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Specific greeks1 on cliquet options and variance options

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Contexte de l’opération

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Cependant, cette solution ne pouvait être généralisée à l’évaluation d’une option
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Figure 1.2 - Les payoffs d’un cliquet put : 2ème cas

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Cependant notre algorithme ne pouvait solutionner les contraintes Inf sur le Gamma.
En effet, le terme a été abandonné car...
En 2011, certains produits ont été bookés avec des contraintes sur le Gamma, afin que
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Figure 1.5 - Interface présentant les nouveaux indicateurs de risques (Greeks)

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 Gammas « Purs » (diagonaux + croisés) ;
 Gammas Corrigés (intégrant une projection des termes croisés).
Ainsi, pour étu...
Les Gammas ici comportent une projection des termes croisés qu’il n’est plus
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Mwa study 1 specific greeks on cliquet options and variance options

  1. 1. 1 Specific greeks1 on cliquet options and variance options Synopsis : Ce projet, commencé en 2010, visait la détermination et le calcul des sensibilités adaptées à la gestion de produits dérivés de type « cliquets2 », ou de type « options sur variance », gérés avec un modèle à volatilité stochastique. Ce projet avait également pour objectif de déterminer le portefeuille de couverture en delta optimal pour les options sur variance. Le développement continu du marché de produits dérivés de type « cliquet » et des produits de type « options sur variance » exigeaient de gérer plus finement les risques des produits, et avec des coûts moins élevés. MWA disposait pour ses clients d’un modèle à volatilité stochastique permettant la prise en compte de nouveaux effets, il est apparu judicieux de l’exploiter afin de développer de nouveaux modules permettant une meilleure détermination des risques, et améliorer ainsi la couverture de son modèle de volatilité stochastique. La problématique majeure du projet était liée à une détermination exhaustive des risques encourus par les produits dérivés ; par ailleurs, il fallait déterminer lesquels de ces produits étaient susceptibles d’être impactés par le modèle. La difficulté résidait donc dans la détermination de la sensibilité. Ainsi, pour avoir un effet notable, choisir la bonne sensibilité était primordiale. Or cette détermination n’était pas triviale et impliquait des calculs complexes. Dans le cas particulier des solutions de type options sur variance, MWA a déterminé le portefeuille de couverture optimal en delta à l’aide de « Variance Swap ». Cette détermination était sujette à de nombreuses hypothèses simplificatrices qui rendaient instables les développements. Ces travaux de calcul de risques, ainsi que l’élaboration de répartition via les "deltaVarSwap" ont permis d’améliorer la gestion des risques sur une gamme importante et en pleine croissance de produits dérivés. Ils ont également permis de réduire les coûts de couverture sur des produits de types options sur variance. L’approche utilisée pour la constitution du portefeuille de couverture en delta sur les options sur variance est extensible à d’autres modèles. Il s’agissait de travaux nouveaux qui n’avaient jamais été discutés pour des produits dérivés de type cliquets. Ces travaux étaient de deux natures : tout d’abord, ils ont consisté à développer des équations mathématiques de modélisation des phénomènes et ils ont ensuite consisté en une programmation (analyse numérique et implémentation) de ces modèles. Cette deuxième partie de discrétisation a permis à MWA d’utiliser par la suite ces modèles dans ses