SIMULATION
SYSTÈMES DE PRODUCTION
RÉSEAUX DE PETRI
SIMAN - ARENA
Jean-Louis Boimond
Table des matières
I INTRODUCTION À LA...
1
Bibliographie
 Introduction to Simulation Using SIMAN. Second Edition, C. Dennis Pegden, R.E. Shannon, R.P.
Sadowski, E...
2
I INTRODUCTION À LA SIMULATION
La simulation est un processus qui consiste à :
- Concevoir un modèle du système (réel) é...
3
 Production des services
- étude de transactions bancaires,
- gestion de restaurants,
- comparaisons de politiques de m...
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I.1 L’ÉTAPE DE MODÉLISATION
L’étape de modélisation est une phase essentielle à la simulation. Différents points doivent...
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II LA SIMULATION DES SYSTÈMES DE PRODUCTION
Les systèmes automatisés de production - à l'initiative de l'Homme - sont ca...
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La simulation permet de répondre à la question « que se passe-t-il si ... ? » pour l'étude de
systèmes de production com...
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Evolution d'une simulation événementielle : Le modèle du système passe au cours du temps
d'un état à un autre suite au d...
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3. A quel niveau ?
a) La simulation : une aide à la conduite
Le système présente un problème (il ne répond plus aux beso...
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b) La simulation : une aide à la traçabilité (implicite/explicite)
L'objectif est de concevoir, développer un système de...
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c) La simulation pour définir un futur système
Aide à la décision d'investissement :
Choix technologiques et organisati...
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III RAPPELS DE PROBABILITÉS ET STATISTIQUES
Sachant qu'il est impossible – quelle que soit la puissance des ordinateurs...
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→ des fonctions intégrées dans le modèle de simulation (lois de
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- Interpréter statistiquement les donné...
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Définitions
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IV DONNÉES D'ENTRÉE DU SYSTÈME
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garba...
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- Une distribution exponentielle (grande dispersion : forte variabilité) de paramètre M si la
nature du phénomène le ju...
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Mean = 5,02 StdDev = 1,88 Min = -0,4531 Max = 11,3
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V. VÉRIFICATION ET VALIDATION DES MODÈLES
Les programmes de simulation se caractérisent par une évolution constante (te...
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- De la phase d'initialisation (unités de mesures),
- Du contrôle du flux,
- De l'existence de blocages,
- Des erreurs ...
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Il consiste à étudier le comportement du modèle en relation avec le système de référence.
 Comparaison de comportement...
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VI INTERPRÉTATION DES RÉSULTATS
Selon le logiciel utilisé, l'exécution d'un programme de simulation peut générer :
- Un...
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VI.1 ANALYSE DES SYSTÈMES FINIS
Ils sont plus faciles à analyser que les systèmes qui ne se terminent pas. On ne peut c...
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VI.2 ANALYSE DES SYSTÈMES QUI NE SE TERMINENT PAS
On s’intéresse à l'étude des performances stationnaires d’un système ...
27
VII NOTIONS ELÉMENTAIRES SUR LES RÉSEAUX DE PETRI
VII.1 GÉNÉRALITÉS
Définition (Réseau de Petri)
Un réseau de Petri (Rd...
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Exercice : Exprimer sous une forme matricielle les applications Pré et Post relatives au RdP
précédent. Valider à trave...
29
VII.2 GRAPHES D'ÉVÉNEMENTS
Restrictions et capacités de modélisation
Les graphes d'événements sont une sous-classe de R...
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Modifications
a) Le modèle RdP suivant indique une capacité de stockage limitée à 5 pièces.
b) Le stock en amont de la ...
31
Un ensemble d'événements externes est associé au RdP ; ces événements permettent le
franchissement de certaines transit...
32
VIII LE LANGAGE DE SIMULATION SIMAN-ARENA
SIMAN-ARENA7
- conçu en 1982 par C.D. Pedgen de System Modeling Corporation -...
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- sur l'entité au travers de la valeur de ses attributs. Par exemple, à travers un bloc Assign,
on peut affecter à l'at...
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A travers le menu Run/Setup/Project Parameters, on peut notamment donner :
- un titre au projet (champ Project Title),
...
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Les 2 fichiers générés par SIMAN-ARENA (au format txt) sont accessibles via le menu
Run/SIMAN/View (voir ci-dessous un ...
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VIII.2 DESCRIPTION DE QUELQUES BLOCS PERMETTANT LA
CONSTRUCTION D’UN MODÈLE
a) Create (issu du template Basic Process) ...
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Le nombre de jetons présents dans la place P correspond au nombre d'entités créées par le
bloc Create 1. Notons que le ...
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(« patiente ») dans une file d’attente interne au bloc Seize. Le fait qu'une entité sorte du bloc
indique que les resso...
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- contenir (au moins) un jeton dans la place P1, ce qui correspond à la présence dans la file
d’attente d'au moins une ...
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Le RdP suivant permet de décrire un bloc Release dans le cas où un seul type de ressource
(dans l’exemple, Resource 1) ...
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Le RdP suivant permet de décrire le bloc Assign 1.
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Notons que toutes les sorties d’un bloc Match doivent êtr...
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Le RdP suivant décrit le comportement du bloc Batch 1.
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Le RdP qui suit permet de décrire un bloc Separate.
k) Process (issu du template Basic Process) : Un bloc Process perme...
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temps (relatif au temps de traitement) minimum indiqué dans le cadre Delay (le
relâchement de la ressource est supposé ...
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1.b) Lorsque le champ Type = Time Between, le bloc Record permet de recueillir les temps de
passage entre 2 entités suc...
49
2) Le bloc Statistic (issu du template Advanced Process, appartenant au cadre expérimental et
donc non traversé par une...
50
2i) A travers une statistique, notée Statistic 2, on peut disposer de la moyenne, du minimum,
du maximum du nombre de r...
51
2 Constant 1 Une Include
3 Constant 2 Deux Include
4 Constant 3 Trois Include
voir figure ci-dessous.
b) Le bloc Statis...
52
bon fonctionnement à travers une visualisation étape par étape (voir commande Step ►| ) du
cheminement des entités dans...
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  1. 1. SIMULATION SYSTÈMES DE PRODUCTION RÉSEAUX DE PETRI SIMAN - ARENA Jean-Louis Boimond Table des matières I INTRODUCTION À LA SIMULATION ........................................................................................................... 2 I.1 L’ÉTAPE DE MODÉLISATION ............................................................................................................. 4 I.2 LES LIMITES DE LA SIMULATION .................................................................................................... 4 II LA SIMULATION DES SYSTÈMES DE PRODUCTION .............................................................................. 5 II.1 OUTILS DE MODÉLISATION .............................................................................................................. 6 II.2 APPLICATION AUX SYSTÈMES DE PRODUCTION ...................................................................... 7 II.3 UTILISATION DE L’INFORMATIQUE ............................................................................................ 10 III RAPPELS DE PROBABILITÉS ET STATISTIQUES.................................................................................. 11 III.1 VARIABLES ALÉATOIRES CONTINUES ....................................................................................... 12 III.2 LOIS DE DISTRIBUTION STANDARD ........................................................................................... 13 III.3 VARIABLES ALÉATOIRES DISCRÈTES ....................................................................................... 16 IV DONNÉES D'ENTRÉE DU SYSTÈME ........................................................................................................ 18 IV.1 CONNAISSANCE PARTIELLE DES DONNÉES ............................................................................ 18 IV.2 DONNÉES EXISTANTES (accessibles à la mesure).......................................................................... 19 V. VÉRIFICATION ET VALIDATION DES MODÈLES .................................................................................. 21 V.1 VÉRIFICATION..................................................................................................................................... 21 V.2 VALIDATION......................................................................................................................................... 22 VI INTERPRÉTATION DES RÉSULTATS....................................................................................................... 24 VI.1 ANALYSE DES SYSTÈMES FINIS..................................................................................................... 25 VI.2 ANALYSE DES SYSTÈMES QUI NE SE TERMINENT PAS ........................................................ 26 VII NOTIONS ELÉMENTAIRES SUR LES RÉSEAUX DE PETRI ................................................................ 27 VII.1 GÉNÉRALITÉS................................................................................................................................... 27 VII.2 GRAPHES D'ÉVÉNEMENTS............................................................................................................ 29 VII.3 EXEMPLES.......................................................................................................................................... 29 VII.4 AUTRES CLASSES DE RÉSEAUX DE PETRI............................................................................... 30 VIII LE LANGAGE DE SIMULATION SIMAN-ARENA................................................................................ 32 VIII.1 NOTIONS DE BASE.......................................................................................................................... 32 VIII.2 DESCRIPTION DE QUELQUES BLOCS PERMETTANT LA CONSTRUCTION D’UN MODÈLE......................................................................................................................................................... 36 VIII.3 DESCRIPTION DE QUELQUES BLOCS PERMETTANT L’ANALYSE D’UN MODÈLE.... 47 VIII.4 ANIMATION GRAPHIQUE ............................................................................................................ 51 VIII.5 DONNÉES D'ENTRÉES ................................................................................................................... 54 VIII.6 ANALYSE DES RÉSULTATS.......................................................................................................... 55
  2. 2. 1 Bibliographie  Introduction to Simulation Using SIMAN. Second Edition, C. Dennis Pegden, R.E. Shannon, R.P. Sadowski, Ed. Mc Graw-Hill.  Handbook of Simulation: Principles, Methodology, Advances, Applications, and Practice, J. Bank , Wiley Interscience, 1998.  Discrete Event Systems - Modeling and Performance Analysis, Christos G. Cassandras, Aksen Associates Incorporated Publishers, ISBN 0-256-11212-6.  Optimisation des flux de production : Méthodes et simulation, A. Ait Hssain, Ed. Dunod, 2000.  Probabilités et statistiques. 3ème édition, A. Ruegg, Presses Polytechniques Romandes.  Du Grafcet aux réseaux de Petri. R. David, H. Alla, Hermès, 1989.  Cours de « Simulation des systèmes de production », A. Ait Hssain, Ed. 96/97 - INSA Lyon.  Cours de « Simulation », N. Mebarki, 97/98 - IUT OGP Nantes.  Cours de « Simulation informatique des systèmes de production », P. Castagna, A. L'Anton, N. Mebarki, 97/98 - IUT OGP Nantes.  Cours de « Réseaux de files d'attente et simulation », J. P. Chemla, 96/97 - Université de Tours.  Cours de « Simulação de Sistemas Dinâmicos », R. Santos Mendes, 02/03 - UNICAMP - Campinas, Brésil (http://www.dca.fee.unicamp.br/~rafael/).  Dossier de présentation « Arena. La solution simulation », Ouroumoff Diffusion, Lyon.
