1. Universidad de El Salvador
Facultad de Química y Farmacia
Departamento de Química, Física y Matemática
Sección de Matemática
Asignatura: Matemática III. Ciclo I/2012
U IDAD VII. ALGEBRA LI EAL
7.1 Sistemas lineales
Recordando la ecuación estándar de una ecuación lineal con dos variables. Ax + By = C Donde
A, B, C son constantes A y B ≠ 0 , (x, y ) variables. Cualquier punto (x, y ) de la recta satisface la
ecuación Ax + By = C . Gráficamente.
En el caso de tener dos ecuaciones lineales y dos
variables, el sistema es de la forma.
Ax + By = C
Donde A, B, C , D, E , F son
Dx + Ey = F
constantes A y B ≠ 0, D y E ≠ 0,
(x, y ) variables. El objetivo es encontrar la
solución de este sistema de ecuaciones (el punto
de intersección).
Gráficamente.
En el afán de encontrar la solución, se nos puede presentar uno de los tres casos siguientes:
75

2. 1. Las dos rectas se cortan exactamente en un punto. En este caso el sistema tiene una Solución
única. Como en las graficas anteriores.
2. Las dos rectas son paralelas (no se cortan). En este caso el sistema no tiene solución.
3. Las dos rectas son la misma. En este caso el sistema tiene Infinitas soluciones.
Ejemplos. Estudiar la solución de cada uno de los sistemas de ecuaciones lineales.
a) Gráficamente
b) Analíticamente.
3 x + 4 y = 16
1.
x− y =3
a) Gráficamente
b) Analíticamente. Multiplicando ecuación (2)
por 4.
3 x + 4 y = 16
x=4
4 x − 4 y = 12 .
y =1
7x = 28
Única solución (4,1)
76

3. 3x + y = 6
2.
6x + 2 y = 4
a) Gráficamente
b) Analíticamente
Multiplicando la ecuación (1) por -2
− 6 x − 2 y = −12
6x + 2 y = 4
0 x + 0 y = −8
Solución: φ . Las rectas son paralelas.
No existe ningún punto (x, y ) que cumpla las dos
ecuaciones simultáneamente.
4x + 2 y = 8
a) Gráficamente.
2x + y = 4
b) Analíticamente. Multiplicando la ecuación (2)
por -2
4x + 2 y = 8
− 4 x − 2 y = −8
0x + 0 y = 0
En este caso hay infinitas soluciones.
Despejando y de la segunda ecuación y = 4 − 2 x .
En términos generales la solución se escribe: (x, 4 − 2 x )
77

4. Hasta el momento hemos visto dos ecuaciones con dos variables. Un sistema de m ecuaciones en n
variables, se escribe de la forma.
a11 x1 + a12 x 2 + L + a1n x n = b1
a 21 x1 + a 22 x 2 + L + a 2 n x n = b2
M
a m1 x1 + a m 2 x 2 + L + a mn x n = bm
Donde x1 , x 2 , L , x n son variables, a ij es el coeficiente de la ecuación i de la variable j.
7.2. Matrices
Una matriz es una estructura rectangular de números,
 a11 a12 L a1n 
a a 22 L a 2 n 
A =  21  . Los a se denominan elementos y si la matriz tiene m filas y n
mxn  M M M M  ij
 
a m1 a m 2 L a mn 
columnas, se dice que la matriz es de tamaño ó dimensión, mxn.
Denotamos una matriz con letras mayúsculas y sus elementos con minúsculas.
1 0 L 0 
0 1 L 0 
Se llama matriz identidad a la siguiente: I =   tiene un 1 en la diagonal principal, los
M M M M
 
0 0 L 1 
demás son cero.
Operaciones básicas con matrices.
• Igualdad de matrices.
Definición. Suponga que A = a  y B = b  son dos matrices de igual tamaño, mxn. Entonces A=B sí
 ij 
   ij 
 
y sólo sí para todo 1 ≤ i ≤ m y 1 ≤ j ≤ n , a ij = bij .
Ejemplo.
a 3 4 3 
Sea A =   , B = 5 b  , A = B sí y sólo sí a = 4, b = 1
 5 1  
78

5. • Suma de matrices
Definición. Suponga que A = a  y B = b  son dos matrices de igual tamaño, mxn. Entonces
 ij 
   ij 
 
