Contenu connexe Similaire à Md1 2007-2 (20) Md1 2007-21. IInndduucccciióónn ccoommpplleettaa
EEll pprriinncciippiioo ddeell bbuueenn oorrddeenn:: ttooddoo ccoonnjjuunnttoo
nnoo vvaaccííoo ddee eenntteerrooss ppoossiittiivvooss ppoosseeee uunn
mmíínniimmoo..
2. PPrriinncciippiioo ddeell bbuueenn oorrddeenn
EEll pprriinncciippiioo ddeell bbuueenn oorrddeenn:: ttooddoo ccoonnjjuunnttoo
nnoo vvaaccííoo ddee eenntteerrooss ppoossiittiivvooss ppoosseeee uunn
mmíínniimmoo..
EEjjeemmpplloo:: AA=={{nn:: 22nn--((--11))nn nnoo eess mmúúllttiipplloo 33 }}
SSii nnoo ffuueerraa vvaaccííoo,, tteennddrrííaa uunn mmíínniimmoo mm..
11)) mm>>11 ppuueess 2211--((--11))11== 33
22)) ccoommoo 22mm--((--11))mm nnoo eess mmúúllttiipplloo ddee 33 Þ
22mm--11--((--11))mm--11 eess mmúúllttiipplloo ddee 33 ((¿ppoorrqquuéé??))
3. PPrriinncciippiioo ddeell bbuueenn oorrddeenn
PPeerroo ssii 22mm--11--((--11))mm--11 eess mmúúllttiipplloo ddee 33 Þ
((ccllaassee ppaassaaddaa)) 22mm--((--11))mm eess mmúúllttiipplloo ddee 33
¡¡CCoonnttrraaddiicccciióónn!! Þ AA eess vvaaccííoo..
EEqquuiivvaalleenncciiaa ddeell pprriinncciippiioo ddee bbuueenn oorrddeenn yy
eell ddee iinndduucccciióónn ccoommpplleettaa:: eejjeerrcciicciioo oo lleeeerr
GGrriimmaallddii TTeeoorreemmaa 44..11
4. IInndduucccciióónn ccoommpplleettaa ffuueerrttee
PPrriinncciippiioo ddee iinndduucccciióónn ffuueerrttee:: SSeeaa AA((nn))
uunnaa pprrooppoossiicciióónn aacceerrccaa ddeell eenntteerroo nn..
SSii ssaabbeemmooss qquuee::
AA((nn00)) ,, AA((nn00++11)),, ……,, AA((nn11)) eess vveerrddaaddeerraa yy
SSii kk ³ nn11 ,,ssiieemmpprree qquuee AA((nn00)) ,, AA((nn00++11)),, ……,, AA((kk))
sseeaa vveerrddaaddeerraa ssee ccuummppllee qquuee AA((kk++11)) ttaammbbiiéénn
lloo eess,,
EEnnttoonncceess AA((nn)) vvaallee ppaarraa ttooddoo nn³nn00..
5. IInndduucccciióónn ccoommpplleettaa ffuueerrttee
EEjjeemmpplloo:: TTooddoo nnaattuurraall mmaayyoorr qquuee 77 ssee
ppuueeddee eexxpprreessaarr ccoommoo ssuummaa ddee 33ss yy 55ss
PPrriinncciippiioo ddee iinndduucccciióónn ffuueerrttee aa AA((nn)) == ““nn
eess ssuummaa ddee 33ss yy 55ss””.. YY nn00 == 88..
