Eléments de Robotique 
Université Blaise Pascal 
T. Chateau 
2012/2013 
C0 
C1 
C2 
Ck+1 
Cn-2 
Cn-1 
Cn 
Ck+L 
Cm-1 
Cm 
...
Table des matières 
Liste des figures iii 
Liste des tableaux vi 
Introduction 1 
1 Géométrie et cinématique du déplacemen...
ii Table des matières 
2.2.2.1 Cadre général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 
2.2.2.2 Paramétrage de Denavi...
Table des matières iii 
Bibliographie 97
Table des figures 
1.1 Passage d’un repère Ri à un repère Rf . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 
1.2 Translation pure d’u...
2.4 Structure du robot ACMA H-80. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 
2.5 Robot à structure ouverte arborescente. ...
Liste des tableaux 
2.1 Systèmes d’equations possibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
Introduction 1 
Introduction
2 Introduction
Chapitre 1 
Géométrie et cinématique du 
déplacement 
1.1 Introduction 
L’étude de la robotique nécessite des connaissance...
4 Géométrie et cinématique du déplacement 
yi 
xi 
zi 
Ri 
zf yf 
Rf 
xf 
M 
Figure 1.1 – Passage d’un repère Ri à un repè...
1.2 Géométrie du déplacement 5 
yi 
xi 
zi 
Ri 
xf 
yf 
zf 
Rf 
M 
c 
b a 
Figure 1.2 – Translation pure d’un repère Rf pa...
6 Géométrie et cinématique du déplacement 
yi 
xi 
zi 
cos θx 
Ri 
xf 
yf 
zf 
Rf 
cos θx 
sin θx 
−sin θx 
θx 
θx 
θx 
Fi...
1.2 Géométrie du déplacement 7 
yi 
xi 
zi 
Ri 
xf 
yf 
zf 
Rf 
θy 
θy 
θy 
Figure 1.4 – Rotation pure autour de l’axe y d...
8 Géométrie et cinématique du déplacement 
yi 
xi 
zi 
Ri 
xf 
yf 
zf 
Rf 
θz 
θz 
θz 
Figure 1.5 – Rotation pure autour d...
cour robotique
cour robotique
cour robotique
cour robotique
cour robotique
cour robotique
cour robotique
cour robotique
cour robotique
cour robotique
cour robotique
cour robotique
cour robotique
cour robotique
cour robotique
cour robotique
cour robotique
cour robotique
cour robotique
cour robotique
cour robotique
cour robotique
cour robotique
cour robotique
cour robotique
cour robotique
cour robotique
cour robotique
cour robotique
cour robotique
cour robotique
cour robotique
cour robotique
cour robotique
cour robotique
cour robotique
cour robotique
cour robotique
cour robotique
cour robotique
cour robotique
cour robotique
cour robotique
cour robotique
cour robotique
cour robotique
cour robotique
cour robotique
cour robotique
cour robotique
cour robotique
cour robotique
cour robotique
cour robotique
cour robotique
cour robotique
cour robotique
cour robotique
cour robotique
cour robotique
cour robotique
cour robotique
cour robotique
cour robotique
cour robotique
cour robotique
cour robotique
cour robotique
cour robotique
cour robotique
cour robotique
cour robotique
cour robotique
cour robotique
cour robotique
cour robotique
cour robotique
cour robotique
cour robotique
cour robotique
cour robotique
cour robotique
cour robotique
cour robotique
cour robotique
cour robotique
cour robotique
cour robotique
cour robotique
cour robotique
cour robotique
cour robotique
Prochain SlideShare
Chargement dans…5
×

cour robotique

1 286 vues

Publié le

cour de robotique sur les MCD et MGD et calcul des models geometrique direct et inverse

Publié dans : Ingénierie
0 commentaire
0 j’aime
Statistiques
Remarques
  • Soyez le premier à commenter

  • Soyez le premier à aimer ceci

Aucun téléchargement
Vues
Nombre de vues
1 286
Sur SlideShare
0
Issues des intégrations
0
Intégrations
11
Actions
Partages
0
Téléchargements
72
Commentaires
0
J’aime
0
Intégrations 0
Aucune incorporation

