Algorithmes d'approximation
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Algorithmes d'approximation Document Transcript

  • 1. Chapitre : les algorithmes d’approximation Enseignant : Mohamed SAYARI LES ALGORITHMES D’APPROXIMATIONI. Introduction Les problèmes d’optimisation forment un ensemble très riche de possibilités : de la possibilitéd’approcher avec une précision arbitraire, à l’impossibilité de toute garantié sur la qualité del’approximation.II. RecheRche du point fixe d’une fonction1) Présentation  En mathématiques, pour une application f d’un ensemble E dans lui-même, un élément x de E est un point fixe de f si f(x) = x  Dans le plan, la symétrie par rapport à un point A admet un unique point fixe : A  l’application inverse (définie sur l’ensemble des réels non nuls) admet deux points fixes : -1 et 1  Graphiquement, les points fixes d’une fonction f (où la variable est réelle) s’obtiennent en traçant la droite d’équation y = x : tous les points d’intersection de la courbe représentative de f avec cette droite sont alors les points fixes de f.  Toutes les fonctions n’ont pas nécessairement de point fixe ; par exemple, la fonction n’en possède pas, car il n’existe aucun nombre réel x égal à x+1.2) ActivitéOn désire écrire un programme en Pascal qui permet de résoudre l’équation sin(x)=1-xa) Décomposer le problème en modulesb) Ecrire les analyses des modules, en déduire les algorithmesc) Traduire en pascal la solution obtenue  Sin(x)= 1-x  x= 1-sin(x) 4ème SI 1
  • 2. Chapitre : les algorithmes d’approximation Enseignant : Mohamed SAYARI Tableaux de valeurs : X 0 0.111111 0.222222 0.333333 0.444444 0.555556 0.666667 0.777778 0.888889 F(x)=1-sin(x) 1 0.889117 0.779602 0.672805 0.570044 0.472585 0.38163 0.298302 0.223628 X 0.5 0.511111 0.522222 0.533333 0.544444 0.555556 0.566667 0.577778 0.588889F(x)=1-sin(x) 0.520574 0.510853 0.501193 0.491593 0.482057 0.472585 0.463177 0.453836 0.444563a) Analyse du programme principal : 2) Résultat= Ecrire ("le point fixe est : ", x1, "trouvé après ", i, "itérations") 1) (Pfixe,i)= [i  0, x1 1] Répéter i  i+1 x2  x1 x1  F(x1) Jusqu’à (ABS(x1-x2) <epsilon) 4ème SI 2
  • 3. Chapitre : les algorithmes d’approximation Enseignant : Mohamed SAYARIb) Algorithme du programme principal 0) Début Point_fixe 1) i  0 x1 1 Répéter i  i+1 x2  x1 x1  F(x1) Jusqu’à (ABS(x1-x2) <epsilon) 2) Ecrire ("le point fixe est : ", x1, "trouvé après ", i, "itérations") 3) Fin Point_Fixe TDOG Objet Type/Nature i entier X1, x2 Réel epsilon Constante = 10-5 F Fonctionc) Analyse de la fonction F 1) Résultat= f  1- sin(x)d) Algorithme de la fonction f 0) Fonction F (x : réel) : Réel 1) F 1- sin(x) 2) fin F TDOL Objet Type/Nature X Réele) Traduction en Pascal 4ème SI 3