librairies. Les travaux de recherche engagés sur ce projet étaient intégrés à un programme de recherche global sur la gestion financière des options lancé par MWA depuis 2010 ; les travaux de 2010 et 2011 visaient entre autres, lors du pricing de produits dérivés, à concevoir un modèle permettant de tenir compte de contraintes de hedging issues de problématiques réglementaires (interdiction de vente à découvert) ou de marché (liquidité des sous-jacents). Les lettres grecques ou grecques ou grecs sont les instruments de base de la gestion financière des options. Elles découlent des principaux modèles d'évaluation d'option, notamment de celui de Black et Scholes. 2 Produits à effet de structure cumulatif dans la mesure où le taux payé à chaque échéance est déterminé sur la base d’une incrémentation cumulative par rapport au taux de la ou des échéances précédentes, qui servent ainsi de base pour la détermination des taux suivants, de telle sorte que le taux supporté ne peut qu'augmenter voire se stabiliser. 1 MWA Conseil Berkeley Building 19-29 rue du Capitaine Guynemer - 92903 Paris la Défense Tél. : 33 (0) 1 74 90 50 40 Fax : 33 (0) 1 46 24 90 68 www.mwa-france.com
  2. 2. 1.1 Contexte de l’opération Le développement continu du marché de produits dérivés de type « cliquet » et des produits de type « options sur variance », ainsi que la compétition accrue entre les différents acteurs présents sur ces marchés exigeaient de gérer plus finement les risques des produits, et avec des coûts moins élevés. Nous disposions au lancement des travaux dans nos systèmes d’un modèle à volatilité stochastique permettant la prise en compte de nouveaux effets, il est apparu judicieux de l’exploiter afin de développer de nouveaux modules permettant une meilleure détermination des risques, et améliorer ainsi la couverture du modèle. Les travaux sur cette thématique se sont déroulés de 2010 à 2012. 1.2 Objet du projet 1.2.1 Objectif visé Le but du projet était de déterminer et calculer des sensibilités adaptées à la gestion de produits dérivés de type « cliquets », ou de type « options sur variance », gérés avec un modèle à volatilité stochastique. Ce projet avait également pour objectif de déterminer le portefeuille de couverture en delta optimal pour les options sur variance. En effet, pour des options traditionnelles, le risque le plus important est le risque de variation de la valeur de l’option en fonction du niveau du sous-jacent. Ce risque est évalué via le calcul d’une sensibilité appelée Delta, et définie sur une option a un sous-jacent par : . La sensibilité d’ordre 2 au niveau du sous-jacent est appelée gamma, et rend compte de la stabilité du delta. Elle est définie par : . Etant donné que les Variance Swap (VS) sont des instruments très liquides, les options de type « options sur variances » sont gérées directement comme des options dont les sous-jacents sont des VS. Il devient alors important de savoir calculer les sensibilités d’ordre 1 et 2 à la valeur du VS. Ces sensibilités sont respectivement appelées « DeltaVarSwap » (DeltaVS) et « GammaVarSwap » (GammVS). 1.2.2 Performances à atteindre Il s’agissait d’identifier le plus finement possible les risques portés par les produits de la gamme cible, et quantifier le plus exactement possible leur niveau. MWA Conseil Berkeley Building 19-29 rue du Capitaine Guynemer - 92903 Paris la Défense Tél. : 33 (0) 1 74 90 50 40 Fax : 33 (0) 1 46 24 90 68 www.mwa-france.com
