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Analyse élastique linéaire avec redistribution selon eurocode 2

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Cette note est une interprétation de l'article §5.5(4) de l'Eurocode 2 concernant l'analyse élastique-linéaire avec redistribution limitée des moments fléchissants. Elle permet d'appliquer l'article §5.5(4) de manière plus explicite.

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Analyse élastique linéaire avec redistribution selon eurocode 2

  1. 1. 1Nguyen Quang Huy qnguyen@insa-rennes.fr Analyse élastique-linéaire avec redistribution limtiée des moments selon l’Eurocode 2 Poutres ou dalles continues Dans les poutres on les dalles continues de bâtiments, une redistribution des moments sur appuis peut être effectuée à condition que :  Le calcul soit fait à l’ELU (pas de redistribution à l’ELS !!!)  Le rapport des portées soit compris entre 0.5 et 2  Les éléments soient sollicitées principalement en flexion  Le cas de charge considéré conduise à des moments maximaux sur appuis : deux travées consécutives chargées Cette redistribution provient de la prise en compte du fluage du béton qui tend à réduire les moments sur appuis. Les moments maximaux sur appuis obtenus par les méthodes classiques de la RDM sont multipliés par un coefficient de réduction  (≤1), appelé le coeffient de redistribution et défini comme Ed Ed après avant M M   . Ce coefficient doit vérifier les conditions suivantes (Eurocode 2-1-1 §5.5(4)): ck ck cu2 0.44 1.25 pour 50 0.0014 0.54 1.25 0.6 pour 50 0.7 pour des aciers de classe B ou C 0.8 pour des aciers de classe A u u x f d x f d                     On constate que  dépend de la profondeur de l’axe neutre à l’ELU u x après la redistribution qui n’est pas connue. Par conséquent, il necessitera quelques manipulations mathématiques pour avoir l’expression explicite de  . D’après le chapitre 6 du cours BA1 on a :  u Ed 1.25 1 1 2après aprèsu x d      où Ed Ed 2 après après cd M bd f    étant le moment réduit après la redistribution et peut être remplacé par Ed avant   . Ainsi,  s’obtient en résolvant les inéquations suivantes :     Ed ck Ed ck cu2 0.44 1.5625 1 1 2 pour 50 0.0014 0.54 1.5625 0.6 1 1 2 pour 50 0.7 pour des aciers de classe B ou C 0.8 pour des aciers de classe A avant avant f f                            (1)
  2. 2. Analyse élastique-linéaire avec redistribution limtiée des moments selon l’Eurocode 2 2Nguyen Quang Huy qnguyen@insa-rennes.fr 1. Cas ck 50f  MPa et acier de classe B ou C Dans ce cas,  s’obtient en résolvant les inéquations suivantes :  Ed 0.44 1.5625 1 1 2 0.7 avant            Après quelques simplifications mathématiques, on obtient :  2 Ed 2 2 2.4414 1.5586 0 0.7 avant            La solution est :  Si Ed 0.22avant    0.7   Si Ed 0.22 0.295avant      2 Ed Ed 2 2.4414 2 2.4414 1.5586avant avant         Si Ed 0.295avant    1  (pas de redistribution possible) Application numérique : Tableau 1 : Valeur minimale de  en fonction de Ed avant  pour ck 50f  MPa et acier de classe B ou C Ed avant  +0.000 +0.001 +0.002 +0.003 +0.004 +0.005 +0.006 +0.007 +0.008 +0.009 < 0.22 0.7 0.22 0.7 0.703 0.705 0.707 0.710 0.712 0.714 0.717 0.719 0.721 0.23 0.724 0.726 0.729 0.731 0.734 0.737 0.739 0.742 0.745 0.747 0.24 0.750 0.753 0.756 0.758 0.761 0.764 0.767 0.770 0.773 0.776 0.25 0.779 0.782 0.786 0.789 0.792 0.795 0.799 0.802 0.806 0.809 0.26 0.813 0.816 0.820 0.824 0.828 0.831 0.835 0.839 0.843 0.848 0.27 0.852 0.856 0.860 0.865 0.869 0.874 0.879 0.884 0.889 0.894 0.28 0.899 0.904 0.910 0.915 0.921 0.927 0.933 0.939 0.946 0.952 0.29 0.959 0.967 0.974 0.982 0.990 0.998 1 1 1 1 > 0.3 1 Note : Les milièmes de Ed avant  sont données sur la première ligne. Ainsi pour Ed 0.234avant   alors on lit 0.734 
  3. 3. Analyse élastique-linéaire avec redistribution limtiée des moments selon l’Eurocode 2 3Nguyen Quang Huy qnguyen@insa-rennes.fr 2. Cas ck 50f  MPa et acier de classe A Dans ce cas,  s’obtient en résolvant les inéquations suivantes :  2 Ed 2 2 2.4414 1.5586 0 0.8 avant            La solution est :  Si Ed 0.256avant    0.7   Si Ed 0.256 0.295avant      2 Ed Ed 2 2.4414 2 2.4414 1.5586avant avant         Si Ed 0.295avant    1  (pas de redistribution possible) Application numérique : Tableau 2 : Valeur minimale de  en fonction de Ed avant  pour ck 50f  MPa et acier de classe A Ed avant  +0.000 +0.001 +0.002 +0.003 +0.004 +0.005 +0.006 +0.007 +0.008 +0.009 < 0.25 0.8 0.25 0.8 0.8 0.8 0.8 0.8 0.8 0.8 0.802 0.806 0.809 0.26 0.813 0.816 0.820 0.824 0.828 0.831 0.835 0.839 0.843 0.848 0.27 0.852 0.856 0.860 0.865 0.869 0.874 0.879 0.884 0.889 0.894 0.28 0.899 0.904 0.910 0.915 0.921 0.927 0.933 0.939 0.946 0.952 0.29 0.959 0.967 0.974 0.982 0.990 0.998 1 1 1 1 > 0.3 1 Note : Les milièmes de Ed avant  sont données sur la première ligne. Ainsi pour Ed 0.285avant   alors on lit 0.927 
  4. 4. Analyse élastique-linéaire avec redistribution limtiée des moments selon l’Eurocode 2 4Nguyen Quang Huy qnguyen@insa-rennes.fr 3. Cas du béton C55 Tableau 3 : Valeur minimale de  en fonction de Ed avant  pour ck 55f  MPa et acier de classe B ou C Ed avant  +0.000 +0.001 +0.002 +0.003 +0.004 +0.005 +0.006 +0.007 +0.008 +0.009 0.12 0.7 0.13 0.700 0.700 0.700 0.701 0.703 0.705 0.706 0.708 0.710 0.711 0.14 0.713 0.715 0.717 0.719 0.720 0.722 0.724 0.726 0.728 0.730 0.15 0.731 0.733 0.735 0.737 0.739 0.741 0.743 0.745 0.747 0.749 0.16 0.751 0.753 0.755 0.757 0.759 0.761 0.763 0.766 0.768 0.770 0.17 0.772 0.774 0.776 0.779 0.781 0.783 0.786 0.788 0.790 0.792 0.18 0.795 0.797 0.800 0.802 0.805 0.807 0.810 0.812 0.815 0.817 0.19 0.820 0.822 0.825 0.828 0.830 0.833 0.836 0.839 0.841 0.844 0.20 0.847 0.850 0.853 0.856 0.859 0.862 0.865 0.868 0.871 0.874 0.21 0.877 0.881 0.884 0.887 0.891 0.894 0.897 0.901 0.904 0.908 0.22 0.911 0.915 0.919 0.923 0.926 0.930 0.934 0.938 0.942 0.946 0.23 0.950 0.955 0.959 0.963 0.968 0.972 0.977 0.982 