LA DIVISION HARMONIQUE LE NOMBRE  D´OR <ul><li>Gloria Ruiz </li></ul><ul><li>Mª Sol Martínez </li></ul><ul><li>2º C.A.L. F...
Combien de fois t'es-tu demandé … … À quoi me servent les Mathématiques ? <ul><li>Bien maintenant tu verras, comment cette...
MUSIQUE  ART
Nature
 
<ul><li>Pendant longtemps, les artistes et les dessinateurs se sont demandé quelle est la plus parfaite et harmonieuse for...
<ul><li>Dans l'antiquité classique, le grec Platón a observé une forme de diviser un segment de forme harmonique et agréab...
<ul><li>Après, un autre grec, Euclides, a trouvé géométriquement  la forme de diviser en deux parties un segment de forme ...
<ul><li>Voyons le partage d'un segment de forme harmonique, comme il l'a rendu Euclides : </li></ul>Ici nous avons un segm...
<ul><li>Cette façon de diviser  un segment a constitué  la base sur laquelle s´est fondé l´art et l´architecture des grecs...
Déterminons la valeur de la Division Harmonique <ul><li>Toute raison est une comparaison de deux grandeurs grâce à son quo...
<ul><li>Nous avons un segment AB, n'importe lequel, avec AC = a, CB = b, AB = a + b. Où CB est le segment moindre. </li></...
<ul><li>Pour le Théorème Fondamental des proportions (en multipliant croisé ),  on reste, </li></ul>en multipliant et  réd...
<ul><li>Nous résolvons  cette équation </li></ul>
 
 
nous avons deux solutions ou
Nous choisissons la valeur positive de la Raison  puis les distances négatives n´existent pas. Le numéro  est approximativ...
Le Frère petit <ul><li>Nous avons vu que, si nous déterminons la raison entre le côté le plus grand “b” et le moindre “a” ...
<ul><li>Cette valeur est appellée phi (dans des minuscules), et c´est l´inverse du numéro d´or.  </li></ul><ul><li>Malgré ...
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<ul><li>Nous pouvons aussi l´observer dans le corps et le visage d´une belle femme… </li></ul>
<ul><li>ALORS, NOUS ALLONS VOIR LE RECTANGLE D´OR, LE SPIRALE  MIRABILIS ET AUSSI LA SUCCESION DE FIBONACCI, ET QUELQUES E...
Rectangle d´Or <ul><li>Un Rectangle d´Or est simplement celui où la raison entre le côté plus grande et le moindre est   ...
La Spirale Mirabilis ( Merveilleuse ) ou Spirale d´Or <ul><li>C´est une courbe qui surgit en dessinant des arcs de circonf...
Où pouvons nous trouver les Rectangles d´Or? Généralement, les cartes de crédit, les cartes d´identité et les permis scola...
Dans l´art La Gioconda -Leonardo Da Vinci- Section d´Or -Piet Mondrian-
Dans les oeuvres de beaucoup d´autres artistes de la Renaissance les relations d´Or ont été trouvées .   Sir Theodore Cook...
<ul><li>Le  Parthénon </li></ul><ul><li>Pour les grecs, la Raison d´Or constituaient la base du dessin de monuments et con...
Où trouverons nous la Spirale Mirabilis ?
Dans l´Art: &quot;  « Une semi tasse géante en faisant sauter avec une annexe inexplicable de cinq mètres de longueur&quot...
Dans la Nature : La coquille du cefalopode marin Nautilus
Nous allons voir, maintenant, une série surprenante <ul><li>…  C´est la série de Fibonacci… </li></ul>1, 1, 2, 3, 5, 8, 13...
L´histoire de comment Fibonanacci essayait d´expliquer et comment il arrivait à la série, il l´a fait observant des lapins...
  Les raisons entre eux sont : Et ces raisons s´approchent de plus en plus du numéro d´or, 1,61803…
Bien, ce qui était une curiosité surprenante  …  …  Ce critère aussi …  apparaît dans beaucoup....... Beaucoup..... de lie...
