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    Geometria nocoes .pdf - esec-faro Geometria nocoes .pdf - esec-faro Document Transcript

    • Geometria: algumas noções Formação Contínua em Matemática para Professores do 1.º Ciclo do Ensino Básico Escola Superior de Educação Universidade do Algarve Fundo Social Europeu União Europeia
    • ! " ! Linha Poligonal Linha poligonal é uma linha formada por sucessivos segmentos de recta, tendo os segmentos consecutivos um extremo comum, não estando na mesma recta dois segmentos consecutivos e não tendo os segmentos de recta pontos comuns para além dos extremos. Exemplos: A linha é uma linha poligonal aberta, enquanto que as linhas e são linhas poligonais fechadas De acordo com a definição, as seguintes linhas não são consideradas linhas poligonais: A B Nas linhas A e B, há segmentos que têm um ponto em comum para além dos extremos. POLÍGONO Polígono é uma região plana limitada por uma linha poligonal fechada. # $ " %
    • ! " ! Classificação de polígonos Convexidade Um polígono diz-se convexo quando, quaisquer que sejam os dois pontos que considerarmos no seu interior ou na sua fronteira, o segmento de recta que os une também está contido no interior do polígono. Quando tal não acontece, o polígono diz-se não convexo (ou côncavo): Polígono convexo Polígono não convexo Número de lados Alguns polígonos são designados consoante o número de segmentos de recta que formam a sua fronteira. A esses segmentos de recta chamamos lados do polígono: Nº de lados do polígono Nº de lados do polígono Designação 3 Triângulo 9 Eneágono 4 Quadrilátero 10 Decágono 5 Pentágono 11 Undecágono 6 Hexágono 15 Pentadecágono 7 Heptágono 20 Icoságono 8 # Designação Octógono $ " % 20 n-ágono &
    • ! " ! Regularidade Um polígono diz-se regular quando tem os lados e os ângulos todos iguais: Triângulo regular Quadrilátero regular (equilátero) Pentágono regular Heptágono regular (quadrado) ÂNGULO Chama-se ângulo convexo à intersecção de dois semi-planos do mesmo plano, cujas origens se intersectam. Na figura abaixo está representado a verde o ângulo convexo BVA que é a intersecção de dois semi-planos, um a azul e o outro a amarelo. B A’ A V B’ Chama-se ângulo côncavo à reunião de dois semi-planos do mesmo plano. V A B Ao ponto V chama-se vértice do ângulo. Os lados do ângulo são as semi-rectas VA e VB. # $ " % '
    • ! " ! No caso dos lados do ângulo serem semi-rectas opostas (da mesma recta) com origem comum, o ângulo diz-se raso. As semi-rectas são os lados do ângulo e a sua origem comum é o vértice. A B C O ângulo da figura acima é raso porque as semi-rectas BA e BC sã o opostas. BA e BC são os lados do ângulo e B é o seu vértice. Um ângulo recto é o que é igual a metade de um ângulo raso. No caso dos lados do ângulo serem semi-rectas coincidentes temos um ângulo nulo e um ângulo giro. A um ângulo, não nulo, menor que um ângulo recto chama-se ângulo agudo. A um ângulo maior que um ângulo recto e menor que um ângulo raso chama-se obtuso. TRIÂNGULOS Um polígono com três lados (e com 3 ângulos) chama-se trilátero ou triângulo. Os triângulos podem ser classificados quanto à grandeza relativa dos lados ou atendendo à natureza dos seus ângulos. Se os comprimentos dos lados de um triângulo forem todos diferentes, este diz-se escaleno. Um triângulo com dois lados com o mesmo comprimento diz-se isósceles. Se, além disso, o terceiro lado de um triângulo isósceles tiver o mesmo comprimento que os outros dois lados, diz-se equilátero. Se um triângulo tiver todos os ângulos agudos, diz-se acutângulo. Se tiver um ângulo recto, trata-se de um triângulo rectângulo e, se tiver um ângulo obtuso é um triângulo obtusângulo. É possível encontrar os seguintes tipos de triângulos: # $ " % (
    • ! Escaleno Isósceles " ! Equilátero Acutângulo Rectângulo Obtusângulo QUADRILÁTEROS Um quadrilátero é um polígono com 4 lados (e quatro ângulos). Uma classificação possível: Quadrilátero – Polígono de quatro lados Quadrilátero Não Convexo Quadrilátero Convexo Trapézio: Quadrilátero com lados paralelos # $ " % )
    • ! " ! Paralelogramo: Quadrilátero com dois pares de lados paralelos Rectângulo: Quadrilátero com todos os lados consecutivos perpendiculares (ou com 4 ângulos rectos) Losango ou Rombo: Quadrilátero com todos os lados iguais Quadrado: Rectângulo com lados iguais ou losango com os lados consecutivos perpendiculares. Papagaio: Quadrilátero com dois lados consecutivos congruentes # $ " % *
    • ! " ! Podemos sintetizar a classificação no seguinte diagrama de Venn: Quadrados Se pretendêssemos classificar os quadriláteros de acordo com as propriedades das suas diagonais, poderíamos averiguar quais os quadriláteros cujas diagonais se bissectam (intersectam-se no ponto médio dessas diagonais). Esta propriedade é verificada por todos os paralelogramos (e só por esses quadriláteros): # $ " % +
