Quarto seminario: Teoria de campos clássicos

´
Campos de calibre classicos: Maxwell

M.T. Thomaz
mariateresa.thomaz@gmail.com

Instituto de F´sica, UFF
ı

Resumo:
ı ı ¸˜ ¸˜ ´ ´ ¸˜
A partir do princ´pio de m´nima acao reobtemos as equacoes de movimento classicas reescritas atraves das equacoes
¸˜ ´
de Lagrange. Mostramos como estender esse princ´pio para obter as equacoes de movimento dos campos classicos
ı
´
e o aplicamos ao caso dos campos eletromagneticos de Maxwell. Como apoio ao formalismo que iremos desenvolver,
¸˜ ¸˜
estudaremos a nocao de tensores que utilizaremos para descrever as leis de transformacao da Relatividade Restrita e
¸˜
escrever as equacoes de Maxwell de uma forma mais simples (forma covariante). Finalmente discutiremos os campos
´ ´ ˆ ´
eletrico e magnetico em termos dos campos escalar e vetor e mostrar como a invariancia de calibre e implementada
nestes campos.

M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 1 / 30

¸˜
Apresentacao:

ı ı ¸˜
1. Princ´pio de m´nima acao
˜ ´ ´
2. Revisao de topicos em Matematica
´ ¸˜
3. Campos eletromagneticos: equacoes de Maxwell
4. Espaco de Minkowski
¸
´
5. Princ´pio de Hamilton para campos classicos
ı
´ ´
6. Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell

ı C AMPOS ´

´ ´
Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell

Relembrando:
Espaco de Minkowski
¸
Mecanica nao-relativ´stica: v ≪ c, sendo c a velocidade da luz.
ˆ ˜ ı
´
O tempo e o mesmo em todos os referenciais inerciais.

ı C AMPOS ´

´ ´

Relembrando:
Espaco de Minkowski
¸
ˆ ˜ ı
´

ˆ <
Mecanica relativ´stica: v ∼ c.
ı
´ ´
Cada referencial tem o seu conjunto de reguas e relogios.

ı C AMPOS ´

´ ´

Relembrando:
Espaco de Minkowski
¸
ˆ ˜ ı
´

ˆ <
ı
´ ´
Evento f´sico: caracterizado por x e t.
ı

ı C AMPOS ´

´ ´

Relembrando:
Espaco de Minkowski
¸
ˆ ˜ ı
´

ˆ <
ı
´ ´
Evento f´sico: caracterizado por x e t.
ı
´ ´ ´
A velocidade das ondas eletromagneticas (luz) no vacuo e c em
todos os referenciais ⇒ sistema relativ´stico.
ı

ı C AMPOS ´

´ ´

¸˜
Transformacoes de Lorentz
y S y’ S’

V

x’

x

Figura 3.2

¸˜
Relacao entre as quadri-coordenadas de um mesmo evento, escritas
em dois referenciais inerciais que possuem movimento relativo ao longo
¸˜
da direcao x:

ı C AMPOS ´

´ ´

¸˜
y S y’ S’

V

x’

x

Figura 3.2

¸˜
¸˜
da direcao x:
0 1 1 1
x′ = γ(x0 − βx1 ), x′ = γ(−βx0 + x1 ), y′ = y e z′ = z,
0
sendo x′ = ct′ e x0 = ct, e
V
β=
c

ı C AMPOS ´

´ ´

¸˜
y S y’ S’

V

x’

x

Figura 3.2

¸˜
¸˜
da direcao x:
0 1 1 1
0
V
β= ⇒ 0≤β≤1
c

ı C AMPOS ´

´ ´

¸˜
y S y’ S’

V

x’

x

Figura 3.2

¸˜
¸˜
da direcao x:
0 1 1 1
0
V 1
β= ⇒ 0≤β≤1 e γ=
c 1 − β2
ı C AMPOS ´

´ ´

¸˜
y S y’ S’

V

x’

x

Figura 3.2

¸˜
¸˜
da direcao x:
0 1 1 1
0
V 1
β= ⇒ 0≤β≤1 e γ= ⇒ 1 ≤ γ < ∞.
c 1 − β2
ı C AMPOS ´

´ ´

Produto escalar no espaco de Minkowski
¸
. d=2 (1+1)
i) Vetores contra-variantes:
xµ = (x0 , x1 ) ≡ (x0 , x);

ii) Vetores covariantes:
xµ = (x0 , x1 ) ≡ (x0 , −x),

sendo x0 = ct e x a coordenada x usual.

ı C AMPOS ´

´ ´

Produto escalar no espaco de Minkowski
¸
. d=2 (1+1)
i) Vetores contra-variantes:
xµ = (x0 , x1 ) ≡ (x0 , x);

ii) Vetores covariantes:
xµ = (x0 , x1 ) ≡ (x0 , −x),

sendo x0 = ct e x a coordenada x usual.

