Ch1 logique propositionnel

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Ch1 logique propositionnel

  1. 1. LOGIQUEINFORMATIQUEOLFA MOUELHIMOHAMED HENY SELMIE C O L E S U P É R I E U R E PR I V É E D I N G É N I E R I E ET DE TECHNOLOGIES olfa.mouelhi@esprit.tn medheny.selmi@esprit.tn
  2. 2. ORGANISATION DUMODULE Enseignement • Cours/TD 80% • TP sur machine 20% Langage support PROLOG Évaluations • Evaluation (TD noté) 20% • TP noté en fin de module 20% • Examen final 60%Olfa MOUELHI - Mohamed Heny SELMI
  3. 3. INTRODUCTION
  4. 4. PLAN DU COURSLogique formelle (Bases théoriques ) • Calcul propositionnel • Calcul des prédicatsLe langage PROLOGOlfa MOUELHI - Mohamed Heny SELMI
  5. 5. DOMAINES D’APPLICATION Intelligence Artificielle : une nouvelle façon de programmer Systèmes Experts, Systèmes d’Aides à la Décision Programmation des Jeux Techniques de Représentation de Connaissances Traduction formelle et Interprétation des langages naturelOlfa MOUELHI - Mohamed Heny SELMI
  6. 6. HISTORIQUE1930 Calcul des prédicats (J. Herbrand)1965 Principe de résolution (J. A. Robinson)1970 Utiliser la logique comme langage de programmation clauses de Horn R. Kowalski Q-systèmes A. Colmerauer1972 Premier interpréteur PROLOG (A. Colmerauer et P.Roussel) Université d’Aix-Marseille1977 Premier compilateur PROLOG (D. H. D. Warren) Université d’Édimbourg1990 PROLOG évolue vers la Programmation par Contraintes>1990 Programmation des Systèmes ExpertsOlfa MOUELHI - Mohamed Heny SELMI
  7. 7. EN TP, VOUSAPPRENDREZ À ... Utiliser PROLOG Résoudre automatiquement des énigmes logiques exprimées en langage naturelOlfa MOUELHI - Mohamed Heny SELMI
  8. 8. 1. LOGIQUE DES PROPOSITIONS(LOGIQUE D’ORDRE 0)2. LOGIQUE DES PREDICATS(LOGIQUE D’ORDRE 1)3. PROGRAMMATION LOGIQUEPROLOG
  9. 9. QU’EST-CE QU’UNE PROPOSITION ?  Une connaissance qui est vraie ou fausse! Exemple : - il pleut p1 - il fait beau p2 - après le repas, je tonds la pelouse p3 - Il y a un bon film à la télévision ce soir p4  Chacun de ces énoncés est représenté une proposition.  On nomme chaque proposition élémentaire.Olfa MOUELHI - Mohamed Heny SELMI
  10. 10.  Construire de nouvelles propositions à partir de celles qui existent en ajoutant des connecteurs : -Il pleut et il y a un bon film à la télévision ce soir: p1 ^ p4 -Je ne tonds pas la pelouse après le repas: ¬p3 -Il pleut si et seulement si il ne fait pas beau: p1  ¬p2Olfa MOUELHI - Mohamed Heny SELMI
  11. 11. DÉFINITION Etude scientifique des conditions de vérités de proposition. Manière basique et simple de raisonner. Enchainement cohérent d’idées.Olfa MOUELHI - Mohamed Heny SELMI
  12. 12. OBJECTIFSComment écrire les formules ? • Aspects syntaxiques modéliserComment déterminer la valeur de vérité d’une formule ? • Aspects sémantiques interpréterComment démontrer de nouveaux résultats ? • Aspects déductifs RaisonnerOlfa MOUELHI - Mohamed Heny SELMI
  13. 13. SYNTAXE DU LANGAGE Vocabulaire • un ensemble de variables propositionnelles(atomes) { p, q, r, … } énoncés élémentaires • un ensemble de connecteurs {,,,,} • Ensemble de délimiteurs {(,)} Formules bien formée (fbf) • p est une fbf •  (H) est une formule si H est une fbf • (H K), (H  K), (H  K) et (H  K) sont des fbf si H et K sont des fbfOlfa MOUELHI - Mohamed Heny SELMI
  14. 14. PRIORITÉ DES CONNECTEURSET PARENTHÈSES  On utilise les parenthèses pour éviter les ambigüités de lecture.  Priorité décroissante des connecteurs dans l’ordre:       Quand il y’a un seul connecteur l’association se fait de gauche à droite Exemples: 1) P   Q  R (P  (( Q)  (R))) 2) P Q R (P (Q R )) 3) P  QR S (((P  Q)R) S)Olfa MOUELHI - Mohamed Heny SELMI
  15. 15. SÉMANTIQUE D’UNE FORMULELogique bi-valuée • fausse (F) • vraie (V)Notion d’interprétation • donner une valeur de vérité à une variable  ( p)   V , F ou  O,1  • Pour n atomes  2n interprétationsOlfa MOUELHI - Mohamed Heny SELMI
  16. 16. TABLES DE VÉRITÉ :OPÉRATEURS p p  F V  F V F V F F F F F V V F VF V VV V  F V  F V F V V F V F V F V V F VOlfa MOUELHI - Mohamed Heny SELMI
