e epris entre a et b est ´gal ` b − a + 1 . e aEx : entre les entiers 15 et 20 (bornes comprises) on a exactement 6entiers.1.2 Le principe de r´currence eOn consid`re une propri´t´ qui d´pend d’un entier naturel n : pour chaque e ee en , la propri´t´ Pn est vraie ou fausse. ee 1
  2. 2. Th´or`me. Si les deux conditions suivantes sont r´unies : e e e– Pn0 est vraie– Pour tout n ≥ n0 , si Pn est vraie , alors Pn+1 est vraieAlors on peut conclure que la propri´t´ Pn est vraie pour tout n ≥ n0 eeOn en d´duit une formule pour la somme des entiers de 0 ` n . e aPropri´t´. Soit n un entier naturel et S = 0 + . . . + n la somme de tous e e n(n + 1)les entiers compris entre 0 et n. On a le r´sultat suivant : S = e 2On en d´duit ´galement une formule pour la somme des puissances d’un e enombre r´el . ePropri´t´. Soit n un entier naturel , q un nombre r´el et S = 1 + q + e e e n. . .+q la somme de toutes les puissances de q dont l’exposant est comprisentre 0 et n. On a leesultat suivant : r´  1 − q n+1 q n+1 − 1   1−q = si q = 1 q−1  S=     n+1 si q = 12 Rappels de premi`re : suites arithm´tiques et suites e e g´om´triques e e2.1 Suites arithm´tiques eD´finition. Une suite (un ) d´finie ` partir du rang n0 est arithm´tique e e a elorsque pour tout entier naturel n ≥ n0 on a : un+1 = un + r o` le unombre r est une constante r´elle appel´e « raison » de la suite. e eRemarque. Montrer qu’une suite est arithm´tique revient donc ` montrer e aque la diff´rence un+1 − un est constante. eCalcul d’un terme en fonction de son rang. e e ´Propri´t´. Etant donn´e une suite arithm´tique de raison r d´finie ` e e e apartir du rang n0 , pour tout entier n ≥ n0 , on peut calculer le terme derang n par la formule suivante : un = un0 + (n − n0 ) · r 2
  3. 3. Remarque. On calcule la raison d’une suite arithm´tique dont on connaˆ e ıt u n − u n0deux termes de rangs diff´rents par la formule : r = e n − n0Calcul de la somme de termes cons´cutifs. e e e ´Propri´t´. Etant donn´e une suite arithm´tique de raison r d´finie ` e e e apartir du rang n0 , on consid`re la somme de ses termes du rang n0 jusqu’` e aun rang n ≥ n0 . Cette somme est not´e : e S = un0 + un0 +1 + . . . + unLe nombre de termes de cette somme est N = n − n0 + 1 et on a laformule suivante : u n + un S=N· 0 2Remarque. La somme est donc la moyenne du premier et du dernier termemultipli´e par le nombre de termes. e2.2 Suites g´om´triques e eD´finition. Une suite (un ) d´finie ` partir du rang n0 est g´om´trique e e a e elorsque pour tout entier naturel n ≥ n0 on a : un+1 = q · un o` le nombre uq est une constante r´elle appel´e « raison » de la suite. e eRemarque. Montrer qu’une suite qui ne s’annule pas est g´om´trique re- e e un+1vient donc ` montrer que le quotient a est constant. unCalcul d’un terme en fonction de son rang. e e ´Propri´t´. Etant donn´e une suite g´om´trique de raison q d´finie ` e e e e apartir du rang n0 , pour tout entier n ≥ n0 , on peut calculer le terme derang n par la formule suivante : un = un0 · q n−n0Calcul de la somme de termes cons´cutifs. e e e ´Propri´t´. Etant donn´e une suite g´om´trique de raison q d´finie ` e e e e apartir du rang n0 , on consid`re la somme de ses termes du rang n0 jusqu’` e aun rang n ≥ n0 . Cette somme est not´e : e S = un0 + un0 +1 + . . . + unLe nombre de termes de cette somme est N = n − n0 + 1 et on a la 3