Aucune remarque pour cette diapositive

cour robotique

  1. 1. Eléments de Robotique Université Blaise Pascal T. Chateau 2012/2013 C0 C1 C2 Ck+1 Cn-2 Cn-1 Cn Ck+L Cm-1 Cm Ck z0,z1 zk zk+1 zk+L zm zn
  2. 2. Table des matières Liste des figures iii Liste des tableaux vi Introduction 1 1 Géométrie et cinématique du déplacement 3 1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Géométrie du déplacement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2.1 Transformations homogènes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2.1.1 Matrice de transformations homogènes de transla-tion pure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.1.2 Matrice de transformation homogène de rotation pure 5 1.2.1.3 Propriétés des matrices de transformation homogène 7 1.2.1.4 Rotation autour d’un axe u quelconque . . . . . . . . 12 1.2.2 Situation d’un solide dans l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.2.2.1 Description de la position d’un solide . . . . . . . . . 16 1.2.2.2 Description de l’orientation d’un solide . . . . . . . . 19 1.3 Cinématique du déplacement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.3.1 Mouvement circulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.3.2 Systèmes d’axes tournants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.3.3 Systèmes d’axes mobiles dans le cas général . . . . . . . . . . 25 1.3.4 Lois de composition des vitesses . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2 Modélisation géométrique des robots - Commande en position des robots 29 2.1 Introduction à la modélisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.2 Description de la structure géométrique d’un robot . . . . . . . . . . 30 2.2.1 Notations et règles générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.2.2 Description des robots à chaîne ouverte simple . . . . . . . . . 30
  3. 3. ii Table des matières 2.2.2.1 Cadre général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.2.2.2 Paramétrage de Denavit-Hartenberg modifié (Khalil 86) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.2.2.3 Exemples de description . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.2.3 Extensions aux chaînes fermées et arborescentes . . . . . . . . 36 2.2.3.1 Cas des chaînes arborescentes . . . . . . . . . . . . . 37 2.2.3.2 Cas des chaînes fermées . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.2.3.3 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.3 Modélisation géométrique directe d’un robot . . . . . . . . . . . . . . 45 2.3.1 Matrice de transformation de l’organe terminal dans le repère atelier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.3.2 Calcul du modèle géométrique direct d’un robot (MGD) . . . 46 2.3.3 Exemples de modèles géométriques directs . . . . . . . . . . . 47 2.3.3.1 MGD du robot AID-5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.3.3.2 MGD du robot H-80 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.3.3.3 MGD du robot AFMA . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 2.4 Modélisation géométrique inverse d’un robot . . . . . . . . . . . . . . 55 2.4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 2.4.2 Position du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 2.4.3 Résolubilité d’un robot manipulateur (introduit par Pieper 68) 56 2.4.4 Nombre de solutions au problème inverse . . . . . . . . . . . . 57 2.4.5 Calcul du modèle géométrique inverse (MGI) . . . . . . . . . . 58 2.4.5.1 Présentation de la méthode . . . . . . . . . . . . . . 58 2.4.5.2 Solutions aux types d’équations rencontrés . . . . . . 59 2.4.6 MGI pour des robots à 6 ddl comportant un poignet rotule (d’axes concourants) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 2.4.7 Exemples de calcul de MGI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 2.4.7.1 Calcul du MGI pour le robot AID-5 . . . . . . . . . 68 2.4.7.2 MGI du robot ACMA H-80 . . . . . . . . . . . . . . 74 2.5 Commande en position d’un robot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 2.5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 2.5.2 Génération de mouvement dans l’espace articulaire . . . . . . 76 2.5.2.1 Interpolation polynomiale . . . . . . . . . . . . . . . 77 2.5.2.2 Loi bang-bang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 2.5.2.3 Loi trapèze : loi bang-bang avec palier de vitesse . . 86 2.5.3 Génération de mouvement rectiligne dans l’espace opérationnel 94 Conclusion 97