Produto escalar no espaco de Minkowski:
¸
−x2 + c2 t2 = x0 x0 + x1 x1
1
= xµ xµ ≡ xµ xµ .
µ=0 soma impl´cita
ı

ı C AMPOS ´

´ ´

. d=4 (3+1)
¸˜
.Quadri-vetor posicao:

Vetor contra-variante: xµ = (x0 , x);

Vetor covariante: xµ = (x0 , −x).

ı C AMPOS ´

´ ´

. d=4 (3+1)
¸˜


3 µ
Escalar de Lorentz: µ=0 xµ x = xµ xµ = −x · x + c2 t2 .

ı C AMPOS ´

´ ´

. d=4 (3+1)
¸˜


3 µ
Escalar de Lorentz: µ=0 xµ x = xµ xµ = −x · x + c2 t2 .

Como relacionar os vetores covariantes e
contra-variantes?  
1 0 0 0
 0 −1 0 0 
xµ = gµν xν sendo gµν = gµν =
 0 0 −1 0 .


0 0 0 −1

ı C AMPOS ´

´ ´

Exerc´cio: usando a matriz do tensor metrico gµν , mostre que:
ı ´

gµν = gνµ e gµα gαβ = δµβ ,

onde
 
1 0 0 0
 0 1 0 0 
δµ β =
 0
,
0 1 0 
0 0 0 1

e a matriz identidade de dimensao 4 × 4.
´ ˜

ı C AMPOS ´

´ ´

¸˜
A relacao entre tensores covariantes e contra-variantes de
qualquer ordem:

i. 4-vetor:

Bµ = gµν Bν ,

ı C AMPOS ´

´ ´

¸˜
qualquer ordem:

i. 4-vetor:

Bµ = gµν Bν ,

ii. tensor de ordem 2:

Bµ1 µ2 = gµ1 ν1 gµ2 ν2 Bν1 ν2 ,

ı C AMPOS ´

´ ´

¸˜
qualquer ordem:

i. 4-vetor:

Bµ = gµν Bν ,

ii. tensor de ordem 2:

Bµ1 µ2 = gµ1 ν1 gµ2 ν2 Bν1 ν2 ,

iii. tensor de ordem n:

Bµ1 µ2 ...µn = gµ1 ν1 gµ2 ν2 . . . gµn νn Bν1 ν2 ...νn .

ı C AMPOS ´

´ ´

Exemplos de 4-vetores de Lorentz:
i. 4-potencial vetor: Aµ (x, t) = (A0 (x, t), A(x, t)),

onde A0 (x, t) e o potencial escalar e A(x, t) o potencial vetor associados
´
´
aos campos eletromagneticos.

ı C AMPOS ´

´ ´


´
´

ii. 4-densidade de corrente: jµ (x, t) = (cρ(x, t), (x, t)),
´ ´ ´
onde ρ(x, t) e a densidade de carga eletrica e (x, t) e a densidade de
´
corrente eletrica.

ı C AMPOS ´

´ ´


´
´

´ ´ ´
´
corrente eletrica.

¸˜
As transformacoes de calibre:
0
1 ∂G(x,t)
A′ (x, t) = A0 (x, t) − c ∂t
e
A′ (x, t) = A(x, t) + ∇G(x, t),
podem ser escritas na forma covariante:

ı C AMPOS ´

´ ´


´
´

´ ´ ´
´
corrente eletrica.

¸˜
As transformacoes de calibre:
0
1 ∂G(x,t)
A′ (x, t) = A0 (x, t) − c ∂t
e
A′ (x, t) = A(x, t) + ∇G(x, t),
podem ser escritas na forma covariante:
A′ µ = Aµ − ∂ µ G(x, t).
ı C AMPOS ´

´ ´

´
Lagrangeana de campos classicos
¸˜
Acao associada a uma part´cula:
ı
tf
S[x(t); t0 , tf ] = ˙
dt L(x(t), x(t); t),
t0

´ ´ ´ ˆ
onde x e variavel e t e parametro.

ı C AMPOS ´

´ ´

´
¸˜
ı
tf
S[x(t); t0 , tf ] = ˙
t0

´ ´ ´ ˆ

A acao associada a um campo Φ(x, t):
¸˜
tf
S[Φ; t0 , tf ] = dt d3 x L(Φ(x, t), ∂µ Φ(x, t); x, t),
t0 V∞

onde x e t sao parametros e Φ e variavel.
˜ ˆ ´ ´

ı C AMPOS ´

´ ´

´
¸˜
ı
tf
S[x(t); t0 , tf ] = ˙
t0

´ ´ ´ ˆ

A acao associada a um campo Φ(x, t):
¸˜
tf
S[Φ; t0 , tf ] = dt d3 x L(Φ(x, t), ∂µ Φ(x, t); x, t),
t0 V∞

onde x e t sao parametros e Φ e variavel.
˜ ˆ ´ ´

A acao S e a densidade de lagrangeana L de um sistema
¸˜
relativ´stico e um escalar de Lorentz.
ı ´

