Hinh giai tich on thi dai hoc 2013[giasuductri.edu.vn]

http://giasuductri.edu.vn -1

PH N I : M U

Phương pháp t a trong m t ph ng h c sinh ư c h c l p 10 THPT
và n chương trình 12 h c sinh ư c h c phương pháp t a trong không
gian .
Bài toán gi i tam giác trong h t a Oxy ( l p 10) hay trong h t a
Oxyz ( l p 12) thư ng g p trong các kỳ thi t t nghi p , tuy n sinh i h c .
Vi c ch n l a phương pháp gi i các d ng toán này i v i h c sinh
thư ng lúng túng , không nh hư ng ư c phương pháp , ho c h c sinh h c
l p 12 thư ng quên ki n th c l p 10 ho c chưa bi t cách v n d ng ki n th c
ãh c.
Bài toán gi i tam giác , gi i ư c n u bi t ư c t a ba nh c a nó
(khi ó ta có th vi t ư c phương trình các c nh , các trung tuy n , tính ư c
s o các góc , dài các c nh , chu vi , di n tích c a tam giác …)
Ta c p n trư ng h p bài toán ch cho t a 1 nh và hai y u t
còn l i là phương trình 2 ư ng cao ho c phương trình 2 ư ng trung tuy n
ho c phương trình 2 ư ng phân giác trong ho c phương trình 1 ư ng cao ,
1 ư ng trung tuy n ho c phương trình 1 ư ng cao , 1 ư ng phân giác
trong ho c phương trình 1 ư ng trung tuy n và 1 ư ng phân giác trong .
Trong h t a Oxy h c sinh có th vi t phương trình các c nh dư i
d ng t ng quát r i suy ra t a giao i m các c nh có ư c t a các
nh .
Tuy nhiên khi chuy n sang h t a Oxyz h c sinh s g p nhi u lung
túng .
Th c ti n trong quá trình gi ng d y tôi nh n th y phương pháp gi i bài
toán tam giác trong h t a Oxyz có th gi i tương t như trong h t a
Oxy b ng cách dùng phương trình tham s , t a i m hình chi u và i m
i x ng .
N u h c sinh n m v ng phương pháp gi i trong h t a Oxy d a vào
phương trình tham s thì có th d dàng gi i trong h t a Oxyz .
Tôi vi t tài :”Dùng phương trình tham s gi i tam giác trong h
t a Oxy và Oxyz “.V i m c ích giúp h c sinh l p 10 n m v ng phương
pháp gi i tam giác trong h t a Oxy , s không ng ngàng khi ti p c n ki n
th c tương t l p 12 . c bi t có th giúp h c sinh l p 12 chu n b ôn thi
t t nghi p cũng như ôn thi i h c ư c t t hơn .

GV. Nguy n Ng c Phúc – 0918 919 247


PH N II : N I DUNG

I/ TÓM T T LÝ THUY T LIÊN QUAN
1/ Phương trình tham s c a ư ng th ng trong m t ph ng
Trong h t a Oxy phương trình tham s c a ư ng th ng i qua i m
 x = x0 + at
M 0 ( x0 ; y0 ) và có vectơ ch phương u (a; b) là :  v i : a2 + b2 ≠ 0
 y = y0 + bt
2/ Phương trình tham s c a ư ng th ng trong không gian
+Trong h t a Oxyz, phương trình tham s c a ư ng th ng qua i m
 x = x0 + at

M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và có vectơ ch phương u ( a; b; c ) là :  y = y0 + bt
 z = z + ct
 0

v i : a2 + b2 + c2 ≠ 0
* Chú ý : N u bi t t a hai i m A , B thì ta có th l p ư c phương trình
tham s c a ư ng th ng i qua hai i m A , B
3/ i u ki n hai ư ng th ng c t nhau trong m t ph ng
Trong m t ph ng Oxy , cho hai ư ng th ng d1 , d 2 l n lư t có phương trình
tham s :
 x = x1 + a1t1  x = x2 + a2t2  x1 + a1t1 = x2 + a2t2
d1 :  d2 :  xét h : 
 y = y1 + b1t1  y = y2 + b2t2  y1 + b1t1 = y2 + b2t2
+ N u h có nghi m duy nh t (t1 ; t2 ) thì hai ư ng th ng c t nhau t i 1 i m ,
thay t1 vào d1 ho c t2 vào d2 ta ư c t a giao i m
4/ i u ki n hai ư ng th ng c t nhau trong không gian
Trong không gian Oxyz , cho hai ư ng th ng d1 , d 2 l n lư t có phương trình
 x = x1 + a1t1  x = x2 + a2t2
 
