Probabilidad y Estadísitica EPN

1. Realizado por:
Stalin Coronel
Diego Espinoza
Revisado por:
Mónica Mantilla

2.  La
Distribución Normal fue inventada por:
De Moivre
 El nombre de Distribución normal fue
aplicado por F. Galton en 1889
 Conocida
también
como
Distribución
Gaussiana

3. La distribución de probabilidad de una variable
aleatoria continua X se llama normal si su
función de densidad es:
1
( x   ) 2 / 2 2
f ( x) 
e
, x  (, )
2 

4. 1
( x   ) 2 / 2 2
f ( x) 
e
, x  (, )
2 
μ
σ
Promedio= esperanza
desviación estándar (valor positivo)

5.  NOTACIÓN:
X ~ N (μ,σ²)

6.  Función
de Distribución:
1
F ( x) 
2 
x


e
 ( x   ) 2 / 2 2
dx

7. 
f(x)
Simetría con respecto a x=μ

F(x)
Asíntotas en:
X=0 y X=1

8.  Esperanza:
E(x)=μ
 Varianza:
Var(x)=σ²

9.  Normal
-
-
estándar (N (0,1))
μ=0
σ²=1
Función de
densidad
Función de
distribución
1 x2 / 2
 ( x) 
e
, x  (, )
2
( x) 
1
2
x


e
x2 / 2
dx

10.  Ley
normal
x
F ( x )  

  

11.  Fórmula
desarrollada por Derenzo



1
 (83 x  351) x  562 
 exp 
, x  0
703
2


 165 
x




  0.5, x  0




1  1 exp  (83x  351) x  562 , x  0


703
 2


 165

x




12. Tabla de probabilidad acumulada para la
distribución normal estándar

14. EJERCICIOS RESUELTOS

15. 
a)
El perímetro craneal de los hombres, en una ciudad, es
una variable aleatoria de media 60cm y desviación
estándar 2cm.
Qué porcentaje de los hombres tienen un perímetro
craneal entre 57 y 64 cm?
  60
 2
x
F ( x )  

  
Pr(57  x  64)  F (64)  F (57)
 64  60 
 57  60 
Pr(57  x  64)  
  
   (2)   (1.5)
2 
2 


Pr(57  x  64)  0.9772  0.0668  0.9104
R= 91%

16. b) Qué perímetro craneal debe tener un hombre para que el
16.6% de sus paisanos “tenga más cabeza que él”?
  60
 2
 x 
F ( x )  

 

Pr( X  x)  0.166
Pr( X  x)  1  Pr( X  x)  1  F ( x)  0.166
F ( x)  1  0.166  0.834
 x  60 

  0.834
 2 
 (0.97)  0.834
x  60
 0.97
2
x  61.94cm

17. c) Y cuánto para que el 35.2% tenga menos?
  60
 2
 x 
F ( x )  

 

Pr( X  x)  0.352
Pr( X  x)  F ( x)  0.352
 x  60 

  0.352
 2 
 (0.28)  0.352
x  60
 0.38
2
x  59.24cm

18. 
a)
Se experimenta con un medicamento que produce
variación en el peso de las personas que lo toman. Pruebas
de laboratorio han demostrado que al cabo de un mes la
variación del peso sigue una distribución Gaussiana de
media 2kg y desviación estándar 1.25kg. Determine la
probabilidad de que una persona:
Haya aumentado al menos un kilogramo
2
  1.25
Pr( x  1)  1  Pr( x  1)  1  F (1)
 x 
F ( x )  

  
1 2 
Pr( x  1)  

 1.25 
Pr( x  1)  1   (0.8)
Pr( x  1)  1  0.2119  0.7881

19. b) Haya rebajado de peso
2
  1.25
Pr( x  0)  F (0)
 x 
F ( x)  