C=A+B. es una matriz mxn cuyos elementos son: cij = a ij + bij , 1 ≤ i ≤ m y 1 ≤ j ≤ n .
Ejemplo
1 − 2   4 1  5 − 1
Sea A =   , A =  − 5 6 , C = A + B =  − 1 9 
4 3     
• Escalar por una matriz
Definición. Sea A = a  una matriz mxn y λ un escalar Entonces λA es una matriz mxn cuyos
 ij 
 
elementos son: λa , 1 ≤ i ≤ m y 1 ≤ i ≤ n .
ij
Ejemplo
 − 5 3 − 5 3 − 10 6
Sea A =  , λ =2, λA = 2 
 = .
 1 0  1 0  2 0 
• Transpuesta de una matriz
Definición. Sea A = a  una matriz mxn. La traspuesta de A, que se escribe A′ es una matriz nxm
 ij 
 
cuyos elementos son: a ′ = a ji , 1 ≤ i ≤ m y 1 ≤ i ≤ n .
ij
Ejemplo.
 2 5
2 1 − 1  
A=  ; A′ =  1 3 
5 3 4  2 x 3 − 1 4  3 x 2
 
• Multiplicación de matrices (producto).
Dos matrices A.B se pueden multiplicar sí y sólo sí el número de columnas de A es igual al número de
filas de B; es decir, A B =C
rxs sxp rxp . Las dimensiones de la matriz C son el número de filas de
A por el número de columnas de B.
¿Cómo se obtiene el producto?
Supongamos
79

6. b11 b12 b13 
a a12 a13 
A =  11 , B = b21 b22 b23 
a 21 a 22 a 23  2 x 3

 
b31
 b32 b33  3 x 3

c c c13 
A.B = C =  11 12 
c21 c22 c23  2 x 3
 a b + a12 b21 + a13b31 a11b12 + a12 b22 + a13b32 a11b13 + a12 b23 + a13b33 
A.B =  11 11
a 211b11 + a 22 b21 + a 23b31 a 21b12 + a 22 b22 + a 23b32 a 21b13 + a 22 b23 + a 23b33  2 x 3

Observe lo siguiente.
El elemento c11 se obtiene de las operaciones de la primera fila de A con la primera columna de B.
El elemento c13 se obtiene de las operaciones de la primera fila de A con la tercera columna de B.
El elemento c23 se obtiene de las operaciones de la segunda fila de A con la tercera columna de B.
Ejemplo 1.
1 2 − 1 2 1 
A=  , B =  3 4 − 2
3 4 2 x 2   2 x3
c c12 c13   − 1 + 6 2 + 8 1 − 4 5 10 − 3
A.B = C =  11  =  = 9 22 − 5
c 21 c 22 c 23  2 x3 − 3 + 12 6 + 16 3 − 8 2 x3   2 x3
Ejemplo 2. Encuentre A.B y B.A
2 − 1  1 5
A=  , B = − 2 4 
1 3  2 x 2   2x2
c c12   4 6
A.B = C =  11  =
c 21 c 22  2 x 2 − 5 17 2 x 2

c c12   1 5 2 − 1 7 14
B. A = C =  11  =  1 3  = 0 14
c 21 c 22  2 x 2 − 2 4 2 x 2   2 x2   2 x2
Conclusión: El producto de matrices en términos generales, no es conmutativo A.B ≠ B. A
Definición. Sea A = a  una matriz cuadrada nxn. Si existe una matriz B cuadrada nxn tal que
 ij 
 
A.B = B. A = I . Entonces B se denomina: Matriz inversa de A, y se escribe A.−1 .
nxn
80

7.  2 5  3 − 5
Ejemplo. Si A=  , B=  . Demuestre que B = A −1 comprobando que
1 3 2 x 2 − 1 2  2 x 2
A.B = B. A = I
2x 2
1 0
Efectivamente: A.B = B. A =  
0 1 2 x 2
ota: Solo las matrices cuadradas tienen inversa, la condición es que det ( A). ≠ 0 . La inversa no se
estudiará.
• Determinante y Traza
a a12 
Sea A =  11 se definen:
a 21 a 22  2 x 2