tham s : d1 :  y = y1 + b1t1 d 2 :  y = y2 + b2t2
z = z + c t z = z + c t
 1 11  2 2 2

 x1 + a1t1 = x2 + a2t2

xét h :  y1 + b1t1 = y2 + b2t2
z + c t = z + c t
 1 11 2 2 2

N u h có nghi m duy nh t (t1 ; t2 ) thì hai ư ng th ng c t nhau t i 1 i m



5/ T a i m i x ng c a m t i m qua m t i m :
N u C1 là i m i x ng c a C qua i m M trong m t ph ng Oxy thì :
 xC1 = 2 xM − xC


 yC1 = 2 yM − yC

N u C1 là i m i x ng c a C qua i m M trong không gian Oxyz thì :
 xC1 = 2 xM − xC


 yC1 = 2 yM − yC

 zC1 = 2 zM − zC

6/ Các bài toán liên quan :

Bài toán 1 : Tìm hình chi u c a m t i m M trên m t ư ng th ng d :
Cách 1 :
B1 : G i H là hình chi u c a M trên d suy ra t a c a H theo t
B2 : Tìm t a vectơ MH theo t , tìm VTCP u c a d
B3 : Gi i phương trình MH . u = 0 có t suy ra t a H
Cách 2 :
B1 : Vi t phương trình ư ng th ng qua d’ qua M và vuông góc v i d
d
B2 : Gi i h :  có t a i mH
d '
Bài toán 2 : Tìm i m i x ng c a m t i m M qua m t ư ng th ng d
B1 : Tìm hình chi u H c a M trên d
B2 : g i M’ là hình i m i x ng c a M qua d thì H là trung i m c a
o n MM’ , d a vào công th c t a trung i m suy ra t a M’

Ví d 1 Trong m t ph ng Oxy cho i m C(3;2) , và hai ư ng th ng d1 và d2
 x = 2 + t1  x = 1 + t2
l n lư t có phương trình d1 :  , d2 
 y = 3 + t1  y = 4 − 2t2
a) Tìm t a hình chi u vuông góc c a M c a C trên d1 và N c a C
trên d2
b) Tìm t a i m i x ng C1 c a C qua d1 và i m i x ng C2 c a
C qua d2



Gi i : a)
* Tìm t a i mM C
M∈d1 ⇒ M (2 + t1;3 + t1 ) M
N
CM = ( −1 + t1;1 + t1 )
d1 có vectơ ch phương u1 = (1;1)
A B
Ta có CM .u1 = 0 ⇔ −1 + t1 + 1 + t1 = 0 ⇔ t1 = 0
V y M(2;3)
*Tìm t a N:
N∈d2 ⇒ N (1 + t2 ; 4 − 2t2 )

CN = (−2 + t2 ;2 − 2t2 )

d2 có vectơ ch phương u2 = (1; −2)
6
Ta có CN .u2 = 0 ⇔ −2 + t2 − 4 + 4t2 = 0 ⇔ t2 =
5
 11 8 
V y N ; 
 5 5
b) C1 là i m i x ng c a C qua d1 suy ra M là trung i m CC1
 xC1 = 2 xM − xC = 4 − 3 = 1

Do ó  V y C1(1;4)
 yC1 = 2 yM − yC = 6 − 2 = 4

C2 là i m i x ng c a C qua d2 suy ra N là trung i m CC2
 22 7
 xC2 = 2 xN − xC = 5 − 3 = 5
 7 6
Do ó  V y C2 =  ; 
 y = 2 y − y = 16 − 2 = 6 5 5
 C2

N C
5 5
Ví d 2 Trong m t ph ng Oxy cho i m C(3;2;3) , và hai ư ng th ng d1 và
 x = 2 + t1  x = 1 + t2
 
d2 l n lư t có phương trình d1 :  y = 3 + t1 , d2 :  y = 4 − 2t2
 z = 3 − 2t z = 3 + t
 1  2

a) Tìm t a hình chi u vuông góc M c a C trên d1 và N c a C trên d2
b) Tìm t a i m i x ng C1 c a C qua d1 và i m i x ng C2 c a
C qua d2