DDeemmoossttrraarreemmooss qquuee
AA((88)) ,, AA((99)),, AA((1100)) ssoonn vveerrddaaddeerraass yy
SSii kk ³ 1100 ,, AA((88)) ,, AA((99)),, ……,, AA((kk)) vveerrddaaddeerraass Þ
AA((kk++11)) vveerrddaaddeerraa
6. IInndduucccciióónn ccoommpplleettaa ffuueerrttee
AA((88)) ,, AA((99)),, AA((1100)) ,, AA((1111)) ::
88 == 33++55,, 99 == 33++33++33,, 1100==55++55
kk ³ 1100 yy AA((88)) ,, AA((99)),, ……,, AA((kk)) vveerrddaaddeerraass Þ
AA((kk++11)) vveerrddaaddeerraa::
kk ³ 1100 Þ kk >> kk++11--33 ³ 88 Þ AA((kk++11--33)) vveerrddaaddeerraa
Þ kk++11--33 == 33++....++33++55++....++55 Þ
kk++11 == 33++ 33++....++33++55++....++55 Þ
AA((kk++11)) vveerrddaaddeerraa::
7. Inducción ccoommoo ffoorrmmaa ddee ccoonntteeoo
EEssqquueemmaa::
11)) ccuueennttoo aa ““mmaannoo”” aallgguunnooss ccaassooss ppaarraa
ddiiffeerreenntteess nn
22)) CCoonnjjeettuurroo uunnaa ffóórrmmuullaa
33)) LLaa ddeemmuueessttrroo ppoorr iinndduucccciióónn
8. Inducción ccoommoo ffoorrmmaa ddee ccoonntteeoo
EEjjeemmpplloo:: CCaannttiiddaadd ddee ssuubbccoonnjjuunnttooss ddee uunn ccoonnjjuunnttoo ccoonn
1100 eelleemmeennttooss..
00)) CCoonnssiiddeerroo eell pprroobblleemmaa ggeenneerraall ppaarraa nn eelleemmeennttooss yy aann
ddiicchhaa ccaannttiiddaadd
11)) ssii nn == 11 tteennggoo PP(({{11}})) == {{{{}},, {{11}}}}
Þ aa11 == 22
nn == 22 PP(({{11,,22}})) == {{{{}},, {{11}},, {{22}},,{{11,, 22}}}}
Þ aa22 == 44
nn == 33 PP(({{11,,22,,33}})) == {{{{}},,{{11}},, {{22}},,{{33}},,{{11,, 22}},,{{11,,33}},,{{22,,33}}
,,{{11,,22,,33}}}}
Þ aa22 == 88
9. Inducción ccoommoo ffoorrmmaa ddee ccoonntteeoo
EEjjeemmpplloo:: CCaannttiiddaadd ddee ssuubbccoonnjjuunnttooss ddee uunn ccoonnjjuunnttoo ccoonn
1100 eelleemmeennttooss..
00)) CCoonnssiiddeerroo eell pprroobblleemmaa ggeenneerraall ppaarraa nn eelleemmeennttooss yy aann
ddiicchhaa ccaannttiiddaadd
11)) ssii nn == 11 tteennggoo PP(({{11}})) == {{{{}},, {{11}}}}
Þ aa11 == 22 == 2211
nn == 22 PP(({{11,,22}})) == {{{{}},, {{11}},, {{22}},,{{11,, 22}}}}
Þ aa22 == 44 == 2222
nn == 33 PP(({{11,,22,,33}})) == {{{{}},,{{11}},, {{22}},,{{33}},,{{11,, 22}},,{{11,,33}},,{{22,,33}}
,,{{11,,22,,33}}}}
Þ aa22 == 88 == 2233
10. Inducción ccoommoo ffoorrmmaa ddee ccoonntteeoo
22)) CCoonnjjeettuurroo qquuee aann == 22nn
33)) DDeemmoossttrraacciióónn ppoorr iinndduucccciióónn::
BBaassee:: nn == 11 yyaa lloo cchheeqquuee
PPaassoo iinndduuccttiivvoo SSii vvaallee ppaarraa kk vvaallee ppaarraa kk++11::
SSeeaa SS Í AAkk++11 == {{11,,……,,kk++11}} eennttoonncceess
oo bbiieenn kk++11 Î SS oo bbiieenn kk++11 Ï SS.. Þ
PP((AAkk++11)) == {{SS ssiinn kk++11}} È {{SS ccoonn kk++11}}
PPeerroo {{SS ssiinn kk++11}} == PP((AAkk))
YY {{SS ccoonn kk++11}} == {{SS È {{kk++11}}:: SS ssiinn kk++11}} Þ
||{{SS ccoonn kk++11}}|| == ||{{SS ssiinn kk++11}}|| == aakk
Þ aakk++11 == aakk ++ aakk == 22kk ++ 22kk == 22kk++11..