  3. 3. De façon plus détaillée, les produits cibles, qui sont des options sur la variance d’une sous-jacent action ou indice donné sont en réalité parfois décrits comme des options sur le sous-jacent. Mais les traiter comme tels reviendrait à avoir une couverture très instable. Cependant, une bonne compréhension du produits montre que ce sont en fait des options sur des VS sur notre sous-jacent, avec de termes différents. Le travail attendu après notre modélisation était de trouver les bonnes quantités de couverture relatives aux VS de chaque maturité afin d’annuler la sensibilité du portefeuille aux variations de la structure par terme de vol VS. Ensuite, de trouver un bon indicateur de la sensibilité d’ordre 2 à ces VS. 1.3 Analyse de l’état de l’art 1.3.1 Etat de l’art scientifique La gamme de produits financiers offrant une exposition aux variations de niveaux de volatilité du rendement des actifs financiers a vu son intérêt grandement accru. Cependant, les modèles disponibles pour la couverture des risques de volatilité demeurent encore limités. Ces limites sont dues à l’absence d’un cadre de tarification et de couverture flexible et efficient permettant l’introduction des produits dérivés de volatilité comme instrument de gestion des risques. Plusieurs auteurs ont étudié les problématiques liées à l’évaluation et la couverture d’instruments financiers permettant de pallier ces limites :  Detemple, J., Osakwe, C., (2000). The Valuation of Volatility Options European Finance Review, 4, 21-50 ;  Heston, S.-L., Nandi, S. (2000). Derivatives on Volatility : Some Simple Solutions Based on Observables Working Paper, Federal Reserve Bank of Atlanta ;  Saseville, C., (2002). Option Pricing Using GARCH Models : An Empirical Examination Working Paper;  Etc. Notre analyse de l’état de l’art scientifique nous a permis de démontrer que les travaux publiés par Heston & Nandi (2000), semblaient être une approche à potentiel dans le domaine. Ces travaux portaient sur la mise en œuvre d’une solution analytique de tarification d’une option d’achat. Cette solution, basée sur la variance dans le contexte d’un « modèle3 à temps discret permettant de capter le caractère stochastique de la variance du rendement d’un actif », était « la plus avancée dans le sens qu’elle était adaptée au cas de l’évaluation de titres non-linéaires, qu’elle proposait une stratégie de couverture et reposait sur une famille de modèle de marché bien accepté dans la littérature financière que dans la pratique ». Selon ce modèle, pour une période de temps donnée, le niveau de la variance du rendement d’un actif dépend à la fois du niveau de la variance pour les périodes précédentes et des chocs ayant affecté le rendement de l’actif. Cette spécification permet de reproduire la persistance expliquant les périodes de fortes et de faibles volatilités observées empiriquement. 3 MWA Conseil Berkeley Building 19-29 rue du Capitaine Guynemer - 92903 Paris la Défense Tél. : 33 (0) 1 74 90 50 40 Fax : 33 (0) 1 46 24 90 68 www.mwa-france.com
  4. 4. Cependant, cette solution ne pouvait être généralisée à l’évaluation d’une option portant sur la volatilité et était limitée à un seul des modèles discret permettant de capter le caractère stochastique de la variance du rendement d’un actif. Ainsi, bien qu’évoluée, cette solution manquait de flexibilité. La problématique traitée dans ce projet était donc de proposer un cadre de tarification flexible et efficient pour évaluer tant des options européennes que des contrats à terme dont la variable sous-jacente est la variance du rendement d’un actif4. Notre approche scientifique était de réaliser une approximation analytique permettant de résoudre le problème d’évaluation de produits dérivés de variance et ce, dans le contexte du modèle à temps discret. 1.3.2 Techniques et concepts existants Une option cliquet est une option dont le prix d’exercice peut être ajusté au cours de la durée de vie de l’option. Cet ajustement intervient à des périodes (généralement régulière) bien définies dès le début de l’option. Ainsi le prix d’exercice X (Strike), changera s’il y a un avantage pour le détenteur, à la date de réajustement et ce prix d’exercice sera porté au cours de marché du sous-jacent. Donc plusieurs cas (trois) peuvent se présenter au cours de la vie de l’option cliquet. Figure 1.1 - Les payoffs d'un cliquet put : 1 er cas 4 Le cadre de tarification peut être adapté au cas des produits dérivé de volatilité. MWA Conseil Berkeley Building 19-29 rue du Capitaine Guynemer - 92903 Paris la Défense Tél. : 33 (0) 1 74 90 50 40 Fax : 33 (0) 1 46 24 90 68 www.mwa-france.com