ı C AMPOS ´

´ ´

¸˜ ´
Equacao para campos classicos
Part´cula:
ı Campo:
∂L ∂L
−→
∂x ∂Φ(x, t)
3
d ∂L ∂ ∂L ∂ ∂L
−→ + i
=
˙
dt ∂ x ∂t ∂ ∂Φ
∂t
∂x ∂ ∂Φi
i=1 ∂x
∂L
= ∂µ ,
∂(∂µ Φ)
∂
onde: ∂µ = ( 1 ∂t , ∇).
c

ı C AMPOS ´

´ ´

¸˜ ´
Equacao para campos classicos
Part´cula:
ı Campo:
∂L ∂L
−→
∂x ∂Φ(x, t)
3
d ∂L ∂ ∂L ∂ ∂L
−→ + i
=
˙
dt ∂ x ∂t ∂ ∂Φ
∂t
∂x ∂ ∂Φi
i=1 ∂x
∂L
= ∂µ ,
∂(∂µ Φ)
∂
onde: ∂µ = ( 1 ∂t , ∇).
c

¸˜
Equacao de Euler-Lagrange:
∂L ∂L
− ∂µ = 0.
∂Φ ∂(∂µ Φ)

ı C AMPOS ´

´ ´

´ ´
Campos eletromagneticos classicos: campos de
Maxwell
¸˜
A partir de qual densidade de lagrangeana obtemos todas as equacoes
de Maxwell?

ı C AMPOS ´

´ ´

´ ´
Maxwell
¸˜
de Maxwell?

Deﬁnimos o tensor Fµν :
Fµν (x, t) = ∂µ Aν (x, t) − ∂ν Aµ (x, t), µ, ν = 0, 1, 2, 3,
= −Fνµ (x, t),
∂
onde ∂µ = ( 1
c ∂t , ∇) e Aµ (x, t) = (A0 (x, t), −A(x, t)).

ı C AMPOS ´

´ ´

´ ´
Maxwell
¸˜
de Maxwell?

Deﬁnimos o tensor Fµν :
Fµν (x, t) = ∂µ Aν (x, t) − ∂ν Aµ (x, t), µ, ν = 0, 1, 2, 3,
= −Fνµ (x, t),
∂
onde ∂µ = ( 1
c ∂t , ∇) e Aµ (x, t) = (A0 (x, t), −A(x, t)).

˜ ´
Quais sao as componentes do tensor Fµν ? Sera que elas podem
´
ser escritas em termos dos campos eletromagneticos?

ı C AMPOS ´

´ ´

Relembrando os campos f´sicos E(x, t) e B(x, t) em termos dos
ı
potenciais escalar (A0 (x, t)) e vetor (A(x, t)):

1 ∂ A(x, t)
E(x, t) = −∇A0 (x, t) − e B(x, t) = ∇ × A(x, t).
c ∂t

ı C AMPOS ´

´ ´

ı

1 ∂ A(x, t)
E(x, t) = −∇A0 (x, t) − e B(x, t) = ∇ × A(x, t).
c ∂t

Componentes do tensor Fµν :
1)
1 ∂Ai ∂A0 1 ∂ A(x, t)
F0i = − − i
= −∇A0 (x, t) − i
c ∂t ∂x c ∂t

ı C AMPOS ´

´ ´

ı

1 ∂ A(x, t)
E(x, t) = −∇A0 (x, t) − e B(x, t) = ∇ × A(x, t).
c ∂t

1)
1 ∂Ai ∂A0 1 ∂ A(x, t)
F0i = − − i
= −∇A0 (x, t) − i
c ∂t ∂x c ∂t
= Ei (x, t)

ı C AMPOS ´

´ ´

ı

1 ∂ A(x, t)
E(x, t) = −∇A0 (x, t) − e B(x, t) = ∇ × A(x, t).
c ∂t

1)
1 ∂Ai ∂A0 1 ∂ A(x, t)
F0i = − − i
= −∇A0 (x, t) − i
c ∂t ∂x c ∂t
= Ei (x, t)
2)
∂Ai (x, t) ∂Aj (x, t)
Fij = −
∂xj ∂xi

ı C AMPOS ´

´ ´

ı

1 ∂ A(x, t)
E(x, t) = −∇A0 (x, t) − e B(x, t) = ∇ × A(x, t).
c ∂t

1)
1 ∂Ai ∂A0 1 ∂ A(x, t)
F0i = − − i
= −∇A0 (x, t) − i
c ∂t ∂x c ∂t
= Ei (x, t)
2)
∂Ai (x, t) ∂Aj (x, t)
Fij = − = ∇ × A(x, t)
∂xj ∂xi k

