Ch2 logique des prédicats 1

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Ch2 logique des prédicats 1

  1. 1. LOGIQUEINFORMATIQUEOLFA MOUELHIMOHAMED HENY SELMIE C O L E S U P É R I E U R E PR I V É E D I N G É N I E R I E ET DE TECHNOLOGIES olfa.mouelhi@esprit.tn medheny.selmi@esprit.tn
  2. 2. 1. LOGIQUE DES PROPOSITIONS(LOGIQUE D’ORDRE 0)2. LOGIQUE DES PREDICATS(LOGIQUE D’ORDRE 1)
  3. 3. OBJECTIFS Comment écrire les formules ? Aspects syntaxiques modéliser Comment déterminer la valeur de vérité d’une formule ? Aspects sémantiques interpréter Comment démontrer de nouveaux résultats ? Aspects déductifs Raisonner Olfa MOUELHI - Mohamed Heny SELMI
  4. 4. LIMITES DE LA LOGIQUE DES PROPOSITIONS LP0 tous les étudiants n’habitent pas à Tunis A tous les étudiants n’habitent pas à Sfax B Olfa MOUELHI - Mohamed Heny SELMI
  5. 5. LIMITES DE LA LOGIQUE DES PROPOSITIONS LP0 tous les étudiants n’habitent pas à Tunis A tous les étudiants n’habitent pas à Sfax B Peut-on faire mieux ? LP1 Olfa MOUELHI - Mohamed Heny SELMI
  6. 6. LIMITES DE LA LOGIQUE DES PROPOSITIONStous lesles étudiants n’habitent pas à Tunis tous étudiants n’habitent pas à Tunis Atous lesles étudiants n’habitent pas à Sfax tous étudiants n’habitent pas à Sfax B Variables Universelles Olfa MOUELHI - Mohamed Heny SELMI
  7. 7. LIMITES DE LA LOGIQUE DES PROPOSITIONStous les les étudiants n’habitent pas à Tunis tous étudiants n’habitent pas à Tunis les étudiants n’habitent pas à Tunis Atous les les étudiants n’habitent pas à Sfax tous étudiants n’habitent pas à Sfax les étudiants n’habitent pas à Sfax B Relation: prédicat Olfa MOUELHI - Mohamed Heny SELMI
  8. 8. LIMITES DE LA LOGIQUE DES PROPOSITIONStous les les étudiants n’habitent pasTunistous les étudiants n’habitent pas ààTunis  tous étudiants n’habitent pasàà à Tunis les étudiants n’habitent pas Tunis n’habitent pas Tunis Atous les les étudiants n’habitent pasSfaxtous les étudiants n’habitent pas ààSfax  tous étudiants n’habitent pasàà à Sfax les étudiants n’habitent pas Sfax n’habitent pas Sfax B constantes Olfa MOUELHI - Mohamed Heny SELMI
  9. 9. LIMITES DE LA LOGIQUE DES PROPOSITIONStous les les étudiants n’habitent pasTunistous les étudiants n’habitent pas àà à Tunistous les étudiants n’habitent pas ààTunis  tous étudiants n’habitent pas Tunis les étudiants n’habitent pas n’habitent pas Tunis Atous les les étudiants n’habitent pasSfaxtous les étudiants n’habitent pas àà à Sfaxtous les étudiants n’habitent pas ààSfax  tous étudiants n’habitent pas Sfax les étudiants n’habitent pas n’habitent pas Sfax B quantificateur existentiel : quantificateur universel :  certains étudiants habitent à Tunis Olfa MOUELHI - Mohamed Heny SELMI
  10. 10. Calcul des prédicatsEXEMPLE DEMODÉLISATION Les chandelles sont faites pour éclairer x, chandelle ( x)  éclaire ( x) Quelques chandelles éclairent très mal x, chandelle ( x)  éclaireMal ( x) Quelques objets qui sont faits pour éclairer le font très mal x, éclaire ( x)  éclaireMal ( x) Olfa MOUELHI - Mohamed Heny SELMI
  11. 11. Calcul des prédicatsSYNTAXEdes connecteurs (, , ,  et )des quantificateurs ( et  )des variables (x,y, …)des relations (prédicats) (R, S, éclaire, …) Les prédicats d’arité 0 sont les PROPOSITIONSdes symboles de fonctions (f, g, …) les fonctions d’arité 0 sont des constantes Olfa MOUELHI - Mohamed Heny SELMI
