Prezentacija na temu beskonacnost u prirodi i matematici

1. БЕСКОНАЧНОСТ
7 8….
5 6
3 4
1 2

2. “Само две ствари су
бесконачне, свемир и
људска глупост. Мада, за
прву нисам сасвим сигуран.”
Алберт Ајнштајн

3. БЕСКОНАЧНОСТ ЈЕ
ФИЛОЗОФСКИ, ТЕОЛОШКИ И
МАТЕМАТИЧКИ ПРОБЛЕМ.
Oдноси се на све оно што у
погледу просторне величине,
временског трaјања или броја
нема краја: бесконачно велико,
бесконачно мало.

4. БЕСКОНАЧНОСТ ПРОСТОРА
И ВРЕМЕНА
• Милећани: време је неограничено у оба смера.
• Свети Августин: Бог је одлучио да створи свет,
али када ако време почиње стварањем света?
Знам шта је време све дотле док на питање о томе
не треба директно да одговорим.
• Лајбниц: Бог је прво створио свет, а затим простор
и време.
• Њутн: немамо никакву интуитивну представу о
времену. Бесконачност се може схватити (уз помоћ
геометрије), али се не може замислити. Простор и
време постоје независно од физичког света.

5. Појам бесконачности није
искуствен, јер га није могуће
видети, опипати, нити спознати
чулима. Ствари које не можемо
појмити чулима можемо
спознати мисаоним методама.

6. “Како може мањи схватити
већег? Или ограничен ум
докучити бескрајност?”
JOHN DRYDEN

7. ШТА ЈЕ БЕСКОНАЧНО?
Одговори деце једног београдског вртића
• 3-4 године
Огњен: Пут, зато што траје.
Теодора: Тишина.
Олга: То су линије.
• 6-7 година
Ива: Заувек.
Огњен: Далеко.
Тијана: Високи галеб.
Тијана: Никад краја.
Марија: Велики број од пара.

8. “Рођен сам, живим у времену, а не знам
шта је то време, налазим се на једној тачки
између две вечности, а немам никакву идеју
шта је то вечност; мислим, а никад нисам
могао сазнати шта је то што производи
мисао; не знам зашто постојим.”
Волтер

9. БЛЕЗ ПАСКАЛ
Француски математичар
и филозоф
“Ми знамо шта је то
1623.-1662. бесконачност, али не
знамо њену природу.
Могуће је, сходно томе,
веома добро знати, да
Бога има, не знајући шта
је Бог; из тога што не
знамо његову праву
природу
не можемо закључити да
Бог не постоји.”

10. ИСТОРИЈА
• Најстарији документ у коме се појављује
појам бесконачности је индијски (Jађур
Веда 1200-900 год.п.н.е.): “Уколико
одузмете или додате нешто
бесконачности, још увек вам остаје
бесконачно.”
• У индијским математичким текстовима из
4. бека п.н.е. бројеви су класификовани у
три врсте скупова - пребројиве,
непребројиве и бесконачне.
• По хиндуској религији људска душа има
бесконачно много реинкарнација.

11. • Питагора (6. век п.н.е.) је сматрао да је
бесконачно везано за зло и својствено
хаосу (бездно).
• Анаксимандар (6. бек п.н.е.): “Свет је
постао из безграничног.”
• Парменид из Елеје (5. и 6. век п.н.е.):
Основни принцип је да се о ономе и
само о ономе што постоји може
мислити и смислено говорити.

12. • Анаксагора (5. век п.н.е.): “Ништа није
довољно мало да не би постојало још мање.”
• Аристотел (5. век п.н.е.): бесконачно постоји
зато што време нема почетак и крај. Постоји
само ПОТЕНЦИЈАЛНА (посредна,
сакривена), али не и АКУЕЛНА (стварна,
чињеничка) бесконачност. Бесконачност не
постоји у реалном свету пошто свако тело, па
и космос има границе. Скуп природних
бројева 1,2,3,4,5,... је неограничен.

13. Грчки филозоф
490.-425.год.п.н.е.
ЗЕНОН ЕЛЕЈСКИ -
парадокси
Парадокс (παράδοξος) - привидно бесмислен, супротстављен здравом
разуму

14. • ДИХОТОМИЈА: Немогуће је прећи било
коју раздаљину. Наиме, да би се прешао
неки пут треба прећи његову половину, да
би се прешла половина пута треба прећи
половину те половине...Дељење је могуће
бесконачно много пута. Значи, кретање је
немогуће.
• СТРЕЛА: Стрела је одапета са лука и
креће се у сваком моменту свога лета. Али,
у сваком тренутку она мора бити на неком
месту. Ако је увек на неком месту, онда се
не креће. Значи, она није нигде.