  3. 3. 2 I INTRODUCTION À LA SIMULATION La simulation est un processus qui consiste à : - Concevoir un modèle du système (réel) étudié, - Mener des expérimentations sur ce modèle (et non pas des calculs), - Interpréter les observations fournies par le déroulement du modèle et formuler des décisions relatives au système. Le but peut être de comprendre le comportement dynamique du système, de comparer des configurations, d’évaluer différentes stratégies de pilotage, d’évaluer et d’optimiser des performances. La simulation est une technique, appliquée dans ce cours aux systèmes de production, permettant d'étudier le comportement d'un système dynamique en construisant un modèle logiciel de celui-ci. Les domaines d'application sont divers. Sont listés ci-dessous quelques classes d’applications et quelques exemples de problèmes typiques rattachés à ces classes :  Systèmes de flux de production - équilibrage de lignes d’assemblage, - conception de systèmes de transfert entre des postes, - dimensionnement des stocks d’un atelier, - comparaison de pilotage, - évaluation de la charge prévisionnelle, - étude de la synchronisation entre les réceptions des pièces et l’assemblage.  Flux logistiques et systèmes de transport - conception et dimensionnement d’entrepôts, - dimensionnement d’une flotte de camions, - étude de procédures de contrôle des flux de véhicules en circulation. Calendrier SCHEDULES CREATE Operateur SEIZE 10 DELAY DISPOSE Date de sortie VARIABLES Date de sortie ASSIGN NR(Machine) NR(Operateur) DSTATS Operateur RELEASE 1 DELAY 1 DELAY Modélisation Analyse des résultats
  4. 4. 3  Production des services - étude de transactions bancaires, - gestion de restaurants, - comparaisons de politiques de maintenance des avions.  Systèmes informatiques et télécommunications - évaluation de protocoles de gestion des transactions de bases de données, - étude de la file d’attente mémoire d’un serveur, - étude des comportements des utilisateurs, - conception et dimensionnement de hubs (« moyeu »).  Autres classes d’applications - domaine militaire (support logistique, coordination des opérations, …), - gestion d’hôpitaux (personnel, lits, service d’urgence, …), - le nucléaire, la météo, les jeux, ...  Méthodologie générale On distingue classiquement quatre phases distinctes : La modélisation (représenter le comportement du système), la programmation, l'expérimentation et l'interprétation des résultats (accompagnée d’actions). (a) Modèle conceptuel : Le modèle n'est qu'une approximation du système, il est conditionné par l'objectif de l'étude. (b) Expérimentation : Il s'agit de construire des théories, ou hypothèses, qui prennent en compte le comportement observé. Le passage du système au modèle conceptuel est une étape essentielle pour la simulation. Dans le cadre de ce cours, on utilise une modélisation conceptuelle par réseaux de Petri (cf. chp. VII). Le passage du modèle conceptuel au modèle/programme de simulation se fait en utilisant le langage Siman-Arena ; ce langage de simulation permet également d’extraire des résultats issus de différentes expérimentations (cf. chp. VIII). Figure 1 : Méthodologie d'une simulation. Résultats Modèle conceptuel (a) Programme de simulation Analyse & Modélisation Interprétation & Action Correction Correction Vérification Programmation Expérimentation(b) Validation Système (réel)
  5. 5. 4 I.1 L’ÉTAPE DE MODÉLISATION L’étape de modélisation est une phase essentielle à la simulation. Différents points doivent être abordés :  Définir l'objectif de la modélisation (lié au cahier des charges) : Pourquoi modélise-t-on ? Qu'étudie-t-on ? Que veut-on améliorer, ou faire ?  Définir les éléments du système (via la réalisation d'une fonction, ou d'un processus) et les limites du système (les entrées, les sorties).  Définir les interactions entre ces éléments (hiérarchie).  Définir la dynamique du système (entités qui circulent entre les éléments, comportement du système au cours du temps).  Abstraction (choisir les éléments du système pertinents pour l'étude).  Formalisation, conceptualisation : Modèle mathématique (algèbre (max, +), chaînes de Markov), modèle logiciel (Simulink, Siman-Arena), modèle graphique (réseaux de Petri, bond graphs). I.2 LES LIMITES DE LA SIMULATION Certaines limites sont dues à la technique elle-même, d'autres sont dues aux produits actuellement disponibles sur le marché (notons qu’une formation sur les logiciels utilisés est souvent nécessaire) :  La programmation demande un certain niveau d'expertise. La qualité des résultats fournis lors de l'analyse des solutions est liée à la qualité de la modélisation et au savoir-faire du « modélisateur » (la modélisation est un métier).  La simulation n'est pas une technique d'optimisation au sens propre. Elle ne peut qu'établir les performances d'une solution conçue et imaginée par l'utilisateur. C'est une technique entièrement itérative qui ne propose pas de solution finale mais qui permet seulement à l'utilisateur d'envisager des choix possibles. En tout état de cause, c'est lui qui devra décider de ce qui répond le mieux aux problèmes posés.  La difficulté liée à la simulation est double :  Les résultats de simulation sont souvent complexes à interpréter. On étudie des phénomènes aléatoires et les techniques d'analyse demandent de la rigueur ; il est souvent difficile de faire la part du crucial et de l'anecdotique (le modèle doit être ni trop grossier, ni trop précis).  Souvent pour des raisons financières, on doit aller au plus vite vers une solution finale (sans passer trop de temps à explorer d’autres solutions intermédiaires).
  6. 6. 5 II LA SIMULATION DES SYSTÈMES DE PRODUCTION Les systèmes automatisés de production - à l'initiative de l'Homme - sont caractérisés par une forte complexité et flexibilité. Selon un certain point de vue, ils peuvent être spécifiés par des modèles à événements discrets (un modèle est à événements discrets lorsque l’espace d'état est à événements discrets, i.e., les transitions entre états sont associées à l'occurrence d'événements discrets asynchrones). Les systèmes de trafic (aérien, ferroviaire, …), les systèmes de communication, les systèmes informatiques sont d'autres exemples de systèmes dynamiques dont l'activité est due à des événements discrets, dont certains sont provoqués (départ d’un train, appui sur une touche d'un clavier) et d'autres pas (panne d'un équipement). Un système de production est constitué d'un système opérant (physique), d'un système de conduite (partie commande) et d'un système d'informations reliant ces deux derniers. Il est traversé par un flux d'informations (présence d'une pièce, état d'une machine) et un flux physique (matière première, pièces). Le système à étudier peut être existant, à modifier ou non encore construit. Le modèle décrit le fonctionnement du système (sa structure et son comportement dynamique) avec le degré de détail nécessaire à la résolution du problème posé. C'est une représentation de la circulation des flux de produits : - Le flux est ralenti par des activités qui mobilisent des ressources (après avoir attendu leur disponibilité) pendant un certain temps (durées opératoires, temps de transfert, ...), - Le flux est contraint par des règles opératoires (gammes, contraintes technologiques), - Le flux est dirigé par les règles de conduite (système de contrôle). L'historique et les statistiques portent sur les déplacements (temps de séjour des pièces, temps de transports des pièces d'un lieu à un autre, ...), les taux d'engagements des ressources, les longueurs des files d'attente, ... L'évaluation de performances1 , en terme de circulation de produits, exploite ces données pour : - Déterminer des performances absolues (temps de cycle maximum, système sans panne), - Prédire des performances dans certaines conditions, - Faire une analyse de sensibilité (parmi des choix semblables), - Comparer des alternatives (parmi des choix possibles). 1 L’évaluation de performances se base souvent sur le taux de production (nombre moyen de pièces par unité de temps), le WIP (Work In Process, nombre total de pièces dans le système à chaque instant), le makespan (intervalle de temps entre le début et la fin de la production des pièces). Historique, statistiques Evaluation de performances Système de production Modèle Programme
  7. 7. 6 La simulation permet de répondre à la question « que se passe-t-il si ... ? » pour l'étude de systèmes de production complexes (structure, comportement dynamique, taille, choix multiples). II.1 OUTILS DE MODÉLISATION Les systèmes de production font partie des systèmes (dynamiques) à événements discrets2 . Parmi les modèles utilisés pour l'étude de ces systèmes, il y a : - Les réseaux de files d'attente  évaluation analytique de performances, - Les réseaux de Petri  analyse des propriétés, évaluation de performances, simulation, - Les modèles (et programmes) de simulation. De façon générale, un modèle est composé : - De variables, - D'objets (centres de services, clients, ressources) caractérisés par des attributs : Fixes (i.e., dont la valeur ne change pas au cours du temps, exemple : Type de pièce), ou variables (i.e., dont la valeur change au cours du temps, exemple : Occupation d’une machine), - Des relations entre ces objets (services effectués au cours du temps). Exemple : Attributs fixes : Pièces A, Pièces B Attributs variables : Temps de traitement de la machine M1 (t1A, t1B) L'état du système à un instant donné est caractérisé par l'ensemble des valeurs des variables et des attributs de tous les objets. Le modèle reproduit l'évolution au cours du temps de l'état3 du système sous l'effet des activités qui y sont réalisées. 2 Les changements d’état de tels systèmes s’opèrent instantanément, à des moments discrets dans le temps. Par exemple, si une variable représente le nombre de pièces dans un stock alors ses valeurs varient seulement aux instants où des pièces entrent, ou sortent, du stock. 3 Dans le cas d’une évolution continue de l’état, le modèle est continu, la description se fait, par exemple, via des équations différentielles, ou des variables d’état. Dans le cas où les changements d’état s’effectuent, instantanément, à des instants discrets dans le temps, le modèle est à événements discrets, la description se fait, par exemple, à l’aide d’un réseau de Petri. Certains problèmes nécessitent des modèles dits hybrides, où apparaissent conjointement des comportements continus et des comportements dus à des événements discrets. Pièces A Pièces B M1 M2 M3t1A t1B
  8. 8. 7 Evolution d'une simulation événementielle : Le modèle du système passe au cours du temps d'un état à un autre suite au déclenchement d'un événement. A chaque événement est associée une fonction à exécuter laquelle peut modifier l'état du système à travers le déclenchement d'un, ou de plusieurs événements. II.2 APPLICATION AUX SYSTÈMES DE PRODUCTION 1. Pourquoi ?  Complexité croissante, interactions très fortes entre les différents éléments d'un système de production : Nécessité d'une approche globale.  Prise en compte de tous les aspects (données techniques, géométrie du réseau de transport, capacité des files d'attente, contraintes sociales, travail en équipe, heures supplémentaires). 2. Indicateurs de performances et prise de décision A partir de l'historique de circulation des flux de produits, on obtient des valeurs des indicateurs de performances liés au volume de production, à l'engagement des ressources et éventuellement à la satisfaction du client. - Volume de production : - Nombre et type de pièces produites, - Nombre et type de pièces défectueuses, ... - Engagement des ressources : - Taux d'utilisations : Machines, outils, personnel, stock, ..., - Temps passé par un élément dans un état : Ressources, machines (en fonctionnement, inoccupées, en panne), cycle de pièce, ... Ces indicateurs de performances sont ensuite agrégés pour des prises de décisions relatives à l'aide à la conception, à la conduite, ... Événement X Événement C Événement B Événement A Événements datables Échéancier Moteur Exécution de l’événement dont la date d’occurrence est la plus proche
  9. 9. 8 3. A quel niveau ? a) La simulation : une aide à la conduite Le système présente un problème (il ne répond plus aux besoins des utilisateurs). Bien mettre en évidence les dysfonctionnements par rapport aux besoins et proposer des solutions permettant de pallier à ces dysfonctionnements au moindre coût.  Définir les performances à mesurer.  Déterminer les ressources goulets (machines, stocks, moyens de manutention, personnel, ...) qui agissent le plus sur les performances, et pour un scénario de production donné. On peut chercher à améliorer le système, soit en agissant sur la capacité des ressources, soit sur la manière dont on utilise ces ressources (règles de gestion). Les données à utiliser (recueil non exhaustif) : - Produits (type, gamme), - Moyens de production (capacité des machines, coût, taux rebut, disponibilité), - Systèmes de transfert (nature, caractéristiques), - Caractéristiques des automates (règles de commande), - Stocks (nature, capacité, gestion), - Opérateurs (qualification, nombre, horaires), - Stratégie(s) de gestion de production, - Règles de fonctionnement (mode nominal ou dégradé). Système de commande Système physique Réalité Modèle de commande Modèle du système physique SimulationParamétrage automatique Proposition de décisions RésultatsDécisions
  10. 10. 9 b) La simulation : une aide à la traçabilité (implicite/explicite) L'objectif est de concevoir, développer un système de traçabilité. Bien mettre en évidence les entités à identifier, recenser le contenu de l'historique des produits et du (des) processus, définir les informations éventuellement utilisées dans le système de commande. Le système de traçabilité devant être adapté à sa structure, conforme à l'attente de l'environnement et en accord avec les standards et les règlements. On peut chercher à synthétiser un système de traçabilité qui soit fiable (le reflet de la réalité) et robuste (l'outil de simulation permettant la prise en compte de différents scenarii possibles, ceci sans risque pour le système (réel)). Les données à utiliser (recueil non exhaustif) concernent l'ensemble de l'état (dynamique) du système piloté dans le but « de retrouver l'historique, l'utilisation ou la localisation d'un article ou d'une activité, au moyen d'une identification enregistrée (1994, ISO 8402) » : - Produits, articles, lots (entités), - Moyens de production (capacité des machines), - Stocks, systèmes de transfert (état), - Opérateurs (qualification, nombre, horaires), - Système d'identification, - Structure de traitement des données recueillies. Réalité Simulation Système de commande Système de traçabilité Modèle de commande Historique (produits, processus) Proposition de décisions RésultatsDécisions Système physique Modèle du système physique Identification Identification Historique (produits, processus) Modèle de traçabilité Identification Identification