  • 4. Chapitre : les algorithmes d’approximation Enseignant : Mohamed SAYARIIII. Calcul de valeurs approchées de constantes connus 1) ActivitéIl existe plusieurs constantes numériques :  e (nombre de Neper) ≈ 2,718…  (nombre Pi) ≈ 3,1616…  ≈ 9.8066Dans ce qui suit, nous allons présenter des algorithmes permettant de calculer des valeurs approchées pour lesconstantes et e 2) Valeur approchée de  Il est impossible de connaître la valeur exacte de . En effet, il a été démontré par deux mathématiciens de la fin du XVIIIème siècle, Lambert et Legendre, quil ne peut exister aucune fraction [de deux entiers] égale à .  Les hommes de science - Euler, Gauss, Leibniz, Machin, Newton, Viète - ont recherché toutes sortes de formules permettant de calculer une approximation de plus ou moins précise.a) Valeur approchée par la formule d’Euler Ecrire une analyse, un algorithme et la traduction en Pascal d’un programme intitulé Pi_Euler, qui permet de calculer et d’afficher une valeur approchée de Pi en utilisant la formule d’Euler : Cela signifie que : Cela signifie que :  Analyse : 2) Résultat= Ecrire ("la valeur approchée de Pi est ", RacineCarrée(6 * S2)) 1) S2= [S2 1, i2] Répéter S1  S2 S2  S1+1/carrée(i) ii+1 jusqu’à (RacineCarée(6*S2) – RacineCarrée(6*S1)) < epsilon TDO Objet Type/Nature i Entier long S1, S2 Réel 4ème SI 4
  • 5. Chapitre : les algorithmes d’approximation Enseignant : Mohamed SAYARI epsilon Constante = 10-5  Algorithme 0) Début Pi_Euler 1) S2 1, i2 Répéter S1  S2 S2  S1+1/carrée(i) ii+1 jusqu’à (RacineCarée(6*S2) – RacineCarrée(6*S1)) < epsilon 2) Ecrire ("la valeur approchée de Pi est ", RacineCarrée(6 * S2)) 3) Fin Pi_Euler  Traduction en PASCALb) Valeur approchée par la formule de WallisEcrire une analyse, un algorithme et la traduction en Pascal d’un programme intitulé Pi_Wallis, qui permetde calculer et d’afficher une valeur approchée de Pi en utilisant la formule de Wallis : Cela signifie que : Cela signifie que : 4ème SI 5
  • 6. Chapitre : les algorithmes d’approximation Enseignant : Mohamed SAYARI  Analyse 2) Résultat= Ecrire ("la valeur approchée de Pi est ", 2* p2) 1) P2= [i 1, P21] Répéter P1  P2 P2  p1*((2*i)/(2*i-1))*((2*i)/(2*i+1)) ii+1 Jusqu’à (abs ((2*p2)-(2*p1)) <epsilon) TDO Objet Type/Nature i Entier long P1, P2 Réel epsilon Constante = 10-5  Algorithme 0) Début Pi_Wallis 1) i 1, P21 Répéter P1  P2 P2  p1*((2*i)/ (2*i-1))*((2*i)/ (2*i+1)) ii+1 Jusqu’à (abs ((2*p2)-(2*p1)) <epsilon) 2) Ecrire ("la valeur approchée de Pi est ", 2* p2) 3) Fin Pi_Wallis  Traduction en PASCAL 4ème SI 6
  • 7. Chapitre : les algorithmes d’approximation Enseignant : Mohamed SAYARI 3) Valeur approchée de eEcrire une analyse, un algorithme et la traduction en Pascal d’un programme intitulé e, qui permet decalculer et d’afficher une valeur approchée de e (nombre d’Euler, ou nombre Népérien) en utilisant laformule suivante:* Analyse du programme principal2) Résultat= Ecrire ("la valeur approchée de e est : ", S2)1) S2= [S21, i1] Répéter S1  S2 S2  S1 + 1/Fact(i) ii+1 Jusqu’à (s2-s1<epsilon) TDOG Objet Type/Nature i entier S1, S2 Réel epsilon Constante = 10-5 Fact Fonction* Algorithme du programme principal0) Début e1) S21 i1 Répéter S1  S2 S2  S1 + 1/Fact(i) ii+1 Jusqu’à (s2-s1<epsilon)2) Ecrire ("la valeur approchée de e est : ", S2)3) Fin e* Analyse de la fonction FactRésultat= Fact1) Fact = [ ] Si a=0 alors Fact 1 Sinon Fact  a* Fact(a-1) Fin Si Algorithme de la fonction Fact 0) Fonction Fact (a : entier) : entier long 1) Si a=0 alors Fact 1 Sinon Fact  a* Fact(a-1) Fin Si 2) Fin Fact 4ème SI 7
