1. สรุปสูตรเรื่องเซต
เซตว่าง () = เซตที่ n () = 0
เซตจากัด = เซตที่ n(A) 0,1,2,3,...,n เมื่อ n เป็นจานวนนับ
เซตอนันต์ = เซตที่ n(A) ไม่เป็นจานวนนับหรือ 0
1. การกระทาระหว่างเซต
1.1 AB {x xA หรือ xB}
1.2 AB {x xA และ xB}
1.3 AB {x xA แต่ xB}
1.4 A {x x แต่ xA}
2. ความสัมพันธ์ระหว่างเซต
2.1 (AB) AB
2.2 (AB) AB
2.3 ABAB
2.4 A(BC) (AB)(AC)
2.5 A(BC) (AB)(AC)
3. สับเซตและเพาเวอร์เซต
3.1 AB ถ้า xA แล้ว xB ข้อสังเกต 1. A B และ B A แล้ว A B
2. A B แล้ว AB A , AB B
3. A และ A A
3.2 P(A) {x x A} จานวนสมาชิกของ P(A) = จานวนสับเซตทั้งหมดของ เซต A n 2
3.3 สับเซตแท้ของเซต A คือ สับเซตทั้งหมดของ A ที่ไม่ใช่ตัวมันเอง มี 2 1 n สับเซต ไม่มีสับเซตแท้
3.4 P(A) และ P(A)
3.5 AP(A) แต่ A P(A)
3.6 การหาจานวนสับเซตทั้งหมดที่เป็นไปตามเงื่อนไข เช่น A {1,2,3,4,5} และ B {x A1,2x}
จงหา n(B) ดังนั้น n(B) 2 2 8 5 2 3
และถ้า C {x A1,2,3x} ดังนั้น n(C) 2 2 4 5 3 2
2. สรุปเรื่อง เซต
ความหมาย หรือคาจากัดความที่ควรทราบ
1. การเขียนเซต เขียนได้ 2 แบบ
1.1 การเขียนแบบแจกแจงสมาชิก
1.2 การเขียนแบบบอกเขื่อนไขของสมาชิก
2. การเท่ากันของเซต
2.1 AB ถ้า aA แล้ว aB และ ถ้า bB แล้ว bA
หรือ เซต 2 เซต นั้นจะต้องมีสมาชิกเหมือนกันทุกตัว
2.2 AB A B และ B A
2.3 ถ้า A B และ BC แล้ว A C
3. เซตที่เทียบเท่ากัน
เซต A เทียบเท่ากับ เซต B ก็ต่อเมื่อ n(A) n(B) หรือ เซต A และเซต Bมีจานวนสมาชิกเท่ากัน
4. เซตว่าง () หรือ { }
A n(A) 0
5. เซตจากัด
A เป็นเซตจากัด ก็ต่อเมื่อ n(A) = 0 หรือ จานวนเต็มบวก
6. เซตอนันต์
A เป็นเซตอนันต์ ก็ต่อเมื่อ A ไม่ใช่เซตจากัด
7. สับเซต
7.1 AB ถ้า aA แล้ว aB
3. 7.2 A เป็นสับเซตแท้ของ B ก็ต่อเมื่อ A B แต่ A B( ถ้าโจทย์ไม่กาหนดนิยามใด ๆมา ให้
เข้าใจว่า A B หมายถึงสับเซตใด ๆ ก็ได้ ซึ่ง A B ก็ได้ ) แต่ถ้าโจทย์ กาหนด A B
และ A B ให้เข้าใจว่า
A B หมายถึง A เป็นสับเซตแท้ ของ B ซึ่ง A B
A B หมายถึง A เป็นสับเซตใด ๆของ B ซึ่ง A B ก็ได้
7.3 จานวนสับเซตทั้งหมดของ n A 2 แต่จานวนสับเซตแท้ทั้งหมดของ A 2 1 n โดยที่ n เป็น
จานวนสมาชิกของเซต A
7.4 สมบัติที่ควรจา
7.4.1 A A ( เซตใด ๆก็ตาม จะเป็นสับเซตของตัวมันเองเสมอ )
7.4.2 A ( จะเป็นสับเซตของเซตใด ๆเสมอ แม้กระทั่งตัวมันเอง นั่นคือ )
7.4.3 ถ้า A B และ BCAC
การกระทาระหว่างเซต หรือ การดาเนินการระหว่างเซต( Operation on sets )
1. ยูเนียน ( Union of two sets ) แทนด้วยสัญลักษณ์