  4. 4. Table des matières iii Bibliographie 97
  5. 5. Table des figures 1.1 Passage d’un repère Ri à un repère Rf . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Translation pure d’un repère Rf par rapport à un repère Ri . . . . . 5 1.3 Rotation pure autour de l’axe x d’un repère Rf par rapport à un repère Ri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4 Rotation pure autour de l’axe y d’un repère Rf par rapport à un repère Ri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.5 Rotation pure autour de l’axe z d’un repère Rf par rapport à un repère Ri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.6 Passage direct et inverse d’un repère Ri à un repère Rj . . . . . . . . 9 1.7 Transformations consécutives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.8 Composition à droite et à gauche d’une transformation . . . . . . . . 12 1.9 Composition à droite d’une translation le long de l’axe y . . . . . . . 12 1.10 Composition à droite d’une translation le long de l’axe y . . . . . . . 13 1.11 Rotation autour d’un axe quelconque y . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.12 Coordonnées cartésiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.13 Coordonnées cylindriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.14 Coordonnées sphériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.15 Les angles d’Euler (convention z, x, z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.16 Les angles de Bryant (convention x, y, z) . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.17 Les angles de roulis-tangage-lacet (convention z, y, x) . . . . . . . . . 22 1.18 Les quaternions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.19 Mouvement circulaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.20 Système d’axes tournants. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.21 Système d’axes mobiles : cas général. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.22 Système d’axes mobiles : cas d’une chaîne articulaire simple. . . . . . 26 2.1 Robot à structure ouverte simple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.2 Paramètres géométriques dans le cas d’une structure ouverte simple. 32 2.3 Structure du robot AID-5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
  6. 6. 2.4 Structure du robot ACMA H-80. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.5 Robot à structure ouverte arborescente. . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.6 Paramétrage nécessaire à un corps à plus de 2 articulations . . . . . 38 2.7 Repères nécessaires pour décrire une chaîne fermée . . . . . . . . . . 41 2.8 Synoptique du robot HITACHI-HPR . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.9 Synoptique du robot ASEA-IRB5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.10 Synoptique équivalent du robot ASEA-IRB5 . . . . . . . . . . . . . . 44 2.11 Repères nécessaires pour décrire un robot dans un atelier. . . . . . . 46 2.12 Boucles de génération de mouvement. (a) : dans l’espace articulaire - (b) : dans l’espace opérationnel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 2.13 Degré 1 : Evolution de la position, de la vitesse et de l’accélération . 78 2.14 Degré 3 : Evolution de la position, de la vitesse et de l’accélération . 80 2.15 Degré 5 : Evolution de la position, de la vitesse et de l’accélération . 82 2.16 Loi bang-bang : Evolution de la position, de la vitesse et de l’accélé-ration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 2.17 Loi trapèze et bang-bang : Evolution de de la vitesse et de l’accéléra-tion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 2.18 Loi trapèze : Evolution de la position, de la vitesse et de l’accélération 88 2.19 Loi trapèze : Evolution de la vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 2.20 Loi trapèze : Evolution de la vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 2.21 Loi trapèze : Evolution de la vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 2.22 Loi trapèze : cas où la vitesse n’est pas saturée . . . . . . . . . . . . 93
