O documento discute sistemas de amortização de empréstimos, especificamente o Sistema de Amortização Francês. Explica como calcular as prestações constantes usando fatores de uma tabela e como o saldo devedor diminui a cada prestação de forma decrescente. Fornece também exemplos numéricos para ilustrar o cálculo.

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COMISSÃO DE VALORES MOBILIÁRIOS
Matemática Financeira
Marcos Luciano
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SISTEMAS DE AMORTIZAÇÕES
Denominamos de Sistemas de Amortização
às diferentes formas de devolução de um
empréstimo. Existem vários tipos Sistemas de
Amortização:
• Sistema de Amortização Constante
(SAC);
• Sistema de Amortização Francês
(tabela Price).
II. SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO FRANCÊS
(tabela Price).
O sistema de amortização francês possui
como principal característica o fato das
prestações serem constantes e serem
calculadas segunda uma renda certa
(anuidade):
EXEMPLO:
Considere um empréstimo de R$ 100.000,00
que será devolvido pelo Sistema de
Amortização Francês em 4 prestações
mensais e postecipadas à taxa de juros
composta de 10% ao mês. Construa a
planilha de pagamentos.
No caso do Sistema Francês o primeiro passo
é determinar a prestação:
Cálculo da prestação:
𝐴𝑡𝑢𝑎𝑙 = 𝑃𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎çã𝑜 ∙ 𝐹𝑎𝑡𝑜𝑟
⇒ 𝐴 = 𝑃 ∙ 𝑎 𝑛¬𝑖 ⇒ 100.000 = 𝑃 ∙ 𝑎4¬10%
Na tabela II encontra-se o fator:
𝑎4¬10% = 3,169865
RESOLUÇÃO:
Substituindo:
𝑃 =
100.000
𝑎4¬10%
=
100.000
3,169865
⇒ 𝑃 = 31.547,08
Características do Sistema Francês:
 As prestações são constantes;
 Os juros são decrescentes (já que o
saldo devedor diminui);
 A maior amortização do Sistema
Francês (Price) é a última;
 As amortizações são crescente e
obedecem uma progressão
geométrica. A amortização de um
período pode ser calculada através da
seguinte fórmula:
𝐴 𝑘 = 𝐴1 ∙ (1 + 𝑖) 𝑘−1
 A última cota de amortização é igual
ao penúltimo saldo devedor;
 O saldo devedor, após o pagamento
de determinada prestação, será
calculado através do valor atual das
prestações a vencer utilizando a
noção da amortização postecipada.
EXERCÍCIOS EM AULA
01. (APOFP ESAF) Um financiamento no
valor de R$ 76.060,80 deve ser pago em 15
prestações semestrais iguais de R$
10.000,00, vencendo as prestações ao fim
de cada semestre. Qual o valor mais
próximo da parcela que corresponde à
amortização do saldo devedor, na segunda
prestação?

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(A) R$ 2.394,00
(B) R$ 7.606,00
(C) R$ 2.897,00
(D) R$ 7.103,00
(E) R$ 2.633,00
RESOLUÇÃO:
02. (SEFAZ ESAF CE) Um financiamento
deve ser pago em dezoito prestações
mensais de R$ 1 000,00, vencendo a
primeira prestação ao fim de trinta dias e
assim sucessivamente. Dado que a taxa de
juros do financiamento é de 1% ao mês,
calcule o valor mais próximo dos juros
pagos na primeira prestação.
(A) R$ 164,00
(B) R$ 214,00
(C) R$ 260,00
(D) R$ 300,00
(E) R$ 328,00
RESOLUÇÃO:
03. (ANALISTA DE COMERCIALIZAÇÃO E
LOGÍSTICA JÚNIOR PETROBRÁS
BIOCOMBUSTÍVEL CESGRANRIO 2010)
Um empréstimo de R$ 3.500,00 será pago
em prestações mensais, iguais e
sucessivas de R$ 270,00, vencendo a
primeira um mês após o empréstimo. O
financiamento foi realizado a uma taxa de
juros compostos de 2% ao mês. O valor da
amortização, em reais, incluído na
segunda prestação, é:
(A) 200,00
(B) 201,00
(C) 202,00
(D) 203,00
(E) 204,00
RESOLUÇÃO:
04. (ANALISTA JUDICIÁRIO
CONTABILIDADE TSE CESPE) Um imóvel
no valor de R$ 120.000,00 foi totalmente
financiado em 60 prestações iguais,
utilizando-se o sistema francês de
amortização. O valor de cada prestação é
igual a R$ 6.340,00 e a taxa de juros
utilizada foi de 5% ao mês. Nessa situação,
a parcela de pagamento de juros e a
parcela de amortização da dívida incluídas
na 2.ª prestação a ser paga são iguais,
respectivamente, a:
(A) R$ 5.646,00 e R$ 694,00.
(B) R$ 5.733,00 e R$ 607,00.
(C) R$ 5.892,00 e R$ 448,00.
(D) R$ 5.983,00 e R$ 357,00.
RESOLUÇÃO:
RESOLUÇÃO:
05. (TÉCNICO DE SUPRIMENTO DE BENS
E SERVIÇOS ADMINISTRAÇÃO
PETROBRÁS CESGRANRIO) Genivaldo
contraiu um empréstimo de R$ 100.000,00
(cem mil reais), junto a uma instituição
financeira, para adquirir maquinário e
insumos agrícolas. Estabeleceu-se que a
dívida deveria ser quitada em vinte
parcelas, a taxa de juros efetiva de 30 % ao
ano. Foi acordado, ainda, que o principal
da dívida seria restituído em parcelas
iguais, e os juros, calculados sobre o

