2. Se denomina así en honor a George Boole(2 de
noviembre de 1815 a 8 de diciembre de 1864),
matemático inglés autodidacta, que fue el primero
en definirla como parte de un sistema lógico,
inicialmente en un pequeño folleto: The
Mathematical Analysis of Logic,1 publicado en
1847, en respuesta a una controversia en curso
entre Augustus De Morgan y Sir William Hamilton. El
álgebra de Boole fue un intento de utilizar
las técnicas algebraicas para tratar expresiones de
la lógica proposicional. Más tarde como un libro más
importante: The Laws of Thought,2 publicado en
1854.
En la actualidad, el álgebra de Boole se aplica de
forma generalizada en el ámbito del diseño
electrónico. Clauden Shannon fue el primero en
aplicarla en el diseño de circuitos de conmutación
eléctrica biestables, en 1948. Esta lógica se puede
aplicar a dos campos:
Al análisis, porque es una forma concreta de
describir como funcionan los circuitos.
Al diseño, ya que teniendo una función aplicamos
dicha álgebra, para poder desarrollar una
implementación de la función.
3. El álgebra de Boole o
también llamada álgebra
booleana, en informática
y matemática, es una
estructura algebraica que
esquematiza las
operaciones lógicas Y, O,
NO y SI(AND, OR, NOT, IF),
así como el conjunto de
operaciones unión,
intersección y
complemento.
4.
5. Llamaremos complemento:
En esta operación definimos
una aplicación que, a cada
elemento a de B, le asigna
un b de B.
Para todo elemento a en B,
se cumple que existe un
único b en B, tal que b es el
complemento de a.
6. Llamaremos suma:
por la que definimos una
aplicación que, a cada par
ordenado(a, b)de B por B, le
asigna un c de B.
Para todo par ordenado
(a, b) en B por B, se cumple
que existe un único c en B,
tal que c es el resultado de
sumar a con b.
7. Llamaremos producto:
Con lo que definimos una aplicación
que, a cada par ordenado (a, b)
de B por B, le asigna un c de B.
Para todo par ordenado (a, b)
en B por B, se cumple que existe un
único c en B, tal que c es el resultado
del producto a y b.
Dada la definición del álgebra de
Boole como una estructura algebraica
genérica, según el caso concreto de
que se trate, la simbología y los
nombres de las operaciones pueden
variar.
8.
1a: La ley asociativa de la
suma:
3b: La ley conmutativa del
producto:
1b: La ley asociativa del
producto:
4a: Ley distributiva de la suma
respecto al producto:
2a: Existencia del elemento
neutro para la suma:
4b: Ley distributiva del
producto respecto a la suma:
2b: Existencia del elemento
neutro para el producto:
5a: Existe elemento
complemento para la suma:
3a: La ley conmutativa de la
suma:
5b: Existe elemento
complemento para el producto:
9.
Ley de idempotencia para
la suma:
Ley de identidad para el
producto:
Ley de idempotencia para
el producto:
Ley de involución:
Ley del complemento:
Ley de absorción para la
suma:
Ley de absorción para el
producto:
Ley de identidad para la
suma:
Leyes de Morgan:
10.
Sea:
un álgebra de Boole,
sean a, b dos elementos
del conjunto, podremos
decir entonces
que a antecede a b y lo
denotamos:
si se cumple alguna de las
siguientes condiciones:
1.2.-
3.4.Estas cuatro condiciones se
consideran equivalentes y el
cumplimiento de una de
ellas implica necesariamente
el cumplimiento de las
demás.
Definiendo un conjunto o
parcialmente ordenado
12. Es la que devuelve un
valor sin necesidad de
argumentos,
podemos
ver Tautología y Contradic
ción.
La tautología presenta el
valor
verdadero
sin
necesidad de argumentos
o independientemente de
las variables sobre la que
se calcule. En teoría de
conjuntos corresponde al
conjunto universal.
13. Una Operación unaria es la
que solo necesita un
argumento para presentar un
resultado, podemos ver dos
operaciones unarias:
identidad y negación.
La operación identidad de
una Proposición
presenta el valor de la
variación.
Esta operación se puede
hacer con el dispositivo
electrónico Buffer
amplificador.
14. La operación binaria es la
que necesita dos
argumentos, de hecho es la
forma más generalizada de
operación, normalmente
cuando nos referimos a
operaciones, nos referimos a
operaciones binarias, en el
álgebra de Boole podemos
ver las siguientes
operaciones binarias:
La conjunción
lógica presenta resultado
verdadero solo cuando sus
dos argumentos son
verdaderos.
15. Al evaluar una expresión
booleana, deben realizarse
las operaciones de acuerdo
con su nivel jerárquico,
realizando primero la de
mayor jerarquía. Si existen
paréntesis, deben resolverse
primero los más internos y
trabajar hacia fuera. En
ausencia de paréntesis, la
jerarquía de las operaciones
es, de mayor a menor, la
siguiente:
1.2.3.-