  5. 5. Figure 1.2 - Les payoffs d’un cliquet put : 2ème cas Figure 1.3 - Les payoffs d’un cliquet put : 3 ème cas Quelques solutions couvrent un périmètre technico-fonctionnel voisin de celui que nous ciblions. Nous les avions identifiées à l’entame du projet et nous avions mis en exergue pour chacune d’entre elles de fortes limitations techniques :  La valorisation de ces options cliquets pouvait être réalisée par une solution de Gray et Whaley 1999 dans le cas d’une seule période de rajustement. Cette méthode valorise ainsi le cliquet put option selon une « approche horizontale » qui consiste à séparer les payoffs terminaux attendus du cliquet des trois résultats possibles (comme montré précédemment), puis d’en faire une somme pondérée par les probabilités d’occurrence des différents évènements ;  D’autres méthodes de valorisation ont été proposées notamment par Haug et Haug en 2001 (méthode binomiale). La principale carence qui nous empêche de nous appuyer de façon immédiate sur ces solutions a trait au fait que ces études et méthodes présentes dans l’état de l’art au lancement du projet étaient limitées (une seule période de réajustement). De plus MWA Conseil Berkeley Building 19-29 rue du Capitaine Guynemer - 92903 Paris la Défense Tél. : 33 (0) 1 74 90 50 40 Fax : 33 (0) 1 46 24 90 68 www.mwa-france.com
  6. 6. celles-ci ne nous permettaient pas de calculer les sensibilités nécessaires : adaptés à la gestion de ces produits. 1.3.3 Conclusions et constats d’insuffisance de l’existant Il apparait clairement qu’aucun résultat abouti de recherche fondamentale ni aucune solution technique disponible à l’entame de ce projet ne permettait d’atteindre nos objectifs en termes de tarification flexible et efficient pensée pour évaluer tant des options européennes que des contrats à terme dont la variable sous-jacente est la variance du rendement d’un actif. Un processus itératif, à la jonction entre la recherche appliquée et le développement expérimental était donc requis pour nous permettre de construire d’une part un modèle de détermination et de calcul des sensibilités adaptées à la gestion de produits dérivés de type « cliquets », ou de type « options sur variance », gérés avec un modèle à volatilité stochastique. D’autre part, il nous fallait construire un modèle permettant de déterminer le portefeuille de couverture en delta optimal pour les options sur variance. 1.3.4 Incertitudes scientifiques et verrous technologiques La problématique majeure de nos travaux était la suivante : Comment réaliser une détermination exhaustive des risques encourus par nos produits et déterminer lesquels de ces produits sont susceptibles d’être impactés par notre modèle volatilité stochastique ? La difficulté résidait dans la détermination de la sensibilité. Pour avoir un effet notable, choisir la bonne sensibilité était primordiale, or cette détermination n’était pas triviale et impliquait des calculs complexes. Par ailleurs, dans le cas particulier des produits de type options sur variance, nous devions déterminer le portefeuille de couverture optimal en delta à l’aide de « Variance Swap ». Cette détermination est sujette à de nombreuses hypothèses simplificatrices qui rendent instables les développements. 1.4 Travaux effectués Les produits concernés par ce projet étant classés confidentiels, nous ne les présenterons pas dans la description de nos travaux, car nous n’avons pas l’autorisation de le faire compte tenu des exigences strictes de confidentialité appliquées par nos clients. La documentation et les schémas d’architecture des modèles imaginés sont soumis à copyright. 1.4.1 Etude préliminaire des travaux de recherche en 2010 Le but de nos travaux préliminaires au lancement de nos travaux en 2010 était de tenir compte, lors du pricing de produits dérivés, de contraintes de hedging issues de MWA Conseil Berkeley Building 19-29 rue du Capitaine Guynemer - 92903 Paris la Défense Tél. : 33 (0) 1 74 90 50 40 Fax : 33 (0) 1 46 24 90 68 www.mwa-france.com
