• J'aime
Geometria nocoes .pdf - esec-faro
Prochain SlideShare
Chargement dans... 5
×

Geometria nocoes .pdf - esec-faro

  • 820 vues
Transféré le

 

  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Êtes-vous sûr de vouloir
    Votre message apparaîtra ici
    Soyez le premier à commenter
    Be the first to like this
Aucun téléchargement

Vues

Total des vues
820
Sur Slideshare
0
À partir des ajouts
0
Nombre d'ajouts
1

Actions

Partages
Téléchargements
23
Commentaires
0
J'aime
0

Ajouts 0

No embeds

Signaler un contenu

Signalé comme inapproprié Signaler comme inapproprié
Signaler comme inapproprié

Indiquez la raison pour laquelle vous avez signalé cette présentation comme n'étant pas appropriée.

Annuler
    No notes for slide

Transcript

  • 1. Geometria: algumas noções Formação Contínua em Matemática para Professores do 1.º Ciclo do Ensino Básico Escola Superior de Educação Universidade do Algarve Fundo Social Europeu União Europeia
  • 2. ! " ! Linha Poligonal Linha poligonal é uma linha formada por sucessivos segmentos de recta, tendo os segmentos consecutivos um extremo comum, não estando na mesma recta dois segmentos consecutivos e não tendo os segmentos de recta pontos comuns para além dos extremos. Exemplos: A linha é uma linha poligonal aberta, enquanto que as linhas e são linhas poligonais fechadas De acordo com a definição, as seguintes linhas não são consideradas linhas poligonais: A B Nas linhas A e B, há segmentos que têm um ponto em comum para além dos extremos. POLÍGONO Polígono é uma região plana limitada por uma linha poligonal fechada. # $ " %
  • 3. ! " ! Classificação de polígonos Convexidade Um polígono diz-se convexo quando, quaisquer que sejam os dois pontos que considerarmos no seu interior ou na sua fronteira, o segmento de recta que os une também está contido no interior do polígono. Quando tal não acontece, o polígono diz-se não convexo (ou côncavo): Polígono convexo Polígono não convexo Número de lados Alguns polígonos são designados consoante o número de segmentos de recta que formam a sua fronteira. A esses segmentos de recta chamamos lados do polígono: Nº de lados do polígono Nº de lados do polígono Designação 3 Triângulo 9 Eneágono 4 Quadrilátero 10 Decágono 5 Pentágono 11 Undecágono 6 Hexágono 15 Pentadecágono 7 Heptágono 20 Icoságono 8 # Designação Octógono $ " % 20 n-ágono &
  • 4. ! " ! Regularidade Um polígono diz-se regular quando tem os lados e os ângulos todos iguais: Triângulo regular Quadrilátero regular (equilátero) Pentágono regular Heptágono regular (quadrado) ÂNGULO Chama-se ângulo convexo à intersecção de dois semi-planos do mesmo plano, cujas origens se intersectam. Na figura abaixo está representado a verde o ângulo convexo BVA que é a intersecção de dois semi-planos, um a azul e o outro a amarelo. B A’ A V B’ Chama-se ângulo côncavo à reunião de dois semi-planos do mesmo plano. V A B Ao ponto V chama-se vértice do ângulo. Os lados do ângulo são as semi-rectas VA e VB. # $ " % '
  • 5. ! " ! No caso dos lados do ângulo serem semi-rectas opostas (da mesma recta) com origem comum, o ângulo diz-se raso. As semi-rectas são os lados do ângulo e a sua origem comum é o vértice. A B C O ângulo da figura acima é raso porque as semi-rectas BA e BC sã o opostas. BA e BC são os lados do ângulo e B é o seu vértice. Um ângulo recto é o que é igual a metade de um ângulo raso. No caso dos lados do ângulo serem semi-rectas coincidentes temos um ângulo nulo e um ângulo giro. A um ângulo, não nulo, menor que um ângulo recto chama-se ângulo agudo. A um ângulo maior que um ângulo recto e menor que um ângulo raso chama-se obtuso. TRIÂNGULOS Um polígono com três lados (e com 3 ângulos) chama-se trilátero