  11. 11. 10 c) La simulation pour définir un futur système Aide à la décision d'investissement : Choix technologiques et organisationnels : Equipements, stratégies de gestion de production (gestion des stocks, taille des lots, seuils de réapprovisionnement, nombre de Kanban), organisation du travail (cellules, lignes, mixte), choix de gamme. Evaluation des différents scénarii en fonction des critères les plus pertinents. Exemples d'applications :  Dimensionnement d'ateliers : Nombre et type des équipements (en fonction du coût), capacité des stocks, nature du système de transport  Choix de production (étude de rentabilité) II.3 UTILISATION DE L’INFORMATIQUE On a trois alternatives : 1. Ecrire le programme correspondant au problème et au système donnés. Les moyens informatiques sont les langages de programmation généraux (C, Fortran, Pascal, ...). La mise en œuvre peut être longue, par contre on dispose d’une grande flexibilité. 2. Utiliser un logiciel, appelé simulateur, dédié à un type de systèmes et un type de problème. Le modèle est donné et il suffit de le paramétrer pour l'adapter au cas étudié. Cette alternative présente l’avantage de ne pas programmer (seules des données sont à entrer), par contre il n’est pas toujours simple de trouver le logiciel dédié adapté au système et au problème concernés. 3. Le développement d'un modèle de simulation est réalisé au travers d'un programme écrit par l'utilisateur à partir de primitives de modélisation offertes par le langage (les langages de simulation). Ce type de logiciel offre une grande flexibilité mais avec des coûts de développement parfois importants. Certains langages, comme SIMAN, proposent des primitives de modélisation particulièrement adaptées aux systèmes de production (primitives de modélisation des ressources et fonction de transport). SIMAN est un des principaux logiciels standards en France (version éducative à prix étudié). Système de commande Système physique Conception du système Implémentation Modèle de commande Modèle du système physique Simulation Réalité
  12. 12. 11 III RAPPELS DE PROBABILITÉS ET STATISTIQUES Sachant qu'il est impossible – quelle que soit la puissance des ordinateurs - de simuler toutes les déviations possibles d'un système, l'outil statistique est une alternative pour prendre en compte, étudier et maîtriser les conséquences des variations aléatoires des systèmes. La théorie des probabilités, branche des mathématiques, permet de modéliser et d'étudier des phénomènes aléatoires. On parle alors d'événements aléatoires, de lois de probabilité, de variables aléatoires, ... Dans un système de production, de nombreux phénomènes ont un caractère aléatoire, par exemple : - La durée opératoire d'une opération manuelle, - La durée de vie d'un outil, - L'absentéisme des opérateurs, - La période d'arrivée des ordres de fabrication déclenchant une production. La statistique repose sur l'observation de phénomènes concrets. Le but est de recueillir des données d'observation, de les traiter et de les interpréter. On parle alors de population d'individus, de variables caractéristiques, d'échantillons, de moyennes, ... Les modèles probabilistes permettent de représenter approximativement les données observées (imprécision, erreurs, répartition dans la population) comme des variables aléatoires suivant une certaine loi de probabilité → modèles simplificateurs. L'échantillon étant tiré au hasard, les caractéristiques des données à traiter sont des variables aléatoires → application de théorèmes de probabilités (par exemple, le théorème centrale limite4 ). La statistique exploratoire ou descriptive (analyse de données) permet de structurer, de résumer l'information contenue dans les données. → Méthodes de classification des individus en groupes homogènes ; → Méthodes factorielles (analyse en composantes principales, analyse des correspondances) résumant les variables par des composantes synthétiques. La prévision statistique permet de trouver une relation entre une variable et plusieurs variables → régression linéaire. La statistique inférentielle5 permet notamment : - L'estimation de moyennes, - Le test (ou la vérification) d'hypothèses. La simulation utilise les résultats des probabilités-statistiques essentiellement pour : - Approcher des données empiriques par des distributions de probabilités 4 La moyenne d'un échantillon de taille n extrait d'une population quelconque de moyenne μ et d'écart type σ est distribuée selon une loi pratiquement normale de moyenne μ et d'écart type n  quand la taille de l'échantillon est suffisamment grande. Pour une population de départ de distribution normale, le théorème centrale limite est valable pour tout n. Pour les distributions rencontrées dans la pratique courante, plus la taille de l'échantillon est grande, plus la loi se rapproche de la loi normale. On peut considérer qu'à partir de n égale à 30, la moyenne d'un échantillon est distribuée de façon sensiblement normale. 5 Inférence : Opération intellectuelle par laquelle on passe d'une vérité (une proposition) à une autre vérité (proposition), jugée telle en raison de son lien avec la première : La déduction est une inférence.
  13. 13. 12 → des fonctions intégrées dans le modèle de simulation (lois de distributions), - Interpréter statistiquement les données générées par le modèle → moyennes, intervalles de confiance, ... Définition de la probabilité On considère l'ensemble E des éventualités possibles résultant d'une épreuve (expérience, observation ou simulation), chacune de ces éventualités étant appelée événement élémentaire. Un événement quelconque est défini comme un sous-ensemble A de E contenant tous les événements élémentaires de E composant l'événement A. La probabilité attachée à un événement A est un nombre P(A) compris entre 0 et 1, obéissant à certaines règles axiomatiques, en particulier : - L'événement de l'ensemble vide a une probabilité nulle. - L'événement E a une probabilité égale à 1. - EA  , on a 1)(0  AP . - EBA  , , on a )()()( BPAPBAP  si  BA . Le problème de l'attribution de probabilités à un ensemble d'événements peut être résolu dans un certain nombre de cas de la façon suivante : - Si les événements élémentaires sont en nombre fini, on peut procéder à une série de répétitions de l'épreuve : La fréquence d'apparition de chaque événement permet de disposer d'une estimation de sa probabilité. - Si les événements sont en nombre infini, on peut définir sur cet ensemble une densité de répartition de probabilité. III.1 VARIABLES ALÉATOIRES CONTINUES Une variable aléatoire continue X est une fonction à valeurs réelles définie sur un ensemble  (ensemble des événements possibles, par exemple :  = {pile, face} dans le cas du lancer d'une pièce de monnaie) telle que l'ensemble des valeurs prises par X, noté X(), est un intervalle fini ou infini. Exemple de la loi uniforme continue : Soit X une variable aléatoire susceptible de prendre toutes les valeurs d'un intervalle fini  ba, , sans privilégier aucune région de  ba, (on parle d'événements équiprobables). Aussi, la probabilité que X prenne une valeur appartenant à l'intervalle  vu, (  ba, ) est proportionnelle à la longueur de  vu, , d'où ,)( ab uv vXuP    soit  v u dxxfvXuP )()( où )(xf =     nonsi bxasiab 0 )(/1 . f(x) 0 a u v b x aire =
  14. 14. 13 La fonction )(xf , appelée densité de probabilité, définit le comportement aléatoire (stochastique) de la variable aléatoire X et permet ainsi de caractériser sa loi de probabilité (distribution). La loi uniforme (distribution of maximum ignorance) est utilisée lorsque l'on a aucune information exceptée la connaissance du domaine  ba, . Remarque : Pour une variable aléatoire continue, considérer un événement du type « X = x » n'a pas de sens. En effet, on a : 0)(  xXxP . )(xf est une densité de probabilité           )1',...(1)( 0)( certainévénementldeéprobabilitdacdxxf Rxxf . On définit la moyenne M, aussi appelée espérance mathématique E(X), par :     dxxfxM )( . On définit la variance  2 ( 02  ), aussi notée Var(X), par : 222 )( Mdxxfx           , encore égale à     dxxfMx )()( 2 . Rappel (Moyenne, variance) : La moyenne constitue un paramètre de position, qui renseigne sur l'ordre de grandeur des valeurs prises par la variable aléatoire X. La variance est une mesure de la dispersion de ces valeurs autour de leur moyenne. Plus la variance est faible ( 0 ), plus les valeurs prises par X sont concentrées autour de la moyenne. Exemple : Dans le cas de la loi uniforme précédente, on a :      b a ba dx ab x M 2 et 12 )( 2 222 2 abba dx ab xb a             . On définit l'écart type (standard deviation) par  = 2  . La plus grande partie des phénomènes aléatoires rencontrés dans la pratique peut être étudiée via un nombre restreint de lois de distribution. Nous allons à présent voir les principales lois de distributions. III.2 LOIS DE DISTRIBUTION STANDARD a) LOI TRIANGULAIRE a m b x f(x) aire = 1
  15. 15. 14                   nonsixf bxmsi abmb xb xf mxasi abam ax xf 0)( ))(( )(2 )( ))(( )(2 )(   18 ; 3 ;, 222 2 mbabambmabma MbaD      . Application : On utilise cette loi lorsqu'on dispose d'une estimation du minimum, du maximum et de la valeur la plus probable. Exercice : Soient 3,2,0  bma , calculer )5,21(  XP ). Réponse : 0,75. b) LOI EXPONENTIELLE        nonsixf xsiexf x 0)( )0(0 1 )( /      22 ;;,0   MD . Application : Cette loi est souvent utilisée en pratique. Par exemple, dans le cas de temps séparant les arrivées de 2 « clients » successifs dans l'étude d'un phénomène d'attente, ou dans le cas d'une durée de bon fonctionnement d'un équipement technique. La loi exponentielle est la seule loi continue à permettre la prise en compte de phénomènes sans mémoire. En effet, la probabilité que X soit supérieure, ou égale, à 0xx  , sachant que X est supérieure, ou égale, à 0x , dépend de la valeur de x, et est indépendante de la valeur de 0x (on a : )()( 00 xXPxXxxXP  ). Autrement dit, une loi exponentielle modélise la durée de vie d’un phénomène sans mémoire, ou sans vieillissement, ou sans usure : la probabilité que le phénomène dure au moins s + t unités de temps sachant qu’il a déjà duré t unités de temps sera la même que la probabilité de durer s unités de temps à partir de sa mise en fonction initiale. Par exemple, il est souvent admis que la durée de vie T d'un dispositif électronique obéit à une loi exponentielle. Aussi la probabilité de bon fonctionnement dans un intervalle de temps  tuu , , c'est-à-dire )( uTutTP  , dépend uniquement de la longueur de cet intervalle, et non de sa position par rapport à l'axe des temps (on a : )()( tTPuTutTP  ). f(x) 0 x 1 𝛽
  16. 16. 15 Démonstration : Soient l'événement A correspondant au fait que 0xX  et l'événement B correspondant au fait que xxX  0 . On a    0 )()( 0 x dxxfxXP et     xx dxxfxxXP 0 )()( 0 . Aussi )( ABP équivaut à )( 00 xXxxXP  . Sachant que : )()()()()( BAPBPABPAPBAP  (probabilité conditionnelle), on a )( )()( )( AP BAPBP ABP   . Sachant que )( BAP équivaut à 1)( 00  xxXxXP , on a )( )( )( AP BP ABP  . Ainsi          x x xx x u xx u x u xx u e e e e e due due xXP xxXP AP BP ABP                                        0 0 0 0 0 0 )( 0 0 1 1 )( )( )( )( )( qui est fonction de x uniquement (indépendant de 0x ). c) LOI NORMALE   ,D ; moyenne = M ; variance =  2 . Application : Cette loi s'applique dans le cas de processus dont la distribution est symétrique et pour lesquels la moyenne et l'écart type sont estimés. Exemple : Variations de la longueur de pièces fabriquées en séries. Cette loi permet de modéliser une donnée qui est la somme d'un grand nombre de données aléatoires (théorème central limite). Rappel : A la place de la densité de probabilité f (x), on peut utiliser la fonction de répartition F(x) pour caractériser la distribution d'une variable aléatoire X. On a :    x duufxXPxF )()()( pour  x . f(x) = points d'inflexion 1 𝜎 2𝜋 f (x) 0 xM- M M+ M x f (x) 68% des valeurs 2 petit 2 grand
  17. 17. 16 F(x) est une fonction continue, monotone croissante, telle que 0)( F et 1)( F , )()(' xfxF  . Elle permet de calculer des probabilités de la forme )( bXaP  ) sans effectuer une intégration (ce qui est le cas en utilisant )(xf ) ; en effet )()()( aFbFbXaP  . III.3 VARIABLES ALÉATOIRES DISCRÈTES Une variable aléatoire est discrète si elle ne peut prendre qu'un nombre fini de valeurs. Pour chaque valeur ix , on associe la probabilité )( ixp d'apparition de cette valeur. Pour N valeurs, l'ensemble des probabilités associées est tel que : 1)( 1  N i ixp si N couvre l'ensemble des valeurs. Exemple : On définit un système capable de produire quatre types de produits notés 1, 2, 3, 4. Lors de l'arrivée des ordres de fabrication, on sait que la probabilité d'avoir un produit 1 est égale à 1/6, celle d'avoir un produit 2 est égale à 1/3, celle d'avoir un produit 3 est égale à 1/3 et celle d'avoir un produit 4 est égale à 1/6. La loi est représentée soit par le diagramme en bâtons suivant indiquant )( ixp en fonction de ix : soit par un histogramme6 : 6 Ensemble de rectangles de même largeur dont les surfaces sont proportionnelles aux probabilités p(xi). p(xi) 1/3 1/6 xi 0 1 2 3 4 1/3 1/6 1 2 3 40 p(xi) xi
  18. 18. 17 Définitions La moyenne (arithmétique) M est égale à   N i ii xpx 1 )( . Exercice : Calculer la moyenne considérée dans l'exemple précédent. La variance 2 est égale à    N i ii Mxpx 1 22 ))(( . On définit la probabilité cumulée (notion utilisée dans le logiciel SIMAN-ARENA) par    i l lic xpxp 1 )()( . Dans l'exemple précédent, on a : 1)(, 6 5 )(, 2 1 )(, 6 1 )( 4321  xpxpxpxp cccc . Application : Les variables aléatoires discrètes s'appliquent dans le cas d'injection directe de données empiriques dans le modèle. Exemples : Types de pièces, taille des lots.