Gi i : a) C
* Tìm t a i mM
N M
M∈d1 ⇒ M (2 + t1;3 + t1;3 − 2t1 )

CM = ( −1 + t1;1 + t1 − 2t1 )
d1 có vectơ ch phương u1 = (1;1; −2) A B
Ta có CM .u1 = 0 ⇔ −1 + t1 + 1 + t1 + 4t1 = 0 ⇔ t1 = 0
V y M(2;3;3)
*Tìm t a i mN:
N∈d2 ⇒ N (1 + t2 ; 4 − 2t2 ;3 + t2 )

CN = (−2 + t2 ;2 − 2t2 ; t2 )

d2 có vectơ ch phương u2 = (1; −2;1)

Ta có CN .u2 = 0 ⇔ −2 + t2 − 4 + 4t2 + t2 = 0 ⇔ t2 = 1
V y N ( 2; 2; 4 )
b) C1 là i m i x ng c a C qua d1 suy ra M là trung i m CC1
 xC = 2 xM − xC = 4 − 3 = 1
 1

Do ó  yC1 = 2 yM − yC = 6 − 2 = 4 V y C1(1;4;3)

 zC1 = 2 z M − zC = 6 − 3 = 3

C2 là i m i x ng c a C qua d2 suy ra N là trung i m CC2
 xC = 2 xN − xC = 4 − 3 = 1
 2

Do ó  yC2 = 2 y N − yC = 4 − 2 = 2 V y C2 = (1; 2;5)

 zC2 = 2 z N − zC = 8 − 3 = 5

II/GI I TAM GIÁC TRONG H T A Oxy
Bài toán t ng quát 1 :
Trong m t ph ng Oxy cho tam giác ABC bi t i m C(a;b) và hai ư ng
th ng c t nhau d1 , d 2 không i qua C l n lư t có phương trình tham s :
 x = x1 + a1t1  x = x2 + a2t2
d1 :  d2 : 
 y = y1 + b1t1  y = y2 + b2t2
Hãy tìm t a các nh A, B trong các trư ng h p :



1.1/ d1 , d 2 là hai ư ng cao .
1.2/ d1 , d 2 là hai ư ng trung tuy n .
1.3/ d1 , d 2 là hai ư ng phân giác trong góc A , B
1.4/ d1 là ư ng cao , d 2 là trung tuy n
1.5/ d1 là ư ng cao , d 2 là phân giác trong
1.6/ d1 là trung tuy n , d 2 là phân giác trong C
Phương pháp
N M
1.1/ d1 , d 2 là hai ư ng cao .
Gi s d1 là ư ng cao AM , d2 là ư ng cao BN d2
d1
+ Vi t phương trình tham s CB : A B
Cách 1: - Tìm hình chi u M c a C trên d1
- CB có VTCP là CB qua C suy ra phương trình tham s CB
Cách 2 : - CB có VTCP là VTPT c a d1 i qua C
 BC
+ Gi i h  có t a i mB
d 2
Tương t :
+ Vi t phương trình tham s CA
Cách 1: - Tìm hình chi u N c a C trên d2
- CA có VTCP là CN qua C suy ra phương trình tham s CA
Cách 2 : CA có VTCP là VTPT c a d2 và i qua C
 AC
+ Gi i h  có t a i mA
d1
1.2/ d1 , d 2 là hai ư ng trung tuy n . C
M
Gi s d1: là trung tuy n AM ; d2 là trung tuy n BN N
+ M∈d1 suy ra t a M theo t1 d1 d2
+ M là trung i m CB suy ra t a B theo t1
A B
+ B∈ d2 nên có h theo t1 và t2 . Gi i h có t1 suy ra t a i mB
Tương t :