ı C AMPOS ´

´ ´

ı

1 ∂ A(x, t)
E(x, t) = −∇A0 (x, t) − e B(x, t) = ∇ × A(x, t).
c ∂t

1)
1 ∂Ai ∂A0 1 ∂ A(x, t)
F0i = − − i
= −∇A0 (x, t) − i
c ∂t ∂x c ∂t
= Ei (x, t)
2)
∂Ai (x, t) ∂Aj (x, t)
Fij = − = ∇ × A(x, t)
∂xj ∂xi k

Escrevendo explicitamente as componentes de Fij :
F12 = −Bz (x, t), F13 = By (x, t), F23 = −Bx (x, t).
ı C AMPOS ´

´ ´

A matriz do tensor Fµν :
 
0 Ex Ey Ez
 −Ex 0 −Bz By 
Fµν =
 −Ey Bz
.
0 −Bx 
−Ez −By Bx 0

ı C AMPOS ´

´ ´

 
0 Ex Ey Ez
 −Ex 0 −Bz By 
Fµν =
 −Ey Bz
.
0 −Bx 
−Ez −By Bx 0

˜
As componentes do tensor Fµν sao os campos f´sicos
ı
E(x, t) e B(x, t)

ı C AMPOS ´

´ ´

 
0 Ex Ey Ez
 −Ex 0 −Bz By 
Fµν =
 −Ey Bz
.
0 −Bx 
−Ez −By Bx 0

˜
As componentes do tensor Fµν sao os campos f´sicos
ı
E(x, t) e B(x, t)

⇒ O tensor Fµν e invariante sob as transformacoes
´ ¸˜
de calibre.

ı C AMPOS ´

´ ´

Tentativa:densidade de lagrangeana dos campos eletromagneticos:
´
? 1 1
L(Aµ , ∂ν Aµ ) = − Fµν Fµν − jµ Aµ
16π c
|E| 2 − | B |2 ·A
= − ρA0 + .
π c

ı C AMPOS ´

´ ´

´
? 1 1
16π c
|E| 2 − | B |2 ·A
= − ρA0 + .
π c
Observe: a densidade de lagrangeana depende dos 4-potenciais
Aµ (x, t).

ı C AMPOS ´

´ ´

´
? 1 1
16π c
|E| 2 − | B |2 ·A
= − ρA0 + .
π c
Aµ (x, t).

¸˜ ´
Equacao de Euler-Lagrange dos campos eletromagneticos:
∂L ∂L
− ∂τ = 0, α = 0, 1, 2, 3.
∂Aα ∂(∂τ Aα )

ı C AMPOS ´

´ ´

´
? 1 1
16π c
|E| 2 − | B |2 ·A
= − ρA0 + .
π c
Aµ (x, t).

¸˜ ´
∂L ∂L
− ∂τ = 0, α = 0, 1, 2, 3.
∂Aα ∂(∂τ Aα )

´
Usando a metrica gµν temos:
jµ Aµ = gµα jα gµβ Aβ = gµα gµβ jα Aβ
δαβ

ı C AMPOS ´

´ ´

´
? 1 1
16π c
|E| 2 − | B |2 ·A
= − ρA0 + .
π c
Aµ (x, t).

¸˜ ´
∂L ∂L
− ∂τ = 0, α = 0, 1, 2, 3.
∂Aα ∂(∂τ Aα )

´
Usando a metrica gµν temos:
jµ Aµ = gµα jα gµβ Aβ = gµα gµβ jα Aβ ⇒ jµ Aµ = jα Aα .
δαβ

¸˜ ˜ ˜
A troca de posicao dos ´ndices que estao contra´dos nao altera
ı ı
o resultado.
ı C AMPOS ´

´ ´

¸˜ ´
∂L ∂L
− ∂τ = 0, α = 0, 1, 2, 3.
∂Aα ∂(∂τ Aα )

ı C AMPOS ´

´ ´

¸˜ ´
∂L ∂L
− ∂τ = 0, α = 0, 1, 2, 3.
∂Aα ∂(∂τ Aα )

O primeiro termo do l.d. da eq. de Euler-Lagrange:
∂L ∂ 1 1
= − Fµν Fµν − jµ Aµ
∂Aα ∂Aα 16π c

ı C AMPOS ´

´ ´

¸˜ ´
∂L ∂L
− ∂τ = 0, α = 0, 1, 2, 3.
∂Aα ∂(∂τ Aα )

∂L ∂ 1 1
1 ∂Fµν µν ∂Fµν 1 ∂
= − F + Fµν − jµ Aµ .
16π ∂Aα ∂Aα c ∂Aα

ı C AMPOS ´

´ ´

¸˜ ´
∂L ∂L
− ∂τ = 0, α = 0, 1, 2, 3.
∂Aα ∂(∂τ Aα )

∂L ∂ 1 1
= − F + Fµν − jµ Aµ .
Como: Fµν = ∂µ Aν − ∂ν Aµ

ı C AMPOS ´

´ ´

¸˜ ´
∂L ∂L
− ∂τ = 0, α = 0, 1, 2, 3.
∂Aα ∂(∂τ Aα )

∂L ∂ 1 1
= − F + Fµν − jµ Aµ .
∂Fµν ∂Fµν
Como: Fµν = ∂µ Aν − ∂ν Aµ ⇒ ∂Aα = ∂Aα = 0.

