2 capítulo2 estatica de partículas

Mecánica 1: Estática

Capítulo 2:
Estática de Partículas

29/12/2013

Grupo tutor-el por el desarrollo integral de
el Ingeniero

1

Vectores, Partículas y Cuerpos
• Vector: parámetro que tiene magnitud y
dirección. Se suman según la Ley del
Paralelogramo.
• Escalar: parámetro con magnitud, pero no dirección.

• Vectores iguales tienen
la misma magnitud y
dirección
• Partícula: se usa este modelo cuando
todas las fuerzas convergen al mismo
punto.

29/12/2013

• Vector negativo de un vector
dado es aquel que tiene misma
magnitud pero dirección
opuesta.
• Cuerpo: se usa este modelo cuando no
todas las fuerzas convergen al mismo
punto.

Grupo tutor-el por el desarrollo
integral de elIngeniero

2

Suma de vectores
• Ley del paralelogramo
• Ley del triángulo
• Ley de cosenos:
C

b

B

2

a

2

c

2

2 a c cos B

C

• Ley de senos:
sin A
B

sin B

sin C

a

b

c

• La suma de vectores en conmutativa

P


Q


Q


P

• Resta de vectores: usar el
vector negativo
29/12/2013


3

Suma de vectores
• La suma de 3 o más vectores se logra
aplicando en forma repetida la Ley del
Triángulo.
• Ley del polígono: otra forma de efectuar la
suma de 3 o más vectores.
• La suma de vectores es asociativa:

P


Q


S


P


Q


S


P


Q


S

• Multiplicación de un vector por un escalar:
afecta directamente la magnitud, y si el escalar
es negativo, cambia la dirección
29/12/2013


4

Resultante de Fuerzas
Concurrentes
• Fuerzas concurrentes: grupo de fuerzas
que pasan a un mismo punto.
Al aplicarse a una partícula, también se
pueden sustituir por una fuerza resultante,
correspondiente al vector suma de las
fuerzas aplicadas.
• Componentes del vector
Fuerza: se refiere a 2 o más
vectores fuerza que al actuar
juntos, tienen el mismo efecto
que un vector fuerza.

29/12/2013


5

Problema resuelto 2.1
SOLUCION:

• Solución gráfica – construir a escala un
paralelogramo con lados en las mismas
direcciones de P y Q. Gráficamente
evaluar la resultante equivalente, la cual
es equivalente en dirección y
proporcional en magnitud, a la diagonal.
Dos fuerzas actúan en el perno
A. Determine su resultante.

29/12/2013

• Solución trigonométrica – Usar la regla
del triángulo para sumar vectores, en
conjunto con la Ley de Cosenos y Ley de
Senos para encontrar la resultante.


6

• Solución Trigonométrica – Aplicar la Ley del
Triángulo. De la Ley de Cosenos:
R

2

P

2

Q

40 N

De la Ley de Senos,

2

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2 PQ cos B
60 N

2

2 40 N 60 N cos 155

R 97 . 73 N
sin A sin B

Q
Es usual que al resolver
problemas de 2 fuerzas y su
resultante, se usen LEY DE
SENOS y LEY DE COSENOS.
Eso sí, es indispensable un
adecuado planteamiento
geométrico.

2

R

sin A

sin B

Q
R

sin 155

60 N
97 . 73 N

A

15 . 04
20
A


35 . 04
7

Ejercicios
1.

Calcular la magnitud de
resultante FR , así como su
medida en sentido contrario
manecillas del reloj, desde
positivo.

29/12/2013

la fuerza
dirección,
al de las
el eje x

elIngeniero

8

8

Ejercicios
2.

El poste será extraído del terreno por
medio de las cuerdas A y B. Si en A se
aplica la fuerza de 600 lb indicada en
un ángulo de 60 con la horizontal,
calcule la fuerza T en la cuerda B y el
correspondiente ángulo . Considere
que la fuerza resultante que actuará
sobre el poste va será de 1200 lb
vertical hacia arriba.

29/12/2013

elIngeniero

9

9

Ejercicios

29/12/2013

3.

El camión es jalado usando dos
cuerdas. Calcule la magnitud de las
fuerzas en ambas, de forma que la
resultante de 950 N esté dirigida a
lo largo del eje x positivo. Tome en
cuanto que = 50 .

elIngeniero

10

10

Componentes rectangulares de una
Fuerza: Vectores unitarios
• Un vector fuerza se puede descomponer en sus
componentes perpendiculares,tal que el paralelogramo

resultante sea un rectángulo. F x y F y son conocidos
como componentes rectangulares del vector.

F

•


Fx

Los vectores unitarios i y


Fy

j tienen la

dirección de los

ejes x y y, y tienen magnitud 1.