11. DDeeffiinniicciioonneess rreeccuurrssiivvaass
EEjjeemmpplloo 11:: nn!! == nn´ ((nn--11))!! YY 00!! == 11
EEjjeemmpplloo 22:: CCmm
nn == CCmm--11
nn ++ CCmm--11
nn--11 yy
CCmm
mm == 11
VVeennttaajjaass::
CCáállccuulloo
DDeemmoossttrraacciióónn ppoorr iinndduucccciióónn
DDeessvveennttaajjaass:: PPrrooppiieeddaaddeess
14. Ejemplo de ddeemmoossttrraacciióónn uussaannddoo
llaa ddeeffiinniicciióónn rreeccuurrssiivvaa
CCoonnssiiddeerree llaa ssuucceessiióónn ddeeffiinniiddaa ppoorr
aann == aann--11 ++ aann--22 ssii nn ³ 22,,
yy aa00 == aa11 == 11
EEnnttoonncceess aa22 == aa11 ++ aa00 == 11 ++11 == 22
aa33 == aa22 ++ aa11 == 22 ++11 == 33
EEttcc
nn 00 11 22 33 44 55 66 77
aann 11 11 22 33 55 88 1133 2211
15. Ejemplo de ddeemmoossttrraacciióónn uussaannddoo
llaa ddeeffiinniicciióónn rreeccuurrssiivvaa
CCoonnjjeettuurraammooss qquuee aann ³ 22 nn " nn ³ 66
PPoorr iinndduucccciióónn ffuueerrttee ccoonn nn00 == 66 yy nn11 == 77..
PPaassoo bbaassee:: ssaallee ddee llaa ttaabbllaa..
PPaassoo iinndduuccttiivvoo:: ssuuppoonneemmooss vváálliiddaa llaa pprrooppoossiicciióónn ppaarraa nn ==
66,, 77,, ……,, kk ccoonn kk ³ 77 yy qquueerreemmooss ddeemmoossttrraarrllaa ppaarraa kk++11:: aakk++11
== aakk ++aakk--11
PPaarraa aapplliiccaarr hhiippóótteessiiss iinndduuccttiivvaa aa aakk yy aakk--11 ddeebbeemmooss
cchheeqquueeaarr qquuee kk yy kk--11 eessttáánn eennttrree 66 yy kk.. PPaarraa kk eess oobbvviioo,,
ppaarraa kk--11,, ssaallee ddee ccóómmoo kk ³ 77 Þ kk--11 ³
aakk ³ 22kk ++ 22((kk--11)) == 44kk--22 qquuee eess mmaayyoorr oo iigguuaall qquuee 22((kk++11))
ppaarraa ttooddoo kk ³ 22,, ppeerroo eessttaabbaammooss bbaajjoo llaa hhiippóótteessiiss ddee kk ³
66,, aassíí qquuee ssee ccuummppllee..
16. PPrriinncciippiioo ddee iinncclluussiióónn--eexxcclluussiióónn
¿CCuuaannttooss eenntteerrooss ddeell 11 aall 110000 nnoo ssoonn
mmúúllttiippllooss ddee 22 nnii ddee 33??
¿CCuuáánnttaass ssoolluucciioonneess eenntteerraass hhaayy aa llaa
eeccuuaacciióónn
xx++yy++zz++tt == 1188,, ccoonn xx,, yy,, zz,, tt <<==77
¿CCuuáánnttaass ffuunncciioonneess ssoobbrreeyyeeccttiivvaass hhaayy??
¿CCuuaannttaass ppeerrmmuuttaacciioonneess nnoo ddeejjaann
nniinngguunnoo ssíímmbboolloo eenn ssuu lluuggaarr oorriiggiinnaall??