ou triângulo. Os triângulos podem ser classificados quanto à grandeza relativa dos lados ou atendendo à natureza dos seus ângulos. Se os comprimentos dos lados de um triângulo forem todos diferentes, este diz-se escaleno. Um triângulo com dois lados com o mesmo comprimento diz-se isósceles. Se, além disso, o terceiro lado de um triângulo isósceles tiver o mesmo comprimento que os outros dois lados, diz-se equilátero. Se um triângulo tiver todos os ângulos agudos, diz-se acutângulo. Se tiver um ângulo recto, trata-se de um triângulo rectângulo e, se tiver um ângulo obtuso é um triângulo obtusângulo. É possível encontrar os seguintes tipos de triângulos: # $ " % (
  • 6. ! Escaleno Isósceles " ! Equilátero Acutângulo Rectângulo Obtusângulo QUADRILÁTEROS Um quadrilátero é um polígono com 4 lados (e quatro ângulos). Uma classificação possível: Quadrilátero – Polígono de quatro lados Quadrilátero Não Convexo Quadrilátero Convexo Trapézio: Quadrilátero com lados paralelos # $ " % )
  • 7. ! " ! Paralelogramo: Quadrilátero com dois pares de lados paralelos Rectângulo: Quadrilátero com todos os lados consecutivos perpendiculares (ou com 4 ângulos rectos) Losango ou Rombo: Quadrilátero com todos os lados iguais Quadrado: Rectângulo com lados iguais ou losango com os lados consecutivos perpendiculares. Papagaio: Quadrilátero com dois lados consecutivos congruentes # $ " % *
  • 8. ! " ! Podemos sintetizar a classificação no seguinte diagrama de Venn: Quadrados Se pretendêssemos classificar os quadriláteros de acordo com as propriedades das suas diagonais, poderíamos averiguar quais os quadriláteros cujas diagonais se bissectam (intersectam-se no ponto médio dessas diagonais). Esta propriedade é verificada por todos os paralelogramos (e só por esses quadriláteros): # $ " % +
  • 9. ! " ! Em todos os outros quadriláteros, as diagonais não se bissectam: SUPERFÍCIES CILÍNDRICAS e CILINDRO Chama-se superfície cilíndrica à superfície gerada por uma recta que se move, paralelamente a si mesma, sobre uma linha. A recta móvel é a geratriz e a linha é a directriz. Todas as posições particulares da geratriz têm ainda o nome de geratriz. Uma superfície cilíndrica diz-se aberta ou fechada conforme é aberta ou fechada a sua directriz. Na figura ao lado está representada uma superfície cilíndrica fechada cuja geratriz é, por exemplo, a recta HB e a directriz é a linha fechada representada na figura que passa pelos pontos A, B, C, D, E, F e G. Como caso particular das superfícies cilíndricas temos as superfícies prismáticas em que a directriz é uma linha poligonal. Na figura ao lado está representada uma superfície prismática cuja geratriz é a recta EF e a directriz é a linha poligonal [ABCD]. As geratrizes que passam pelos vértices das linhas poligonais denominam-se arestas e as porções planas determinadas por duas arestas consecutivas denominam-se faces. Cilindro é o sólido limitado por uma superfície cilíndrica fechada e por dois planos paralelos que intersectam as geratrizes da superfície. # $ " % ,
  • 10. ! " ! As porções dos planos que limitam o cilindro são as bases. Como caso particular do cilindro temos o prisma, em que as bases são polígonos e a superfície lateral é formada por paralelogramos que tomam o nome de faces laterais. Exemplos de prismas: # $ " % -