  7. 7. problématiques réglementaires (interdiction de vente à découvert) ou de marché (liquidité des sous-jacents). Les contraintes citées ci-dessus se traduisaient immédiatement en contrainte sur les greeks :  Delta positif pour l’interdiction de vente à découvert ;  Delta ou Gamma inférieur à une certaine valeur max pour la liquidité. Celles-ci pouvant augmenter le prix du produit, il était indispensable d’en tenir compte lors du pricing, mais aussi pour les greeks afin de fiabiliser la gestion quotidienne de ces produits. La motivation de ces travaux était en grande partie due à la crise qu’ont subie les marchés ces dernières années. L’interdiction de vente à découvert est plus rare, au moins ponctuellement, et l’attention portée aux sous-jacents moins liquides s’est grandement renforcée dans l’optique du risk management. Quelques articles ont été écrits au sujet de la sur-réplication sous contraintes, mais n’avaient jamais été exploités chez notre client. En s’en inspirant, il nous a fallu ré-écrire et améliorer l’algorithme afin qu’il soit adapté à nos besoins :  Contraintes Delta et Gamma ;  Généricité pour tout type de payoff priçable en EDP5 ;  Optimisation pour rendre raisonnable le temps de calcul. Enfin, la technique de sur-réplication sous contraintes greeks existait notamment chez nos concurrents, mais cette technique était utilisée pour des cas simples et des produits simples. Nous avons souhaité développer un outil capable de traiter plusieurs payoff et offrir une plus grande généricité (D1, D2 Stock Rate, D2 Stock Stock -contrainte sur une seule stock- et avec ou sans PathDep). En effet, le peu d’articles traitant le sujet et les formules étaient uniquement théoriques et loin d’être pratiques, par exemple, sur le retraitement du payoff. La formule d’une option Vanille sous le modèle Black-Scholes avec contrainte Gamma est bien connue, mais la multitude de payoffs différents traités et éligibles à ces contraintes pour la salle de marché de notre client a rendu indispensable la création et l’implémentation d’un algorithme propriétaire, rapide et robuste, tout en étant générique. Parmi les problématiques techniques, outre le temps de calcul assez prohibitif d’un algorithme naïf, il nous a fallu par exemple se poser la question de la persistance des contraintes lors des évènements produits (clauses de sortie, constatations), sousjacents (dividendes), ou modèle (volatilité incertaine de type Avellaneda). L’idée est d’appliquer un lissage du payoff, afin qu’il obéisse aux contraintes. Dans le cas de payoff multiples, chaque payoff est calculé séparément (comme pour la 5 EDP : Equations aux Dérivées Partielles MWA Conseil Berkeley Building 19-29 rue du Capitaine Guynemer - 92903 Paris la Défense Tél. : 33 (0) 1 74 90 50 40 Fax : 33 (0) 1 46 24 90 68 www.mwa-france.com