0.986 0.991 0.24 0.996 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ≥ 0.25 1 Tableau 4 : Valeur minimale de  en fonction de Ed avant  pour ck 55f  MPa et acier de classe A Ed avant  +0.000 +0.001 +0.002 +0.003 +0.004 +0.005 +0.006 +0.007 +0.008 +0.009 < 0.18 0.8 0.18 0.800 0.800 0.800 0.802 0.805 0.807 0.810 0.812 0.815 0.817 0.19 0.820 0.822 0.825 0.828 0.830 0.833 0.836 0.839 0.841 0.844 0.20 0.847 0.850 0.853 0.856 0.859 0.862 0.865 0.868 0.871 0.874 0.21 0.877 0.881 0.884 0.887 0.891 0.894 0.897 0.901 0.904 0.908 0.22 0.911 0.915 0.919 0.923 0.926 0.930 0.934 0.938 0.942 0.946 0.23 0.950 0.955 0.959 0.963 0.968 0.972 0.977 0.982 0.986 0.991 0.24 0.996 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ≥ 0.25 1
  5. 5. Analyse élastique-linéaire avec redistribution limtiée des moments selon l’Eurocode 2 5Nguyen Quang Huy qnguyen@insa-rennes.fr 4. Cas du béton C60 Tableau 5 : Valeur minimale de  en fonction de Ed avant  pour ck 60f  MPa et acier de classe B ou C Ed avant  +0.000 +0.001 +0.002 +0.003 +0.004 +0.005 +0.006 +0.007 +0.008 +0.009 < 0.13 0.7 0.13 0.702 0.704 0.706 0.707 0.709 0.711 0.713 0.715 0.716 0.718 0.14 0.720 0.722 0.724 0.726 0.728 0.730 0.732 0.733 0.735 0.737 0.15 0.739 0.741 0.743 0.745 0.747 0.750 0.752 0.754 0.756 0.758 0.16 0.760 0.762 0.764 0.767 0.769 0.771 0.773 0.775 0.778 0.780 0.17 0.782 0.785 0.787 0.789 0.792 0.794 0.797 0.799 0.802 0.804 0.18 0.807 0.809 0.812 0.814 0.817 0.820 0.822 0.825 0.828 0.830 0.19 0.833 0.836 0.839 0.842 0.845 0.848 0.851 0.854 0.857 0.860 0.20 0.863 0.866 0.869 0.872 0.875 0.879 0.882 0.885 0.889 0.892 0.21 0.896 0.899 0.903 0.906 0.910 0.914 0.917 0.921 0.925 0.929 0.22 0.933 0.937 0.941 0.945 0.949 0.953 0.958 0.962 0.967 0.971 0.23 0.976 0.981 0.985 0.990 0.995 1 1 1 1 1 ≥ 0.24 1 Tableau 6 : Valeur minimale de  en fonction de Ed avant  pour ck 60f  MPa et acier de classe A Ed avant  +0.000 +0.001 +0.002 +0.003 +0.004 +0.005 +0.006 +0.007 +0.008 +0.009 < 0.17 0.8 0.17 0.8 0.8 0.8 0.8 0.8 0.8 0.8 0.8 0.802 0.804 0.18 0.807 0.809 0.812 0.814 0.817 0.820 0.822 0.825 0.828 0.830 0.19 0.833 0.836 0.839 0.842 0.845 0.848 0.851 0.854 0.857 0.860 0.20 0.863 0.866 0.869 0.872 0.875 0.879 0.882 0.885 0.889 0.892 0.21 0.896 0.899 0.903 0.906 0.910 0.914 0.917 0.921 0.925 0.929 0.22 0.933 0.937 0.941 0.945 0.949 0.953 0.958 0.962 0.967 0.971 0.23 0.976 0.981 0.985 0.990 0.995 1 1 1 1 1 ≥ 0.24 1
  6. 6. Analyse élastique-linéaire avec redistribution limtiée des moments selon l’Eurocode 2 6Nguyen Quang Huy qnguyen@insa-rennes.fr 5. Cas du béton C70 Tableau 7 : Valeur minimale de  en fonction de Ed avant  pour ck 70f  MPa et acier de classe B ou C Ed avant  +0.000 +0.001 +0.002 +0.003 +0.004 +0.005 +0.006 +0.007 +0.008 +0.009 0.11 0.7 0.12 0.7 0.7 0.7 0.7 0.7 0.7 0.702 0.704 0.706 0.708 0.13 0.709 0.711 0.713 0.715 0.717 0.719 0.721 0.723 0.724 0.726 0.14 0.728 0.730 0.732 0.734 0.736 0.738 0.740 0.742 0.745 0.747 0.15 0.749 0.751 0.753 0.755 