  • 11. ! " ! SUPERFÍCIES CÓNICAS E CONES Chama-se superfície cónica à superfície gerada por uma recta que passa por um ponto fixo e se move apoiando-se numa linha. Na figura ao lado está representada uma superfície cónica fechada cujo vértice é o ponto V, a geratriz é, por exemplo, a recta VA e a directriz é a linha fechada representada na figura que passa pelos pontos A, B, C e D. O ponto fixo é o vértice, a recta móvel a geratriz e a linha a directriz. Uma superfície cónica é dividida em duas partes pelo vértice, chamando-se cada uma delas folha da superfície cónica. Uma superfície cónica diz-se aberta ou fechada conforme é aberta ou fechada a sua directriz. Como caso particular das superfícies cónicas temos as superfícies piramidais em que a directriz é uma linha poligonal. Na figura ao lado está representada uma superfície piramidal cujo vértice é o ponto V, a geratriz a recta VE e a directriz a linha poligonal [ABCD]. As geratrizes que passam pelos vértices das linhas poligonais denominam-se arestas e as porções planas determinadas por duas arestas consecutivas denominam-se faces. Cone é o sólido limitado por uma folha de superfície cónica fechada e por um plano que intersecta todas as geratrizes. À porção de plano que limita o cone chama-se base, ao vértice da superfície chama-se vértice do cone e às porções das geratrizes compreendidas entre o vértice e a base dá-se o nome de geratrizes. Como caso particular do cone temos a pirâmide em que a base é um polígono e a superfície lateral é composta por triângulos. # $ " % .
  • 12. ! " ! POLIEDROS Poliedros são sólidos limitados por polígonos. Os polígonos são as faces do poliedro (são as figuras planas que o limitam), os lados dos polígonos são as arestas do poliedro (são os segmentos de recta que limitam as faces), e os vértices dos polígonos são os vértices do poliedro (são os pontos de encontro das arestas). Os vértices, as arestas e as faces de um poliedro dizem-se os elementos do poliedro. Os poliedros podem ser Convexos ou Côncavos. Os poliedros são convexos quando se encontram todos para o mesmo lado em relação ao plano de qualquer uma das suas faces, ou seja, quando as suas faces deixam sempre as demais no mesmo semi-espaço. São exemplos de poliedros convexos: o cubo, o paralelepípedo, os prismas e as pirâmides. Caso contrário, os poliedros dizem-se côncavos. Exemplo de poliedros convexos: Exemplo de poliedros côncavos: # $ " %
  • 13. ! " ! Em qualquer poliedro convexo verifica-se a relação de Euler: V + F =A + 2 Um poliedro diz-se regular quando as faces são polígonos regulares geometricamente iguais e, em cada vértice, convergem o mesmo número de arestas e de faces. POLIEDROS REGULARES CONVEXOS (SÓLIDOS PLATÓNICOS) NÃO POLIEDROS Os sólidos limitados, no todo ou em parte, por superfícies curvas chamam-se Não Poliedros. São exemplos de não poliedros os cilindros e os cones já referidos anteriormente, bem como a esfera. De entre estes são particularmente importantes os Sólidos de Revolução. São sólidos de revolução a esfera e alguns cilindros e cones. Cilindro de revolução é o sólido gerado por um rectângulo (rectângulo gerador) que roda em torno de um dos seus lados (eixo) até dar uma volta completa. # $ " % &
  • 14. ! " ! O lado do rectângulo paralelo ao eixo é a geratriz do cilindro. Os dois lados perpendiculares ao eixo são chamados raios do cilindro e geram dois círculos que são as bases do cilindro. A altura de um cilindro de revolução é dada pela medida do seu eixo ou de qualquer das suas geratrizes. Cone de revolução é o sólido gerado por um triângulo rectângulo (triângulo gerador) que roda em torno de um dos seus catetos (eixo) até dar uma volta completa. A hipotenusa do triângulo gerador é a geratriz. O outro cateto é o raio do cone e gera um círculo que é base do cone. A altura de um cone de revolução é dada pela medida do seu eixo. Esfera é o sólido gerado por um semicírculo (semicírculo gerador) que roda em torno do seu diâmetro (eixo) até dar uma volta completa. O centro e o raio do semicírculo tomam, respectivamente, o nome de centro e raio da esfera. # $ " % '