Matemática Discreta. Análise Combinatória

1. Combinatória

2. Sumário
• Permutações
• Combinações
• Permutações e combinações com repetição

3. Permutações
• Uma permutação é um arranjo ordenado
de objetos.
• Exemplo:
‣ Um código numérico de quatro dígitos decimais
é uma permutação de 4 objetos
‣ 3457 é diferente de 7453

4. Número de Permutações
• O número de permutações de r objetos
distintos escolhidos entre n objetos
distintos é denotado por P(n, r).
• P(n, r) = n! / (n-r)!

5. Exemplo 1
• Quantas “cadeias” de 3 letras podem ser
formadas a partir da palavra “compilar”, se
nenhuma letra pode ser repetida?

6. Exemplo 2
• Dez atletas competem em um evento
esportivo. São dadas medalhas de ouro,
prata e bronze. De quantas maneiras
distintas podem ser dadas as medalhas?

7. Exemplo 3
• De quantas maneiras seis pessoas podem
se sentar em uma fileira de seis cadeiras?

8. Exemplo 4
• Uma biblioteca tem 4 livros sobre sistemas
operacionais, 7 sobre programação e 3
sobre estruturas de dados. De quantas
maneiras diferentes esses livros podem ser
arrumados em uma prateleira, dado que
todos os livros sobre um mesmo assunto
devem ficar juntos?

9. Casos Particulares
• P(n, 0) = n! / n! = 1
• P(n, 1) = n! / (n-1)! = n
• P(n, n) = n! / 0! = n!

10. Combinações
• Uma combinação é um conjunto de r
objetos distintos escolhidos entre n
objetos distintos.
‣ A ordem dos objetos não importa.

11. Número de Combinações
• O número de combinações de r objetos
distintos escolhidos entre n objetos
distintos é denotado por C(n, r).
• Pelo princípio da multiplicação:
‣ C(n, r) * r! = P(n, r)
• Logo, C(n, r) = P(n, r)/r! = n! / [(r!)*(n-r)!]

12. Exemplo 5
• Quantas mãos de pôquer (com 5 cartas
cada) podem ser distribuídas com um
baralho padrão (52 cartas)?

13. Exemplo 6
• Em um evento esportivo, 10 atletas
disputam vagas para as Olimpíadas.
Quantos grupos diferentes de atletas
podem ser classificados para as
Olimpíadas, se existem existem 3 vagas?

14. Casos Particulares
• C(n, 0) = 1
• C(n, 1) = n
• C(n, n) = 1

15. Exercícios
1. Um clube de futebol tem 18 jogadores. De
quantas maneiras pode-se escolher o time
titular (11 jogadores)?
2. Uma comissão de 8 alunos deve ser
escolhida em um grupo contendo 19 alunos
do primeiro ano e 34 do segundo. De
quantas maneiras podemos selecionar 3
alunos do primeiro ano e 5 do segundo.

16. Resumo
• A diferença entre combinações e
permutações consiste em se os objetos são
simplesmente selecionados ou se eles são
selecionados e ordenados.
‣ A ordem é relevante => Permutações
‣ A ordem não é relevante => Combinações

17. Exemplo 7
• Considere um grupo de 7 alunos: 4 alunos
de matemática e 3 alunos de física. De
quantas maneiras podemos formar uma
comissão com 2 alunos, contendo pelo
menos um aluno de matemática?

18. Eliminando Repetições
• Suponha que temos n objetos e k
subconjuntos desses objetos, tais que os
elementos dos subconjuntos são
indistinguíveis entre si. Neste caso, o
número de permutações distintas dos n
objetos é
n!
(n1!)(n2!)···(nk!)

19. Exemplo 8
• Quantas permutações distintas podem ser
feitas com os caracteres que formam a
palavras “Flórida”?
• Quantas permutações distintas podem ser
feitas com os caracteres que formam a
palavras “Mississipi”?

20. Permutações com
Repetições
• O número de permutações com repetições
de r objetos entre n objetos distintos é:
‣
‣ Neste caso, podemos ter r > n
P(n, r) = nr

21. Exemplo 9
• Quantos números binários podemos
formar com 3 dígitos?

22. Combinações com
Repetições
• O número de combinações com repetições
de r objetos entre n objetos distintos é:
‣
‣ Neste caso, podemos ter r > n
C(n, r) = (r+n−1)!
r!(n−1)!

23. Exemplo 10
• Um joalheiro, ao projetar uma jóia, decidiu
usar cinco pedras preciosas escolhidas
entre diamantes, rubis e esmeraldas. De
quantas maneiras diferentes podem ser
escolhidas as pedras?

24. Problema de Contagem Técnica (sugerida)
Possibilidades de resultados de
eventos sucessivos
Princípio da multiplicação
Possibilidades de resultados de
eventos disjuntos
Princípio da adição
Possibilidades de resultados dadas
escolhas específicas em cada etapa
Árvore de decisão
Elementos em partes da interseção
de conjuntos
Princípio de inclusão e exclusão
Arranjos ordenados de r objetos
distintos entre n objetos
P(n, r) = n! / (n-r)!
Arranjos ordenados de r objetos
entre n objetos
P(n, r) = nr
Maneiras de selecionar r objetos
distintos entre n objetos
C(n, r) = n! / r! (n-r)!
Maneiras de selecionar r objetos
entre n objetos
C(n, r) = (r+n-1)! / r! (n-1)!