ı C AMPOS ´

´ ´

¸˜ ´
∂L ∂L
− ∂τ = 0, α = 0, 1, 2, 3.
∂Aα ∂(∂τ Aα )

∂L ∂ 1 1
= − F + Fµν − jµ Aµ .
∂Fµν ∂Fµν
´
Alem disso:
1 ∂ 1 ∂Aµ 1 1
− jµ Aµ = − jµ = − jµ δ µ α = − jα
c ∂Aα c ∂Aα c c

ı C AMPOS ´

´ ´

¸˜ ´
∂L ∂L
− ∂τ = 0, α = 0, 1, 2, 3.
∂Aα ∂(∂τ Aα )

∂L ∂ 1 1
= − F + Fµν − jµ Aµ .
∂Fµν ∂Fµν
´
Alem disso:
1 ∂ 1 ∂Aµ 1 1
− jµ Aµ = − jµ = − jµ δ µ α = − jα
c ∂Aα c ∂Aα c c

Portanto:
∂L 1
= − jα .
∂Aα c
ı C AMPOS ´

´ ´

Exerc´cio: Mostrar:
ı
∂L 1
= Fατ α, τ = 0, 1, 2, 3.
∂(∂τ Aα ) 4π

ı C AMPOS ´

´ ´

ı
∂L 1
= Fατ α, τ = 0, 1, 2, 3.
∂(∂τ Aα ) 4π

¸˜ ˜ ¸˜
As equacoes de Euler-Lagrange nos dao as equacoes de movimento
´
para os campos eletromagneticos:
4π α
∂ τ Fτ α = j , α = 0, 1, 2, 3.
c

ı C AMPOS ´

´ ´

ı
∂L 1
= Fατ α, τ = 0, 1, 2, 3.
∂(∂τ Aα ) 4π

¸˜ ˜ ¸˜
´
4π α
∂ τ Fτ α = j , α = 0, 1, 2, 3.
c

Assim:
Equacoes de Maxwell ⇒ 8 equacoes
¸˜ ¸˜
Equacoes de Euler-Lagrange ⇒ 4 equacoes
¸˜ ¸˜

ı C AMPOS ´

´ ´

ı
∂L 1
= Fατ α, τ = 0, 1, 2, 3.
∂(∂τ Aα ) 4π

¸˜ ˜ ¸˜
´
4π α
∂ τ Fτ α = j , α = 0, 1, 2, 3.
c

Assim:
Equacoes de Maxwell ⇒ 8 equacoes
¸˜ ¸˜
Equacoes de Euler-Lagrange ⇒ 4 equacoes
¸˜ ¸˜

¸˜ ˜
Quais as equacoes de Maxwell estao representadas
¸˜
nas equacoes de Euler-Lagrange?
ı C AMPOS ´

´ ´

¸˜
As componentes das equacoes de Euler-Lagrange:

i. α = 0: ∂j Fj0 (x, t) = 4πρ(x, t) ⇒ ∇ · E(x, t) = 4πρ(x, t).

ı C AMPOS ´

´ ´

¸˜


ii. α = 1
1 ∂F01 ∂F21 ∂F31 4π
+ + = jx ⇒
c ∂t ∂y ∂z c
1 ∂Ex (x, t) ∂Bz (x, t) ∂By (x, t) 4π
− + − = jx (x, t) ⇒
c ∂t ∂y ∂z c
4π 1 ∂Ex (x, t)
⇒ (∇ × B(x, t))x = jx (x, t) + .
c c ∂t

ı C AMPOS ´

´ ´

¸˜


ii. α = 1
1 ∂F01 ∂F21 ∂F31 4π
+ + = jx ⇒
c ∂t ∂y ∂z c
1 ∂Ex (x, t) ∂Bz (x, t) ∂By (x, t) 4π
− + − = jx (x, t) ⇒
c ∂t ∂y ∂z c
4π 1 ∂Ex (x, t)
⇒ (∇ × B(x, t))x = jx (x, t) + .
c c ∂t
4π 1 ∂Ey (x,t)
iii. α = 2 (∇ × B(x, t))y = c jy (x, t) + c ∂t .

ı C AMPOS ´

´ ´

¸˜


ii. α = 1
1 ∂F01 ∂F21 ∂F31 4π
+ + = jx ⇒
c ∂t ∂y ∂z c
1 ∂Ex (x, t) ∂Bz (x, t) ∂By (x, t) 4π
− + − = jx (x, t) ⇒
c ∂t ∂y ∂z c
4π 1 ∂Ex (x, t)
⇒ (∇ × B(x, t))x = jx (x, t) + .
c c ∂t
4π 1 ∂Ey (x,t)

4π 1 ∂Ez (x,t)
iv. α = 3 (∇ × B(x, t))z = c jz (x, t) + c ∂t .