  19. 19. 18 IV DONNÉES D'ENTRÉE DU SYSTÈME La qualité des données est aussi importante que la qualité du modèle (garbage in - garbage out) ; ceci concerne, par exemple dans le cas d'un système de production, les temps opératoires, les temps de bon fonctionnement, les taux de rebut, ... Deux problèmes se posent principalement : P1) Collecte des données → lesquelles ? disponibles ? pertinentes ? comment les collecter ? P2) Systèmes stochastiques → lecture directe des données empiriques ou tirage à partir d'une distribution théorique associée ? Les sources possibles de données sont de nature différente : - Enregistrement du passé → bases de données à interroger (problèmes de mise à jour). - Observation du système → ressources humaines (erreurs). - Systèmes similaires → attention aux inférences. - Estimation des opérateurs (humains) → négligence des extrêmes et oubli du passé. - Affirmation des fournisseurs de matériel (souvent optimistes). - Estimation des concepteurs (à vérifier). - Considérations théoriques (par exemple le fait que les arrivées de 2 « clients » successifs dans une file d'attente suivent une loi exponentielle, que les variations de longueur de pièces en série suivent une loi normale, ...). Deux cas sont à considérer, soit on a une connaissance partielle des données du système (moyenne, minimum, maximum, ...), soit on dispose des données du système. IV.1 CONNAISSANCE PARTIELLE DES DONNÉES C'est le cas des systèmes qui n'existent pas encore, ou pour lesquels il est impossible de disposer des données désirées (temps, ressources). On doit se baser sur l'estimation des opérateurs, des concepteurs, des fournisseurs de matériel, ... Trois cas se présentent souvent : On dispose seulement de la moyenne, on dispose seulement du minimum et du maximum, ou on dispose seulement du minimum, de la valeur la plus probable ( de la moyenne, voir la loi triangulaire) et du maximum. 1. Seule la moyenne M est disponible On peut alors utiliser (si cela est justifié) : - Directement M comme valeur constante de la variable si la dispersion (écart type) est petite,
  20. 20. 19 - Une distribution exponentielle (grande dispersion : forte variabilité) de paramètre M si la nature du phénomène le justifie. 2. Min et Max sont disponibles On peut alors utiliser (si cela est justifié) : - Une distribution uniforme de paramètres Min et Max, c'est la distribution de l'ignorance (il n'y a pas de raison de penser que les probabilités ne sont pas équiprobables), - Si les données sont centrées autour de la moyenne M = (Min + Max)/2, on peut appliquer une distribution normale centrée autour de M ; à partir de l'étendue des données (Etendue = Max-Min), on peut calculer l'écart type : Si les données sont nombreuses,  = Etendue/6, sinon  = Etendue/4. 3. Min, Max et la valeur la plus probable m sont disponibles On peut alors utiliser (si cela est justifié) une distribution triangulaire de paramètres Min, m et Max. IV.2 DONNÉES EXISTANTES (accessibles à la mesure) Le problème P2 n'ayant pas de réponse claire, les logiciels de simulation proposent souvent les deux possibilités. Il est souvent intéressant, pour des raisons théoriques et pratiques, de pouvoir décrire une loi de probabilité par une distribution théorique. Ceci revient à exprimer sous forme analytique les probabilités )( kxp en fonction de l'indice k. On peut alors appliquer au calcul des probabilités des méthodes bien connues d'analyse mathématique, évitant ainsi des calculs numériques fastidieux. - Si les données empiriques sont directement utilisées, elles sont entrées sous forme de distributions empiriques cumulatives (histogramme des fréquences : regroupement des observations en classes, nombres de classes = O( nsobservatiodnbre ' )). - Si on veut faire des tirages à partir des distributions théoriques, il faut : a) Choisir une distribution en fonction de sa forme (et celle de l'histogramme des données), b) Estimer ses paramètres, c) Tester l'hypothèse (la distribution correspond-elle bien aux données ?). L'étape a) est effectuée, connaissant les caractéristiques des distributions courantes et en comparant visuellement la distribution théorique et la distribution empirique (histogramme des fréquences). L'étape b) implique l'utilisation des estimateurs classiques. L'étape c) peut s'effectuer visuellement, ou en utilisant des tests statistiques d'hypothèses (Khi- deux, Kolmogorov-Smirnov). Exemple : On s'intéresse au temps de traitement d'une machine. On dispose d'un ensemble de 500 valeurs représentant l'intervalle de temps (obtenu à l'aide d'un chronomètre) entre chaque apparition d'une pièce en sortie de la machine. L'entrée de la machine est toujours approvisionnée. On considère 21 classes pour construire l'histogramme des fréquences.
  21. 21. 20 REAL data Data pts =500 intervals = 21 Range : -1 to 12 Mean = 5,02 StdDev = 1,88 Min = -0,4531 Max = 11,3 NORMAL DISTRIBUTION : NORM.(5,02 ; 1,88) Sq Error = 0,0008231 (*) Hypothèse : Valeurs Min et Max finies. Une valeur )211(  nnClassex  2121 )1( MinMax nMinx MinMax nMin     . Si la valeur Min (respectivement Max) = -  (respectivement + ), on considère une classe [- , valeur réelle] (respectivement [valeur réelle, + ]). Nbre de valeurs appartenant à la classe n° 1, n°2, ... (*) Min Cl. 1 …. Cl. n Max
  22. 22. 21 V. VÉRIFICATION ET VALIDATION DES MODÈLES Les programmes de simulation se caractérisent par une évolution constante (tests de scénarii, que se passe-t-il si ?, ...). La difficulté majeure est de savoir :  Comment avoir confiance dans le modèle ?  Comment le transmettre à l'utilisateur ? Avant de tirer des inférences des résultats statistiques d'un modèle/programme de simulation, il faut s'assurer qu'il est correct au sens où il représente bien le système. Ceci passe habituellement par deux étapes : la vérification et la validation. V.1 VÉRIFICATION La vérification consiste à s'assurer que le modèle fonctionne comme le concepteur le désire (pas d'erreur de logique), ce qui nécessite de pouvoir isoler les erreurs (étape la plus difficile) afin de les corriger. La vérification est rendue plus facile si on commence par un modèle simple qu'on améliore (enrichi) progressivement. Les techniques (ou comportement à avoir) suivantes permettent l'isolation des erreurs : 1. Considérer toujours que le modèle contient des erreurs et les chercher (approche destructive, plutôt que constructive). 2. Impliquer des personnes non concernées par la conception et l'implémentation. 3. Réviser le modèle et les données avec l'aide d'au moins un client et un connaisseur du langage (en plus du développeur). 4. Effectuer des tests : - Remplacer des temps aléatoires par des constantes, - Tester seulement une partie du modèle, - Tester le modèle dans des conditions limites. Pour cela : - Augmenter le taux d'arrivée et/ou diminuer le taux de service pour créer des congestions, ou des phénomènes de « famines » de machines, - Réduire la taille des stocks pour créer des blocages, - Modifier la distribution des types de pièces (job mix) pour augmenter l'arrivée des pièces de types moins fréquents, - Augmenter le taux d'occurrence des événements moins fréquents (par exemple une panne). 5. Générer et analyser la trace du modèle (cf. dans SIMAN au bloc TRACE de la bibliothèque ELEMENTS) pour vérifier le cheminement des pièces, les changements d'état à l'issue d'une attente (au niveau d'une file, par une activité, ...). 6. Utiliser l'animation (technique puissante). 7. Corriger les erreurs en identifiant les vraies causes et ne pas traiter seulement les symptômes (le raisonnement logique reste la meilleure approche). 8. Eviter des erreurs classiques, notamment vis-à-vis : - De la saisie des données d'entrée,
  23. 23. 22 - De la phase d'initialisation (unités de mesures), - Du contrôle du flux, - De l'existence de blocages, - Des erreurs arithmétiques (parenthèses, conversion de types, ...), - Des erreurs d'enregistrement (temps d'arrivée des pièces, compteurs, ...), - D'une mauvaise utilisation des primitives ou fonctions du langage. V.2 VALIDATION Trois questions doivent être posées :  Le modèle représente-t-il correctement le système réel (validité conceptuelle) ?  Les données sur le comportement générées par le modèle sont-elles caractéristiques de celles du système réel (validité opérationnelle) ?  L'utilisateur a-t-il confiance dans les résultats du modèle (confiance) ? Trois points de vue sont à prendre en compte : - Celui du développeur, - Celui d'une personne évaluant le modèle (superviseur, client), - Celui de l'utilisateur final (décideur). Trois types de tests : 1. Le comportement est-il raisonnable ? - Continuité : Petits changements dans les paramètres d'entrée  petits changements dans les variables de sortie et les variables d'état. - Consistance : Exécutions presque identiques  résultats presque identiques (exemple : Générateur aléatoire changé). - Dégénérescence : Suppression d'une composante (d'un « mode ») du modèle  effets sur les résultats (exemple : Une machine supprimée). - Conditions absurdes : Paramètres d'entrées absurdes  résultats absurdes (exemple : Porter le budget de la publicité à l'infini ne doit pas entraîner des ventes infinies). 2. Test des données et de la structure du modèle Les théories et les hypothèses doivent être correctes et la représentation du modèle doit être en adéquation par rapport à l'utilisation désirée.  Validité de « façade » : Le comportement semble correct pour des personnes familières avec le système réel (logique, entrées-sorties).  Vérification de la structure et des limites : Correspondance entre le modèle conceptuel et le système de référence. 3. Test du comportement du modèle
  24. 24. 23 Il consiste à étudier le comportement du modèle en relation avec le système de référence.  Comparaison de comportements : Tests statistiques pour comparer les résultats (Khi-deux, Kolmogorov-Smirnov, ...).  Générer des symptômes : - Le modèle génère des difficultés déjà connues dans le système ? - Le modèle produit des résultats connus pour des entrées données ?  Anomalie de comportement : Une anomalie dans le modèle peut amener à découvrir l'anomalie équivalente dans le système réel ?  Prédiction de comportement : Prédiction du modèle contre des tests sur le terrain.