Par exemple, comme la disposition des feuilles des plantes .
Les propriétés qui pressentent une symétrie de pentamère ont toujours la section d´Or. Par exemple, dans la cas des plante...
Les Tournesols Dans la tête du tournesol, des spirales sont vues dans une direction ou l´autre.  Et si nous les recomption...
21  Spirales 34 Spirales 55 Spirales
Dans les marguerites… Dans les Roses…et encore beaucoup de fleurs … même dans l´artichaut La même chose se passe … leurs p...
… Et… les plantes  ne savent  que les mathématiques,  …tu sais ??   Elles ont besoin de survivre .
Parlons de la musique <ul><li>En plus de musicien , Mozart  était un mathématicien authentique,  il possédait une facilité...
Comme tu peux voir, nous pouvons parler longtemps de la Proportion d´Or… Divine… Mathématique .  Nous utilisons les mathém...
Les Mathématiques:  une Merveille !
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  1. 1. LA DIVISION HARMONIQUE LE NOMBRE D´OR <ul><li>Gloria Ruiz </li></ul><ul><li>Mª Sol Martínez </li></ul><ul><li>2º C.A.L. FRANÇAIS </li></ul>
  2. 2. Combien de fois t'es-tu demandé … … À quoi me servent les Mathématiques ? <ul><li>Bien maintenant tu verras, comment cette merveilleuse science est liée à ta vie quotidienne … </li></ul><ul><li>Par le numéro le plus étonnant du monde </li></ul>
  3. 3. MUSIQUE ART
  4. 4. Nature
  5. 6. <ul><li>Pendant longtemps, les artistes et les dessinateurs se sont demandé quelle est la plus parfaite et harmonieuse forme de diviser en deux parties un objet. </li></ul><ul><li>Ils se sont aussi demandés quelle est la relation entre les mesures des parties qui constituent un objet pour que celui-ci soit beau. </li></ul><ul><li>Nous pouvons diviser un objet par la moitié, ou en faisant qu'une partie soit le double de l'autre, ou de telle manière qu'une partie soit le triple de l'autre, ... avec un objectif déterminé, nous pouvons faire tout partage ou division d'un objet. </li></ul>
  6. 7. <ul><li>Dans l'antiquité classique, le grec Platón a observé une forme de diviser un segment de forme harmonique et agréable à la vue, qu´il a appelé La Section. </li></ul>
  7. 8. <ul><li>Après, un autre grec, Euclides, a trouvé géométriquement la forme de diviser en deux parties un segment de forme harmonique et agréable à la vue. </li></ul><ul><li>Le segment divisé ,il l'a appelé </li></ul><ul><ul><li>section d´Or </li></ul></ul>Euclides
  8. 9. <ul><li>Voyons le partage d'un segment de forme harmonique, comme il l'a rendu Euclides : </li></ul>Ici nous avons un segment AB qui a été divisé en deux parties : la partie AC et la partie CB (nous supposons qu'AC> CB) Eculides a découvert qu'un segment est divisé en deux parties d'une forme harmonique ou agréable à la vue chaque fois qu´ on accomplit que : la raison entre le segment et la plus grande partie est égale à la raison entre la plus grande partie et le mineur c'est-à-dire
  9. 10. <ul><li>Cette façon de diviser un segment a constitué la base sur laquelle s´est fondé l´art et l´architecture des grecs </li></ul>Le Partenón, temple des dieux grecs
  10. 11. Déterminons la valeur de la Division Harmonique <ul><li>Toute raison est une comparaison de deux grandeurs grâce à son quotient </li></ul><ul><li>Par conséquent nous pouvons trouver le quotient ou la valeur qui dérive de leurs divisions </li></ul><ul><li>Nous déterminons la valeur de la Division Harmonique grâce à l'Algèbre (Quand on résout une équation) </li></ul>
  11. 12. <ul><li>Nous avons un segment AB, n'importe lequel, avec AC = a, CB = b, AB = a + b. Où CB est le segment moindre. </li></ul><ul><li>Le segment doit être divisé dans la Division Harmonique, par conséquent il doit donner: </li></ul>