a) El determinante de A det ( A) = a11 a 22 − a12 a 21
b) La Traza de A tr ( A) = a11 + a 22
 4 − 2
Ejemplo. A =  
− 1 3  2 x 2
det ( A) = 4(3) − (− 1)(− 2) = 10 tr ( A) = 4 + 3 = 7
TEOREMA. Sea A una matriz nxn. A es no singular sí y sólo sí det ( A). ≠ 0 .
El sistema de m ecuaciones con n variables es:
a11 x1 + a12 x 2 + L + a1n x n = b1
a 21 x1 + a 22 x 2 + L + a 2 n x n = b2
M
a m1 x1 + a m 2 x 2 + L + a mn x n = bm
x1, x2 , L, xn . Son variables y aij es el coeficiente de la ecuación “i” de la variable “j”.
En forma matricial se escribe:
 a11 a12 L a1n   x1   b1 
a a 22 L a 2 n   x 2  b2 
 21   =  
 M M M M  M   M 
    
a m1 a m 2 L a mn   x n  bn 
81

8. Ejemplo.
3 x1 − 5 x2 + x3 = 2
Escriba en forma matricial.
− 2 x1 + 3 x2 − 4 x3 = 5
 x1 
 3 − 5 1    2
 − 2 3 − 4   x 2  = 5 
  x   
 3
TEOREMA. Sea A una matriz nxn y X y 0 matrices nx1. La ecuación AX = 0 tiene una solución distinta
de cero sí y sólo sí A es singular.
Ejemplo.
2 6  x1  0
Resolver    =  
1 3   x 2  0 
AX = 0
Solución
det( A). = 0 (Tiene una solución distinta de cero).
2 x1 + 6 x2 = 0 (1)
Resolviendo por eliminación, multiplicando la ecuación (2) por -2, se obtiene:
x1 + 3x2 = 0 (2)
2 x1 + 6 x2 = 0
− 2 x1 − 6 x2 = 0 . Esto significa que existen infinitas soluciones.
0 x1 + 0 x2 = 0
x1  x1  
Despejando en la ecuación (2) , x 2 = − . La solución se escribe  x1 ,− , x1 ∈ ℜ
3  3 
3
En particular si x1 = 3, x 2 = −1 , escribiremos  .
− 1
7.3. Aplicaciones Lineales.
Una aplicación lineal es de la forma X AX , donde A: Matriz, X: Vector y se traduce como la
acción de A sobre el vector X.
82

9. • Aplicación identidad.
 x1  1 0  x1  1 0  x1   x1 
 x  → 0 1   x  . Solución.    =  
 2   2  0 1   x 2   x 2 
Conclusión: “La matriz identidad no modifica al vector X.
1 0 1 
Ejemplo: Estudie el efecto de   sobre 2
0 1   
1 0 1  1 
Solución     =   . Ver la Gráfica
0 1   2   2 
• Aplicación que extiende o contrae cada Gráficamente.
coordenada separadamente.
 x1  a 0  x1   ax1 
 x  → 0 b   x  = bx 
 2   2   2 
Ejemplo:
2 0  2
Estudie el efecto de   sobre 3
0 −1  
Solución.
2 0   2  4 
0 − 1 3 = − 3 .
    
El efecto es que expande la primera coordenada
por un factor de 2.
Contrae la segunda coordenada por un factor de
1/3.
83

10. 1 2 2
Ejemplo: Estudie el efecto de   sobre 3
3 2  
Solución.
1 2 2  8   2
Solución    =   = 4  .
3 2 3 12  3
Conclusión. AX= λ X, X ≠ 0 .
El resultado de AX es simplemente un múltiplo de X. Los vectores que cumplen esto se
denominan autovectores, y el factor de expansión o contracción λ se denomina autovalor
Gráficamente.
En este caso el autovalor λ=4
7.4. Autovalores y Autovectores.
Definición: Sea A una matriz cuadrada. Todo vector X distinto de cero que cumpla la relación
AX= λ X se denomina autovector de la matriz A y el número λ se denomina autovalor de la matriz
A.
84

11. 1 2
Ejemplo. Calcule todos los autovalores y autovectores de A =  
3 2
i) Autovalores
AX= λ X
(AX- λ X)=0
(A- λ I) X =0
Para x ≠ 0 , det(A- λ I)=0.
1 2 1 0 1 − λ 2 
A − λI =   − λ 0 1  =  3
3 2    2 − λ

det ( A − λI ) = (1 − λ )(2 − λ ) − 6 = 0
λ2 − 3λ − 4 = 0, λ1 = 4, λ 2 = −1
ii) Autovectores
Sustituimos λ en la ecuación AX= λ X
Para λ1 = 4
1 2  x1   x1 
3 2  x  = 4 x 
  2   2
− 3 x1 + 2 x 2 = 0
x1 + 2 x 2 = 4 x1
Simplificando − 3 x1 + 2 x 2 = 0 . Hay infinitas soluciones. Despejando de la Primera
3x1 + 2 x2 = 4 x2
0 x1 + 0 x2 = 0
3
x1 . En términos generales la solución se escribe:  x1 , x1  .
3
ecuación x 2 =  
2  2 
 2
En particular, para x1 = 2, x2 = 3 . El autovector se escribe v1 =   .
 3
85