  25. 25. 24 VI INTERPRÉTATION DES RÉSULTATS Selon le logiciel utilisé, l'exécution d'un programme de simulation peut générer : - Un rapport de simulation comprenant les moyennes, les écarts types, les minimums et maximums des variables observées, ... - Un historique de l'évolution de ces variables au cours de la simulation. La qualité de la moyenne (arithmétique) comme estimateur de la vraie moyenne dépend, entre autres, du nombre des observations. De même, l'écart type est biaisé pour un petit nombre d'observations. On peut utiliser son rapport à la moyenne pour mesurer la dispersion des valeurs (en plus du minimum et du maximum). Un tel rapport de simulation ne suffit pas pour tirer des conclusions crédibles sur les performances du système. Il suffit de changer le générateur de nombres aléatoires pour que le même modèle génère des résultats différents. L'animation graphique n'est pas suffisante non plus. En fait, on a souvent tendance à se contenter du rapport de simulation et/ou de l'animation, surtout quand le projet est en retard. Les résultats générés par un modèle jouent le rôle de mesures sur un échantillon. Il faut donc les exploiter pour effectuer des procédures statistiques. A chaque variable (inconnue), il faut associer un intervalle de confiance. Rappel (Intervalle de confiance) : L'intervalle de confiance [c1, c2] du paramètre inconnu  est défini à l'aide de 2 grandeurs statistiques 21, CC de telle sorte qu'il recouvre, avec une probabilité donnée 1 , la (vraie) valeur inconnue de  , soit :   1)( 21 CCp . La probabilité 1 , associée à cette estimation par intervalle, est appelée niveau de confiance ou seuil de confiance. Les valeurs les plus souvent utilisées pour 1 sont : 0,90 ; 0,95 ; 0,99 et 0,999. Chaque réalisation des deux statistiques 21, CC donne lieu à un intervalle de confiance numérique [c1, c2]. La notion de niveau de confiance est alors à interpréter dans le sens suivant. Si l'on effectue un grand nombre de réalisations des deux statistiques ( 21, CC ), alors la valeur inconnue du paramètre  sera recouverte par environ %)1(100  des intervalles [c1, c2 ] ainsi obtenus. La longueur d'un intervalle de confiance diminue :  En augmentant la taille n de l'échantillon,  En diminuant la dispersion de la variable aléatoire  étudiée,  En choisissant un seuil de confiance moins élevé. Il existe deux types de systèmes : Les systèmes finis – c'est-à-dire, ayant un événement de fin qui détermine la fin de la simulation - et les systèmes qui ne se terminent pas - c'est-à-dire, n'ayant pas d'événement de fin de simulation. Par exemple, un commerce qui ouvre et qui ferme à intervalles réguliers est un système fini ; par contre, un hôpital où il y a toujours au moins un patient est un système qui n'est pas fini.
  26. 26. 25 VI.1 ANALYSE DES SYSTÈMES FINIS Ils sont plus faciles à analyser que les systèmes qui ne se terminent pas. On ne peut contrôler que le nombre des répétitions des expériences. A chaque répétition, on peut utiliser un autre générateur des nombres aléatoires. Deux sources de données d'observation : a) Observations individuelles dans chaque répétition/expérience (par exemple, le temps de traitement de chaque pièce), b) Moyennes, écarts-types, maximums, minimums des observations dans chaque répétition (par exemple, le temps de traitement moyen des pièces). Si l’on change le générateur des nombres aléatoires d'une répétition à l'autre, on peut considérer que les observations de type b) d'un ensemble de répétitions sont telles que : - Elles sont indépendantes, - Les moyennes sont normalement distribuées. Cette dernière propriété est due au fait qu'elles sont sommes, ou moyennes, d'observations individuelles (théorème central limite). Les procédures classiques de statistiques peuvent alors s'appliquer pour les moyennes. Pour les minimums et maximums, certaines procédures de statistiques s'appliquent encore. A partir des observations de type b), on peut calculer en particulier : - Des intervalles de confiance autour de la moyenne, du maximum et du minimum, - Des intervalles de confiance autour de la différence entre les moyennes, les maximums et les minimums de deux systèmes différents. Cette comparaison de deux systèmes est utile pour évaluer par exemple la différence entre deux dimensionnements, deux règles d'ordonnancement, ... (si l'intervalle de confiance ne contient pas 0, on peut en déduire que les deux systèmes sont différents). Procédure générale : - Simuler un grand nombre d'expériences/répétitions (minimum 20) et récupérer chaque fois les observations souhaitées (moyennes, maximum, minimum, ...) ; - Analyser le comportement du système en se basant sur la valeur moyenne pour chaque expérience : - Utilisation de l'histogramme, - Calcul de l'intervalle de confiance. - Déterminer le nombre d’expériences à l'aide de l'analyse des résultats en fonction des précisions souhaitées pour l'intervalle de confiance. Utiliser la formule 2 2112 )/( hhnn  où 1n est le nombre d’expériences déjà réalisées, 2n est le nombre total d’expériences, 1h est la moitié de l'intervalle de confiance déjà obtenu, 2h est la moitié de l'intervalle de confiance souhaité. - Simuler encore : Soit tout recommencer, soit rajouter les résultats des nouvelles simulations à ceux des premières ; - Analyser : Intervalle de confiance, histogramme.
  27. 27. 26 VI.2 ANALYSE DES SYSTÈMES QUI NE SE TERMINENT PAS On s’intéresse à l'étude des performances stationnaires d’un système du fait d’un régime transitoire souvent favorable aux performances du système ; ce peut être, par exemple, le cas d’un atelier vide au début de la simulation. L'état stable du système correspond à son comportement après un certain temps et est indépendant de l'état de départ. Le but est de calculer un intervalle de confiance autour de la moyenne. Deux problèmes peuvent se poser : - Pas de point de passage précis entre le régime transitoire et le régime stationnaire, - Corrélation entre les observations. Problème du régime transitoire Il existe trois méthodes pour traiter le problème du régime transitoire : - Choisir des conditions de départ qui ressemblent aux conditions de régime permanent (par exemple : Charger les machines, mettre les pièces dans les files d'attente). - Faire des simulations assez longues pour rendre le régime transitoire insignifiant. - Ecarter les valeurs enregistrées pendant le régime transitoire. Pour cela, on peut éventuellement utiliser le filtre de la moyenne glissante (moyenne arithmétique des k observations récentes) pour réduire la variabilité de la variable. C'est cette dernière méthode qui est couramment utilisée. Il existe certaines règles pour sélectionner la partie à tronquer, mais il n'y a aucune méthode complètement satisfaisante. La plus utilisée est d'évaluer (visuellement) la période transitoire à l'aide des graphes (courbes, histogrammes, moyennes mobiles). Intervalles de confiance Deux méthodes sont couramment utilisées : - Répétition d'expériences indépendantes comme pour les systèmes finis (problème du régime transitoire à chaque fois), - Longue simulation et décompositions des données générées en sous-ensembles (batchs). Cette dernière méthode consiste à : - Ecarter le régime transitoire, - Décomposer les observations restantes en n batchs de taille m et sans chevauchement, - Remplacer chaque batch jB (j = 1, 2, .., n) par jX , moyenne des m observations dans jB , - Calculer l'intervalle de confiance à partir des observations jX , j = 1, 2, .., n. Ici encore, les conditions du théorème central limite sont considérées vraies et le calcul de l'intervalle de confiance justifié (indépendance et normalité des observations jX ). Indications : n = 10. lag*, m de 10 à 20. Corrélogramme  lag* : Le plus grand nombre d'observations pour lequel la corrélation est encore significative. Cette méthode (présentée pour des variables ne dépendant pas du temps comme le nombre de pièces finies) est évidemment applicable pour les variables persistantes (dépendant du temps) comme les tailles des files d'attente. Il suffit de définir les batchs par des intervalles de temps réguliers au lieu d'un nombre fixé de données.
  28. 28. 27 VII NOTIONS ELÉMENTAIRES SUR LES RÉSEAUX DE PETRI VII.1 GÉNÉRALITÉS Définition (Réseau de Petri) Un réseau de Petri (RdP) est un graphe constitué de 2 sortes de nœuds : Les places (représentées par des ronds) et les transitions (représentées par des barres). Le graphe est orienté : Des arcs vont d'une sorte de nœuds à l'autre (jamais de places à places, ou de transitions à transitions directement). Voir exemple dans la figure suivante. De façon plus formelle, un RdP peut-être défini par un 4-uplet <P, T, Pré, Post> tel que :  nPPPP ,,, 21  est un ensemble fini et non vide de places ;  mTTTT ,,, 21  est un ensemble fini et non vide de transitions ;  1,0: TPréP est l'application d'incidence avant ;  1,0: TPostP est l'application d'incidence arrière. ),( ji TPréP est le poids de l'arc (orienté) reliant la place iP à la transition jT ; ce poids vaut 1 si l'arc existe et 0 sinon. ),( ji TPPost est le poids de l'arc (orienté) reliant la transition jT à la place iP . Marquage des places Les places sont marquées par des jetons (points noirs) qui vont circuler dans les places selon certaines règles (définies ci-dessous). Cette circulation symbolise l'évolution dynamique du système. Le marquage initial (celui indiqué sur le dessin) donne la position initiale des jetons. Règles de fonctionnement et circulation des jetons Pour qu'une transition puisse être activée, la présence d'un jeton au moins est requise dans chaque place située en amont de la transition. L'activation (le tir) de la transition a pour effet de prélever ces jetons des places amont et de rajouter dans chaque place aval un nouveau jeton. De façon plus formelle, le franchissement (tir) d'une transition jT ne peut s'effectuer que si le marquage de chacune des places iP directement en amont de cette transition est tel que : ),()( jii TPréPPm  (condition nécessaire). Le franchissement (tir) de jT consiste à retirer ),( ji TPréP jetons dans chacune des places directement en amont de jT et à ajouter ),( jk TPPost jetons dans chacune des places kP directement en aval de jT . P6 P7 P5 P4 P3 T2 T3 T4 T6 T5 T1 P1 P2