  12. 12. Calcul des prédicatsVOCABULAIRELes termes les variables et les constantes sont des termes f(t1, …, tn) est un terme si les ti sont des termes Pas de valeur de vérité f est un symbole de fonction d’arité n Exemple: a, X, f(a,X) mais pas P(X).Les atomes R(t1, …, tn) est un atome si les ti sont des termes valeur de vérité R est un symbole de prédicat d’arité n Olfa MOUELHI - Mohamed Heny SELMI
  13. 13. Calcul des prédicatsFORMULES Un atome est une formule bien formée Si F et G sont des formules bien formées et X une variable, alors les expressions suivantes sont des formules bien formées : (F) (F)  (G) et (F)  (G) (F)  (G) et (F)  (G) x (F) et x (G) Olfa MOUELHI - Mohamed Heny SELMI
  14. 14. EXERCICEEn début dannée se pose l‘éternel problème de la gestiondes emplois du temps, des salles et du matérieldenseignement.On utilise les prédicats suivants : retro(x) : x est un rétroprojecteur. video(x) : x est un vidéoprojecteur. amphi(x) : x est un amphi. salleTD(x) : x est une salle de TD. estDans(x,y) : x est dans y.Olfa MOUELHI - Mohamed Heny SELMI
  15. 15. TRADUCTION1. On trouve toujours un retroprojecteur dans une salle de TD.2. La salle A3 est une salle de TD.3. Il ny a pas de videoprojecteur dans la salle A3.4. Tous les videoprojecteurs sont dans des amphis.Olfa MOUELHI - Mohamed Heny SELMI
  16. 16. CORRECTIONOlfa MOUELHI - Mohamed Heny SELMI
  17. 17. Calcul des prédicats CARACTÉRISTIQUES DES VARIABLES Une variable X est dite liée dans une formule F ssi toutes les occurrences de X sont dans la portée de son quantificateur sinon elle est dite libre. Exemple: X (Y P( X , Y , Z )  Q( X , Z ))  R( X ) La portée de ∀ est (Y P( X , Y , Z )  Q( X , Z )) Une formule n’ayant pas de variable libre est dite close XY (P(X)  R(Y))  Z Q(Z) Olfa MOUELHI - Mohamed Heny SELMI
  18. 18. EXERCICE Tous les professeurs sont intelligents. Il existe un professeur intelligent. Si un professeur enseigne lIA, il est intelligent. Tout le monde aime tout le monde. Tout le monde aime quelquun. Quelquun aime tout le monde. Quelquun aime quelquun.Olfa MOUELHI - Mohamed Heny SELMI
  19. 19.  Quelquun aime tous les professeurs de IA. Tous les brésiliens parlent la même langue Les brésiliens ne dansent pas tous la samba. Un politicien peut tromper tout le monde une fois, peut aussi tromper quelquun tout le temps, mais ne peut pas tromper tout le monde tout le temps.Olfa MOUELHI - Mohamed Heny SELMI
  20. 20. Calcul des prédicatsASPECTSSÉMANTIQUES
  21. 21. Calcul des prédicatsEXEMPLED’INTERPRÉTATIONxyz (P(x,y)  Q(y,z)  R(x,z))xy ( (M(x,y)  P(x,y)  Q(x,y))M(a,b)  P(c,b)  P(d,a)  P(e,c) D = { anne, bernard, charles, éric, didier, …} P= est père de a= Anne, M= est la mère de b= Bernard Q= est un parent de c= Charles R = est le grand-père de d=didier e= éricOlfa MOUELHI - Mohamed Heny SELMI
  22. 22. Calcul des prédicats MODÈLE Une interprétation I est dite modèle d’une formule ssi F est évaluée à « V » selon I.Soit F(x1, …, xk) une formule quelconque:  F est dite universellement valide ssi x1…xk F(x1, …, xk) est valide dans toutes les interprétations  F est dite insatisfaisable(consistante) ssi il existe une interprétation pour laquelle x1…xk F(x1, …, xk) est valide Olfa MOUELHI - Mohamed Heny SELMI