0.757 0.760 0.762 0.764 0.766 0.768 0.16 0.771 0.773 0.775 0.778 0.780 0.782 0.785 0.787 0.790 0.792 0.17 0.795 0.797 0.800 0.802 0.805 0.807 0.810 0.813 0.815 0.818 0.18 0.821 0.823 0.826 0.829 0.832 0.835 0.838 0.841 0.843 0.846 0.19 0.849 0.853 0.856 0.859 0.862 0.865 0.868 0.871 0.875 0.878 0.20 0.881 0.885 0.888 0.892 0.895 0.899 0.903 0.906 0.910 0.914 0.21 0.918 0.921 0.925 0.929 0.933 0.937 0.942 0.946 0.950 0.954 0.22 0.959 0.963 0.968 0.973 0.977 0.982 0.987 0.992 0.997 1 ≥ 0.23 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Tableau 8 : Valeur minimale de  en fonction de Ed avant  pour ck 70f  MPa et acier de classe A Ed avant  +0.000 +0.001 +0.002 +0.003 +0.004 +0.005 +0.006 +0.007 +0.008 +0.009 0.16 0.8 0.17 0.8 0.8 0.8 0.802 0.805 0.807 0.810 0.813 0.815 0.818 0.18 0.821 0.823 0.826 0.829 0.832 0.835 0.838 0.841 0.843 0.846 0.19 0.849 0.853 0.856 0.859 0.862 0.865 0.868 0.871 0.875 0.878 0.20 0.881 0.885 0.888 0.892 0.895 0.899 0.903 0.906 0.910 0.914 0.21 0.918 0.921 0.925 0.929 0.933 0.937 0.942 0.946 0.950 0.954 0.22 0.959 0.963 0.968 0.973 0.977 0.982 0.987 0.992 0.997 1 ≥ 0.23 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
  7. 7. Analyse élastique-linéaire avec redistribution limtiée des moments selon l’Eurocode 2 7Nguyen Quang Huy qnguyen@insa-rennes.fr 6. Cas du béton C80 ou C90 Tableau 9 : Valeur minimale de  en fonction de Ed avant  pour ck 80ou 90f  MPa et acier de classe B ou C Ed avant  +0.000 +0.001 +0.002 +0.003 +0.004 +0.005 +0.006 +0.007 +0.008 +0.009 0.11 0.7 0.12 0.7 0.7 0.7 0.701 0.702 0.704 0.706 0.708 0.710 0.712 0.13 0.713 0.715 0.717 0.719 0.721 0.723 0.725 0.727 0.729 0.731 0.14 0.733 0.735 0.737 0.739 0.741 0.743 0.745 0.748 0.750 0.752 0.15 0.754 0.756 0.759 0.761 0.763 0.765 0.768 0.770 0.772 0.775 0.16 0.777 0.779 0.782 0.784 0.787 0.789 0.791 0.794 0.797 0.799 0.17 0.802 0.804 0.807 0.810 0.812 0.815 0.818 0.820 0.823 0.826 0.18 0.829 0.832 0.835 0.838 0.840 0.843 0.846 0.850 0.853 0.856 0.19 0.859 0.862 0.865 0.869 0.872 0.875 0.878 0.882 0.885 0.889 0.20 0.892 0.896 0.900 0.903 0.907 0.911 0.915 0.918 0.922 0.926 0.21 0.930 0.934 0.939 0.943 0.947 0.951 0.956 0.960 0.965 0.970 0.22 0.974 0.979 0.984 0.989 0.994 0.999 1 1 1 1 ≥ 0.23 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Tableau 10 : Valeur minimale de  en fonction de Ed avant  pour ck 80ou 90f  MPa et acier de classe A Ed avant  +0.000 +0.001 +0.002 +0.003 +0.004 +0.005 +0.006 +0.007 +0.008 +0.009 0.16 0.8 0.17 0.802 0.804 0.807 0.810 0.812 0.815 0.818 0.820 0.823 0.826 0.18 0.829 0.832 0.835 0.838 0.840 0.843 0.846 0.850 0.853 0.856 0.19 0.859 0.862 0.865 0.869 0.872 0.875 0.878 0.882 0.885 0.889 0.20 0.892 0.896 0.900 0.903 0.907 0.911 0.915 0.918 0.922 0.926 0.21 0.930 0.934 0.939 0.943 0.947 0.951 0.956 0.960 0.965 0.970 0.22 0.974 0.979 0.984 0.989 0.994 0.999 1 1 1 1 ≥ 0.23 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

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