+ N∈d2 suy ra t a N theo t2
+ N là trung i m CA suy ra t a A theo t2
+ A∈ d1 nên có h theo t1 và t2 . Gi i h có t2 suy ra t a i mA
* Chú ý : Có th gi i theo cách khác :
+ Tìm t a tr ng tâm G c a tam giác ;+ Tìm i m i x ng D c a C qua G
+ Vi t phương trình ư ng th ng qua d’1 qua D song song v i d2
+ Vi t phương trình ư ng th ng qua d’2 qua D song song v i d1
d '1  d '2
+ Gi i h  có t a A ; Gi i h  có t a B
d1 d 2
+ Tìm t a i m C1 là i m i x ng c a C qua d1 ; C1 ∈ AB
+ Tìm t a i m C2 là i m i x ng c a C qua d1 ; C2 ∈ AB
+Vi t phương trình tham s C1C2 là phương trình c a AB C
C1C2
+ T a c a A là nghi m c a h : 
d1 M
N
C1C2
+ T a c a B là nghi m c a h :  d1 d2
d 2
A C2 C1 B
1.4/. d1 là ư ng cao , d 2 là trung tuy n
Gi s d1: là ư ng cao AM ; d2 là trung tuy n BN C
M
+ Vi t phương trình c nh CB (như trên)
N
CB
+ Gi i h  tìm t a i mB d1 d2
d 2
A B
+ Dùng tính ch t trung i m N thu c BN , N là trung i m AC và A thu c
AM suy ra t a i mA
C
1.5/ d1 là ư ng cao , d 2 là phân giác trong M
Gi s d1: là ư ng cao AM ; N
d2 là phân giác trong BN d1 d2
+ Vi t phương trình c nh CB A C1 B
CB
+ Gi i h  tìm t a i mB
d 2



+ Tìm t a i m C2 là i m i x ng c a C qua d2 ( C2 thu c AB)
+ Vi t phương trình BC2 (BA)
 BA
+ Gi i h  có t a i mA.
d1

1.6/ d1 là trung tuy n , d 2 là phân giác trong
Gi s d1: là ư ng trung tuy n AM ; d2 là phân giác trong BN
+ M thu c d2 ,
C
M là trung i m AC , ⇒ t a B
C thu c d1 ta suy t a i mB
M
+ Tìm C2 là i m i x ng c a C qua d2 N d1
+ Vi t phương trìnhtham s BC2 (BA) d2
 BA
+ Gi i h  có t a i mA A C2 B
d1
* Nh n xét : + H c sinh ch c n n m v ng ba bài toán 1.1 , 1.2 , 1.3 thì vi c
gi i các bài toán 1.4 , 1.5 , 1.6 ơn gi n hơn
2.Bài t p áp d ng
Bài t p 1.1 Trong m t ph ng Oxy cho i m C(3;2) , ư ng cao d1 có phương
 x = 2 + t1  x = 1 + t2
trình :  , ư ng cao d2 có phương trình 
 y = 3 + t1  y = 4 − 2t2
Tìm t a nh A,B
Gi i :(tóm t t) C
G i d1 là ư ng cao qua A ; d2 là ư ng cao qua B
N M
*Tìm t a i mB
+Tìm hình chi u vuông góc c a M trên d1
M(2;3) (Ví d 1a) d1 d2
A B
+CB có VTCP là CM (−1;1) qua C(3;2)
x = 3 − t
nên CB có PTTS là : 
y = 2 + t
( cách khác BC có VTCP là uBC = n1 = (−1;1) )



1 + t2 = 3 − t t + t = 2 t = 0
+ B = BC ∩ d 2 gi i h :  ⇔2 ⇔2
4 − 2t2 = 2 + t  2t2 + t = 2 t = 2
Suy ra B(1;4)
*Tìm t a i mA:
 11 8 
+Tìm hình chi u vuông góc c a N trên d2 : N  ;  (Ví d 1a)
 5 5
5
+CA có VTCP là − CN = (2;1) qua C(3;2) Nên AC có phương trình tham s
2
 x = 3 + 2t
là  (Cách khác :CA có VTCP là u AC = n2 = (2;1) )
y = 2 + t
2 + t1 = 3 + 2t t − 2t = 1 t = −3
+ A = AC ∩ d1 gi i h :  ⇔1 ⇔1
3 + t1 = 2 + t t1 − t = −1 t = −2
Suy ra A(-1;0) . V y A(-1;0) ; B(1;4)
Bài t p 1.2 . Trong m t ph ng Oxy cho i m C(3;2) , trung tuy n d1 có
 x = 2 + t1  x = 1 + t2
phương trình :  , trung tuy n d2 có phương trình 
 y = 3 + t1  y = 4 − 2t2
Tìm t a nh A , B C
Gi i : G i d1 là trung tuy n AM , d2 là trung tuy n BN
*Tìm t a i mB N M
+ M thu c AM nên M (2 + t1;3 + t1 ) ,
+M là trung i m BC Nên B(1 + 2t1;4 + 2t1 ) d1 d2
A B
+B thu c BN nên có h
1 + 2t1 = 1 + t2  2t − t = 0 t = 0
 ⇔ 1 2 ⇔1 suy ra B(1;4)
4 + 2t1 = 4 − 2t2  2t1 + 2t2 = 0 t2 = 0
*Tìm t a i mA
+N thu c BN nên N (1 + t2 ; 4 − 2t2 ) , N là trung i m AC nên A(−1 + 2t2 ;6 − 4t2 )
−1 + 2t2 = 2 + t1  2t − t = 3 t = −1
A thu c AM nên có h  ⇔ 2 1 ⇔1
6 − 4t2 = 3 + t1  4t2 + t1 = 3 t2 = 1
Suy ra A(1;2) . V y A(1;2) ; B(1;4)