18. DDiiaaggrraammaass ddee VVeennnn
Ventanal en el
comedor del
Gonville and Caius
College, Cambridge,
conmemorando la
estancia de Venn y su
principal
descubrimiento
21. PPrriinncciippiioo ddee iinncclluussiióónn--eexxcclluussiióónn
||((AA11
ccÇ……ÇAAnn
cc))|| ==
||UU|| -- ||((AA11È……È AAnn))cc||==
||UU|| -- ||AA11È……ÈAAnn|| ==
||UU|| -- ||AA11|| -- ||AA22|| --……-- ||AAnn|| ++
++ ||AA11ÇAA22|| ++ ||AA11ÇAA33||++ ……++||AAnn--11ÇAAnn||++ ||
AA11ÇAA22ÇAA33||++ …… ++ ||AAnn--22ÇAAnn--11ÇAAnn||--……
((--11))nn ||AA11ÇAA22Ç……ÇAAnn||
22. NNúúmmeerrooss ddee SSttiirrlliinngg
SSoobb((mm,, nn)) == Skk==00
mm CCmm
kk ((--11))kk ((nn--kk))mm
SS((mm,, nn)) == SSoobb((mm,,nn))//nn!!
SSoobb((mm,, nn)) == CCaanntt.. ddee ffoorrmmaass ddee ddiissttrriibbuuiirr
mm oobbjjeettooss ddiissttiinngguuiibblleess eenn nn ccaajjaass
ddiissttiinngguuiibblleess ssiinn qquuee qquueeddeenn ccaajjaass vvaaccííaass
SS((mm,, nn)) == CCaanntt.. ddee ffoorrmmaass ddee ddiissttrriibbuuiirr mm
oobbjjeettooss ddiissttiinngguuiibblleess eenn nn ccaajjaass
iinnddiissttiinngguuiibblleess ssiinn qquuee qquueeddeenn ccaajjaass
vvaaccííaass
23. RReessuummeenn ddee ttééccnniiccaass ddee ccoonntteeoo
BBáássiiccaass:: ccoommbbiinnaacciioonneess,, eettcc
IInndduucccciióónn ccoommpplleettaa
IInncclluussiióónn--eexxcclluussiióónn
PPrriinncciippiioo ddeell ppaalloommaarr
33. BBaallddoossaaddoo
EEnn ggeenneerraall ssii vvooyy aa ccoonnssttrruuiirr ccuuaallqquuiieerr
bbaallddoossaaddoo,, tteennggoo eexxaaccttaammeennttee ddooss ffoorrmmaass ddee
eemmppeezzaarr::
ccoonn uunnaa bbaallddoossaa vveerrttiiccaall oo
CCoonn ddooss bbaallddoossaass hhoorriizzoonnttaalleess
EEnn eell pprriimmeerr ccaassoo eell rreessttoo lloo bbaallddoossaammooss ccoommoo
ssii eell ppaattiioo ffuueerraa llaarrggoo nn--11 mmiieennttrraass qquuee eenn eell
sseegguunnddoo ccoommoo ssii ffuueerraa ddee nn--22
AAssíí aann == aann--11 ++ aann--22 mmiieennttrraass qquuee aa11 ==11 yy aa22 == 22..
34. BBaallddoossaaddoo
AAssíí aann == aann--11 ++ aann--22 mmiieennttrraass qquuee aa11 ==11 yy aa22 == 22..
DDee aaqquuíí llaa ssuucceessiióónn eess:: 11 22 33 55
88 1133 2211 3344 5555 8899 114444 223333
337777 661100 998877 11559977
DDee ddoonnddee hhaayy 11559977 ffoorrmmaass ddee bbaallddoossaarr
uunn ppaattiioo ddee 22xx1166..
Notes de l'éditeur Muchos problemas de conteo viene o son parametrizable por una variable natural n. Esto nos lleva a pensar en el siguiente esquema de resolución por inducción
Yang Hui (1238-1298)