ı C AMPOS ´

´ ´

¸˜


ii. α = 1
1 ∂F01 ∂F21 ∂F31 4π
+ + = jx ⇒
c ∂t ∂y ∂z c
1 ∂Ex (x, t) ∂Bz (x, t) ∂By (x, t) 4π
− + − = jx (x, t) ⇒
c ∂t ∂y ∂z c
4π 1 ∂Ex (x, t)
⇒ (∇ × B(x, t))x = jx (x, t) + .
c c ∂t
4π 1 ∂Ey (x,t)

4π 1 ∂Ez (x,t)
iv. α = 3 (∇ × B(x, t))z = c jz (x, t) + c ∂t .

¸˜ ¸˜ ˆ
As equacoes de Euler-Lagrange reproduzem as equacoes inomogeneas
de Maxwell.
ı C AMPOS ´

´ ´

¸˜ ˆ
Como obter as equacoes de Maxwell homogeneas,
1 ∂ B(x, t)
∇ · B(x, t) = 0 e ∇ × E(x, t) = − ?
c ∂t

ı C AMPOS ´

´ ´

¸˜ ˆ
1 ∂ B(x, t)
∇ · B(x, t) = 0 e ∇ × E(x, t) = − ?
c ∂t

¸˜
Usando a deﬁnicao do tensor Fµν :

Fµν = ∂µ Aν − ∂ν Aµ , µ, ν = 0, 1, 2 e 3,

calculamos a soma: ∂α Fµν + ∂µ Fνα + ∂ν Fαµ ,

ı C AMPOS ´

´ ´

¸˜ ˆ
1 ∂ B(x, t)
∇ · B(x, t) = 0 e ∇ × E(x, t) = − ?
c ∂t

¸˜

Fµν = ∂µ Aν − ∂ν Aµ , µ, ν = 0, 1, 2 e 3,

∂α Fµν = ∂α (∂µ Aν − ∂ν Aµ ) = ∂α ∂µ Aν − ∂α ∂ν Aµ

ı C AMPOS ´

´ ´

¸˜ ˆ
1 ∂ B(x, t)
∇ · B(x, t) = 0 e ∇ × E(x, t) = − ?
c ∂t

¸˜

Fµν = ∂µ Aν − ∂ν Aµ , µ, ν = 0, 1, 2 e 3,

∂µ Fνα = ∂µ (∂ν Aα − ∂α Aν ) = ∂µ ∂ν Aα − ∂µ ∂α Aν

ı C AMPOS ´

´ ´

¸˜ ˆ
1 ∂ B(x, t)
∇ · B(x, t) = 0 e ∇ × E(x, t) = − ?
c ∂t

¸˜

Fµν = ∂µ Aν − ∂ν Aµ , µ, ν = 0, 1, 2 e 3,

∂ν Fαµ = ∂ν (∂α Aµ − ∂µ Aα ) = ∂ν ∂α Aµ − ∂ν ∂µ Aα ,

ı C AMPOS ´

´ ´

¸˜ ˆ
1 ∂ B(x, t)
∇ · B(x, t) = 0 e ∇ × E(x, t) = − ?
c ∂t

¸˜

Fµν = ∂µ Aν − ∂ν Aµ , µ, ν = 0, 1, 2 e 3,

∂ν Fαµ = ∂ν (∂α Aµ − ∂µ Aα ) = ∂ν ∂α Aµ − ∂ν ∂µ Aα ,

e veriﬁcamos a identidade de Bianchi:

∂α Fµν + ∂µ Fνα + ∂ν Fαµ = 0, α, µ, ν = 0, 1, 2, 3.

ı C AMPOS ´

´ ´

A identidade de Bianchi:

ı C AMPOS ´

´ ´


¸˜
Escrevendo as equacoes da identidade de Bianchi:

i. α = 0, µ, ν = 1, 2, 3 (µ = ν)
1 ∂B(x, t)
∇ × E(x, t) = − .
c ∂t

ı C AMPOS ´

´ ´


¸˜
Escrevendo as equacoes da identidade de Bianchi:

i. α = 0, µ, ν = 1, 2, 3 (µ = ν)
1 ∂B(x, t)
∇ × E(x, t) = − .
c ∂t

iv. α = 1, µ = 2, ν = 3

∇ · B(x, t) = 0.

ı C AMPOS ´

´ ´

1
Como a densidade de lagrangeana: L(Aµ , ∂ν Aµ ) = − 16π Fµν Fµν − 1 jµ Aµ ,
c
¸˜
se comporta sob uma transformacao de calibre:
A′ µ (x, t) = Aµ (x, t) − ∂ µ G(x, t)?