  23. 23. Calcul des prédicatsPREUVE ETDÉMONSTRATIONComment prouver une formule du calcul des prédicats ? Prouver qu’elle est vraie  passer en revue toutes les interprétations ! Prouver qu’elle est fausse  trouver une interprétation qui invalide la formuleOlfa MOUELHI - Mohamed Heny SELMI
  24. 24. Calcul des prédicatsTOUTES LESINTERPRÉTATIONS ? Une représentation utile des formules forme clausale Principe de résolution pour le calcul des prédicats vers une automatisation des démonstrationsOlfa MOUELHI - Mohamed Heny SELMI
  25. 25. Calcul des prédicatsTRANSFORMATION DEFORMULEForme normale prénexe quantificateurs en tête de la formule formule sous forme normale conjonctiveForme standard de Skolem formule sous forme normale prénexe quantificateurs existentiels précédant quantificateurs universelsToute formule du calcul des prédicats est équivalente à uneformule sous forme standard de SkolemOlfa MOUELHI - Mohamed Heny SELMI
  26. 26. FORME NORMALEPRENEX D’UNE FBFOlfa MOUELHI - Mohamed Heny SELMI
  27. 27. SKOLEMISATIONOlfa MOUELHI - Mohamed Heny SELMI
  28. 28. EXERCICEDonner la FNP des formules suivantes puis les mettre sous la forme de Skolem:1. (∀X)(P(X)  R(X) → (∃Y)Q(X,Y))2. (∀X)(Q(X) ^¬P(X)) →(∀Y)(∃Z)R(Y,Z)Olfa MOUELHI - Mohamed Heny SELMI
  29. 29. Calcul des prédicats TRANSPORT DES QUANTIFICATEURS x F   x F xy F  yx F x F   x F xy F  yx F x F  x H  x F  H  x F  x H  x F  H si H ne contient aucune occurrence de x x F   H  x F  H  x H  H x F   H  x F  H  x H  H Olfa MOUELHI - Mohamed Heny SELMI
  30. 30. Calcul des prédicatsA QUOI ÇA SERT ?VALIDATION DE RAISONNEMENT On cherche à valider le raisonnement suivant Un dragon est heureux si tous ses enfants peuvent voler Les dragons verts peuvent voler Un dragon est vert s’il a au moins un parent vert ou rose Donc les dragons verts sont heureuxOlfa MOUELHI - Mohamed Heny SELMI
  31. 31. Calcul des prédicatsRÉSOLUTION DUPROBLÈME Démarche générale Modéliser le problème (les faits et la conclusion) Démonstration par l’absurde, on montre que P1  P2  P3  C est inconsistante  mettre la formule sous forme clausale Notations h(x) : x est heureux p(x,y) : x est parent de y vo(x) : x vole (peut voler) ve(x) : x est vert r(x) : x est roseOlfa MOUELHI - Mohamed Heny SELMI
  32. 32. Calcul des prédicatsRÉSOLUTION DUPROBLÈME (SUITE) P1 un dragon est heureux si tous ses enfants peuvent voler x,y,p, x,px)y, yy vo( ) (hh x) h x( x )  (   ) ,  , ,yyp, ( ,( x)  y )) h( x  x (y, p(x,y)vo(y))  h(x) xxy(p,((yp,xy )h)vo(yyvoy(()x) ( x)  ) vo x,  p( x, f ( x))  h( x)   vo( f ( x))  h( x)  P2 les dragons verts peuvent voler x, ve( x)  vo( x) x, ve( x)  vo( x) P3 un dragon est vert s’il a au moins un parent vert ou rose x, y, p( y, x)  ve( y )  r( y )  ve( x) les A p ,AyveB(py, )x )   y p y (x()((yyxx) ve x) x, y, x, y,y,,x) sont(, y)(,ve) yve()p( y,,ry)y)ve())) ve(( x)  ( x p, yp  y ( x   x) B  ( , y x   x)  r ve(  (r   r  C les dragons verts sont heureux x, ve( x)  h( x) x,, ve(ve(hh( x) x  a) ) ) h ax) ve( x x  ( ( ) négationOlfa MOUELHI - Mohamed Heny SELMI
  33. 33. Calcul des prédicatsFORME CLAUSALE x,  p( x, f ( x))  h( x)   vo( f ( x))  h( x)  x, ve( x)  vo( x) x, y, p( y, x)  ve( y)  ve( x)  p( y, x)  r ( y)  ve( x) ve(a)  h(a) p( x1, f ( x1 ))  h( x1 ) vo( f ( x2 ))  h( x2 ) ve( x3 )  vo( x3 ) p( y1, x4 )  ve( y1 )  ve( x4 ) p( y2 , x5 )  r ( y2 )  ve( x5 ) ve(a ) h(a )Olfa MOUELHI - Mohamed Heny SELMI
