IEEE754-pourquoi_les_calculs_informatiques_sont_faux

Shaker technologies Javascript-IEEE754 version 1.0

IEEE754
Manipulation des nombres flottants :
exemples avec Javascript

Human talker

Mickaël Ruau :
● formateur pour le titre développeur logiciel (niveau III)
à l’AFPA d’Angers
● consultant en gestion du cycle de vie du logiciel
(forges logicielles)

Objectif

A la fin de cette présentation, vous maîtriserez la
manipulation des nombres à virgule flottante.
- Vous comprendrez les effets de bords liés aux arrondis de
la norme IEEE754
- Vous serez capables d'améliorer l'exactitude des calculs
sur les nombres à virgule flottante.

Disclaimer

Le but est de sensibiliser
aux problèmes liés aux
calculs informatiques,
notamment en matière
financière (comptabilité,
paie, ecommerce...).
Je ne suis pas
mathématicien.
Je n’ai pas écrit la norme
IEEE754, je ne la
connais pas par coeur!

Références

http://blog.oaxoa.com/2008/03/22/weird-math-aka-ieee-754double-precision-floating-point-number-sukcs/
http://grouper.ieee.org/groups/754/faq.html
http://www.haypocalc.com/wiki/Standards_IEEE_754_et_854
http://floating-point-gui.de/languages/javascript/
http://www.ecmascript.org/
Standard ECMA-262 3rd Edition - December 1999
ECMA-262 5.1 Edition - June 2011


La minute nécessaire

Etonnant, non?!

console.log(0.1+0.2); //0.30000000000000004

Etonnant, non?! (suite)

console.log(0.1*0.2); //0.020000000000000004

Etonnant, non?! (re-suite)

console.log(0.11/0.10); //1.0999999999999999

Etonnant, non?! (fin)

console.log(0.3 - 0.2 ); //0.09999999999999998


Explication

La cancellation

http://fr.wikipedia.org/wiki/Virgule_flottante#Pr.C3.A9cautions_d.27emploi

Les calculs en virgule flottante (...) présentent divers
désagréments, notamment leur précision limitée, qui se
traduit par des arrondis. (...)
Pour cette raison, les travaux de comptabilité ne sont pas
effectués en virgule flottante, car tout doit tomber juste au
centième près. En particulier, la soustraction de deux
nombres très proches provoque une grande perte de
précision relative : on parle de « cancellation ».

Pourquoi 0.1 n’est pas 0.1?

http://www.haypocalc.com/wiki/Standards_IEEE_754_et_854

En gros, on stocke les nombres sous la forme :
(signe, mantisse, exposant)
ce qui donne x = signe * mantisse * (2 ^ exposant).

Le signe vaut +1 ou -1, la mantisse est un nombre réel
tel que 1.0 <= mantisse < 2.0,
et l'exposant est une valeur entière.
Bien sûr, l'ensemble est codé en binaire !

Exemples de format de stockage

■ Le nombre 2 est stocké (+1, 1, 1),
c'est-à-dire : 2 = (+1) * 1 * (2 ^ 1).
■ Le nombre 3 est stocké (+1, 1.5, 1) :
3 = (+1) * 1.5 * (2 ^ 1).
■ Le nombre 10 est stocké (+1, 1.25, 3) :
10 = (+1) * 1.25 * 2^3.

Décomposons un flottant


Personne ne coule?

Le signe

● (+1) si le nombre est positif
● (-1) si le nombre est négatif

La mantisse

● Si le nombre est supérieur à 1.5, il faut le diviser
successivement par deux, jusqu'à ce que sa valeur soit
inférieure ou égale à 1.5 (l'exposant sera le nombre de
division)
● Si le nombre est inférieur à 1, il faut le multiplier
successivement par deux, jusqu'à ce que sa valeur soit
supérieure ou égale à 1 (l'exposant sera le nombre
opposé de divisions).

Exemple : x = -10

● Le signe est égal à -1, car le nombre est négatif.
● On prend la valeur absolue : x=10.
Comme sa valeur est supérieur à 1, on divise par 2 :
x=5, exposant=1.
On continue : x=2.5 et exposant=2,
x=1.25 et exposant=3 : STOP !

Donc finalement, x=(-1) * 1.25 * (2^3).

Quelqu’un peut le faire pour moi?

http://babbage.cs.qc.cuny.edu/IEEE-754/
This page lets you examine the relationships among binary
and decimal numbers and three number formats described
by the IEEE-754-2008 floating-point standard.
You can enter a numeric value in any one of five formats,
and see all five corresponding values :
Decimal, Normalized Binary, Binary32 (single precision),
Binary64 (double precision),
and Binary128 (quad precision),
along with analyses of the binary structure of the floatingpoint formats.

D'autres exemples...


... Encore?

Trop c'est trop!

var n1 = 123456789012345672;
console.log(n1); // affiche 123456789012345660
var n2 = 123456789012345673;
console.log(n2); // affiche 123456789012345680

Mini, mini, mini

console.log(1.00000000000000009);// affiche 1
console.log
(0.0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
0000000001); // affiche 1e-323
console.log
(0.0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
00000000001); // affiche 0

" Il faut une infinie patience pour attendre toujours ce
qui n'arrive jamais. " (PIERRE DAC)

console.log
(99999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999
999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999
999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999
999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999
999999999999999999999999999999999999999999999999999999999);
//affiche 1e+308
console.log
(99999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999
999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999
999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999
999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999
9999999999999999999999999999999999999999999999999999999999);
//affiche Infinity

" Il faut toujours prendre le maximum de risques avec
le maximum de précautions. " Rudyard Kipling

console.log(3+999999999999999);//affiche 1000000000000002

IEEE 754 overflow

http://fr.wikipedia.org/wiki/Virgule_flottante
Les calculs en virgule flottante sont pratiques, mais
présentent divers désagréments, notamment :
● une plage d'exposants limitée, pouvant donner lieux à
○ des « overflows » (lorsque le résultat d'une opération
est plus grand que la plus grande valeur
représentable)
○ et à des « underflows » (lorsqu'un résultat est plus
petit, en valeur absolue, que le plus petit flottant
normalisé positif),
○ puis à des résultats n'ayant plus aucun sens.


Quelles solutions?

Number() = IEEE 64 bit

JavaScript is dynamically typed and will often convert
implicitly between strings and floating-point numbers (which
are IEEE 64 bit values). To force a variable to floatingpoint, use the global parseFloat() function.

var num = parseFloat("3.5");

https://github.com/dtrebbien/BigDecimal.js

Decimal Types
The best decimal type for JavaScript seems to be a port of Java’s BigDecimal
class, which also supports rounding modes:
var a = new BigDecimal("0.01");
var b = new BigDecimal("0.02");
var c = a.add(b); // 0.03
var d = c.setScale(1, BigDecimal.prototype.ROUND_HALF_UP);

https://github.com/dtrebbien/BigDecimal.js

How to Round
var num = 5.123456;
num.toPrecision(1) //returns 5 as string
num.toPrecision(2) //returns 5.1 as string
num.toPrecision(4) //returns 5.123 as string

Using a specific rounding mode:
new BigDecimal("1.25").setScale(1, BigDecimal.prototype.
ROUND_HALF_UP);

Objectif atteint?


Bilan


Merci de votre attention.

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