• Los componentes vectoriales pueden expresarse como
el producto de los vectores unitarios por las
magnitudes escalares de dichas componentes:

F
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
Fx i


Fy j

Fx y Fy son los componentes


F
escalares de 11

Suma de Fuerzas por Suma de
Componentes.
• Para encontrar la resultante de 3 o más fuerzas
  
concurrentes: R P Q S
• Descomponer cada fuerza en componentes
rectangulares

Rxi


Ry j


Px i
Px


Py j

Qx


Qxi

Sx i


Qy j
Py


S xi

Qy


Sy j

Sy j

• Las componentes escalares de la resultante son
iguales a la suma de las correspondientes
componentes escalares de las fuerzas dadas.
Rx

Px

Qx

Sx

Ry

Py

Fx

Qy
Fy

• Para encontrar la magnitud y dirección
2
2
R
Rx Ry

29/12/2013


tan

1

Ry
Rx

12

Sy

SOLUCION:
• Descomponer cada fuerza en sus
componentes rectangulares.
• Calcular las componentes de la
resultante, sumando las componentes
de las fuerzas.
Cuatro fuerzas actúan en el perno A.
Calcule la resultante de la fuerza
ejercida en dicho perno.

29/12/2013

• Calcular la magnitud y dirección de la
resultante.


13

SOLUCION:
• Descomponer fuerzas en componentes rectang.

• Calcular los componentes de
la resultante sumando las
componentes de las fuerzas.

fuerza

F1

F2

F3

F4

mag

x

y

comp

150

129 . 9

75 . 0

80

27 . 4

75 . 2

110

0

110 . 0

100

96 . 6

25 . 9

Rx

199 . 1

Ry

14 . 3

• Calcular la magnitud y dirección.
R

tan

2

199 . 1
14 . 3
14 . 3 N

199 . 1 N
29/12/2013

comp


2

R

199 . 6 N
4 .1
14

Equilibrio de una Partícula
• Cuando la resultante de las fuerzas que actúan en una partícula es
CERO, se dice que la partícula están en equilibro.
• Primera Ley de Newton: Si la resultante de fuerzas en una partícula es CERO,
ella permanecerá en reposo, o a velocidad constante en línea recta.

• Partícula afectada por 3 o más fuerzas:
• Partícula afectada por 2
fuerzas:
- La solución gráfica crea polígono cerrado
- Igual magnitud
- La solución algebraica


- Misma línea de acción
R
F 0
- Sentido opuesto
29/12/2013

Fx 0

Fy

0

15

Diagramas de cuerpo libre

Diagrama Espacial: dibujo o croquis
mostrando las condiciones físicas
del problema.

29/12/2013

Diagrama de cuerpo libre (DCL): es un
esquema mostrando únicamente las
fuerzas actuando en una partícula de
nuestro interés.


16

Diagramas de cuerpo libre:
una pequeña muestra

29/12/2013

elIngeniero

17

17

Diagramas de Cuerpo Libre(DCL)
una pequeña muestra

RECUERDE
En POLEAS SIN FRICCION, la
magnitud de la fuerza de tensión es igual a
ambos lados de la cuerda y la dirección de
estas fuerzas, es igual a la dirección que
lleva la cuerda.
29/12/2013

elIngeniero

18

18

SOLUCION:
• Escogiendo la proa como cuerpo
libre, dibuje el DCL respectivo.
Se quiere calcular la fuerza de arrastre, • Exprese la condición de equilibrio para
a una velocidad. dada, en el prototipo
la proa, indicando que la suma de
del casco de un velero. Un modelo se
todas las fuerzas debe ser cero.
coloca en el canal de prueba y 3 cables
• Descomponga la ecuación del vector
alinean la proa en la línea central del
equilibrio en 2 ecuaciones de
canal. Para cierta velocidad, la tensión
componentes. Resuelva para las 2
en el cable AB es 40 lb y en el cable AE
tensiones desconocidas de los cables.
es 60 lb.
Calcule la fuerza de arrastre ejercida en
la proa y la tensión en el cable AC.
29/12/2013


19

SOLUCION:
• Se dibuja el DCL para la proa.
7 ft

tan

1 . 75

tan

1.5 ft

0 . 375

4 ft

4 ft

20 . 56

60 . 25

• Expresando la condición de equilibrio
para la proa, se plantea la suma de
todas las fuerzas igual a cero.

R

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
T AB


T AC



T AE


FD

0

20

• Al descomponer la ecuación de equilibrio en
componentes, se resuelve para las 2 tensiones
desconocidas.

T AB

T AC

T AE

FD

R



40 lb sin 60 . 26 i
40 lb cos 60 . 26 j


34 . 73 lb i
19 . 84 lb j


T AC sin 20 . 56 i T AC cos 20 . 56 j


0 . 3512 T AC i 0 . 9363 T AC j
6 0 lb j

FD i
0
34 . 73
19 . 84

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0 . 3512 T AC
0 . 9363 T AC



FD i

60 j

21


R

0
34 . 73

0 . 3512 T AC

19 . 84

0 . 9363 T AC


FD i

60 j

Esta ecuación se satisface sólo si cada
componente de la resultante es igual a cero.
Fx

0

0

Fy

0

0

T AC

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19 . 84

0 . 3512 T AC
0 . 9363 T AC

FD
60

42 . 9 lb

FD

34 . 73

19 . 66 lb

elIngeniero

22

22

Equilibrio de una Partícula
Note la conveniencia de trabajar según la cantidad de fuerzas
involucradas:.
NOTE QUE:

Cuando hay 3 fuerzas en
equilibrio, suele ser más útil
utilizar
•LEY DE SENOS
•LEY DE COSENOS

NOTE QUE:
Cuando hay 4 o más fuerzas
en equilibrio, únicamente se
puede utilizar:
•COMPONENTES RECTANG.
•ANÁLISIS VECTORIAL
•Triángulo de fuerzas NO!