Bài t p 1.3 .



Trong m t ph ng Oxy cho i m C(3;2) , phân giác trong AM có phương
 x = 2 + t1  x = 1 + t2
trình d1 :  , phân giác trong BN có phương trình d2 : 
 y = 3 + t1  y = 4 − 2t2
Tìm t a nh A , B
Gi i :
+G i C1 là i m i x ng c a C qua d1 C

Ta có C1 (1; 4 ) (Ví d 1b)
N M
+G i C2 là i m i x ng c a C d2
7 6
Ta có C2  ;  (Ví d 1b)


5 5 A B
2 14  5 C2 C1
+ C1C2 =  ; −  AB có VTCP là u AB = C1C2 = (1; −7) +
5 5 2
x = 1+ t
Phương trình AB là : 
 y = 4 − 7t
 1
t=
2 + t1 = 1 + t t1 − t = −1  4

+ A = AB ∩ AM xét h  ⇔ ⇔
3 + t1 = 4 − 7t t1 + 7t = 1 t = − 3
1
 4
5 9
Suy ra A  ; 

4 4
1 + t2 = 1 − t t + t = 0 t = 0
+ B = AB ∩ BN xét h  ⇔2 ⇔
4 − 2t2 = 4 + 7t  2t2 + 7t = 0 t2 = 0
5 9
Suy ra B (1;4 ) . V y : A  ;  ; B (1;4 )
4 4
Bài t p 1.4 .
Trong m t ph ng Oxy cho i m C(3;2) , ư ng cao d1 có phương trình :
 x = 2 + t1  x = 1 + t2
d1 :  , trung tuy n d2 có phương trình d2 : 
 y = 3 + t1  y = 4 − 2t2
Tìm t a nh A , B
Gi i : Áp d ng bài t p 1.1 có B(1;4); Áp d ng bài t p 1.2 có A(1;2)
Bài t p 1.5 .



Trong m t ph ng Oxy cho i m C(3;2) , ư ng cao AM có phương trình
 x = 2 + t1  x = 1 + t2
d1 :  , ư ng phân giác trong BN có phương trình d2 : 
 y = 3 + t1  y = 4 − 2t2
Tìm t a nh A , B C
Gi i :
+ Áp d ng bài t p 1.1 có B(1;4) N M
+G i C2 là i m i x ng c a C qua d2
7 6 d2
Áp d ng ví d 1.b có C2  ;  A B
5 5
C2
 2 14  5
+ BC2 =  ; −  AB có VTCP là u AB = BC2 = (1; −7)
5 5  2
x = 1+ t
Phương trình AB là : 
 y = 4 − 7t
 1
t=
2 + t1 = 1 + t t1 − t = −1  4

+ A = AB ∩ AM xét h  ⇔ ⇔
3 + t1 = 4 − 7t t1 + 7t = 1 t = − 3
1
 4
5 9 5 9
suy ra A  ;  . V y A  ;  ;B(1;4)
4 4 4 4
Bài t p 1.6 .
Trong m t ph ng Oxy cho i m C(3;2) , ư ng trung tuy n AM có
 x = 2 + t1
phương trình d1 :  , ư ng phân giác trong BN có phương trình
 y = 3 + t1
 x = 1 + t2
d2:  . Tìm t a nh A , B C
 y = 4 − 2t2
Gi i : N M
Áp d ng bài t p 1.2 có B(1;4)
5 9
Áp d ng bài t p 1.5 có A  ;  A B
4 4
C1