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saldo devedor imediatamente anterior,
sendo que a prestação mensal devida
compõe-se da respectiva cota de
amortização do principal, acrescida dos
juros correspondentes. Nesse sentido, o
sistema de amortização utilizado na
transação descrita foi:
(A) Amortização Constante.
(B) Amortização Francês (Tabela Price).
(C) Amortização Americano.
(D) Amortização Misto.
(E) Amortizações Variáveis.
RESOLUÇÃO:
ANÁLISE DE INVESTIMENTOS
FLUXO DE CAIXA
É a representação esquemática de uma
sucessão de pagamentos ou recebimentos,
em dinheiro, previstos para determinado
período de tempo. Consta de eixo horizontal
onde é marcado o tempo a partir da origem.
As entradas de dinheiro são indicadas por
setas orientadas para cima e as saídas por
setas para baixo. Daí:
𝐹𝑙𝑢𝑥𝑜 = 𝑅𝑒𝑐𝑒𝑖𝑡𝑎𝑠 – 𝐷𝑒𝑠𝑝𝑒𝑠𝑎𝑠
Onde:
 Receitas = entradas = recebimentos =
depósitos; são representados por seta
para cima ou sinal positivo.
 Despesas = saídas = pagamentos =
desembolsos = dispêndios; são
representados por setas para baixo ou
sinal negativo.
EXERCÍCIOS EM AULA
01. (AFRF ESAF) Calcular a soma dos
valores atuais, no momento zero, das
quantias que compõem o seguinte fluxo de
valores: um desembolso de R$ 2.000,00
em zero, uma despesa no momento um de
R$ 3.000,00 e nove receitas iguais de R$
1.000,00 do momento dois ao dez,
considerando que o intervalo de tempo
decorrido entre momentos consecutivos é
o mês e que a taxa de juros compostos é
de 3% ao mês.
Usar ainda a convenção de despesa negativa
e receita positiva, e desprezar os centavos.
(A) R$ 2.511,00
(B) R$ 0,00
(C) R$ 2.646,00
(D) R$ 3.617,00
(E) R$ 2.873,00
RESOLUÇÃO:
VALOR PRESENTE LIQUÍDO (VPL)
É o método que determina a diferença entre
os valores atuais (presentes) das entradas do
fluxo de caixa e os valores atuais (presentes)
das saídas do fluxo de caixa. Dai, pode – se
escrever que:
𝑉𝑃𝐿 = 𝑉𝑃𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑒 𝐸𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎𝑠 − 𝑉𝑃𝑟𝑒𝑛𝑠𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑠𝑎í𝑑𝑎𝑠
Importante:
1. O Valor Presente Líquido de um fluxo de
caixa pode ser indicado pela seguinte
expressão: Valor Atual do Fluxo de Caixa.
2. Existam três possibilidades para o VPL:
a) VPL ˃ 0 – lucro;
b) VPL = 0 – nem lucro, nem prejuízo;
c) VPL ˂ 0 – prejuízo.
3. Dois fluxos de caixa são equivalentes,
segundo uma determinada taxa de juros, se
tiverem o mesmo Valor Presente Líquido
(VPL).