  29. 29. 28 Exercice : Exprimer sous une forme matricielle les applications Pré et Post relatives au RdP précédent. Valider à travers quelques exemples le bon fonctionnement de l’équation d’évolution du marquage : 𝑀 𝑘 = 𝑀𝑙 + (𝑃𝑜𝑠𝑡 − 𝑃𝑟é) 𝑇𝑘 𝑙, où 𝑇𝑘 𝑙 est le vecteur de tirs permettant une évolution du vecteur de marquage, de 𝑀𝑙 vers 𝑀 𝑘. Modélisation de la concurrence (ou logique) et de la synchronisation (et logique) - Concurrence à la fourniture de jetons dans une place : C'est la convergence d'arcs sur une place (voir figure a suivante). - Concurrence à la consommation des jetons d'une place : C'est la divergence d'arcs à partir d'une place (voir figure b suivante). Ce conflit structurel doit être arbitré par une règle de priorité quelconque lorsque le conflit est effectif (c'est-à-dire lorsque les transitions aval en compétition pourraient effectivement être activées). Ne pas arbitrer un conflit effectif fait que le comportement du système n'est pas entièrement spécifié. - Synchronisation dans la consommation de jetons de plusieurs places : C'est la convergence de plusieurs arcs sur une transition (voir figure c suivante). - Synchronisation dans la fourniture de jetons à plusieurs places : C'est la divergence d'arcs à partir d'une transition (voir figure d suivante). Temporisation des places et/ou des transitions A priori, on peut penser à l'activation d'une transition comme au déroulement d'une tâche : Il faudrait alors mettre une temporisation sur les transitions. Par ailleurs, si on pense à une place comme un endroit où une ressource séjourne en attendant de poursuivre son parcours, il peut y avoir une durée minimale de séjour à respecter : Penser par exemple au séjour d'une pièce dans un four pour atteindre une température souhaitée. On est donc tenté de mettre à la fois : - Une durée d'activation pour les transitions : Durée pendant laquelle un jeton situé dans chaque place amont de la transition activée est « réservé » pour cette transition (avant de disparaître), et au-delà de laquelle un jeton apparaît dans chacune des places aval ; - Une durée minimale de séjour dans les places : Durée pendant laquelle tout jeton qui vient d'être produit dans une place ne peut pas encore servir à l'activation de transitions aval. En fait, il n'y a aucune perte de généralité à ne mettre de temporisations que sur les transitions, ou que sur les places. La figure suivante montre la transformation d'une transition de durée t en 2 transitions instantanées (le début et la fin) séparées par une place de temporisation t. On notera aussi l'existence de RdP temporels, pour lesquels on associe aux places et/ou aux transitions une temporisation dont la valeur peut se situer à l'intérieur d'un intervalle  ba, . a b c d t t
  30. 30. 29 VII.2 GRAPHES D'ÉVÉNEMENTS Restrictions et capacités de modélisation Les graphes d'événements sont une sous-classe de RdP pour lesquels toute place a exactement une transition amont et une transition aval (les situations représentées dans les figures a et b précédentes sont interdites). Aussi, les graphes d'événements peuvent modéliser des phénomènes de synchronisation, mais pas de concurrence. A l'opposé, les graphes d'état refusent les configurations représentées dans les figures c et d précédentes pour ne retenir que celles représentées dans les figures a et b. Aussi, les graphes d'état, tels que toute transition a exactement une place d'entrée et une place de sortie, permettent de visualiser des phénomènes de concurrence (décision), mais pas de synchronisation. Une propriété fondamentale des graphes d'événements Le nombre total de jetons le long de tout circuit d'un graphe d'événements reste constant. Ceci n'est généralement pas vérifié dans le cas d'un RdP (le nombre de jetons total d'un RdP ne reste pas nécessairement constant au cours de l'évolution du marquage du réseau). VII.3 EXEMPLES Soit une machine représentée dans la figure suivante. Chaque pièce qui arrive est, soit traitée immédiatement par la ressource machine, soit mise en attente dans le stock (à capacité infinie) jusqu'à ce que la ressource machine soit disponible. Le temps de traitement de la ressource machine est de 3 unités de temps. Après traitement, chaque pièce sort. Le RdP suivant modélise ce système. L'état du système modélisé par le RdP est représenté par le marquage définissant le nombre de jetons contenus dans chaque place. L'évolution de l'état (représentant la dynamique du système) correspond à l'évolution du marquage (produit par le franchissement de transitions). arrivée pièce stock ressource machine sortie pièce 3stock ressource machine libre ressource machine occupée Arrivée pièce Sortie pièce Démarrage
  31. 31. 30 Modifications a) Le modèle RdP suivant indique une capacité de stockage limitée à 5 pièces. b) Le stock en amont de la ressource machine est remplacé par un convoyeur correspondant à une file composée de 5 compartiments (gestion First-In, First-Out du convoyeur). Le temps de déplacement du convoyeur est de 6 unités de temps. Le système est représenté par le modèle RdP suivant. c) La machine a une capacité de traitement de 2 : Elle est capable de traiter 2 pièces simultanément. Le système est représenté par le modèle RdP suivant. d) La machine a un temps de setup de 1,5 unités de temps. Le système est représenté par le modèle RdP suivant. VII.4 AUTRES CLASSES DE RÉSEAUX DE PETRI Réseau de Petri synchronisé 3stock ressource machine libre ressource machine occupée Arrivée pièce Sortie pièce 5 Démarrage Arrivée pièce … 6/5 6/5 6/5 3 ressources machine libres ressources machine occupées Sortie pièce Démarrage 2 3 ressources machine libres ressources machine occupées Sortie pièce Démarrage 2 1,5
  32. 32. 31 Un ensemble d'événements externes est associé au RdP ; ces événements permettent le franchissement de certaines transitions. Un tel RdP est dit synchronisé. Considérons le RdP modélisant la machine décrite dans VII.3. On associe à ce RdP l'ensemble d'événements  SDA ,, où A désigne l'événement « Arrivée pièce », D l'événement « Démarrage service », S l'événement « Sortie pièce ». La figure suivante représente le système modélisé par un RdP synchronisé. Le tir de la transition T1 est lié à l'occurrence de l'événement A. Le tir de la transition T2 est lié : - A la validation de la transition, matérialisée par la présence d'au moins un jeton dans la place « stock » et d'un jeton dans la place « ressource machine libre » ; - Au démarrage effectif du service (occurrence de l'événement D). Le tir de la transition T3 est lié à l'occurrence de l'événement S. Réseau de Petri généralisé Un RdP généralisé est un RdP dans lequel les poids associés aux arcs sont des nombres entiers strictement positifs. Ces poids peuvent être différents de 0 ou 1. Tous les arcs, dont le poids n'est pas explicitement spécifié, ont un poids de 1. Soit un arc reliant une place Pi à une transition Tj ayant un poids égal à p, alors la transition Tj ne sera validée que si la place Pi contient au moins p jetons. Lors du franchissement de cette transition, p jetons seront retirés de la place Pi. Le fait qu'un arc relie une transition Tj à une place Pi avec un poids égal à p, signifie que lors du franchissement de cette transition, p jetons seront ajoutés à la place Pi. Réseau de Petri à arcs inhibiteurs Un arc inhibiteur est un arc orienté qui part d'une place pour aboutir à une transition (et non l'inverse). Son extrémité est marquée par un petit cercle. La présence d'un arc inhibiteur entre une place Pi et une transition Tj signifie que la transition Tj n'est validée que si la place Pi ne contient aucun jeton. Le franchissement de la transition Tj consiste à retirer un jeton dans chaque place située en amont de la transition à l'exception de la place Pi , et à ajouter un jeton dans chaque place située en aval de la transition. 3stock ressource machine libre ressource machine occupée Arrivée pièce Sortie pièce A D S T1 T2 T3 Démarrage Assemblage 2 transition franchissable transition non franchissable
  33. 33. 32 VIII LE LANGAGE DE SIMULATION SIMAN-ARENA SIMAN-ARENA7 - conçu en 1982 par C.D. Pedgen de System Modeling Corporation - est un langage de simulation du type interaction de processus, ARENA représentant la version « graphique » de SIMAN. La description du modèle (logiciel) du système simulé se fait à l'aide d'un assemblage constitué de mise en série, en parallèle ou en feedback de différents blocs fonctionnels, issus de bibliothèques (templates) d’ARENA. Une telle approche de modélisation permet d'obtenir une structure du modèle (logiciel) proche de celle du système (réel) à simuler. VIII.1 NOTIONS DE BASE Entité : Une entité est un objet qui évolue dans les différents blocs fonctionnels constituant le modèle du système. Elle correspond en général à un objet concret, par exemple, une personne ou une pièce dans un atelier. Le déplacement des entités au sein des différents blocs - par exemple le déplacement de pièces dans un atelier - provoque un changement d'état du modèle de simulation, ce qui est analogue aux déplacements des jetons dans un modèle RdP. Attribut : Un attribut est une variable associée individuellement aux entités (la variable est locale) pour représenter leurs états ou des paramètres qui leur sont propres. Par exemple, chaque entité, représentant une pièce circulant dans un atelier, peut avoir les attributs suivants : - Type_de_piece afin de désigner le type d'une pièce (par exemple, Type_de_piece = A ou B) ; - Indice_de_priorite afin de désigner l'indice de priorité d'une pièce (par exemple, Indice_de_priorite = faible ou importante) ; - Date_arrivee_ds_le_modele (par exemple, Date_arrivee_ds_le_modele = TNOW). Variable globale : Une variable globale concerne l'ensemble du modèle. Par exemple, la variable TNOW (variable prédéfinie dans SIMAN) désigne la date à laquelle se trouve la simulation, c'est le temps courant - mis à jour à chaque avancée dans l'échéancier des événements – s’écoulant durant une simulation du modèle. Le principe de fonctionnement du logiciel ARENA est de suivre chacune des entités évoluant d'un bloc fonctionnel vers un autre dans le modèle, de sa création à sa destruction. L’ordonnancement dans le temps des différents événements rattachés à l'évolution des entités dans les blocs constituant le modèle se fait au travers d’un échéancier. Quand une entité est introduite dans un bloc fonctionnel, elle déclenche/active le « service » qui lui est associé, ce qui provoque une modification de l'état du modèle. Un « service » peut agir : 7 Une documentation électronique est fournie avec le logiciel SIMAN-ARENA à travers différents fichiers (ArenaBEUsersGuide.pdf, ArenaVariablesGuide.pdf, ArenaSEUsersGuide.pdf) accessibles dans le répertoire Rockwell SoftwareArena.
  34. 34. 33 - sur l'entité au travers de la valeur de ses attributs. Par exemple, à travers un bloc Assign, on peut affecter à l'attribut indice_de_priorite d'une entité représentant une pièce, présente dans le bloc, la valeur importante ; - sur les variables globales du modèle logiciel. Par exemple, le passage d’une entité dans un bloc Delay provoque un retard pur, ce qui aura une conséquence sur la variable TNOW. Un programme (ou modèle logiciel) élaboré avec ARENA est sauvegardé dans un fichier ayant pour extension .doe et est constitué : - d'une partie modèle, qui représente l'algorithme décrivant les caractéristiques statiques et dynamiques des différents blocs fonctionnels composant le modèle ; - du cadre expérimental, qui regroupe les données précisant les paramètres spécifiques à une simulation donnée (conditions initiales, durée de la simulation, …). En fait, les entités traversent uniquement les blocs fonctionnels de la partie modèle. Considérons un simple tapis roulant, ayant un temps de transport de 3 unités de temps, représenté par le modèle logiciel décrit comme suit : Le bloc Create, issu du template Basic Process, est tel qu'une entité est créée à partir de l’instant 0, ceci toute les 2 unités de temps. Le bloc Delay, issu du template Advanced Process, force une entité à séjourner 3 unités de temps dans le bloc. Le bloc Dispose, issu du template Basic Process, détruit toute entité entrant dans le bloc. A travers le menu Run/Setup/Replication Parameters, on peut notamment fixer : - le nombre de réplications (champ Number of Replications), - le temps où se termine une réplication (champ Replication Length).
  35. 35. 34 A travers le menu Run/Setup/Project Parameters, on peut notamment donner : - un titre au projet (champ Project Title), - le nom du programmeur (champ Analyst Name), - un commentaire (champ Project Description).