  34. 34. Calcul des prédicatsVALIDATION DURAISONNEMENTTrouver un ensemble d’instances de base insatisfaisable intuition 1 : partir de la conclusion et essayer d’arriver à une contradiction par déduction intuition 2 : utiliser le principe de résolutionOlfa MOUELHI - Mohamed Heny SELMI
  35. 35. Calcul des prédicatsMISE EN ŒUVRE p( x1, f ( x1 ))  h( x1 ) vo( f ( x2 ))  h( x2 ) ve( x3 )  vo( x3 ) p( y1, x4 )  ve( y1 )  ve( x4 ) p( y2 , x5 )  r ( y2 )  ve( x5 ) ve(a ) h(a ) h(a ) h(a)  vo( f (a)) vo( f (a))  ve( f (a)) x2  a x3  f (a ) x4  f (a )  clause vide p( y1, f (x ))a ve(xy1) faveh(a ) )) a (  ) ( f (a 2 3 x1  a y1  x1 h(a)  p(a, f (a)) vo(pf((a)) (avevo((a)))))  h(fa()a))  f (  a, f  ))  ( fve(aa  ve( h(a ) ve(a ) Olfa MOUELHI - Mohamed Heny SELMI
  36. 36. Calcul des prédicatsRÉSOLUTIONOn a un ensemble d’instances de base insatisfaisables h(a ) h(a ) vo( f (a))  ve( f (a)) h(a)  vo( f (a)) p(a, f (a))  ve(a)  ve( f (a)) h(a)  p(a, f (a)) ve(a )La formule P1  P2  P3  C est donc insatisfaisableLe raisonnement est donc valideOlfa MOUELHI - Mohamed Heny SELMI
  37. 37. Calcul des prédicatsANALYSONS UN PEULES CHOSESL’opération d’appariement de deux atomes s’appellel’unification p( y1 , f (a))  ve( y1 )  ve( f (a)) p( x1, f ( x1 ))  h( x1 ) unificateur y1  x1 x1  aOlfa MOUELHI - Mohamed Heny SELMI
  38. 38. Calcul des prédicatsPROPRIÉTÉS DU CALCULDES PRÉDICATSLe calcul des prédicats muni du principe de résolution et del’unification est complet toute formule close est vraie ou fausseMAIS le calcul des prédicats est indécidable Il n’existe pas d’algorithme permettant de décider à tout coup si une formule close est vraie ou fausseEn PROLOG, nous nous limiterons donc à un sous-ensembledu calcul des prédicats non restrictif en pratiqueOlfa MOUELHI - Mohamed Heny SELMI
  39. 39. Calcul des prédicatsPROGRAMMER ENLOGIQUE ?Un petit exemple xyz (pere(x,y)parent(y,z)  grand-pere(x,z) xy ((mere(x,y)  pere(x,y))  parent(x,y) mere(a,b) pere(c,b) pere(d,a) pere(e,c)Forme clausale pere(x1, y1)  parent(y1, z1)  grand-pere(x1,z1) mere(x2, y2)  parent(x2, y2) pere(x3, y3)  parent(x3, y3) mere(a,b) pere(c,b) pere(d,a) pere(e,c)On veut prouver x, grand-pere(x,b) négation sous forme clausale : grand-pere(x,b)Olfa MOUELHI - Mohamed Heny SELMI
  40. 40. Calcul des prédicatsPROGRAMMER ENLOGIQUE ?On part de grand-pere(x,b) si x = x1 et z1=b unification avec pere(x1, y1)  parent(y1, z1)  grand-pere(x1,z1) on obtient pere(x, y1)  parent(y1, b) si y3 = b et y1=x3 unification avec pere(x3, y3)  parent(x3, y3) on obtient pere(x, x3)  pere(x3, b) si x3 = c unification avec pere(c,b) on obtient pere(x, c) si x=e unification avec pere(e,c) on obtient Olfa MOUELHI - Mohamed Heny SELMI
  41. 41. Calcul des prédicatsPROGRAMMER ENLOGIQUE ? On a réussi à prouver x, grand-pere(x,b) On a réussi à calculer un x Unification = calcul on donne des valeurs aux variables Calcul = programmation on va pouvoir programmer avec la logique !!! on automatise complètement le processus PROLOG est un démonstrateur de théorèmeOlfa MOUELHI - Mohamed Heny SELMI

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