  4. 4. formule suivante :  N  un · 1 − q si   0 q=1  1−q S=     u ·N n0 si q=13 Majoration et minoration d’une suiteD´finition. Une suite (un )n≥n0 est « major´e par le r´el M » lorsque e e epour tout n ≥ n0 , on a : un ≤ MRemarque. Le r´el M est alors appel´ un « majorant » de la suite. De e eplus, lorsqu’une suite est major´e, elle a une infinit´ de majorants. e eD´finition. Une suite (un )n≥n0 est « minor´e par le r´el m » lorsque e e epour tout n ≥ n0 , on a : un ≥ mRemarque. Le r´el m est alors appel´ un « minorant » de la suite. De e eplus, lorsqu’une suite est minor´e, elle a une infinit´ de minorants. e eD´finition. Une suite (un )n≥n0 est « born´e » lorsque elle est ` la fois e e amajor´e et minor´e. e e4 Variations4.1 G´n´ralit´s e e eD´finition. Une suite est « croissante » lorsque pour tout n ≥ n0 on a : e un ≤ un+1.Remarque. Pour montrer qu’une suite n’est pas croissante, il faut montrerqu’il existe un rang particulier n1 pour lequel on v´rifie un1 > un1 +1 . eD´finition. Une suite est « d´croissante » lorsque pour tout n ≥ n0 on e ea: un ≥ un+1. 4
  5. 5. Remarque. Pour montrer qu’une suite n’est pas d´croissante, il faut mon- etrer qu’il existe un rang particulier n1 pour lequel on v´rifie un1 < un1 +1 . eD´finition. Une suite est « monotone » lorsqu’elle est croissante ou ed´croissante. e4.2 M´thodes eIl y a principalement quatre m´thodes pour ´tudier les variations d’une e esuite.´Etude du signe de la diff´rence de deux termes cons´cutifs. e eDans tous les cas, on peut calculer la diff´rence un+1 − un et ´tudier son e esigne.Si cette diff´rence est toujouirs positive, la suite est croissante. eSi cette diff´rence est toujouirs n´gative, la suite est d´croissante. e e eComparaison du quotient de deux termes cons´cutifs et de 1. eUniquement dans le cas o` on sait que tous les termes de la suite sont u un+1strictement positifs, on peut calculer le quotient et le comparer `a un1.Si ce quotient est toujouirs plus grand que 1, la suite est croissante.Si ce quotient est toujouirs plus petit que 1 , la suite est d´croissante. e´Etude des variations d’une fonction. Uniquement dans le cas o` la suite uest d´finie comme une fonction du rang, c’est-`-dire o` l’on a un = f (n), e a uon peut ´tudier les variations de f sur l’intervalle [0, +∞[ : les variations ede la suite sont identiques ` celles de la fonction. aRaisonnement par r´currence. e Pour montrer qu’une suite d´finie pour etout entier naturel est croissante, on peut proc´der ainsi : e 1. On v´rifie u0 ≤ u1 e 2. On suppose que pour un certain entier n, on a un ≤ un+1 et on montre que cela implique n´cessairement un+1 ≤ un+2 e 3. On peut alors conclure que la suite est croissante. 5
  6. 6. 5 LimitesDans cette section, tous les r´sultats ´nonc´s sont admis. e e e5.1 D´finition des limites eUne suite peut avoir une limite ´gale ` +∞ ou ` −∞ ou ` un r´el l . e a a a eUne suite peut ´galement ne pas avoir de limite. eLimite infinie.D´finition. La suite (un ) tend vers +∞ lorsque pour tout r´el K il existe e eun rang n1 ` partir duquel on a un > K. aRemarque. Il est ´quivalent de dire que les termes de la suite « sont plus egrands que tout r´el ` partir d’un certain rang ». e aD´finition. La suite (un ) tend vers −∞ lorsque pour tout r´el K il existe e eun rang n1 ` partir duquel on a un < K. aRemarque. Il est ´quivalent de dire que les termes de la suite « sont plus epetits que tout r´el ` partir d’un certain rang ». e aLimite r´elle eD´finition. La suite (un ) tend vers 0 lorsque pour tout r´el e > 0 il e eexiste un rang n1 ` partir duquel on a |un | < e. aD´finition. La suite (un ) tend vers le r´el l lorsque pour tout r´el e > 0 e e eil existe un rang n1 ` partir duquel on a |un − l| < e. aRemarque. Il est ´quivalent de dire que la distance des termes de la suite eau r´el l « est plus petite que tout r´el strictement positif ` partir d’un e e acertain rang ».Convergence et divergenceD´finition. eUne suite est « convergente » lorsqu’elle admet une limite r´elle. eUne suite est « divergente » dans le cas contraire, c’est-`-dire lorsque a– ou bien elle admet une limite ´gale ` +∞ ou ` −∞ e a a– ou bien elle n’admet pas de limite 6