  7. 7. Liste des tableaux 2.1 Systèmes d’equations possibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
  8. 8. Introduction 1 Introduction
  9. 9. 2 Introduction
  10. 10. Chapitre 1 Géométrie et cinématique du déplacement 1.1 Introduction L’étude de la robotique nécessite des connaissances de base en Géométrie et en cinématique. Lorsque l’on désire commander un robot, il est nécessaire de situer ses différentes parties mobiles les unes par rapport aux autres. Pour ce faire, on associe un repère à chaque partie du robot (socle, effecteur, articulations). Le passage d’un repère à un autre (position, orientation) s’exprime sous la forme d’une matrice de passage. La géométrie, et plus particulièrement les coordonnées et transformations ho-mogènes sont des outils indispensables et très utilisés en robotique, qui font l’objet d’une grande partie de ce chapitre. La cinématique du déplacement, à travers la loi de composition des vitesses, fait également partie des bases de la robotique. Elle est abordée dans la deuxième partie du chapitre 1.2 Géométrie du déplacement 1.2.1 Transformations homogènes Dans le cas d’une transformation homogène, le type de représentation est matri-ciel. Le passage d’un repère initial Ri à un repère final Rf s’exprime par l’intermé-diaire d’une matrice M, appelée matrice de changement de repère, matrice de passage ou matrice de transformation homogène (cf fig. 1.1). En robotique,
  11. 11. 4 Géométrie et cinématique du déplacement yi xi zi Ri zf yf Rf xf M Figure 1.1 – Passage d’un repère Ri à un repère Rf . cette matrice de dimension (4 × 4), notée iMf s’exprime sous la forme : iTf = iMf = (isj inj iaj iPj) =   sx nx ax Px sy ny ay Py sz nz az Pz 0 0 0 1   = iRf iPf 0 1 (1.1) où isj , inj et iaj sont les vecteurs unitaires, suivant les axes xj , yj et zj du repère Rj exprimés dans le repère Ri, où iPj est le vecteur exprimant l’origine du repère Rj dans le repère Ri, et avec : – iRf : matrice (3×3) des rotations donnant l’orientation notée iAf (de Rf dans Ri) – iPf : matrice (3 × 1) des translations donnant la position iMf = iRf iPf 0 1 = iAf iPf 0 1 = I3 iPf 0 1 × iAf 0 0 1 (1.2) A l’aide de la matrice iMf , il est possible d’exprimer les coordonnées d’un point quelconque P de l’espace dans le repère Ri à partir de ces coordonnées homogènes exprimées dans le repère Rf par la relation :   x′ y′ z′ 1   Ri =i Mf .   x y z 1   Rf = iRf iPf 0 1 .   x y z 1   Rf (1.3) 1.2.1.1 Matrice de transformations homogènes de translation pure Lorsque deux repères sont uniquement liés par une translation, il est possible de passer de l’un à l’autre en utilisant une matrice de transformation homogène de
  12. 12. 1.2 Géométrie du déplacement 5 yi xi zi Ri xf yf zf Rf M c b a Figure 1.2 – Translation pure d’un repère Rf par rapport à un repère Ri . translation pure. Nous utiliserons les notations suivantes : – Trans(a, b, c) pour indiquer une translation (a selon l’axe x, b selon l’axe y et c selon l’axe z) – Trans(x, a) pour indiquer une translation a selon l’axe x – Trans(y, b) pour indiquer une translation b selon l’axe y – Trans(z, c) pour indiquer une translation c selon l’axe z Considérons une translation T composée de : – d’une translation a selon l’axe x → Trans(a, 0, 0) = Trans(x, a) – d’une translation b selon l’axe y → Trans(0, b, 0) = Trans(y, b) – d’une translation c selon l’axe z → Trans(0, 0, c) = Trans(z, c) La figure (1.2) montre un exemple de cette translation, associée à la matrice de transformation homogène de translation pure iMf . Les matrices de translation sont liées par la relation suivante : Trans(a, b, c) = Trans(a, 0, 0).Trans(0, b, 0).Trans(0, 0, c) = Trans(x, a).Trans(y, b).Trans(z, c) (1.4) La matrice de transformation homogène de translation pure iMf associée à cette translation s’exprime alors : M =   a I3 b c 0 0 0 1   =   a I3 0 0 0 0 0 1   .   