  36. 36. 35 Les 2 fichiers générés par SIMAN-ARENA (au format txt) sont accessibles via le menu Run/SIMAN/View (voir ci-dessous un listage partiel de ces fichiers).  fichier Exemple.mod : (partie modèle) ; Model statements for module: Create 2$ CREATE, 1,HoursToBaseTime(0.0),Entity 1:HoursToBaseTime(2):NEXT(0$); ; ; Model statements for module: Delay 0$ DELAY: 3,,Other:NEXT(1$); ; ; Model statements for module: Dispose 1$ DISPOSE: Yes; 0$, 1$, 2$ sont des étiquettes.  fichier Exemple.exp : (cadre expérimental) PROJECT,"Premier exemple","ISTIA",,,No,Yes,Yes,Yes,No,No,No,No,No,No; REPLICATE, 1,,HoursToBaseTime(10),Yes,Yes,,,,24,Hours,No,No,,,Yes; Le modèle RdP correspondant à la partie modèle du modèle logiciel précédent est décrit dans la figure suivante : ARENA permet de construire un modèle en proposant des primitives de représentation (appelées par la suite, blocs ou modules) plus ou moins détaillées. Il permet également de créer des animations graphiques pour visualiser le comportement du modèle durant la simulation. Les blocs sont regroupés dans différentes bibliothèques (templates). Afin de bénéficier d’une animation, nous allons utiliser les templates Basic Process et Advanced Process. Sont décrits en Annexe les templates Blocks et Elements lesquels contiennent des blocs plus élémentaires (à chacun de ces blocs correspond une ligne dans les fichiers générés par SIMAN-ARENA). Des liens sont utilisés pour permettre les assemblages en série, en parallèle, en feedback, entre les blocs, voir une illustration de tels assemblages dans le RdP qui suit. 3 2
  37. 37. 36 VIII.2 DESCRIPTION DE QUELQUES BLOCS PERMETTANT LA CONSTRUCTION D’UN MODÈLE a) Create (issu du template Basic Process) : Un bloc Create permet de créer des entités. Celui représenté dans la figure suivante est intitulé Create 1 (champ Name = Create 1). Sont indiqués dans le cadre Time Between Arrivals : - la période de création des lots d’entités (par exemple : champ Type = Constant, champ Value = 2), - la taille des lots (champ Entities per Arrival = 1), - le nombre total de lots à créer (champ Max Arrivals = Infinite), - la date de création du premier lot (champ First Creation = 0). Les valeurs considérées sont telles qu'1 entité est créée toute les 2 unités de temps à partir de l’instant 0, ceci une infinité de fois. Le RdP suivant permet de décrire le bloc Create 1. Type:Value (2) Max Arrivals (∞) Entities per Arrival (1) First Creation (0) P Sortie de l’entité du bloc Create
  38. 38. 37 Le nombre de jetons présents dans la place P correspond au nombre d'entités créées par le bloc Create 1. Notons que le bloc Create n’a pas d’entrée. b) Dispose (issu du template Basic Process) : Un bloc Dispose permet de détruire des entités. Celui représenté dans la figure suivante est intitulé Dispose 1 (champ Name = Dispose 1), une entité entrant dans ce bloc est immédiatement détruite. En termes de RdP, ce bloc, qui n’a pas de sortie, équivaut à une transition puit, c'est-à-dire, une transition sans place située en aval. c) Delay (issu du template Advanced Process) : Un bloc Delay permet de retarder le passage d'entités. Celui représenté dans la figure suivante est intitulé Delay 1 (champ Name = Delay 1), quand une entité entre dans ce bloc, elle y reste inconditionnellement pendant la durée (aléatoire ou non) indiquée dans le champ Delay Time. Le RdP suivant permet de décrire un bloc Delay. Le nombre de jetons présents dans la place correspond au nombre d'entités présentes dans le bloc Delay. d) Seize (issus du template Advanced Process) : Une entité présente dans un bloc Seize ne peut sortir de ce bloc que s’il existe un nombre suffisant de ressources disponibles (le nombre et le type de ressources étant spécifiés dans le bloc) ; en attendant l’entité est stockée Delay Time Entrée d'une entité dans le bloc Delay Sortie de l'entité du bloc Delay
  39. 39. 38 (« patiente ») dans une file d’attente interne au bloc Seize. Le fait qu'une entité sorte du bloc indique que les ressources, disponibles en nombre suffisant, sont « saisies » (et donc plus disponibles). Le bloc représenté dans la figure suivante est intitulé Seize 1 (champ Name = Seize 1). Pour simplifier la compréhension, considérons que seulement un type de ressource est concerné (dans l’exemple, Resource 1), alors : - le nom de la ressource est spécifié dans le champ Resource Name, soit Resource Name = Resource 1 (l’ajout d’un autre type de ressource donnerait lieu à une ligne supplémentaire dans la liste Resources), - le nombre (minimum) de ressources (de type Resource 1) disponibles est spécifié dans le champ Quantity, par exemple Quantity = 1. Sachant qu'une ressource peut ne pas être disponible, les entités, en attente d'un nombre suffisant de ressources disponibles, sont stockées dans une file d'attente, intégrée (en amont) au bloc Seize, et dont le nom est indiqué dans le champ Queue Name (soit Queue Name = Seize 1.Queue). Le RdP suivant permet de décrire un bloc Seize dans le cas où un seul type de ressource (dans l’exemple, Resource 1) est requis. La transition T pour être activée doit : représentation graphique de la file d’attente associée au bloc Seize 1 File d’attente (Seize 1.Queue) T P1 P2 Quantity Entrée d'une entité dans le bloc Seize Sortie de l'entité du bloc Seize Saisie de (Quantity = 1) ressources (Resource Name = Resource 1) ressources disponibles
  40. 40. 39 - contenir (au moins) un jeton dans la place P1, ce qui correspond à la présence dans la file d’attente d'au moins une entité dans le bloc Seize. - contenir (au moins) Quantity jetons dans la place P2, ce qui signifie qu’au moins Quantity ressources Resource Name sont disponibles. Le fait de franchir la transition T a pour effet d'ôter 1 jeton dans la place P1 et d’ôter Quantity jetons dans la place P2, ce qui représente la sortie d’une entité du bloc Seize et la « saisie » de Quantity ressources Resource Name. Le nombre de jetons présents dans la place P1 correspond au nombre d'entités présentes (en attente) dans le bloc Seize.  Une file d’attente est caractérisée (configurée) par le bloc Queue (issu du template Basic Process, appartenant au cadre expérimental et donc non traversé par une entité), voir la figure suivante : - le champ Name permet de déclarer une file d’attente, par exemple Seize 1.Queue, - le champ Type permet d’indiquer le mode de gestion de la file d’attente. Par défaut, le mode de gestion est de type First In, First Out (FIFO). Le bloc Queue permet de définir plusieurs files d'attente dans un même modèle.  Les types de ressource, ainsi que le nombre pour chaque type de ressources, sont indiqués dans le bloc Resource (issu du template Basic Process, appartenant au cadre expérimental et donc non traversé par une entité), voir la figure suivante : - le champ Name permet de déclarer une ressource, par exemple Resource 1, - le champ Capacity permet de définir le nombre d’unité de la ressource, par exemple 1. Le bloc Resource permet de définir plusieurs types de ressources dans un même modèle. e) Release (issu du template Advanced Process) : Un bloc Release permet de « relâcher » des ressources. Celui représenté dans la figure suivante est intitulé Release 1 (champ Name = Release 1). Quand une entité entre dans ce bloc, elle libère (relâche) la, ou les ressources dont le nom est spécifié dans le champ Resource Name, par exemple Resource 1, le nombre de ressources libérées est spécifié dans le champ Quantity, par exemple 1. On peut noter que l’exécution de cette tâche est instantanée, autrement dit le temps de passage d’une entité dans un bloc Release est nul. Pour simplifier, seul un type de ressource est concerné (dans l’exemple, Resource 1), l’ajout d’un autre type de ressource donnerait lieu à une ligne supplémentaire dans la liste Resources.
  41. 41. 40 Le RdP suivant permet de décrire un bloc Release dans le cas où un seul type de ressource (dans l’exemple, Resource 1) est libéré. Le fait de franchir la transition T' provoque l'apparition de Quantity jetons dans la place P1, ce qui représente la sortie d’une entité du bloc Release et la mise en disponibilité (le « relâchement ») de Quantity ressources Resource Name. f) Assign (issu du template Basic Process) : Un bloc Assign permet d’assigner une valeur, notamment, à un attribut, une variable (éventuellement propre à SIMAN, par exemple relative à l’état d’une ressource), durant l’exécution d’une simulation. Quand une entité entre dans un bloc Assign, l’expression - logique ou mathématique - spécifiée dans le champ New Value est évaluée et assignée, selon le contenu du champ Type (Attribute, Variable, …), à un attribut (rattaché à l’entité « activant » le bloc) ou une variable. Dans la figure suivante, le bloc intitulé Assign 1 (champ Name = Assign 1) permet de déclarer : - une variable Variable 1 à 1 ; - un attribut Attribute 1 à TNOW ; - une variable Variable 2 à STATE(resource 1). La variable STATE(resource 1) restitue l’état courant de la ressource resource 1 (les valeurs possibles sont : -1=Idle ; -2=Busy ; -3=Inactive ; -4=Failed) ; - une Variable 3 à Attribute 1. Cet exemple est proposé dans ExemplesAssignAssign.doe. T' P1 Quantity Entrée d'une entité dans le bloc Release Sortie de l'entité du bloc Release ressources disponibles
  42. 42. 41 Le RdP suivant permet de décrire le bloc Assign 1. Le bloc Variable (issu du template Basic Process, appartenant au cadre expérimental et donc non traversé par une entité) permet de déclarer des variables. g) Decide (issu du template Basic Process) : Un bloc Decide permet d’aiguiller un flux d’entités vers différents blocs de destination, il comporte une entrée et plusieurs sorties. L’aiguillage est réalisé, selon le contenu du champ Type, d’après un critère de type condition, Variable 1 := 1 Attribute 1 := TNOW Variable 2 := STATE(resource 1) Variable 3 := Attribute 1 Entrée d'une entité dans le bloc Assign Sortie de l'entité du bloc Assign
  43. 43. 42 ou probabilité. Les conditions sont par exemple basées sur des valeurs d’attributs, de variables, une expression. Le routage se fait via un ensemble de branches. Quand une entité entre dans un bloc Decide, chaque condition de branchement est testée de manière séquentielle (i.e., dans l’ordre de leurs déclarations dans le bloc). La branche sélectionnée par une entité est la première branche pour laquelle la condition de branchement est satisfaite ; l’entité est alors aiguillée vers le bloc correspondant. Si aucune branche n’est satisfaite, l’entité est détruite. Un bloc Decide, intitulé Decide 1 (champ Name = Decide 1), est décrit dans la figure suivante. Le critère d’aiguillage vers les 2 sorties possibles est réalisé à partir de la condition If Variable 1 >= 1 (avec un résultat True ou False). Le critère utilisé par le bloc Decide 2 est de type probabilité (2 sorties, ayant chacune une probabilité égale à 0.5, sont possibles).
  44. 44. 43 Le RdP suivant permet de décrire un bloc Decide. Notons que toutes les sorties d’un bloc Decide doivent être connectées à un bloc (éventuellement un bloc Dispose si la sortie n’est pas « utile »). h) Match (issu du template Advanced Process) : Un bloc Match permet de synchroniser la progression de deux, voire de plusieurs, entités situées dans différentes files d’attentes. Quand toutes les files d’attentes, associées au bloc Match, ont une, voire plusieurs entités, ces entités sont libérées, de façon synchrone, vers les sorties correspondantes. Dans la figure qui suit, le bloc Match 1 (champ Name = Match 1) effectue une synchronisation entre deux entrées. Une synchronisation se produit lorsqu’au moins une entité est présente dans chacune des deux files d’attente, à savoir Match 1.Queue1 et Match 1.Queue2. Les entités à l’origine de la synchronisation sont ensuite dirigées vers les sorties correspondantes. Le fait d’avoir le champ Type = Any Entities (et non Based on Attribute) fait que la synchronisation ne s’effectue pas en fonction de la valeur d’un éventuel attribut (rattaché aux entités). Le bloc Queue (issu du template Basic Process) décrit ci-dessous indique la définition des files d’attente Match 1.Queue1 et Match 1.Queue2. Entrée d'une entité dans le bloc Decide . . . Sorties du bloc Decide critère de type condition ou probabilité Match 1 Match 1.Queue1 Match 1.Queue2
  45. 45. 44 Voir une description du bloc Match 1 à l'aide du RdP suivant. Notons que toutes les sorties d’un bloc Match doivent être connectées à un bloc (éventuellement un bloc Dispose si la sortie n’est pas « utile »). i) Batch (issu du template Basic Process) : Un bloc Batch permet de regrouper des entités entre-elles. Les entités une fois regroupées génèrent la sortie d’une entité (notons que cette entité peut avoir un nouveau Type d’entité, ce qui peut être indiqué dans le champ Representative Entity Type). Le groupement peut être réversible (ou non) selon que le champ Type = Temporary (ou Permanent) : un regroupement réversible (Temporary) permet – en utilisant un bloc Separate - de dégrouper par la suite les entités. Le nombre nécessaire d’entités pour former un groupe est indiqué dans le champ Batch Size. Une entité arrivant dans un bloc Batch est placée dans la file d’attente associée au bloc, ceci tant que le nombre d’entités accumulées dans la file d’attente n’est pas suffisant pour effectuer un regroupement. Le champ Rule assigné à la valeur By Attribute permet d’effectuer le regroupement d’entités en fonction d’un attribut, dans le cas contraire (cas par défaut) le champ Rule est assigné à la valeur Any Entity. Un exemple est décrit dans la figure suivante : Match 1.Queue1 Match 1.Queue2 Sorties du bloc Match Entrées du bloc Match synchronisation