ı C AMPOS ´

´ ´

1
c
¸˜
A′ µ (x, t) = Aµ (x, t) − ∂ µ G(x, t)?

Lembrando que:
 
0 Ex Ey Ez
 −Ex 0 −Bz By 
Fµν =
 −Ey Bz
.
0 −Bx 
−Ez −By Bx 0

ı C AMPOS ´

´ ´

1
c
¸˜
A′ µ (x, t) = Aµ (x, t) − ∂ µ G(x, t)?

Lembrando que:
 
0 Ex Ey Ez
 −Ex 0 −Bz By 
Fµν =
 −Ey Bz
.
0 −Bx 
−Ez −By Bx 0

¸˜
Sob uma transformacao de calibre:
1 ′ ′ µν 1 µ
L(A′ , ∂ν A′ ) = −
µ µ F F − jµ A′
16π µν c
1 1 1
= − Fµν Fµν − jµ Aµ + jµ ∂ µ G.
16π c c

ı C AMPOS ´

´ ´

Mas,
1 µ 1 1
jµ ∂ G = ∂ µ (jµ (x, t)G(x, t)) − G(x, t)(∂ µ jµ (x, t)).
c c c

ı C AMPOS ´

´ ´

Mas,
1 µ 1 1
c c c
¸˜
Temos a conservacao ´
da carga eletrica:

∂ρ(x, t)
∇ · (x, t) = − ⇒
∂t
∂ρ(x, t)
∇ · (x, t) + = 0.
∂t

ı C AMPOS ´

´ ´

Mas,
1 µ 1 1
c c c
¸˜
da carga eletrica:

∂ρ(x, t)
∇ · (x, t) = − ⇒
∂t
∂ρ(x, t)
∇ · (x, t) + = 0.
∂t
⇒ ∂µ jµ (x, t) = 0.

ı C AMPOS ´

´ ´

Mas,
1 µ 1 1
c c c
¸˜
da carga eletrica:

∂ρ(x, t)
∇ · (x, t) = − ⇒
∂t
∂ρ(x, t)
∇ · (x, t) + = 0.
∂t
⇒ ∂µ jµ (x, t) = 0.
Finalmente
1
L(A′ , ∂ν A′ ) = L(Aµ , ∂ν Aµ ) + ∂ µ [ jµ (x, t)G(x, t) ].
µ µ
c

ı C AMPOS ´

´ ´

Mas,
1 µ 1 1
c c c
¸˜
da carga eletrica:

∂ρ(x, t)
∇ · (x, t) = − ⇒
∂t
∂ρ(x, t)
∇ · (x, t) + = 0.
∂t
⇒ ∂µ jµ (x, t) = 0.
Finalmente
1
L(A′ , ∂ν A′ ) = L(Aµ , ∂ν Aµ ) + ∂ µ [ jµ (x, t)G(x, t) ].
µ µ
c
As densidades de lagrangeanas L(Aµ , ∂ν Aµ ) e L(A′ , ∂ν A′ ) dao as
µ µ ˜
¸˜
mesmas equacoes de movimento?
ı C AMPOS ´

´ ´

Acao associada ao 4-potencial Aµ (x, t):
¸˜
tf
S[Aµ ; t0 , tf ] = dt d3 x L(Aµ , ∂ν Aµ ; x, t).
t0 V∞

ı C AMPOS ´

´ ´

¸˜
tf
t0 V∞

Acao associada ao 4-potencial A′ (x, t):
¸˜ µ
tf
S′ [A′ ; t0 , tf ] =
µ dt d3 x L(A′ , ∂ν A′ ; x, t),
µ µ
t0 V∞

onde

A′ µ (x, t) = Aµ (x, t) − ∂ µ G(x, t) ⇒

ı C AMPOS ´

´ ´

¸˜
tf
t0 V∞

Acao associada ao 4-potencial A′ (x, t):
¸˜ µ
tf
S′ [A′ ; t0 , tf ] =
µ dt d3 x L(A′ , ∂ν A′ ; x, t),
µ µ
t0 V∞

onde

A′ µ (x, t) = Aµ (x, t) − ∂ µ G(x, t) ⇒

1
L(Aµ , ∂ν A′ ) = L(Aµ , ∂ν Aµ ) + ∂ µ [jµ (x, t)G(x, t) ].
′
µ
c

ı C AMPOS ´

´ ´

¸˜ ¸˜
Relacao entre as acoes dos dois 4-potenciais vetores:
tf
S ′ [A′ ; t0 , tf ] =
µ dt d3 x L(Aµ , ∂ν Aµ (x, t)) +
t0 V∞
tf
1
+ dt d3 x ∂ µ (jµ (x, t)G(x, t))
c t0 V∞