0 I3 b 0 0 0 0 1   .   0 I3 0 c 0 0 0 1   (1.5) 1.2.1.2 Matrice de transformation homogène de rotation pure Lorsque deux repères sont uniquement liés par une rotation, il est possible de passer de l’un à l’autre en utilisant une matrice de transformation homogène de rotation pure. Nous utiliserons les notations suivantes :
  13. 13. 6 Géométrie et cinématique du déplacement yi xi zi cos θx Ri xf yf zf Rf cos θx sin θx −sin θx θx θx θx Figure 1.3 – Rotation pure autour de l’axe x d’un repère Rf par rapport à un repère Ri . – Rot(x, θx) pour indiquer une rotation (θx autour de l’axe x) – Rot(y, θy) pour indiquer une rotation (θy autour de l’axe y) – Rot(z, θz) pour indiquer une rotation (θz autour de l’axe z) Dans la matrice de transformation homogène, la rotation est décrite par la matrice R présentée dans l’équation (1.1) page 4. Lorsque la rotation est nulle autour des trois axes, R devient la matrice identité (c’est le cas pour les rotations pures) : R = I3 =   1 0 0 0 1 0 0 0 1   (1.6) Exemple 1 : Une rotation θx autour de l’axe x (cf fig. 1.3). R =   1 0 0 0 cos θx −sin θx 0 sin θx cos θx   =   1 0 0 0 cθx −sθx 0 sθx cθx   (autre notation) (1.7) Notons (iRf , jRf , kRf ) la base associée au repère Rf et (iRi , jRi , kRi) la base associée au repère Ri. La matrice de rotation R est obtenue en décrivant (iRf , jRf , kRf ) en fonction de (iRi , jRi , kRi) : iRf = 1.iRi + 0.jRi + 0.kRi = isf jRf = 0.iRi + cos θx.jRi + sin θx.kRi = inf kRf = 0.iRi − sin θx.jRi + cos θx.kRi = iaf (1.8)
  14. 14. 1.2 Géométrie du déplacement 7 yi xi zi Ri xf yf zf Rf θy θy θy Figure 1.4 – Rotation pure autour de l’axe y d’un repère Rf par rapport à un repère Ri . Exemple 2 : Une rotation θy autour de l’axe y (cf fig. 1.4). R =   cos θy 0 sin θy 0 1 0 −sin θy 0 cos θy   =   cθy 0 sθy 0 1 0 −sθy 0 cθy   (autre notation) (1.9) Exemple 3 : Une rotation θz autour de l’axe z (cf fig. 1.5). R =   cos θz −sin θz 0 sin θz cos θz 0 0 0 1   =   cθz −sθz 0 sθz cθz 0 0 0 1   (autre notation) (1.10) Rq. : Une rotation autour d’un axe principal x, y ou z laisse inchangé l’axe de rotation considéré. 1.2.1.3 Propriétés des matrices de transformation homogène Nous avons vu (eq. 1.1 page 4) qu’une matrice de transformation homogène T peut se mettre sous la forme : T =   sx nx ax Px sy ny ay Py sz nz az Pz 0 0 0 1   = A P 0 1 (1.11)
  15. 15. 8 Géométrie et cinématique du déplacement yi xi zi Ri xf yf zf Rf θz θz θz Figure 1.5 – Rotation pure autour de l’axe z d’un repère Rf par rapport à un repère Ri . avec – A : matrice (3 × 3) des rotations donnant l’orientation (de Rf dans Ri) – P : matrice (3 × 1) des translations donnant la position (de Rf dans Ri) Lorsque la tranformation, entre le repère de départ et la repère d’arrivée est une translation pure, on a A = I3. Dans le cas d’une rotation pure, on a P = O3 = (0, 0, 0)T Propriété 1 La matrice de rotation A est orthogonale : A−1 = AT (1.12) Les éléments de la matrice A de rotation représentent les cosinus directeurs d’orien-tation (s, n, a). Elle ne contient que trois paramètres indépendants sur les 9 qui la constituent (trois angles de rotations). Un des vecteurs s, n ou a se déduit du produit vectoriel des deux autres, car ils constituent une base orthonormée. Par exemple : s = na n.a = 0 ||n|| = ||a|| = 1 (1.13) Propriété 2 Soit la matrice iTj de transformation homogène prenant le repère Ri pour l’amener sur le repère Rj . Si jTi est la matrice de transformation homogène prenant le repère Rj pour l’amener sur le repère Ri, alors iTj et jTi sont liés par la relation :

×