  8. 8. volatilité Avellaneda), mais on se garde la possibilité, via le scripting, de netter tous les payoffs afin d’appliquer la contrainte sur le greek global. Le lissage est appliqué évidemment au payoff terminal. Il est aussi appliqué à chaque fois qu’un jump (dividendes, clauses, pathDep) peut altérer les propriétés voulues :  Le temps de calcul peut vite se détériorer ;  En diffusion sans jump, les propriétés sont conservées, sauf en vol locale (d’où l’exclusion). En 2010, nous avons émis deux hypothèses :  La première concerne l’algorithme que nous avons défini par la suite d’algorithme « naïf » ;  La seconde est le développement d’un algorithme Primal-Dual, qui trouve la stratégie optimale de sur-réplication sous contraintes. C’est cette seconde hypothèse que nous avons retenue pour la suite de nos travaux en 2011, car celle-ci nous permettait de recalculer les payoffs tout en saturant les contraintes. 1.4.2 .1.4.2.1 Approche de modélisation en 2011 Hypothèse 1 : Méthode naïve Le principe de notre approche en 2011 consistait à parcourir le payoff en le corrigeant pour obéir aux contraintes  De gauche (spotMin) à droite (spotMax) pour le Delta Inf ;  De droite à gauche pour le Delta Max. Il en était de même pour la contrainte Gamma. Figure 1.4 - Callspread sous contrainte Delta MWA Conseil Berkeley Building 19-29 rue du Capitaine Guynemer - 92903 Paris la Défense Tél. : 33 (0) 1 74 90 50 40 Fax : 33 (0) 1 46 24 90 68 www.mwa-france.com
  9. 9. Nous nous sommes aperçus par la suite que cette méthode n’était pas suffisante. En effet, bien qu’elle offre l’avantage d’être simple et rapide, l’inconvénient majeur était que nous n’avions aucune preuve qu’un traitement n’altère pas les qualités du précédent (interactions Delta/Gamma). .1.4.2.2 Hypothèse 2 : Programmation linéaire L’algorithme développé et appliqué en EDP au payoff à différents moments stratégiques de sa vie, permettait d’obtenir le prix minimal sous les contraintes imposées. Nous avons appliqué l’algorithme à des produits Vanille sur lesquels nous connaissions explicitement une formule théorique. Les résultats étaient totalement satisfaisants. Nous avons réitéré des tests sur des produits plus complexes (pathdependent ou bi sous-jacents) ou sur des cas limites. Dans l’ensemble, les résultats étaient conformes aux attentes, à la condition néanmoins que les contraintes imposées ne soient pas trop fortes (exemple : put à delta positif). Notre équation était la suivante, où ĝ devait être la solution du problème : ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ min g (S )  g (S ),   S ² g SS ,  S ² g SS ,   g S ,  g S   0 Localement, le minimum devait forcément saturer une des contraintes. Cela nous a conduits à la notation matricielle suivante : Grid N points θ i Є Ө= {0, 1, 2, 3 ,4} g(Si) : payoff pour Spot i (ε-LogSpaced) indicateur de la contrainte saturée au Spot i Matrice Tri-Diag  A0 ( 0 )  0      0 ˆ   g ( S1 )   B0 ( 0 )    g ( S )   B ( )  ˆ 2   1 1   0             ˆ 0 AN ( N )  g ( S N )  BN ( N ) 0  A1 (1 )    0  A i (0)  { 0, 1, 0} A i (1)  { - 1   / 2, 2, - 1   / 2} A i (2)  {1   / 2, - 2, 1   / 2} A i (3)  {1, 0, - 1} A i (4)  {-1, 0, 1} Bi (0)  g(S) Bi (1)  - . ² Bi (2)  . ² Bi (3)  .S / 2 Bi (4)  .S / 2 1.4.3 Cas d’application Call K  70%   0.5 MWA Conseil Berkeley Building 19-29 rue du Capitaine Guynemer - 92903 Paris la Défense Tél. : 33 (0) 1 74 90 50 40 Fax : 33 (0) 1 46 24 90 68 www.mwa-france.com
  10. 10. CallSpread K  95% / 105% 0.01    0.3   0.5 Nous avons pu démontré que la méthode convergeait et qu’elle saturait également les contraintes (en partant de la plus forte à la plus faible) tout en recalculant les payoff lors d’évènements produits, sous jacents ou modèles. In fine les contraintes disponibles sont les suivantes :  Delta Min ;  Delta Max ;  Gamma Max ; MWA Conseil Berkeley Building 19-29 rue du Capitaine Guynemer - 92903 Paris la Défense Tél. : 33 (0) 1 74 90 50 40 Fax : 33 (0) 1 46 24 90 68 www.mwa-france.com