  17. 17. FORMULESPARTICULIÈRES Tautologie (valide) : formule toujours vraie • Toutes les interprétations ne contiennent que des V • exemple : p   p p ( p) (p   p)  F V F V V F F V V F V VV V toutes les interprétations sont évaluées à VRAIEOlfa MOUELHI - Mohamed Heny SELMI
  18. 18. Calcul propositionnel A : ( p  q)  (p  q) est-elle valide? p q ¬p ¬q pq ¬(pq) (¬ p  ¬ q) A F F V V F V V V F V V F F V V V V F F V F V V V V V F F V F F V  F V  F V  F V F V F F F F F F V V F V VF V VV VOlfa MOUELHI - Mohamed Heny SELMI
  19. 19. VALIDE, INVALIDE, INCONSISTANTE, CONSISTANTE ???INCONSISTANTE VALIDE CONSISTANTE V F INVALIDE FF VV INVALIDE et V F V CONSISTANTE F F F V V V F F V F V F V F V V F F F V V Olfa MOUELHI - Mohamed Heny SELMI
  20. 20. Calcul propositionnel FORMULES ÉQUIVALENTESFormules tautologiquement équivalentes • les tables de vérité sont les mêmes AB AB V  ,  ( A)   ( B) V VV V V F F VF • Condition nécessaire et suffisante : VV V (A)  (B) est une tautologie F VF F VF F VF EQUIVALENTES Olfa MOUELHI - Mohamed Heny SELMI
  21. 21. FORMULESÉQUIVALENTES UTILES AA= V (loi du tiers exclu) A  A=F A F=A A  V=A A V=V A  F=F A  A (double négation) A  B  A  B A  B  (A  B)  (B  A) AA  AA  A (idempotence)Olfa MOUELHI - Mohamed Heny SELMI
  22. 22. FORMULESPARTICULIÈRES Lois de Morgan : (AB)  A  B (AB)  A  BOlfa MOUELHI - Mohamed Heny SELMI
  23. 23. EXERCICE D’APPLICATION :Développer la négation en appliquant les loisde Morgan: Olfa MOUELHI - Mohamed Heny SELMI
  24. 24. FORMES NORMALESBut: avoir une représentation uniforme des formules du calcul propositionnel limiter le nombre de connecteurs différents utilisés FORMES NORMALES (, ¬) (, ¬) FN FN CONJONCTIVES DISJONCTIVESOlfa MOUELHI - Mohamed Heny SELMI
  25. 25. FORMES NORMALES Une formule F est dite sous Forme Normale Disjonctive ssiF est une disjonction de conjonctions de variablespropositionnelles et de leur négationToute formule du calcul propositionnel est tautologiquementéquivalente à une formule sous forme normale disjonctive Une formule F est dite sous Forme Normale Conjonctive ssiF est une conjonction de disjonctions de variablespropositionnelles et de leur négationToute formule du calcul propositionnel est tautologiquementéquivalente à une formule sous forme normale conjonctive Olfa MOUELHI - Mohamed Heny SELMI
  26. 26. ALGORITHME DENORMALISATION Début  Elimination des connecteurs  et  Remplacer A  B par A  B A  B par (A  B)  (B  A)  Application des lois de Morgan Remplacer (AB) par A  B (AB) par A  B  Elimination des doubles négations A par A  Application des règles de distributivité A  (B  C) par (A  B)  (AC) (A  B) C par (AC)  (BC) Fin Olfa MOUELHI - Mohamed Heny SELMI
  27. 27. ASPECTSDÉDUCTIFSn NOTI ON D E C ONSÉQUENC E LOGIQUEn NOTI ON D E R A ISONNEMENT
  28. 28. CONSÉQUENCELOGIQUE / SÉMANTIQUE F1, F2 ,…, Fn n formules bien formées : hypothèses G une formule bien formée : conclusion G est une conséquence logique de F1, F2 ,…, Fn ssi ? Peut on 1  …  Fn)partir des hypothèses F , F ,…, F (F déduire G à  G est une tautologie 1 2 n OU G est une conséquence logique de F1, F2 ,…, Fn ssi (F1  …  Fn)   G est inconsistante Notion de réfutation : démonstration par l’absurde Olfa MOUELHI - Mohamed Heny SELMI
  29. 29. EXERCICED’APPLICATION:Considérons les arguments suivants: « Si Didier est l’auteur de ce bruit, il est stupide oudépourvu de principes. Didier n’est ni stupide ni dépourvu deprincipes. Donc Didier n’est pas l’auteur de ce bruit. »Olfa MOUELHI - Mohamed Heny SELMI
  30. 30. D : « Didier est l’auteur de ce bruit »S : « Didier est stupide »P : « Didier est dépourvu de principes »H1 : « Si Didier est l’auteur de ce bruit, il est stupide ou dépourvu deprincipes » (D → (S ∨ P))H2 : « Didier n’est pas stupide » ¬SH3 : « Didier n’est pas dépourvu de principes » ¬PC : « Didier n’est pas l’auteur de ce bruit » ¬D Olfa MOUELHI - Mohamed Heny SELMI
  31. 31. La table de vérité nous permet de vérifier aisément l’assertion: Vérifier si ? C est une conséquence logique de H1, H2 et H3 Olfa MOUELHI - Mohamed Heny SELMI

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