12. Para λ2 = −1
1 2  x1  x 
3 2  x  = − 1 
  2   x2 
x1 + 2 x 2 = − x1 2 x1 + 2 x 2 = 0
Simplificando . Dividiendo la ecuación (1) por 2 y la ecuación (2) por
3x1 + 2 x2 = − x 2 3x1 + 3 x 2 = 0
3., resulta que ambas ecuaciones se reducen a x1 + x 2 = 0 ; por lo tanto hay infinitas soluciones.
Despejando x 2 = − x1 . En términos generales la solución se escribe: ( x1 , − x1 ) .
1
En particular, para x1 = 1, x2 = −1 . El autovector se escribe v 2 =   .
− 1
Ejemplos
Calcule los autovalores λ1 y λ 2 y los correspondientes autovectores v1 y v 2 para las matrices A
dadas. Determine las ecuaciones de las rectas que pasan por el origen y tiene la dirección de los
autovectores v1 y v 2 , y dibuje dichas rectas junto con los autovectores v1 y v 2 y los vectores
Av1 y Av2 .
1 2
1. A =  
3 2
a) Los autovalores que ya hemos calculado son: λ1 = 4 y λ 2 = −1
 2 1
b) Los autovectores asociados a cada autovalor son: v1 =   , v 2 =  
 3 − 1
2  8   1  − 1
c) Av1 = λv1 = 4   =   , Av 2 = λv 2 = −   =  
3 12 − 1  1 
d) Las ecuaciones de las rectas son: − 3 x1 + 2 x 2 = 0 , x1 + x 2 = 0 .
86

13. 1 4 
2. A =  
1 − 2
a) Calculando autovalores
1 4  1 0 1 − λ 4 
A − λI =   − λ =
1 − 2 0 1   1 − 2 − λ

det ( A − λI ) = (1 − λ )(− 2 − λ ) − 4 = 0
λ2 + λ − 6 = 0, λ1 = −3, λ 2 = 2
b) Calculando autovectores. AX= λ X
Para λ1 = −3
1 4   x1   x1 
1 − 2  x  = −3 x 
  2   2
x1 + 4 x 2 = −3x1 4 x1 + 4 x 2 = 0
Simplificando, . Dividiendo la ecuación (1) por 4, ambas ecuaciones
x1 − 2 x2 = −3 x2 x1 + x 2 = 0
se reducen a x1 + x2 = 0 . Hay infinitas soluciones. Despejando, x 2 = − x1 . En términos generales la
solución se escribe: (x1 , − x1 ) .
87

14. 1
En particular, para x1 = 1, x2 = −1 . El autovector se escribe v1 =   .
− 1
 1  − 3
Av1 = λv1 = −3  =  
− 1  3 
La ecuación de la recta es: x1 + x 2 = 0 .
Para λ 2 = 2
1 4   x1   x1 
1 − 2  x  = 2  x 
  2   2
x1 + 4 x 2 = 2 x1 − x1 + 4 x 2 = 0
Simplificando, . Multiplicando la ecuación (1) por -1, ambas
x1 − 2 x 2 = 2 x 2 x1 − 4 x 2 = 0
1
ecuaciones se reducen a x1 − 4 x 2 = 0 . Hay infinitas soluciones. Despejando, x 2 = x1 . En términos
4
 1 
generales la solución se escribe:  x1 , x1  .
 4 
 4
En particular, para x1 = 4, x2 = 1 . El autovector se escribe v 2 =   .
1 
 4  8 
Av 2 = λv 2 = 2   =  
1   2 
La ecuación de la recta es: x1 − 4 x 2 = 0 .
88