  
02
Pr( x  0)  

 1.25 
Pr( x  0)   (1.6)
Pr( x  0)  0.0548

20. c) Haya aumentado menos de 3kg
2
  1.25
Pr(0  x  3)  F (3)  F (0)
 x 
F ( x )  

  
 3 2
02
Pr(0  x  3)  
  

 1.25 
 1.25 
Pr(0  x  3)   (0.8)   (1.6)
Pr(0  x  3)  0.7881  0.0548  0.7333

21. 
En una fábrica de autos un ingeniero está diseñando
autobuses pequeños. Sabe que la estatura de la
población está normalmente distribuida con media
1.70m y varianza σ², con σ=5 cm.
¿Qué altura mínima deberán tener los autobuses para
que no más del 1% de las personas golpee su cabeza con
la parte superior del autobús?

22. Sea X { estatura de las personas } .Denominemos h a la
altura mínima para que la probabilidad de que una
persona golpee su cabeza con el techo del autobús
sea del 1 % .
  1.70
 5
 x 
F ( x )  

 

Pr( x  h)  0.01
Pr( x  h)  1  Pr( x  h)  1  F (h)
 h  1.70 
Pr( x  h)  1  

0.05 


23. Entonces :
 h  1.70 
0.01  1  

 0.05 
 h  1.70 

  1  0.01  0.99
 0.05 
h  1.70
 2.33
0.05
h  1.70  (0.05 * 2.33)
h  1.817
Por lo tanto el ingeniero deberá diseñar el autobús
con una altura de 1.82 m

24. 
Se tomaron dos exámenes sobre 100 puntos , en el primero
se obtuvo μ1=80 , σ1=4 y en el segundo μ2=65 , σ2=5 .Un
estudiante sacó 84 en el primer examen y 75 en el
segundo.
Comparativamente , ¿en cuál de los exámenes obtuvo mejor
resultado?

25. Para poder hacer una comparación de cómo le fue al
estudiante en cada examen determinaremos para cada
caso el porcentaje de compañeros que sacaron menor nota
que el estudiante :
PRIMER EXAMEN :
  80
 4
 x 
F ( x )  

 

 84  80 
Pr( x  84)  F (84)  
  1  0.8413
 4 

26. 
SEGUNDO EXAMEN :
  65
 5
 x 
F ( x )  

 

 75  65 
Pr( x  75)  F (75)  
  2  0.9772
 5 
Respuesta : Como en el primer examen el porcentaje de
compañeros que obtuvo menor nota es 84.13% y en el segundo
97.72% , tuvo, comparativamente mejor resultado en el segundo
examen aunque la media de la nota haya sido menor.

27. EJERCICIO PROPUESTO 1
Se sabe que el gasto en cigarrillos es, para los
fumadores, de $.5 diarios por término medio,
y que la desviación estándar es de 0,8 dólares.
Suponiendo que el gasto sigue una distribución
normal,
¿qué proporción de los fumadores
gastan entre 4 y 6,2 dólares diarios?

28. EJERCICIO PROPUESTO 2
Supongamos que la cantidad de radiación cósmica
a la que una persona está expuesta cuando vuela
en jet por Estados Unidos es una variable
aleatoria que tiene una distribución normal con
una media de 4,35 mrem y una desviación
estándar de 0,59 mrem. ¿cuál es la probabilidad
de que una persona estará expuesta a más de
5.20 mrem de radiación cósmica en un vuelo
como éste?

29. EJERCICIO PROPUESTO 3
Supongamos que durante los periodos de
meditación trascendental la reducción del
consumo de oxígeno de una persona es una
variable aleatoria que tiene una media de 37.6
cc por minuto y desviación de 4.60c por minuto.
Encuentre las probabilidades de que durante un
periodo de meditación el consumo de oxígeno de
una persona se reducirá por:
a) Al menos 44.5 cc por minuto
b) Cuando mucho 35.00 cc por minuto
c) Cualquier valor entre 30.0 y 40.0 cc por minuto