ı C AMPOS ´

´ ´

¸˜ ¸˜
tf
S ′ [A′ ; t0 , tf ] =
t0 V∞
tf
1
+ dt d3 x ∂ µ (jµ (x, t)G(x, t))
c t0 V∞
tf
1
= S[Aµ ; t0 , tf ] + dt d3 x ∂ µ (jµ (x, t)G(x, t)).
c t0 V∞

ı C AMPOS ´

´ ´

¸˜ ¸˜
tf
S ′ [A′ ; t0 , tf ] =
t0 V∞
tf
1
+ dt d3 x ∂ µ (jµ (x, t)G(x, t))
c t0 V∞
tf
1
= S[Aµ ; t0 , tf ] + dt d3 x ∂ µ (jµ (x, t)G(x, t)).
c t0 V∞

¸˜
Fazendo a integracao por partes:
tf
1
dt d3 x ∂ µ (jµ (x, t)G(x, t)) =
c t0 V∞

= d3 x [ρ(x, tf )G(x, tf ) − ρ(x, t0 )G(x, t0 )]
V∞
tf
+ dt d3 x ∇ · [j(x, t)G(x, t)].
t0 V∞

S∞
ˆ
ds n·[j(x,t)G(x,t)] = 0

ı C AMPOS ´

´ ´

˜
Entao:
S ′ [A′ ; t0 , tf ] − S[Aµ ; t0 , tf ] =
µ

= d3 x [ρ(x, tf )G(x, tf ) − ρ(x, t0 )G(x, t0 )].
V∞

ı C AMPOS ´

´ ´

˜
Entao:
S ′ [A′ ; t0 , tf ] − S[Aµ ; t0 , tf ] =
µ

= d3 x [ρ(x, tf )G(x, tf ) − ρ(x, t0 )G(x, t0 )].
V∞

Como a diferenca das acoes S ′ [A′ ; t0 , tf ] e S[Aµ ; t0 , tf ] e um termo que
¸ ¸˜ µ ´
e o mesmo para todas as conﬁguracoes Aµ (x, t), entao se o 4-potencial
´ ¸˜ ˜
Aµ (x, t) extremiza a acao S[Aµ ; t0 , tf ] ⇒ 4-potencial A′ (x, t)
¸˜ µ
¸˜ ′ [A′ ; t , t ]. Como esses 4-potenciais estao liga-
extremiza a acao S µ 0 f ˜
¸˜ ˜
dos por uma transformacao de calibre, entao ambas representam os
mesmo campos f´sicos.
ı

ı C AMPOS ´

´ ´

´
Campos eletromagneticos livres:
ρ(x, t) = 0 e (x, t) = 0.

ı C AMPOS ´

´ ´

´
ρ(x, t) = 0 e (x, t) = 0.
¸˜ ´
Equacoes de Maxwell no vacuo:
1 ∂ B(x, t)
∇ · E(x, t) = 0, ∇ × E(x, t) = − ,
c ∂t
1 ∂ E(x, t)
∇ · B(x, t) = 0, ∇ × B(x, t) = .
c ∂t

ı C AMPOS ´

´ ´

´
ρ(x, t) = 0 e (x, t) = 0.
¸˜ ´
1 ∂ B(x, t)
∇ · E(x, t) = 0, ∇ × E(x, t) = − ,
c ∂t
1 ∂ E(x, t)
∇ · B(x, t) = 0, ∇ × B(x, t) = .
c ∂t

´
Campo eletrico livre:
1∂
∇ × (∇ × E(x, t)) + (∇ × B(x, t)) = 0 ⇒
c ∂t

ı C AMPOS ´

´ ´

´
ρ(x, t) = 0 e (x, t) = 0.
¸˜ ´
1 ∂ B(x, t)
∇ · E(x, t) = 0, ∇ × E(x, t) = − ,
c ∂t
1 ∂ E(x, t)
∇ · B(x, t) = 0, ∇ × B(x, t) = .
c ∂t

´
1∂
∇ × (∇ × E(x, t)) + (∇ × B(x, t)) = 0 ⇒
c ∂t
1 ∂2
⇒ ∇2 − 2 2 E(x, t) = 0.
c ∂t

ı C AMPOS ´

´ ´

´
ρ(x, t) = 0 e (x, t) = 0.
¸˜ ´
1 ∂ B(x, t)
∇ · E(x, t) = 0, ∇ × E(x, t) = − ,
c ∂t
1 ∂ E(x, t)
∇ · B(x, t) = 0, ∇ × B(x, t) = .
c ∂t

´
1∂
∇ × (∇ × E(x, t)) + (∇ × B(x, t)) = 0 ⇒
c ∂t
1 ∂2
⇒ ∇2 − 2 2 E(x, t) = 0.
c ∂t
´
De forma analoga, obtemos:
1 ∂2
∇2 − 2 2 B(x, t) = 0.
c ∂t
ı C AMPOS ´

´ ´

´
1 ∂2
∇2 − E(x, t) = 0.
c2 ∂t2

ı C AMPOS ´

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