15. Lectura de los autovalores directamente de la matriz.
Cuando uno de los elementos que no están en la diagonal principal ó ambos es cero, los autovalores
son los de la diagonal principal.
Ejemplo. Determinar los autovalores de la matriz
− 2 1 
1. A =   Directamente de la matriz λ1 = −2, λ2 = −1 . Comprobando
 0 − 1
det ( A − λI ) = (− 2 − λ )(− 1 − λ ) = 0
. Observe que son los elementos de la diagonal principal.
λ1 = −2, λ 2 = −1
3 0 
2. A =   . Directamente de la matriz λ1 = 3, λ 2 = −5
 0 − 5
Ejemplo. Determinar los autovectores de la matriz.
− 2 1 
1. A =   . Como ya hemos determinado que λ1 = −2, λ2 = −1 , procedemos a la
 0 − 1
determinación de los autovectores.
AX= λ X
Para λ1 = −2
− 2 1   x1   x1 
 0 − 1  x  = −2  x 
  2   2
− 2 x1 + x2 = −2 x1
De la ecuación (2) se deduce que para que la igualdad se cumpla x 2 = 0 .
− x 2 = −2 x 2
Sustituyendo en la ecuación (1), se obtiene que − 2 x1 = −2 x1 . La igualdad se cumple para cualquier
valor de x1 , lo que sí debemos tener en cuenta es que si x 2 = 0 , x1 no puede ser cero debido a que el
autovector debe ser distinto de cero.
1
Tomando en cuenta lo anterior, y en particular para x1 = 1 . El autovector se escribe v1 =  
0 
1  − 2
Av1 = λv1 = −2   =   . La ecuación de la recta es: x 2 = 0 .
0   0 
89

16. Para λ1 = −1
− 2 1   x1   x1 
 0 − 1  x  = −1 x 
  2   2
− 2 x1 + x 2 = − x1
De la ecuación (2) se deduce que para que la igualdad se cumpla x 2 , puede tomar
− x2 = − x2
cualquier valor. Simplificando la ecuación (1), se obtiene que x1 = x2 .
1
En particular para x1 = 1 , x 2 = 1 El autovector se escribe v 2 =  
1
1 − 1
Av 2 = λv 2 = −   =   . La ecuación de la recta es: x1 = x2
1 − 1
Gráficamente.
Teorema. Si A es una matriz 2x2 cuyos autovalores son λ1 y λ 2 , entonces: tr ( A) = λ1 + λ 2 y
det ( A) = λ1 .λ 2 .
Demostración
a b  λ2 − (a + d )λ + ad − bc = 0
Sea A =  
c d  λ2 − tra ( A)λ + det ( A) = 0 Ecuación (1)
tr ( A) = a + d
Se debe cumplir que (λ − λ1 )(λ − λ2 ) = 0 .
det ( A) = ad − bc Desarrollando,
(a − λ )(d − λ ) − bc = 0 λ2 − λ2 λ − λ1 λ + λ1 .λ2 = 0
ad − aλ − dλ + λ2 − bc = 0
λ2 − (λ1 + λ 2 )λ + λ1 .λ 2 = 0 . Ecuación (2)
90

17. Comparando las ecuaciones (1) y (2). tr ( A) = λ1 + λ 2 y det ( A) = λ1 .λ 2
Ejemplo.
1 2
La matriz A =   tiene autovalores λ1 = 4 y λ2 = −1 .Por lo tanto, tr ( A) = 3 y det ( A) = −4 .
3 2
Utilizando la teoría de matrices tr ( A) = 1 + 2 = 3; det ( A) = 1(2) − 3(2) = −4
Para continuar con el estudio de los autovalores, es necesario recordar sobre los números complejos.
“Un número complejo se denota por a + bi , es decir; la suma de un número real a y un número
imaginario. bi ”.
Ejemplo 2 + − 9 = 2 + 3i .
Un número imaginario puro es aquel cuya parte real es cero.
Ejemplo. − 4 = 2i
Como puede observar −1 = i
Teorema. Sea A una matriz 2x2 cuyos autovalores son λ1 y λ 2 , Entonces las partes reales de
λ1 y λ 2 son negativas sí y sólo sí tr ( A) < 0; det( A) > 0
Ejemplo. Sin calcular explícitamente los autovalores de A, decida si sus partes reales son negativas.
 − 1 − 3
1. A =   , tr ( A) = . − 1 − 2 = −3; det ( A) = −1(− 2) − (− 3)(1) = 5 . Los autovalores tienen
 1 − 2
partes reales negativas.
Comprobación
det ( A − λI ) = (− 1 − λ )(− 2 − λ ) − (− 3) = 0
− 3 ± 9 − 20 3 1
λ2 + 3λ + 5 = 0, λ1,2 = , λ1,2 = − ± 11 i
2 2 2
Cuando los autovalores sean complejos no calcularemos los correspondientes autovectores porque
también pueden ser complejos lo que sale de los objetivos de esta asignatura.
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