15. • АХИЛ И КОРЊАЧА: Да би Ахил стигао
корњачу треба де пређе раздаљину од
места где је она кренула до места где
се сада налази. Затим треба да пређе
раздаљину од тог места до места на
које се она померила ... Дакле, никада
неће стићи корњачу.
Ahil

16. • Епикур (3. и 4. век п.н.е.): Деобом простора или времена
мора се нужно доћи до нечег недељивог.
• У Еуклидовој (3.век п.н.е.) књизи Елементи постоји доказ
да има бесконачно много простих бројева.
• Плотин (3. век): актуелна бесконачност ума и потенцијална
бесконачност материје.
1
• Брамагупта (7. век ): 
0
• Са развојем хришћанства се учвршћује појам
бесконачности. Хришћански Бог за разлику од грчких не
постоји у простору и времену.

17. • 1Цар 8,27:” Али хоће ли доиста Бог становати
на земљи? Ето, небо и небеса над
небесима не могу те обухватити, а камоли
овај дом што га сазда.”
• Однос коначног и бесконачног је суштина
наде у хришћанству, јер нова вест коју доноси
Христос (евангелион-блага, радосна вест) је
заправо сједињавање супротности коначног и
бесконачног у једној личности.
• Христос је истовремено и бесконачни Бог
и коначни човек.

18. • Није ограничен у простору, стога је
свугде, није ограничен у времену,
стога је вечан. (Аристотел)
• Углавном се појам бесконачног Бога
везује са актуалном бесконачношћу.
Кад нпр. размишљамо о божанској моћи
или неким другим савршенствима,
можемо слободно рећи да је Божија
моћ актуално бесконачна, јер је она
будући да је одређена (у Богу нема
промене), истовремено већа од сваке
коначности.

19. РЕНЕСАНСА
1  1 Да ли скуп природних
24 бројева и скуп
њихових квадрата
39
имају исти број
4  16 елемената?
ГАЛИЛЕО ГАЛИЛЕЈ ....
1564.-1642.
италијански физичар,
астроном и математичар
из Пизе

20. СИМБОЛ ЗА БЕСКОНАЧНОСТ
• Увођење позиционог бројевног
система у Месопотамији
омогућило је писање произвољно
великог броја.
• Симбол за бесконачност  је
увео енглески математичар Џон
Вoлис 1655. године.
ЏОН ВOЛИС
• За симбол је највероватније узет
римски број који је у алтернацији
са М представљао највећи број
1000.
Najveci broj

21. • По некима симбол
бесконачности је познат као
мистични симбол бесконачне
змије из тибетанских пећина,
или змаја који гута свој реп, као
БЕСКОНАЧНА ЗМИЈА
ТИБЕТ
у религији културе Маја.
• Неки сматрају да је то
стилизован етрурски знак за
1000: .
• Можда је знак за бесконачно
СИМБОЛ
стилизовано последње слово
БЕСКОНАЧНОГ ЗМАЈА грчког алфабета ω које је за
НАРОДА МАЈА бесконачност користио Кантор.

22. • Симбол за
бесконачност (лења
осмица) се још
назива и МЕБИЈУСОВА ТРАКА
леминиската (трака
на латинском).
• Мало је вероватно
да је стилизована
Мебијусова трака
(1858.год.) ЕШЕРОВО ВИЂЕЊЕ МЕБИЈУСОВЕ
послужила као знак ТРАКЕ
за бесконачност.

23. Они склони мистицизму
сматрају да је знак преузет са
неких старих храмова,
верских или мистичних
симбола.
Алхемијски знак

24. • У математику су потенцијалну
бесконачност увели Исак Њутн
(1665.-1727.) и Лајбниц (1646.-
1716.), који су увели
инфинитезимални рачун (рачун
бесконачно малих величина), а
актуелну Георг Кантор (1845.-
1918.) и Рихард Дедекинд (1831.-
1916.), творци теорије скупова.
• Потенцијална бесконачност је
дефинисана процесом (гранична
вредност, извод, интеграл...)
• Актуелна бесконачност ГЕОРГ КАНТОР
(бесконачно далека тачка у
пројективној геометрији,
произвољно мала околина броја,
бесконачни скупови,...)

25. ЕКВИПОТЕНТНОСТ СКУПОВА
• Два скупа имају
исти број 1,2,3,4,5
елемената a, b, c, d , e
уколико се може
1a
успоставити
обострано 2 b
једнозначно 3 c
пресликавање 4d
између та два
5 e
скупа.

26. КАРДИНАЛНИ БРОЈ СКУПА N
Скуп природних бројева
има бесконачно
много елемената.

Кардинални број тога
скупа (број
елемената скупа) се
N   ,2,3,4,5,...
1
означава са (алеф
нула, прво слово
хебрејске азбуке).
Каже се да
природних бројева
има пребројиво
много.