    • ! " ! Em todos os outros quadriláteros, as diagonais não se bissectam: SUPERFÍCIES CILÍNDRICAS e CILINDRO Chama-se superfície cilíndrica à superfície gerada por uma recta que se move, paralelamente a si mesma, sobre uma linha. A recta móvel é a geratriz e a linha é a directriz. Todas as posições particulares da geratriz têm ainda o nome de geratriz. Uma superfície cilíndrica diz-se aberta ou fechada conforme é aberta ou fechada a sua directriz. Na figura ao lado está representada uma superfície cilíndrica fechada cuja geratriz é, por exemplo, a recta HB e a directriz é a linha fechada representada na figura que passa pelos pontos A, B, C, D, E, F e G. Como caso particular das superfícies cilíndricas temos as superfícies prismáticas em que a directriz é uma linha poligonal. Na figura ao lado está representada uma superfície prismática cuja geratriz é a recta EF e a directriz é a linha poligonal [ABCD]. As geratrizes que passam pelos vértices das linhas poligonais denominam-se arestas e as porções planas determinadas por duas arestas consecutivas denominam-se faces. Cilindro é o sólido limitado por uma superfície cilíndrica fechada e por dois planos paralelos que intersectam as geratrizes da superfície. # $ " % ,
    • ! " ! As porções dos planos que limitam o cilindro são as bases. Como caso particular do cilindro temos o prisma, em que as bases são polígonos e a superfície lateral é formada por paralelogramos que tomam o nome de faces laterais. Exemplos de prismas: # $ " % -
    • ! " ! SUPERFÍCIES CÓNICAS E CONES Chama-se superfície cónica à superfície gerada por uma recta que passa por um ponto fixo e se move apoiando-se numa linha. Na figura ao lado está representada uma superfície cónica fechada cujo vértice é o ponto V, a geratriz é, por exemplo, a recta VA e a directriz é a linha fechada representada na figura que passa pelos pontos A, B, C e D. O ponto fixo é o vértice, a recta móvel a geratriz e a linha a directriz. Uma superfície cónica é dividida em duas partes pelo vértice, chamando-se cada uma delas folha da superfície cónica. Uma superfície cónica diz-se aberta ou fechada conforme é aberta ou fechada a sua directriz. Como caso particular das superfícies cónicas temos as superfícies piramidais em que a directriz é uma linha poligonal. Na figura ao lado está representada uma superfície piramidal cujo vértice é o ponto V, a geratriz a recta VE e a directriz a linha poligonal [ABCD]. As geratrizes que passam pelos vértices das linhas poligonais denominam-se arestas e as porções planas determinadas por duas arestas consecutivas denominam-se faces. Cone é o sólido limitado por uma folha de superfície cónica fechada e por um plano que intersecta todas as geratrizes. À porção de plano que limita o cone chama-se base, ao vértice da superfície chama-se vértice do cone e às porções das geratrizes compreendidas entre o vértice e a base dá-se o nome de geratrizes. Como caso particular do cone temos a pirâmide em que a base é um polígono e a superfície lateral é composta por triângulos. # $ " % .
    • ! " ! POLIEDROS Poliedros são sólidos limitados por polígonos. Os polígonos são as faces do poliedro (são as figuras planas que o limitam), os lados dos polígonos são as arestas do poliedro (são os segmentos de recta que limitam as faces), e os vértices dos polígonos são os vértices do poliedro (são os pontos de encontro das arestas). Os vértices, as arestas e as faces de um poliedro dizem-se os elementos do poliedro. Os poliedros podem ser Convexos ou Côncavos. Os poliedros são convexos quando se encontram todos para o mesmo lado em relação ao plano de qualquer uma das suas faces, ou seja, quando as suas faces deixam sempre as demais no mesmo semi-espaço. São exemplos de poliedros convexos: o cubo, o paralelepípedo, os prismas e as pirâmides. Caso contrário, os poliedros dizem-se côncavos. Exemplo de poliedros convexos: Exemplo de poliedros côncavos: # $ " %
    • ! " ! Em qualquer poliedro convexo verifica-se a relação de Euler: V + F =A + 2 Um poliedro diz-se regular quando as faces são polígonos regulares geometricamente iguais e, em cada vértice, convergem o mesmo número de arestas e de faces. POLIEDROS REGULARES CONVEXOS (SÓLIDOS PLATÓNICOS) NÃO POLIEDROS Os sólidos limitados, no todo ou em parte, por superfícies curvas chamam-se Não Poliedros. São exemplos de não poliedros os cilindros e os cones já referidos anteriormente, bem como a esfera. De entre estes são particularmente importantes os Sólidos de Revolução. São sólidos de revolução a esfera e alguns cilindros e cones. Cilindro de revolução é o sólido gerado por um rectângulo (rectângulo gerador) que roda em torno de um dos seus lados (eixo) até dar uma volta completa. # $ " % &
    • ! " ! O lado do rectângulo paralelo ao eixo é a geratriz do cilindro. Os dois lados perpendiculares ao eixo são chamados raios do cilindro e geram dois círculos que são as bases do cilindro. A altura de um cilindro de revolução é dada pela medida do seu eixo ou de qualquer das suas geratrizes. Cone de revolução é o sólido gerado por um triângulo rectângulo (triângulo gerador) que roda em torno de um dos seus catetos (eixo) até dar uma volta completa. A hipotenusa do triângulo gerador é a geratriz. O outro cateto é o raio do cone e gera um círculo que é base do cone. A altura de um cone de revolução é dada pela medida do seu eixo. Esfera é o sólido gerado por um semicírculo (semicírculo gerador) que roda em torno do seu diâmetro (eixo) até dar uma volta completa. O centro e o raio do semicírculo tomam, respectivamente, o nome de centro e raio da esfera. # $ " % '