  7. 7. 5.2 Limites et op´rations eDans les tableaux qui suivent les nombres et sont deux nombres r´els. eLorsque le r´sultat est not´ ? ? ? , cela signifie qu’il est « ind´termin´ » e e e e, c’est-`-dire varie selon la nature des suites utilis´es. a eSomme de deux suites Si lim un = +∞ −∞ +∞ et lim vn = +∞ −∞ +∞ −∞ −∞ Alors lim un + vn = + +∞ −∞ +∞ −∞ ? ? ?Produit de deux suites Si lim un = = 0 ±∞ 0 et lim vn = ±∞ ±∞ ±∞ Alors lim un · vn = · ±∞ ±∞ ? ? ?Lorsque le r´sultat est ±∞ , le signe est d´termin´ par la r`gle des signes e e e e.Inverse d’une suite Si lim un = = 0 ±∞ 0 0+ 0− 1 1 Alors lim = 0 ? ? ? +∞ −∞ unPar d´finition lim un = 0+ signifie : lim un = 0 et la suite est strictement epositive ` partir d’un certain rang. aDe mˆme, lim un = 0− signifie : lim un = 0 et la suite est strictement en´gative ` partir d’un certain rang. e a un 1Quotient de deux suites. On d´termine la limite de e = un · par vn vnapplication successive des th´or`mes sur l’inverse d’une suite et sur le e eproduit de deux suites. 7
  8. 8. Cas d’ind´termination. e C’est le plus important ` m´moriser : a e 1 ∞ 0 ∞−∞ 0·∞ 0 ∞ 05.3 Suite obtenue par composition d’une suite puis d’une fonc- tionPropri´t´. On consid`re la suite vn = f (un ) o` f d´signe une fonction e e e u enum´rique r´elle. Si on connaˆt lim un = α et si on connaˆt lim f (x) = β e e ı ı x→α, alors on a : lim vn = β.Remarque. Dans cet ´nonc´, les symboles α et β d´signent un r´el ou e e e e+∞ ou −∞.5.4 Limites et relation d’ordrePassage ` la limite dans une in´galit´. a e ePropri´t´. On consid`re deux suites (un ) et (vn ) toutes les deux conver- e e egentes respectivement vers les r´els et . Si ` partir d’un certain rang, e aon a : un ≤ vn , alors on a : ≤Remarque. On dit qu’on peut « passer ` la limite » dans l’in´galit´ un ≤ a e evnCalcul d’une limite ` partir d’in´galit´s. a e e On ne peut pas appliquer lesth´or`mes sur les op´rations dans tous les cas, notamment lorsque l’une e e edes deux suites utilis´es n’a pas de limite. Dans cette situation, les er´sultats suivants sont souvent utiles. ePropri´t´. Si ` partir d’un certain rang, on a : un ≤ vn et si lim un = e e a+∞, alors on a : lim vn = +∞Remarque. On dit aussi que si une suite est minor´e par une suite qui etend vers +∞ , alors elle tend elle-mˆme vers +∞. ePropri´t´. Si ` partir d’un certain rang, on a : un ≤ vn et si lim vn = e e a−∞, alors on a : lim un = −∞ 8
  9. 9. Remarque. On dit aussi que si une suite est major´e par une suite qui etend vers −∞ , alors elle tend elle-mˆme vers −∞. ePropri´t´. Si ` partir d’un certain rang, on a : un ≤ vn ≤ wn et si e e alim un = lim wn = o` est un r´el, alors on a : u e lim vn =Remarque. Ce r´sultat est appel´ « th´or`me des gendarmes ». On dit e e e eaussi que si une suite est encadr´e par deux suites qui tendent vers le emˆme nombre r´el, alors elle tend elle-mˆme vers ce r´el. e e e e6 Exemples de suites convergentes6.1 Convergence de suites g´om´triques e eTh´or`me. Soit q un r´el diff´rent de 0 et de 1. On a les r´sultats e e e e esuivants : 1. Si q > 1 , alors lim q n = +∞ 2. Si −1 < q < 1 , alors lim q n = 0Remarque. On peut compl´ter ces r´sultats par : e e n• si q = 1 , la suite (q ) est constante et sa limite est 1• si q = 0 , la suite (q n ) est constante ` partier du rang 1 et sa limite est a 0• si q ≤ −1 , la suite (q n ) n’a pas de limite6.2 Convergence monotoneLe r´sultat suivant qui est admis, est tr`s utile pour montrer qu’une suite e eest convergente : il ne permet pas cependant de calculer cette limite.Th´or`me. Si une suite est croissante et major´e, alors elle est conver- e e egente. De mˆme, si une suite est d´croissante et minor´e, alors elle est e e econvergente.6.3 Suites adjacentesD´finition. On consid`re deux suites (un ) et (vn ) d´finies ` partir du e e e arang n0 . Elles sont dites « adjacentes » lorsque : 1. (un ) est croissante 9
  10. 10. 2. (vn ) est d´croissante e 3. lim vn − un = 0Th´or`me. Si deux suites sont adjacentes, alors elles convergent vers le e emˆme nombre r´el. e e 10

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