*T các bài toán trên rút ra kinh nghi m khi gi i tam giác trong h t a
Oxy : + N u bài toán có liên quan n ư ng cao c n chú ý n i m hình



chi u c a nh ã bi t trên ư ng cao ho c VTPT c a ư ng cao ho c tìm
VTCP c a c nh và vi t phương trình tham s c a c nh tam giác
+ N u bài toán có liên quan n trung tuy n c n lưu ý n tính ch t
trung i m .
+ N u bài toán có y u t ư ng phân giác trong c n lưu ý n i m i
x ng c a nh ã bi t qua ư ng phân giác trong ó .
III/GI I TAM GIÁC TRONG H T A Oxyz
Bài toán t ng quát 2 :
Trong không gian Oxyz cho tam giác ABC bi t i m C(a;b;c) và hai ư ng
th ng c t nhau d1 , d 2 không i qua C l n lư t có phương trình tham s :
 x = x1 + a1t1  x = x2 + a2t2
 
d1 :  y = y1 + b1t1 d 2 :  y = y2 + b2t2
z = z + c t z = z + c t
 1 11  2 2 2

Hãy tìm t a các nh A, B trong các trư ng h p :
1.1/ d1 , d 2 là hai ư ng cao c a tam giác .
1.2/ d1 , d 2 là hai ư ng trung tuy n c a tam giác.
1.4/ d1 là ư ng cao , d 2 là trung tuy n c a tam giác
1.5/ d1 là ư ng cao , d 2 là phân giác trong c a tam giác
1.6/ d1 là trung tuy n , d 2 là phân giác trong c a tam giác
Phương pháp gi i:
Tương t như gi i các bài toán tam giác trong h t a t a Oxy ta
ch dùng PTTS c a ư ng th ng trong không gian gi i
2.Bài t p áp d ng
Bài t p 2.1 . Trong m t không Oxyz cho i m C(3;2;3) , ư ng cao d1 có
 x = 2 + t1  x = 1 + t2
 
phương trình :  y = 3 + t1 , ư ng cao d2 có phương trình  y = 4 − 2t2
 z = 3 − 2t z = 3 + t
 1  2

Tìm t a nh A , B
Gi i :



Gi s d1 là ư ng cao qua A d2 là ư ng cao qua B
*Tìm t a nh B : A
B
+ Tìm hình chi u M c a C trên d1
N M
M(2;2;3) ( ví d 2a)
+CB có VTCP là CM = (−1;1;0) qua C(3;2;3) C
x = 3 − t

Do ó phương trình tham s c a CB là :  y = 2 + t
z = 3

1 + t2 = 3 − t
 t2 = 0
+ B = BC ∩ BN nên xét h : 4 − 2t2 = 2 + t ⇔  suy ra B(1;4;3)
3 + t = 3 t = 2
 2

*Tìm t a c aA:
+G i N là hình chi u vuông góc c a C trên d2 suy ra N(2;2;4) (ví d 2a)
x = 3 − t

+CA có VTCP là CN = (−1;0;1) qua C nên có PTTS là :  y = 2
z = 3 + t

2 + t1 = 3 − t
 t = −1
+ A = AC ∩ AM nên xét h : 3 + t1 = 2 ⇔1 suy ra A(1;2;5)
3 − 2t = 3 + t t = 2
 1
V y : A(1;2;5) , B(1;4;3)
*Nh n xét : có th tìm VTCP c a CB , CA theo cách :
+ AM có VTCP là u1 = (1;1; −2) ; BN có VTCP là u2 = (1; −2;1)
1
M t ph ng (ABC) có VTPT là n = − [u1 , u2 ] = (1;1;1)
3
 BC ⊥ u1
 1
 ⇒ BC có VTCP là u BC = [u1 , n] = (1; −1;0)
 BC ⊥ n
 3
 AC ⊥ u1
 1
+ ⇒ AC có VTCP là u AC = [u2 , n] = ( −1;0;1)
 AC ⊥ n
 3