  11. 11. Cependant notre algorithme ne pouvait solutionner les contraintes Inf sur le Gamma. En effet, le terme a été abandonné car celui-ci n’assurait pas la condition de stricte positivement de la matrice Tri-Diag présentée dans l’hypothèse 2. Notre méthode ne pouvait pas être encore appliquée à une volatilité locale (ni ST, ni FP), car trop de points du spot devaient être pris en compte. Cependant, le développement de ce pricing sous contraintes de greeks nous a permis de renforcer le risk-management sur les dérivés et préparés nos travaux de recherche de 2012. La généricité de l’algorithme a permis d’étendre cette méthodologie sur des produits complexes, ce qui n’est à notre connaissance pas le cas chez la concurrence. Cette fonctionnalité doit permettre de pricer des payoffs sous contraintes Delta ou Gamma :  Décisions de régulateurs ;  Problématiques de hedge. MWA Conseil Berkeley Building 19-29 rue du Capitaine Guynemer - 92903 Paris la Défense Tél. : 33 (0) 1 74 90 50 40 Fax : 33 (0) 1 46 24 90 68 www.mwa-france.com
  12. 12. En 2011, certains produits ont été bookés avec des contraintes sur le Gamma, afin que le hedge en Delta à passer en intraday ne soit pas incompatible avec la liquidité du sous-jacent. L’algorithme a été validé. Cependant, nous avons réussi à déceler les cas limites pour mettre en place une alerte lorsque la contrainte est trop forte pour donner un prix qui ait du sens. Par exemple, une alerte est levée dans notre applicatif pré-trade (“Pricing Warning : constrained lifted Payoff depends on grid bounds”) si les contraintes rendent un payoff lifté dépendant des bornes de la grille. Cela peut être causé par deux éléments :  L’alerte ne serait plus levée avec une grille plus large ;  Sur-réplication impossible. Quelques soient les bornes de la grille, le payoff contraint était donc toujours impacté par celles-ci. 1.4.4 Définition du problème de recherche en 2012 A la suite de nos travaux de 2010 et 2011, l’approche retenue dans le cadre de nos travaux en 2012 était de calculer les « DeltaVarSwap » de nos options sur variance, ce qui devait nous permettre de constituer le portefeuille optimal pour la gestion du risque en delta des options, et permettre également d’expliquer les variations de prix des produits. Nous avons utilisé les hypothèses de développement suivantes :  Le risque par rapport au skew forward, le risque à la corrélation spot/volatilité, le risque à la variance de la volatilité (importants dans un produit de type cliquet) ainsi que le risque à la variance de la volatilité (important dans un produit de type option sur variance) sont quantifiables à l’aide du modèle à volatilité stochastique ;  Les sensibilités aux paramètres retenues dans le cadre de notre travail permettront de quantifier ces risques. Les différents modèles à volatilité stochastique disponibles dans notre librairie ont été utilisés dans le cadre de ce travail. Mais l’approche retenue était générique et pouvait être étendue à tout modèle à volatilité stochastique calibré sur la structure par terme de variance swaps. Les nouvelles grecques spécifiques au Model IV devaient être activables via l’interface de pricing. La figure suivante présente les différents indicateurs que nous devions proposer au trading par le biais de notre outil.
  13. 13. Figure 1.5 - Interface présentant les nouveaux indicateurs de risques (Greeks) Ainsi les indicateurs que nous devions déterminer étaient les suivants :  Sensi Correl Spot Vol : Les paramètres de corrélation entre le spot et la volatilité du spot en Modèle IV sont : Rho et Omega. Cette grecque calculera une sensibilité jointe à ces deux paramètres. La valeur retournée devra correspondre à : (P (Rho + epsilon, Omega+ epsilon) – P (Rho, Omega)) avec un epsilon égal à 0.05 ;  Delta VS : Sur le modèle du Vega Term, cette grecque devra renvoyer la sensibilité à la volatilité VarSwap correspondant à chaque pilier de la Term structure de variance ;  Thêta VS : Cette grecque permettra de réaliser un Thêta ajusté pour que le prix en J+1 ne se fasse pas avec une baisse automatique de Variance. En fait, les volatilités VarSwap aux différentes dates de la Term Structure seront conservées dans les deux prix ;  Vega VS and Voma VS : C’est une sensibilité jointe aux deux vol de vol du Modèle IV : Sigma et Sigma0. La valeur retournée pour le Vaga correspond à : (1.0/5%)*(P (Sigma*(1+5%), Sigma0*(1+5%))-P (Sigma, Sigma0)) et le Voma retournera l’approximation centrée de la dérivée seconde équivalente ;  Vega VS CST Skew and Voma VS CST Skew : Le calcul était pratiquement le même que précédemment. Seulement, les corrélations Rho et Omega sont ajustées afin de garder les produits Sigma*Rho et Sigma0*Omega constants. Pour avoir des corrélations toujours supérieures à -1, le Voma ici devra être décentré.  