AB x xA xB มีสมบัติที่สาคัญดังนี้ คือ
1.1 สมบัติปิด A,B UAB U โดยที่ U แทนเอกภพสัมพัทธ ์
1.2 สมบัติสลับที่ AB BA
1.3 สมบัติเปลี่ยนกลุ่ม (AB)C A(BC) ABC
1.4 สมบัติการมีเอกลักษณ ์A A A
1.5 สมบัติการตัดออกไม่จริง ถ้า ABAC ไม่สามารถสรุปได้ว่า BC
1.6 UAAUU
1.7 AA A
1.8 ถ้า ABABB
2. อินเตอร์เซกชัน ( Intersection of two sets ) แทนด้วยสัญลักษณ์
AB x xA xB มีสมบัติที่สาคัญดังนี้ คือ
2.1 สมบัติปิด A,B UAB U
2.2 สมบัติสลับที่ AB BA
2.3 สมบัติเปลี่ยนกลุ่ม (AB)C A(BC) ABC
2.4 สมบัติการมีเอกลักษณ ์AUUAA
2.5 สมบัติการตัดออกไม่จริง ถ้า ABAC ไม่สามารถสรุปได้ว่า BC
2.6 A A
2.7 AA A
2.8 ถ้า ABABA
4. 3. คอมพลีเมนต์ของเซต หรือ ส่วนเติมเต็มของเซต ( Compliment of set ) แทนด้วยสัญลักษณ์ A
A C(A) x xU xA มีสมบัติที่สาคัญดังนี้ คือ
3.1 (A) A
3.2 xAxA หรือ xAxA
3.3 U และ U
3.4 (AB) AB และ (AB) AB
4. ผลต่างระหว่างเซต หรือ ตัวดาเนินการผลต่าง( Different of sets ) แทนด้วยสัญลักษณ์ -
AB x xA xB มีสมบัติที่สาคัญดังนี้ คือ
4.1 AB A(AB)A A
(AB)A AB
4.2 ABAB หรือ ABAB หรือ AA
4.3 A B B A แต่ ABBA
4.4 ABBAAB
5. ความสัมพันธ์ระหว่างตัวดาเนินการของเซต ที่ควรจา
5.1 (AB) AB และ (AB) AB
5.2 (AB)C (AC)(BC)
(AB)C (AC)(BC)
5.3 AA U และ AA
5.3 ABABAB
ABAABA
ABAAAB
AB A B
AB 1. A หรือ B ก็ได้ หรือ
2. A และ B เป็น disjoint set ( เซตที่ไม่มีสมาชิกร่วมกัน )
เพาเวอร์เซต (Power set )
P(A) x x A ในทานองเดียวกัน P(P(A)) x x P(A) นั่นคือ สมาชิกทุกตัวของ P(A) จะต้อง
เป็นเซตเท่านั้น มีสมบัติที่สาคัญดังนี้ คือ
1. การพิจารณาว่าข้อความต่อไปนี้ถูก หรือผิด ให้ยึดหลักดัง นี้
1.1 AP(B)A B
1.2 A P(B) ถ้า xAxP(B)
1.3 AP(B)A BAB
1.4 A P(B)AP(B)A B
2. P(A) , P(A) , P(A)
3. AP(A)A A
5. A P(A)AP(A)
4. P() และ P(P()) ,
5. ถ้า x n(A) x n(P(A)) 2
x 2 n(P(P(A))) 2 ข้อสังเกต จานวนอักษร P จะเท่ากับจานวนของเลข 2
6. A BP(A) P(B)
7. P(AB) P(A)P(B)
8. P(AB) P(A)P(B) แต่ P(AB) P(A)P(B)
9. P(A) P(A)
10. P(AB) P(A) P(B) แต่ P(AB) P(AB) P(A)P(B)
แผนภาพเวนน์ออยเลอร ์
A B AB AB B A A B
A B
A B
A B
A
จานวนสมาชิกในเซต
ถ้า A , B และ C เป็นเซตจากัด
1. nAB n(A) n(B) n(AB)
2. nAB n(A) n(B) n(AB) 0
3. nABC n(A) n(B) n(C) n(AB) n(BC) n(AC) n(ABC)
4. nA n(U) n(A)
4. nAB n(A) n(B)
*****************************