  12. 13. <ul><li>Pour le Théorème Fondamental des proportions (en multipliant croisé ), on reste, </li></ul>en multipliant et réduisant ,
  13. 14. <ul><li>Nous résolvons cette équation </li></ul>
  14. 17. nous avons deux solutions ou
  15. 18. Nous choisissons la valeur positive de la Raison puis les distances négatives n´existent pas. Le numéro est approximativement 2,236067… donc Cette valeur trouvée par la Division Harmonique s´appelle  (on écrit Phi et on prononce Fi) On l´a ainsi nommée en honneur à Fidias, l'architecte grec qui a construit le Partenón en utilisant la Division Harmonique
  16. 19. Le Frère petit <ul><li>Nous avons vu que, si nous déterminons la raison entre le côté le plus grand “b” et le moindre “a” nous obtenons le numéro d´or Phi. Alors, il est aussi possible de faire l´inverse: déterminer la raison qui existe entre le moindre et le plus grand : </li></ul>
  17. 20. <ul><li>Cette valeur est appellée phi (dans des minuscules), et c´est l´inverse du numéro d´or. </li></ul><ul><li>Malgré tout, la seule chose qui différencie les deux numéros c´est la partie entier: Phi est 1,618... et phi est 0,618... </li></ul><ul><li>Le reste des décimales sont les mêmes ! </li></ul><ul><li>Phi est le seul numéro réel qui vérifie cette caractéristique, outre d´autres très intéressants . </li></ul><ul><li>Maintenant, nous allons voir quelques exemples . </li></ul>
  18. 21. Où trouvons-nous la Division Harmonique? La raison entre la distance du nombril aux pieds et la distance de la tête au nombril est  , ainsi qu'aussi la raison entre la hauteur d'un homme et la distance du nombril aux pieds L'Homme de Vitrubio - Leonardo Da Vinci-
  19. 22. <ul><li>Nous pouvons aussi l´observer dans le corps et le visage d´une belle femme… </li></ul>
  20. 23. <ul><li>ALORS, NOUS ALLONS VOIR LE RECTANGLE D´OR, LE SPIRALE MIRABILIS ET AUSSI LA SUCCESION DE FIBONACCI, ET QUELQUES EXEMPLES OÙ ILS SONT TROUVÉS </li></ul>
  21. 24. Rectangle d´Or <ul><li>Un Rectangle d´Or est simplement celui où la raison entre le côté plus grande et le moindre est  </li></ul>a b
  22. 25. La Spirale Mirabilis ( Merveilleuse ) ou Spirale d´Or <ul><li>C´est une courbe qui surgit en dessinant des arcs de circonférence dans l´intérieur des carrés successifs qui s´obtiennent en construisant des rectangles d´Or successifs . </li></ul>
  23. 26. Où pouvons nous trouver les Rectangles d´Or? Généralement, les cartes de crédit, les cartes d´identité et les permis scolaires ont une forme de rectangle d´or, c´est-à-dire, la raison entre leur côté le plus grand et le moindre est  Dans la vie quotidienne : Les téléviseurs de large écran, les cartes postales et les photographies ressemblent a ussi les rectangles dór
  24. 27. Dans l´art La Gioconda -Leonardo Da Vinci- Section d´Or -Piet Mondrian-
  25. 28. Dans les oeuvres de beaucoup d´autres artistes de la Renaissance les relations d´Or ont été trouvées . Sir Theodore Cook (s XIX) a décrit une échelle simple de divisions d'or applicables à la figure humaine, qu´il réunit d'une façon surprenante tout comme dans les oeuvres de quelques peintres, comme Boticelli . La Naissance de Vénus -Boticelli-
  26. 29. <ul><li>Le Parthénon </li></ul><ul><li>Pour les grecs, la Raison d´Or constituaient la base du dessin de monuments et constructions en honneur de ses dieux . </li></ul>Le Parthénon, temple des Dieux grecs Sur la façade du Parthénon on peut inscrire un rectangle d'or Dans Monuments:
  27. 30. Où trouverons nous la Spirale Mirabilis ?