29/12/2013


23

Ejercicios
4.

Determine las componentes x y y de cada fuerza que actúa sobre
la placa de nudo de la armadura de puente. Muestre que la
fuerza resultante es cero.

29/12/2013

elIngeniero

24

24

Ejercicios
5.

Determine la magnitud de la fuerza resultante así como su
dirección, medida en sentido contrario al de las manecillas del reloj
desde el eje x positivo.

29/12/2013

elIngeniero

25

25

Ejercicios
6.

El tubo de 30 kg está soportado en A
por un sistema de cinco cuerdas.
Determine la fuerza necesaria en cada
cuerda para obtener el equilibrio.

29/12/2013

elIngeniero

26

26

Fuerzas en el Espacio:
componentes rectangulares


• El vector F está

contenido en el
plano OBAC.


• Dividir F en sus

componentes vertical
y horizontal.
Fy
Fh

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F cos
F sin

• Dividir F h en sus
componentes rectang.
Fx

F sin

y
y


F h cos

Fz

y

cos

y

sin

F h sin
F sin

27

Componentes Rectangulares en el
Espacio


• Con los ángulos entre F y los ejes,
Fx

F


•



F cos x F y F cos y F z



Fx i F y j Fz k



F cos x i cos y j cos z k



cos x i cos y j cos z k

z


F

es un vector unitario a lo largo de la línea de

acción de F y cos , cos , y cos son los
cosenos directores para 
Grupo tutor-el por el desarrollo F
x

29/12/2013

F cos


y

z

28

Componentes rectangulares en el
Espacio
La dirección de la fuerza está definida
por la localización de 2 puntos,
M x1 , y1 , z1 y N x 2 , y 2 , z 2


d

vector que une M y N



d xi d y j d zk

dx

F

x2
F



1



dy

Fd x
d

y2


dy j


d xi

d
Fx

x1


d zk

Fy

rM N

NOTE
QUE: r
29/12/2013

N /M

Fd

y1

y

Fz

d

rN
rN

dz

z2

Fd z
d

rM
rM
29

z1

SOLUCION:
• Partiendo de la ubicación relativa de los
puntos A y B, determine el vector
unitario partiendo de A hacia B.

La tensión en el cable de anclaje es de
2500 N. Determine:
a) componentes Fx, Fy, Fz de la fuerza
que actúa en el perno A,

• Usando el vector unitario, se calculan
los componentes de la fuerza resultante
en el perno A.
• Como las componentes del vector
unitario equivalen al valor de los
cosenos directores del vector fuerza,
calcule los ángulos en cuestión.

b) Los ángulos x, y, z que definen
la dirección de la fuerza
29/12/2013


30

SOLUCION:
• Calcular el vector unitario que
va desde A hacia B.

AB


40 m i

AB

40 m


30 m k


80 m j
2

80 m

2

30 m

2

94 . 3 m


40 
i
94 . 3

0 . 424 i


j

80
94 . 3


0 . 848 j

30


k

94 . 3

0 . 318 k

• Determine los componentes de la fuerza.

F



F
2500 N

1060 N i

29/12/2013



0 . 848 j 0 . 318 k


2120 N j
795 N k


0 . 424 i


31

• Como los componentes del vector unitario
equivalen al valor de los cosenos directores para
el vector fuerza, se pueden entonces calcular
estos ángulos, tal que:



cos x i cos y

0 . 424 i 0 . 848


j

j

x
y

32 . 0

z

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115 . 1

71 . 5



cos z k

0 . 318 k






32

Ejercicios
7.

El poste está sometido a la fuerza F
que tiene componentes Fx = 1.5 kN
y Fz = 1.25 kN. Si
= 75 ,
determine las magnitudes de F y Fy

29/12/2013

elIngeniero

33

33

Ejercicios

8.

29/12/2013

Calcule
las
componentes
rectangulares de la fuerza de 350 N.
También calcule los ángulos
directores (es decir, ángulos entre el
vector
fuerza
y
los
ejes
rectangulares).

elIngeniero

34

34

Ejercicios
8.

Las retenidas de cable de
acero se usan para dar
soporte al poste telefónico.
Represente la fuerza en
cada alambre en forma
vectorial cartesiana.

29/12/2013

elIngeniero

35

35

Ejercicios
9.

Tres cables sostienen un anillo
de 900 libras de peso. Calcule
la tensión en cada cable para
mantener la posición de
equilibrio.

29/12/2013

elIngeniero

36

36

2 capítulo2 estatica de partículas

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