Rõ ràng cách làm này h c sinh s khó hi u và r c r i hơn . H c sinh ch
c n n m v ng cách tìm hình chi u c a m t i m trên m t ư ng th ng d a
vào PTTS thì có th gi i quy t ư c bài toán m t cách t nhiên hơn



Bài t p 2.2 . Trong m t không Oxyz cho i m C(3;2;3) , hai ư ng trung
 x = 2 + t1  x = 1 + t2
 
tuy n AM , BN có phương trình d1 :  y = 3 + t1 , d2 :  y = 4 − 2t2
 z = 3 − 2t z = 3 + t
 1  2

Tìm t a nh A,B
Gi i :
*Tìm t a nh B : (d a vào tính ch t trung i m)
+ M thu c AM nên M (2 + t1;3 + t1;3 − 2t1 ) A B
+ M là trung i m BC nên B(1 + 2t1;4 + 2t1;3 − 4t1 )
N M
+ B thu c BN nên có h :
1 + 2t1 = 1 + t2  2t1 − t2 = 0 C
  t1 = 0
4 + 2t1 = 4 − 2t2 ⇔  2t1 + 2t2 = 0 ⇔  suy ra B(1;4;3)
3 − 4t = 3 + t  4t + t = 0 t2 = 0
 1 2  1 2
*Tìm t a nh A : (d a vào tính ch t trung i m )
+N thu c BN nên N (1 + t2 ; 4 − 2t2 ;3 + t2 ) ,
+N là trung i m AC nên A(−1 + 2t2 ;6 − 4t2 ;3 + 2t2 )
−1 + 2t2 = 2 + t1  2t2 − t1 = 3
  t1 = −1
+A thu c AM nên có h 6 − 4t2 = 3 + t1 ⇔  4t2 + t1 = 3 ⇔ 
3 + 2t = 3 − 2t t + t = 0 t2 = 1
 2 1 2 1
Suy ra A(1;2;5) . V y A(1;2;5) , B(1;4;3)

Bài t p 2.3 . Trong m t không gian Oxyz cho i m C(3;2;3) , hai ư ng phân
 x = 2 + t1  x = 1 + t2
 
giác trong AM và BN có phương trình d1 :  y = 3 + t1 , d2 :  y = 4 − 2t2 .
 z = 3 − 2t z = 3 + t
 1  2

Tìm t a nh A , B
A C2 C1
Gi i : B
+G i C1 là i m i x ng c a C qua d1 D
M
C1 (1; 4;3) (Ví d 2b) N

+G i C2 là i m i x ng c a C qua d2 C



C2 (1; 2;5 ) (Ví d 2b)
1
+ C1C2 = ( 0; 2; −2 ) AB có VTCP là u AB = C1C2 = (0;1; −1)
2
x = 1

Phương trình tham s c a AB là :  y = 4 + t
z = 3 − t

2 + t1 = 1 t1 = −1
   t = −2
+ A = AB ∩ AM xét h 3 + t1 = 4 + t ⇔ t1 − t = 1 ⇔ 
3 − 2t = 3 − t 2t − t = 0 t1 = −1
 1  1
Suy ra A (1;2;5 )

1 + t2 = 1 t2 = 0
  t = 0
+ B = AB ∩ BN xét h 4 − 2t2 = 4 + t ⇔ 2t2 + t = 0 ⇔ 
3 + t = 3 − t t + t = 0 t2 = 0
 2 2
Suy ra B (1; 4;3) . V y A (1; 2;5 ) , B (1; 4;3)

Bài t p 2.4 . Trong m t không Oxyz cho i m C(3;2;3) , ư ng cao AM có
 x = 2 + t1  x = 1 + t2
 
phương trình d1 :  y = 3 + t1 , trung tuy n BN là d2 :  y = 4 − 2t2
 z = 3 − 2t z = 3 + t
 1  2

Tìm t a nh A , B
A
Gi i : B
+ Áp d ng bài t p 2.1 có B(1;4;3) N M
+ Áp d ng bài t p 2.2 có A(1;2;5)
C
Bài t p 2.5 . Trong không gian Oxyz cho i m C(3;2;3)
 x = 2 + t1