  • 8. Chapitre : les algorithmes d’approximation Enseignant : Mohamed SAYARI  Traduction en PASCALIV. calcul d’aiRes1) IntroductionSoit une fonction f continue sur l’intervalle [a, b]. Signifie laire sous la courbe de la fonction entre a et b.2) Méthodes de rectangles a) PrincipeConsiste à partager lintervalle dintégration en intervalles de même amplitude à partir desquels on construit desrectangles dont on calcule la somme des aires.On peut prouver que quand le nombre dintervalles tend vers linfini, la somme des aires tend vers lintégrale de lafonction. Méthode des rectangles à gauche Méthode des rectangles à droite = = 4ème SI 8
  • 9. Chapitre : les algorithmes d’approximation Enseignant : Mohamed SAYARI Méthode du point milieux = b) ApplicationOn se propose de calculer l’aire résultante de la courbe de la fonction f : x en utilisant laméthode de rectangles  Analyses  Analyse du programme principal2) Résultat = Ecrire ("une valeur approchée de l’intégrale est = ", FN CALCUL (a, b, n))1) (a,b,n) = Proc saisir (a, b, n) TDOG Objet Type/Nature n entier a, b Réel calcul Fonction saisir procédure  Analyse de la procédure saisirRésultat= a,b , n2) b= [ ] Répéter b= donnée ("b=") Jusqu’à (b >a)1) a= donnée ("a=")3) n= [ ] Répéter n= donnée ("n=") Jusqu’à (n >0) 4ème SI 9
  • 10. Chapitre : les algorithmes d’approximation Enseignant : Mohamed SAYARI  Analyse de la fonction calcul3) Résultat = calcul  somme * h1) h  (b-a)/n2) somme [somme  0, x a+h/2] Pour i de 1 à N Faire somme  somme + f(x) x  x+h Fin Pour  Analyse de la fonction F1) Résultat = F  carré (x) / (1 + carrée (x))  Algorithmes  Algorithme du programme principal 0) Début Rectangles 1) Proc saisir (a, b, n) 2) Ecrire ("une valeur approchée de l’intégrale est = ", FN CALCUL (a, b, n)) 3) Fin Rectangles  Algorithme de la procédure saisir 0) Procédure saisir (var a,b : Réel ; var n :entier) 1) Ecrire ("a="), lire (a) 2) Répéter Ecrire ("b=") Lire (b) Jusqu’à (b>a) 3) Répéter Ecrire ("n=") Lire (n) Jusqu’à (n>0) 4) Fin saisir  Algorithme de la fonction calcul 0. Fonction CALCUL (a,b : réel ; n :entier) : Réel 1. h  (b-a)/n 2. somme  0 x a+h/2 Pour i de 1 à N Faire somme  somme + f(x) x  x+h Fin Pour 3. calcul  somme * h 4. Fin CALCUL  Algorithme de la fonction f 0) Fonction f (x :réel) : réel 1) F  carré(x) / (1+ carré(x)) 2) Fin f 4ème SI 10
  • 11. Chapitre : les algorithmes d’approximation Enseignant : Mohamed SAYARI  Traduction en PASCAL Méthode de milieu 4ème SI 11
  • 12. Chapitre : les algorithmes d’approximation Enseignant : Mohamed SAYARI3) Méthode de trapèzeOn se propose de calculer l’aire résultante de la courbe de la fonction f : x  en utilisant la méthode detrapèzes.NB : Même démarche que la méthode précédente, on s’intéresse à écrire l’analyse et l’algorithme de la fonctionCALCUL.  Analyse de la fonction calcul 3) Résultat = calcul  somme * h 1) h  (b-a)/n 2) somme [somme  (f(a) + f(a+h))/2, x a] Pour i de 1 à N-1 Faire x  x+h somme  somme + (f(x) + f(x+h))/2 Fin Pour  Algorithme de la fonction calcul 0) Fonction CALCUL (a,b : réel ; n :entier) : Réel 1) h  (b-a)/n 2) somme  (f(a) + f(a+h))/2 x a Pour i de 1 à N-1 Faire x  x+h somme  somme + (f(x) + f(x+h))/2 Fin Pour 3) calcul  somme * h 4) Fin CALCUL 4ème SI 12
  • 13. Chapitre : les algorithmes d’approximation Enseignant : Mohamed SAYARI  Traduction en PASCAL 4ème SI 13