Etc. 1.4.5 .1.4.5.1 Développement du modèle, problématique des Gammas Hypothèses Dans l’élaboration des différents indicateurs nous avons rencontré des difficultés au sujet de la détermination du Gamma VarSwap. Nous avons à ce sujet considéré deux hypothèses d’étude :
  14. 14.  Gammas « Purs » (diagonaux + croisés) ;  Gammas Corrigés (intégrant une projection des termes croisés). Ainsi, pour étudier ces deux hypothèses nous avons supposé trois maturités de projection : T1, T2 et T3 avec T1<T2<T3. .1.4.5.2 Rappel Les deltas sont calculés en faisant des déformations Backward. Cette approche évite de créer des arbitrages avec les déformations : .1.4.5.3 Gammas « purs » Dans le même esprit nous avons calculé les Gammas en backwardant, de manière à ne pas répliquer de déformations susceptibles de créer des arbitrages dans la Term Structure. Ainsi nous avons déterminé les formules approchées suivantes :  Termes Diagonaux :  Termes croisés : Ces approximations permettent de retrouver le Gamma « global » : .1.4.5.4 Gammas Corrigés Nous avons, après des itérations, déterminé une formule permettant de calculer cet indicateur comme la sensibilité du delta calculée pour chaque maturité en réalisant une différence des deux deltas VS. Ceux-ci sont obtenus avec la méthodologie cidessus à partir d’une part de la Term Structure de Vols Var Swap initiale, et d’autre part de la Term Structure décalée de « eps ». Nous obtenons alors :
  15. 15. Les Gammas ici comportent une projection des termes croisés qu’il n’est plus nécessaire de calculer. 1.4.6 Tests Ces différentes hypothèses, qui sont en fait des résultats d’études théoriques ont donc tout naturellement été vérifiées à travers les calculs. Les simulations et les différents tests ont permis de les confirmer. Il a particulièrement été vérifié que dans des cas triviaux, nous obtenions les résultats attendus. Puisque ce sont des quantités numériques, un travail de choix de paramètres optimaux a parfois été nécessaire (amplitude des chocs pour le calcul de sensibilité, etc.). 1.5 Conclusions Pour une meilleure précision, nous aurions pu utiliser les Gammas « Purs » (diagonaux et croisé), mais le temps de calcul peut s’avérer long. Cependant, si l’information renvoyée par les Gammas corrigés était suffisante, nous pouvions les utiliser comme une approximation acceptable. Ceux-ci avaient l’avantage de diminuer le temps de calcul, en effet, moins de prix étaient calculés dans ce cas. Nous avons décidé d’implémenter les deux versions afin de permettre le calcul de trois types de Gammas :  GAMMAVS (pour les termes diagonaux des Gammas « Purs ») ;  CROSSGAMMAVS (Pour les termes en dehors de la diagonale) ;  CORRGAMMAVS (Pour les Gammas Corrigés). Cela permettra au trading de choisir le cas qui correspond le mieux à son action. Le calcul de ces nouvelles sensibilités et le calcul du portefeuille de couverture ont contribué à donner une meilleure visibilité des risques contenus dans les produits cibles de l’étude, et à favoriser une meilleure gestion de ces risques par le trading. Ces travaux se sont terminés en fin d’année 2012, cependant il n’est pas exclu que d’autres travaux soient nécessaires pour répondre à une évolution du marché ou à des instabilités constatées par le trading en 2013.

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