ư ng cao AM có phương trình d1:  y = 3 + t1 , ư ng phân giác trong BN
 z = 3 − 2t
 1

 x = 1 + t2

có phương trình d2 :  y = 4 − 2t2 . Tìm t a các nh A , B
z = 3 + t
 2



Gi i
A C2
+ Áp d ng bài t p 2.1 có B(1;4;3) B
+G i C2 là i m i x ng c a C qua d2 M
C2 (1; 2;5 ) (Ví d 2b) N
C
1
+ C2 B = ( 0;2; −2 ) AB có VTCP là u AB = C2 B = (0;1; −1)
2
x = 1

Phương trình AB là :  y = 4 + t
z = 3 − t

2 + t1 = 1 t1 = −1
   t = −2
+ A = AB ∩ AM xét h 3 + t1 = 4 + t ⇔ t1 − t = 1 ⇔ 
3 − 2t = 3 − t 2t − t = 0 t1 = −1
 1  1
suy ra A (1; 2;5 ) .V y A (1;2;5 ) , B(1;4;3)
Bài t p 2.6 . Trong m t không Oxyz cho i m C(3;2;3) , trung tuy n AM có
 x = 2 + t1

phương trình d1 :  y = 3 + t1 , ư ng phân giác trong BN có phương trình
 z = 3 − 2t
 1

 x = 1 + t2

d2:  y = 4 − 2t2 . Tìm t a nh B , C
z = 3 + t
 2

Gi i
+Áp d ng bài t p 2.2 có B(1;4;3) A C2
B
+Áp d ng bài t p 2.5 có A (1; 2;5 )
M
V y A (1; 2;5 ) , B(1;4;3) N
C
*Nh n xét :
Phương pháp gi i tam giác trong h t a Oxyz hoàn toàn tương t như
trong h t a Oxy . H c sinh ch c n n m v ng cách gi i các bài toán
tương t trong m t ph ng suy ra các bài toán 2.1, 2.2,2.3 . T các bài toán
này có th gi i ư c các bài 2.4 , 2.5 ,2.6

PH N III : K T LU N



Có th có nhi u phương pháp gi i bài toán tam giác trong h t a Oxy
, hay h t a Oxyz . Nhưng theo tôi , v i vi c ch n l a phương trình tham
s gi i quy t các bài toán trên th t là ơn gi n , r t t nhiên , minh b ch và
d s d ng . Hơn n a khi bài toán cho d1 ho c d2 dư i d ng chính t c ho c
t ng quát ta có th chuy n v d ng PTTS gi i .
c bi t khi chuy n t phương pháp t a trong m t ph ng sang
phương pháp t a trong không gian , h c sinh v n d ng không h lúng túng
, h c sinh d dàng nh cách làm trong m t ph ng suy ra cách làm trong
không gian .
Qua th c t gi ng d y nhi u năm , h c sinh ch c n n m v ng ư c
phương pháp gi i bài toán 1.1,1.2,1.3 thì có th gi i ư c các bài toán 1.4, 1.5
,1.6 , 2.1 , 2.2 , 2.3 , 2.4 , 2.5 , 2.6 hoàn toàn b ng cách tương t . Nói chung là
gi i quy t ư c l p các bài toán tam giác trong h t a Oxy và Oxyz ch
d a vào phương trình tham s .
tài không tránh kh i thi u sót , r t mong s góp ý c a ng nghi p

TÀI LI U THAM KH O :

1/ Sách giáo khoa hình h c l p 10
2/ Sách giáo khoa hình h c l p 12

M CL C

1) Ph n m d u : Trang 2
2) Tóm t t lý thuy t liên quan Trang 3
3) Gi i tam giác trong h t a Oxy Trang 5
4) Gi i tam giác trong h t a Oxyz Trang 13
5) Ph n k t lu n Trang 17


Hinh giai tich on thi dai hoc 2013[giasuductri.edu.vn]

Recommandé

Recommandé

Contenu connexe

Tendances

Tendances (20)

En vedette

En vedette (7)

Similaire à Hinh giai tich on thi dai hoc 2013[giasuductri.edu.vn]

Similaire à Hinh giai tich on thi dai hoc 2013[giasuductri.edu.vn] (20)

Plus de Gia sư Đức Trí

Plus de Gia sư Đức Trí (8)

Hinh giai tich on thi dai hoc 2013[giasuductri.edu.vn]