  46. 46. 45 Le RdP suivant décrit le comportement du bloc Batch 1. j) Separate (issu du template Basic Process) : Un bloc Separate permet de dupliquer des entités lorsque le champ Type = Duplicate Original. Le nombre de duplication créée est spécifié dans le champ # of Duplicates. Lorsqu’une entité entre dans ce bloc et comporte des attributs, les attributs de toutes les entités dupliquées sont identiques aux valeurs courantes des attributs de l’entité à dupliquer. L'entité originale sort par la sortie Original, les # of Duplicates entités (celles dupliquées) sortent par la sortie Duplicate. Un bloc Separate, intitulé Separate 1 (champ Name = Separate 1), est décrit dans la figure suivante. Un exemple est donné dans ExemplesSeparateSeparate.doe. Entrée du bloc Batch Sortie du bloc Batch Batch Size (2)
  47. 47. 46 Le RdP qui suit permet de décrire un bloc Separate. k) Process (issu du template Basic Process) : Un bloc Process permet de simuler le comportement d’une machine, sachant que différents modes de fonctionnement sont autorisés selon le contenu du champ Action (situé dans le cadre Logic lorsque le champ Type = Standard). Un bloc Process, intitulé Process 1 (champ Name = Process 1), est décrit dans la figure suivante. Lorsque le champ Action contient la valeur : i) Delay, la machine se ramène à un simple bloc Delay, ce qui permet de simuler un temps de traitement (voir le cadre Delay Type pour assigner un temps de traitement) et le fait qu’il n’y a pas de contrainte vis-à-vis de la ressource de la machine. 2i) Seize Delay, la machine nécessite une, voire plusieurs ressources (voir le cadre Resources pour assigner le type, ainsi que le nombre, de ressources concernées) durant un Separate Entrée de l'entité Original (sortie de l'entité originale) Duplicate (sortie de (# of Duplicates) entités dupliquées Entrée de l‘entité Sortie de l’entité originale Sortie de (# of Duplicates) entités dupliquées # of Duplicates
  48. 48. 47 temps (relatif au temps de traitement) minimum indiqué dans le cadre Delay (le relâchement de la ressource est supposé réalisé en aval). 3i) Seize Delay Release, idem. au cas 2i) avec une gestion au niveau du relâchement de la ressource « saisie ». 4i) Delay Release, idem. au cas 3i) sans la gestion de l’allocation de la, voire des ressources nécessaires au traitement d’une pièce (cette gestion est supposée réalisée en amont du bloc). Le RdP correspondant au cas i) est décrit au VIII.2.c. Les RdP correspondant au cas 2i, 3i, 4i sont issus de concaténation des RdP décrits au VIII.2.c,d,e. VIII.3 DESCRIPTION DE QUELQUES BLOCS PERMETTANT L’ANALYSE D’UN MODÈLE Les blocs décrits au VIII.2 permettent de modéliser un système physique, sans pour autant fournir d’informations (exceptées celles données par défaut dans le rapport final). La collecte d’informations spécifiques se fait en utilisant des blocs supplémentaires. Quelques-uns de ces blocs sont décrits ci-dessous. Un exemple est donné dans le fichier ExemplesRecord_StatisticStat_File.doe. 1) Le bloc Record (issu du template Basic Process) permet, selon le contenu du champ Type, de : - compter le nombre d'entités traversant le bloc (Type = Count) (voir 1.a)) ; - recueillir les temps de passage successif de 2 entités (Type = Time Between) (voir 1.b)) ; - recueillir les temps mis par les entités traversant une partie (ou l'ensemble) d'un modèle (Type = Time Interval) (voir 1.c)). 1.a) Lorsque le champ Type = Count, le bloc Record permet de compter le nombre d'entités qui transitent par ce bloc. Le compteur s'incrémente d'une valeur (Value, par défaut égale à 1) à chaque passage d'une entité. Le nom du compteur est spécifié dans le champ Counter Name. Voir le bloc Statistic (voir 2.b) pour effectuer un enregistrement des données. compteur = + 1 transition
  49. 49. 48 1.b) Lorsque le champ Type = Time Between, le bloc Record permet de recueillir les temps de passage entre 2 entités successives. Le nom du tally8 est spécifié dans le champ Tally Name. Voir le bloc Statistic (voir 2.b) pour effectuer un enregistrement des données. 1.c) Lorsque le champ Type = Time Interval, le bloc Record permet de recueillir les temps mis par les entités traversant une partie (ou l'ensemble) d'un modèle. Le nom du tally est spécifié dans le champ Tally Name. Par exemple, on souhaite pour chaque entité recueillir la différence entre le temps de sortie du bloc M et le temps de sortie du bloc N. Soient )(),( itit MN les temps de sortie de l'entité n° i des blocs N et M respectivement (cf. schéma suivant). Pour réaliser cela, on dispose : - Un bloc Assign (cf. VIII.2.f) placé juste après le bloc N afin d'assigner le temps de passage, à savoir TNOW, de chaque entité dans un attribut, noté par exemple Attribute 1 (un attribut est une variable associée individuellement aux entités). - Un bloc Record 1 (avec Type = Time Interval) placé juste après le bloc M afin de disposer des temps de parcours de la sortie du bloc N au bloc M. Le lien avec l'attribut Attribute 1 se fait via le champ Attribute Name. Voir le schéma suivant pour avoir une vue schématique des blocs N, Assign, M, Record et la figure suivante où est décrit un bloc Record de Type Time Interval. 8 "To keep a tally of …" signifie "tenir le compte de …". Bloc N Bloc M tN (i) tM (i) transition X X(k + 1) - X(k) X(k) : tps de franchissement de l’entité n° k
  50. 50. 49 2) Le bloc Statistic (issu du template Advanced Process, appartenant au cadre expérimental et donc non traversé par une entité) permet de collecter des statistiques issues d’un bloc Record ou de variables SIMAN (mise à jour automatiquement par SIMAN), telles que le nombre d’entités contenues dans une file d'attente ou le taux d’occupation d’une ressource. La variable NQ (abréviation de Number in Queue), permet de disposer du nombre d’entités contenues dans une file d'attente. Par exemple, la variable NQ(Process 1.Queue) permet de connaître le nombre d’entités présentes dans la file d’attente Process 1.Queue. La variable NR (abréviation de Number of busy Resource units), permet de disposer du taux d’occupation d’une ressource. Soit une machine constituée de n ressources, ce qui permet le traitement en parallèle de n pièces, une ressource peut être occupée (busy) ou disponible (idle). Par exemple, considérons une machine, représentée par un bloc Process 1, utilisant une ressource Resource 1 de capacité égale à 3 (donnée déclarée dans un bloc Resource), alors la variable NR(Resource 1) permet de connaître le nombre de ressources Resource 1 occupées (ce nombre pouvant être égal à 0, 1, 2 ou 3). a) On accède à différents types de données statistiques selon la configuration du bloc Statistic : i) A travers une statistique, notée Statistic 1, on peut disposer de la moyenne, du minimum, du maximum du nombre d’entités présentes dans la file d’attente, par exemple, Process 1.Queue. Pour cela, prendre la configuration suivante : champ Name = Statistic 1, champ Type = Time-Persistent, champ Expression = NQ(Process 1.Queue) (voir figure ci-dessous). Bloc N Bloc M tN (1), tN (2), . . tM (1), tM (2), . . Assign (Attribute 1 = TNOW) Record 1 (Attribute Name = Attribute 1) tM (1) - tN (1), tM (2) - tN (2), . .
  51. 51. 50 2i) A travers une statistique, notée Statistic 2, on peut disposer de la moyenne, du minimum, du maximum du nombre de ressources, par exemple, Resource 1, occupées. Pour cela, prendre la configuration suivante : champ Name = Statistic 2, champ Type = Time-Persistent, champ Expression = NR(Resource 1) (voir figure ci-dessous). 3i) A travers une statistique, notée Statistic 3, on peut disposer de données statistiques de la file d'attente, par exemple, Process 1.Queue, classées par catégorie, avec pour chacune des catégories, son nombre d'occurrences, le temps moyen de chaque occurrence et le pourcentage des temps d'occurrences par catégorie. Considérons, par exemple, les 3 catégories suivantes : - Vide lorsque la file d'attente ne contient pas d'entité ; - Moitie chargee lorsque la file d'attente contient entre 1 et 10 entités ; - Chargee au-delà de 10 entités. Pour cela, prendre la configuration suivante : champ Name = Statistic 3, champ Type = Frequency, champ Frequency Type = Value, champ Expression = NQ(Process 1.Queue), 3 lignes à définir dans le champ Categories, à savoir : Constant or Range Value High Value Category Name Category Option 1 Constant 0 Vide Include 2 Range 0 10 Moitie chargee Include 3 Range 10 1000 Chargee Include voir figure ci-dessous. Remarque : La valeur 1000, contenue dans le tableau, correspond à une borne supérieure du nombre d'entités dans la file d'attente. 4i) A travers une statistique, notée Statistic 4, on peut disposer de données statistiques de la ressource, par exemple Resource 1, classées par catégorie, avec pour chacune des catégories, son nombre d'occurrences, le temps moyen de chaque occurrence, et le pourcentage des temps d'occurrences par catégorie. Considérons, par exemple, les 4 catégories suivantes : - Zero lorsque la ressource est libre ; - Une lorsqu'une (seule) ressource est occupée ; - Deux lorsque 2 ressources sont occupées ; - Trois lorsque toutes les ressources (c'est-à-dire, 3) sont occupées. Pour cela, prendre la configuration suivante : champ Name = Statistic 4, champ Type = Frequency, champ Frequency Type = Value, champ Expression = NR(Resource 1), 4 lignes à definer dans le champ Categories, à savoir : Constant or Range Value Category Name Category Option 1 Constant 0 Zero Include
  52. 52. 51 2 Constant 1 Une Include 3 Constant 2 Deux Include 4 Constant 3 Trois Include voir figure ci-dessous. b) Le bloc Statistic permet également de sauvegarder les données d’observations individuelles, acquises tout au long de la simulation, par exemple, issues d’un bloc Record (relatif à un compteur ou un tally), ou d’une variable SIMAN (le nombre d’entités contenues à chaque instant dans une file d'attente, le taux d’occupation à chaque instant d’une ressource). Pour cela, il suffit de compléter le bloc Statistic en indiquant dans le champ Counter Output File ou Tally Output File (selon que le bloc Record est relatif à un compteur ou un tally) ou Output File (pour une variable SIMAN), le nom du fichier - ainsi que son répertoire si celui-ci est différent du répertoire contenant l’application. Afin de disposer des données au format csv (abréviation de comma-separated-value, « comma » signifiant virgule), reconnu notamment par MatLab (via la commande CSVREAD) et Excel, il suffit de mettre l’extension .csv au fichier de sauvegarde et d’indiquer que le fichier de sauvegarde est au format texte en cochant la case Write Statistics Output Files as Text accessible via le menu Run/Setup/Run Control/Advanced. Par exemple, la statistique, notée Statistic 5, permet via le compteur Record 1 défini dans le bloc Record 1 de disposer dans le fichier Compteur.csv du nombre d’entités qui ont transité à tout instant dans ce bloc. VIII.4 ANIMATION GRAPHIQUE L'animation permet de décrire graphiquement l'évolution dynamique de l'état du système simulé, notamment à travers une visualisation :  du flux des entités (par exemple, des pièces circulant le long d'une ligne de production),  de l'état des ressources (par exemple, l'état libre (idle), occupée (busy) ou inactive (inactive) d'une machine, d'un robot),  de l'évolution des variables, des attributs (par exemple, le contenu d'une variable indiquant le temps de traitement d'une machine, l'état d'un stock). L'animation est un moyen très efficace de communication. D'un abord facile, notamment pour les décideurs non nécessairement initiés aux aspects techniques, elle permet - sous réserve bien sûr que les conditions de simulation soient crédibles - de mettre en avant les phénomènes étudiés. Elle permet également lors de la conception du modèle de simulation de vérifier son
  53. 53. 52 bon fonctionnement à travers une visualisation étape par étape (voir commande Step ►| ) du cheminement des entités dans le modèle de simulation. Un exemple est donné dans le fichier ExemplesAnimation_Un_exempleAnimation.Doe.  Animation des entités Une animation, rattachée aux connecteurs, est proposée par défaut (voir option Animate Connectors dans le menu Object). Elle permet de visualiser le flux des entités le long des connecteurs, i.e., les liens reliant les modules entre eux : Notons que le mouvement des entités le long des connecteurs n'a pas d'impact sur le temps de simulation (TNOW). La simulation de temps de transport nécessite l'utilisation du bloc STATION du template Advanced Transfer. L'image initiale utilisée pour représenter un type d'entité donné est définie dans le bloc Entity (issu du template Basic Process, appartenant au cadre expérimental et donc non traversé par une entité). L'image est par défaut celle notée Picture.Report et est indiquée dans le champ Initial Picture du module Entity. Le changement de l'image associée à une entité se fait via son passage dans un bloc Assign en assignant une nouvelle image à l'attribut Entity Picture (par exemple, Type : Entity Picture, Entity Picture : Picture.Truck). Le menu Edit/Entity Picture permet d'accéder à d'autres images (contenues dans des fichiers .plb). Le bouton Open permet d’ouvrir un fichier .plb particulier, lequel contient des images. Par exemple, le fichier machine.plb met à disposition des images relatives à des machines. Il est également possible de créer ses propres images, lesquelles seront sauvegardées dans un fichier .plb. Pour créer une image, cliquez sur le bouton Add de droite, ce qui fait apparaître une case grise. Le fait de double cliquer dans cette case permet d’ouvrir une fenêtre (Picture Editor) où il est possible de concevoir une image. Fermer la fenêtre une fois l’image conçue ; elle apparaîtra alors à la place de la case grise. Le bouton Save permet de sauvegarder dans un fichier .plb de votre choix la, voire les images créées.  La barre d'outils Animation (Animate) Cette barre d'outils fournit une interface avec les objets de base de l'animation (cocher la case Animate de la fenêtre issue du menu View/Toolbars… pour faire apparaître – si nécessaire – cette barre d'outils). Create Process0 0 connecteur Affichage d'état : Clock Date Variable Level Histogram Plot Zone d'attente : Queue Image : Resource Global

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