  28. 31. Dans l´Art: &quot; « Une semi tasse géante en faisant sauter avec une annexe inexplicable de cinq mètres de longueur&quot; - Salvador Dalí- Observez comme la spirale d´Or s´ajuste aux éléments importants de la peinture
  29. 32. Dans la Nature : La coquille du cefalopode marin Nautilus
  30. 33. Nous allons voir, maintenant, une série surprenante <ul><li>… C´est la série de Fibonacci… </li></ul>1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 … A partir des deux premiers numéros, 1 et 1, le suivant est obtenu en ajoutant les deux précédentes
  31. 34. L´histoire de comment Fibonanacci essayait d´expliquer et comment il arrivait à la série, il l´a fait observant des lapins… Si vous enfermez un couple de lapins au bout d´un mois ils auront un lapin qui à partir du mois suivante aura aussi des lapins tous les mois,et il voulait savoir combien de lapins il y en avait par an, par ainsi dire. Voila, c´est comme ça qu´on a obtenu la séquence de 1, 1, 2, 3, 5, etc., sur laquelle chaque numéro, en commençant par le troisième équivaut à l´addition des deux numéros précédents.
  32. 35.   Les raisons entre eux sont : Et ces raisons s´approchent de plus en plus du numéro d´or, 1,61803…
  33. 36. Bien, ce qui était une curiosité surprenante … … Ce critère aussi … apparaît dans beaucoup....... Beaucoup..... de lieux!
  34. 37. Par exemple, comme la disposition des feuilles des plantes .
  35. 38. Les propriétés qui pressentent une symétrie de pentamère ont toujours la section d´Or. Par exemple, dans la cas des plantes, ils ont besoin de capturer la lumière, la pluie, etcetera. Il faut trouver l´angle qui profite de l´espace avec une plus grande efficacité. Et il en ressort que cet angle est relatif à la proportion d´or, parce que c´est seulement ainsi que la feuille survit…
  36. 39. Les Tournesols Dans la tête du tournesol, des spirales sont vues dans une direction ou l´autre. Et si nous les recomptions, nous verrions que ce sont toujours numéros de Fibonacci
  37. 40. 21 Spirales 34 Spirales 55 Spirales
  38. 41. Dans les marguerites… Dans les Roses…et encore beaucoup de fleurs … même dans l´artichaut La même chose se passe … leurs pétales ont toujours un numéro de Fibonacci …
  39. 42. … Et… les plantes ne savent que les mathématiques, …tu sais ?? Elles ont besoin de survivre .
  40. 43. Parlons de la musique <ul><li>En plus de musicien , Mozart était un mathématicien authentique, il possédait une facilité incroyable pour manier des concepts abstraits mathématiques de forme inconsciente, de fait, une bonne partie de son oeuvre a été étudiée en trouvant des relations avec le numéro d´or, Phi </li></ul>La musique que nous ecoutons est de lui .
  41. 44. Comme tu peux voir, nous pouvons parler longtemps de la Proportion d´Or… Divine… Mathématique . Nous utilisons les mathématiques pour expliquer l´univers; nous nous servons de formules mathématiques. D´une certaine manière, c'était un mystère que plusieurs se sont posés le long des siècles. Depuis Galilé à Eugene Wigner, tous se demandaient : pourquoi ont-elles tant de force les mathématiques, car, si nous voulons expliquer l'univers, si nous voulons expliquer la nature, la sociologie, la musique, l'art, la photographie, le cinéma, les fossiles … etc., etc. … nous utilisons pour cela les mathématiques? C´est une question très compliquée . Nous ne pouvons que dire ...!!!
  42. 45. Les Mathématiques: une Merveille !

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