27. N↔Z
1↔0
Скупови природних, целих и
2↔1
рационалних бројева су
еквипотентни. 3 ↔-1
4↔2
5 ↔-2
...

28. “Дијагонални” доказ
еквипотентности N↔Q
CardN = Card Z = CardQ

29. КОНТИНУУМ C
• Скуп ирационалних, а самим тим и
реалних бројева није пребројив.
• Кардинални број скупа реалних
бројева назива се континуум.
‫◦א‬c

30. • Бесконачност не постоји у смислу
да се може третирати као број.
• Бесконачност постоји у смислу
мерења величине. {1,2,3,4,…}

31. МОДЕРНИ ПАРАДОКСИ

32. ЗБИР СВИХ ЦЕЛИХ БРОЈЕВА
(1+(-1))+(2+(-2))+(3+(-3))+…+=0+0+0+…=0
(1+0)+(2+(-1))+(3+(-2))+(4+(-3))+…
=1+1+1+…=
((-1)+0)+((-2)+1)+((-3)+2)+((-4)+3)+…=
=(-1)+(-1)+(-1)+…=- 

33. =1
• Теорема:
Уколико мајмун
удара по
тастатури на
случајан начин
бесконачно дуго
сигурно ће (са
вероватноћом 1,
тј.100%) откуцати
сабрана дела
Виљема
Шекспира.

34. КОХОВА ПАХУЉА
• Крива ограничава површ која је
коначна и чија мера износи,
2a2 3
5
• ( a је страница почетног
једнакостраничног троугла.)
• Обим ове криве је бесконачан!

35. ГАБРИЈЕЛОВА ТРУБА
• Труба има бесконачну
површину, али коначну
запремину.
• Габријелова или
Торичелијева труба
EВАНГЕЛИСТА ТОРИЧЕЛИ
1608.-1647.

36. Могли бисмо имати довољно
воде да напунимо трубу,
али не и довољно боје да је
обојимо!
a
1  1  1
V    2 dx   1    lim  1    
1 x  a  n  a 
1
a 1 4 a
x 1
P  2  dx  2  dx  2 ln a  lim 2 ln a  
1
x 1
x n

37. Арханђел Гаврило трубом
означава судњи дан.

38. Права и полукруг имају једнак број
тачака.

39. БЕСКОНАЧНИ ХОТЕЛ
Коришћено објашњење
професора Хилберта
Давид Хилберт
немачки математичар
1862.-1943.

40. Само једну собу, молим Вас!
Платићу колико тражите!!
НЕМА СЛОБОДНИХ СОБА
Молим да сви гости замене своју собу са
собом
чији је број за један већи, тј.
1 у 2, 2 у 3, 3 у 4,.... За Вас је соба број 1!
 1  

41. “А може ли да се смести бесконачно
много мојих телохранитеља?”
“Само тренутак. Молим да сви гости своје
собе замене собама чији је број дупло
већи, тј. гости из собе 1 нека пређу у
собу 2, из собе 2 у собу 4, из 3 у 6,...
Ваши телохранитељи могу да уђу у собе
са непарним бројем које су сада
празне.”
 

42. “Долази и бесконачно много аутобуса и
у сваком од њих бесконачно много
мојих обожавалаца.” 1  3n 3,9,27,...
“Нема проблема! Сви из собе 1 ће
2  5n 5,25,125,...
прећи у собу 2, из собе 2 у 4, из 3 у
8,..., из n у 2n. Обожаваоци из првог 3  7 n 7,44,243,...
аутобуса ће се сместити у собе чији 4  11n
су бројеви степени простог броја 3, тј. 5  13n
у собе са бројевима облика 3n; из
другог аутобуса у собе са степенима 6 17 n
следећег простог броја 5 итд. Пошто ...
је још Еуклид доказао да има n  pn
бесконачно много простих бројева
сместићемо путнике из свих
бесконачно много аутобуса.”
    

43. КАКО РАЧУНАМО СА ∞ ?
БЕСКОНАЧНО СА
БЕСКОНАЧНО
БЕСКОНАЧНО СА ПРОИЗВОЉНИМ
КОНАЧНИМ БРОЈЕМ

44. НЕДЕФИНИСАНО

45. ПАЖЊА!!!
1 2
     1  2
0 0

46. МАТЕМАТИЧКА ШАЛА
8 1
lim   lim 
1
n8 n  8 n n 1
1

47. “Несавршенство није негација савршенства;
коначност не пориче бесконачност. То се
само целина исказује у деловима, то се
бескрај открива у границама.”
ТАГОРЕ

48. “Баш кад коначно затвара бесконачни низ
И у неограниченом се појаве границе,
Тада дух бескрајности борави у трену
И у најужој граници, нема границе
Каква је радост опазити минут у бескрајном!
Какво блаженство бескрајно опазити у малом!”
ЈАКОБ БЕРНУЛИ

49. Математичари су, кад је у питању оно
што би у реалном свету могло да
постоји сувише либерални, као што су
физичари сувише догматични.

50. “Бескрајни плави круг. У њему,
звезда.”
ЦРЊАНСКИ