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EXERCÍCIOS EM AULA
01. (TÉCNICO DE ADMINISTRAÇÃO E
CONTROLE PETROBRÁS CESGRANRIO)
Considere o fluxo de caixa representado a
seguir:
O valor presente líquido desse fluxo de
caixa, na data da zero, à taxa de 10% ao
ano, a juros compostos, em reais, é:
a) 6.000,00
b) 7.000,00
c) 11.800,00
d) 12.000,00
e) 15.705,00
RESOLUÇÃO:
02. (ANALISTA SERPRO) Considerando o
fluxo de caixa a seguir, com a duração de
dez períodos, calcule o seu valor atual em
zero, a uma taxa de juros de 10% ao
período.
(A) 222,44
(B) 228,91
(C) 231,18
(D) 243,33
(E) 250,25
RESOLUÇÃO:
RESOLUÇÃO:
TAXA INTERNA DE RETORNO (TIR)
É a taxa de juros compostos que torna o Valor
Presente Líquido (VPL) nulo.
Ou seja, é a taxa que iguala o valor presente
das entradas ao valor presente das saídas.
𝑇𝐼𝑅 ⇒ 𝑉𝑃𝐿 = 0
⇒ 𝑉𝑃𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑒 𝐸𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎𝑠
− 𝑉𝑃𝑟𝑒𝑛𝑠𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑠𝑎í𝑑𝑎𝑠 = 0
⇒ 𝑉𝑃𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑒 𝐸𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎𝑠 = 𝑉𝑃𝑟𝑒𝑛𝑠𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑠𝑎í𝑑𝑎𝑠
EXERCÍCIOS EM AULA
01. (AUDITOR PREFEITURA DE NATAL
ESAF) Apontando por V – Verdadeiro e F –
Falso, indique a opção correta para as
seguintes sentenças:
I. Um fluxo de caixa é uma série de capitais
(valores) dispostos numa sequência histórica
(de datas).
II. Dois (2) fluxos de caixa são equivalentes,
segundo uma determinada taxa de juros, se
tiverem o mesmo valor em determinada data
(valor atual, por exemplo).
02. (TÉCNICO BANCARIO CEF
CESGRANRIO CEF 2008) A tabela abaixo
apresenta o fluxo de caixa de um certo
projeto.
Para que a taxa interna de retorno anual
seja 5%, o valor de P, em milhares de
reais, deve ser:
(A) 216,5
(B) 217,5
(C) 218,5

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(D) 219,5
(E) 220,5
RESOLUÇÃO:
RESOLUÇÃO:
CUSTO REAL DE UM INVESTIMENTO –
TAXA REAL, TAXA APARENTE (NOMINAL)
E TAXA DE INFLAÇÃO
Ao se fazer um investimento a uma
determinada taxa, caso durante o período do
investimento ocorra inflação, o valor
resgatado foi teve seu valor real diminuído
(imagine o valor de compra, foi reduzido,
corroído) pela inflação.
Dessa forma, tem-se três taxas nessa
situação:
 Taxa do investimento - taxa aparente:
𝐴
 Taxa de inflação: 𝐼
 Taxa real: 𝑅
A fórmula que relaciona as três taxas é a
seguinte:
𝐹𝑎𝑡𝑜𝑟𝑅𝑒𝑎𝑙 =
𝐹𝑎𝑡𝑜𝑟𝐴𝑝𝑎𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒
𝐹𝑎𝑡𝑜𝑟𝑑𝑒 𝐼𝑛𝑓𝑙𝑎çã𝑜
⇒ (1 + 𝑅)
=
(1 + 𝐴)
(1 + 𝐼)
Importante: quando substituir na fórmula as
taxas, colocar na fórmula decimal.
EXERCÍCIOS EM AULA
01. (PETROBRAS CESGRANRIO 2011)
Uma aplicação financeira é realizada em
um período com inflação de 2,5%. Se a
taxa real foi de 5,6%, a taxa aparente da
aplicação no período foi de:
(A) 3,02%
(B) 3,10%
(C) 8,10%
(D) 8,24%
(E) 8,32%
RESOLUÇÃO:
02. (CONTADOR DNOCS FCC 2010) Uma
aplicação no valor de R$ 20.000,00
resultou, depois de um ano, em um
montante igual a R$ 22.260,00. Se a taxa de
inflação deste período foi de 5% significa
que a taxa anual real referente à aplicação
foi de:
(A) 5,6%.
(B) 5,8%.
(C) 6,0%.
(D) 6,3%.
(E) 6,5%.
RESOLUÇÃO: