1. ´
Calculo de Areas
0.1. ´
Area de regiones
Dada una funci´n f (x) y un intervalo [a,b], la integral definida es igual al area limitada
o ´
entre la gr´fica f (x), el eje X, y las rectas verticales x = a y x = b.
a
b
La integral definida se representa por f (x)dx
a
es el s´
ımbolo de la integral
a Limite inferior de la integraci´n
o
b Limite superior de la integraci´n
o
f (x) Funci´n a integrar
o
dx Indica cual es la variable de la funci´n que se integra
o
1

2. 0.1.1. Propiedades de la integral definida
1. El valor de la integral definida cambia de signo si se permutan los l´
ımites de integraci´n.
o
b b
f (x)dx = − f (x)dx
a a
2. Si los l´
ımites que integraci´n coinciden, la integral definida vale cero.
o
b
f (x)dx = 0
a
3. Si c es un punto interior del intervalo [a, b], la integral definida se descompone como una
suma de dos integrales extendidas a los intervalos [a, c] y [c, b].
b c b
f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx
a a c
4. La integral definida de una suma de funciones es igual a la suma de integrales
b b b
[f (x) + g(x)dx = f (x)dx + g(x)dx
a a a
5. La integral del producto de una constante por una funci´n es igual a la constante por la
o
integral de la funci´n.
o
b b
k ∗ f (x)dx = k ∗ f (x)dx
a a
2

3. 0.1.2. ´
Area entre una funci´n y el eje de abscisas
o
1. La funci´n es positiva
o
Si la funci´n es positiva en un intervalo [a, b] entonces la gr´fica de la funci´n est´ por
o a o a
encima del eje de abscisas. El area de la funci´n viene dada por:
´ o
b
A= f (x)dx
a
Para hallar el area seguiremos los siguientes pasos:
´
Se calculan los puntos de corte con con el eje X, haciendo f (x) = 0 y resolviendo la
ecuaci´n.
o
El area es igual a la integral definida de la funci´n que tiene como l´
´ o ımites de integraci´n
o
los puntos de corte.
Ejemplo:
Calcular el area limitada por la curva y = 9 - x2 y el eje X.
´
En primer lugar hallamos los puntos de corte con el eje X para representar la curva y
conocer los l´
ımites de integraci´n.
o
0 = 9 − x2 x = 3 x = −3
Como la par´bola es sim´trica respecto al eje Y, el area ser´ igual al doble del area com-
a e ´ a ´
prendida entre x = 0 y x = 3.
3 3 x3
A= (9 − x2 )dx = 2 ∗ (9 − x2 )dx = 2[9x − ] = 36u2
−3 0 3
3

4. 2. La funci´n es negativa
o
Si la funci´n es negativa en un intervalo [a, b] entonces la gr´fica de la funci´n est´ por
o a o a
debajo del eje de abscisas. El ´rea de la funci´n viene dada por un viene dada por:
a o
b b
A=− f (x)dx A = f (x)dx
a a
Ejemplo:
Calcular el area limitada por la curva y = x2 - 4x y el eje X.
´
0 = x2 − 4x x = 0 x = 4
4 x3 32
A= (x2 − 4x)dx = [ − 2x2 ]4 = −
0
0 3 3
32 2
|A| = 3
u
3. La funci´n toma valores positivos y negativos
o
En ese caso el recinto tiene zonas por encima y por debajo del eje de abscisas. Para cal-
cular el area de la funci´n seguiremos los siguientes pasos:
´ o
Se calculan los puntos de corte con con el eje X, haciendo f(x) = 0 y resolviendo la
ecuaci´n.
o
Se ordenan de menor a mayor las ra´
ıces, que ser´n los l´
a ımites de integraci´n.
o
El area es igual a la suma de las integrales definidas en valor absoluto de cada intervalo.
´
4

5. Ejemplo:
3x−6
Hallar el area limitada por la recta y =
´ 2
, el eje de abscisas y las ordenadas correspondi-
entes a x = 0 y x = 4.
2 3x − 6 1 3 1
A1 = ( dx = [ x2 − 6x]2 = (6 − 12) = −3
0
0 2 2 2 2
4 3x − 6 1 3 1
A2 = ( dx = [ x2 − 6x]4 = [(24 − 24) − (6 − 12)] = 3
2
2 2 2 2 2
A = |A1 | + A2 = |−3| + 3 = 6u2
5

6. 0.2. ´
Area entre curvas
Considerando dos funciones f (x) y g(x) continuas en el intervalo [a, b] donde f (x) > g(x)
podemos calcular el ´rea entre dos curvas en t´rminos de x con la siguiente expresi´n:
a e o
b
Ax = f (x) − g(x)
a
Gr´ficamente el area seria:
a ´
b
Ax = ([farriba ] − [fabajo ])dx
a
Gr´ficamente dos funciones f (y) y g(y) continuas en el intervalo [c, d] donde f (y) > g(y)
a
podemos calcular el ´rea entre dos curvas en t´rminos de y con la siguiente expresi´n:
a e o
d
Ay = f (y) − g(y)
c
Gr´ficamente el area seria:
a ´
d
Ay = ([fderecha ] − [fizquierda ])dy
c
considerando dos funciones f (y) y g(y) continuas en el intervalo [a, b] y que se interceptan
entre si en el punto c podemos calcular su ´rea total con la siguiente expresi´n:
a o
c b
AT = g(x) − f (x)dx + f (x) − g(x)dx
a c
6

7. Gr´ficamente el area total seria:
a ´
AT = A1 + A2
Es importante notar que no importa en que cuadrante se encuentre el ´rea acotada, siempre
a
es la funci´n de arriba menos la de abajo en t´rminos de x y siempre la funci´n de la
o e o
derecha menos la de la izquierda en t´rminos de y.
e
Ejemplo 1:
calcular el area acotada por las siguientes curvas:
´
y−x−2=0
y=1
x=2
Luego de gr´ficar la regi´n, expresamos el area en t´rminos de x y calculamos:
a o ´ e
2
2 x2 9
Ax = [(x + 2) − 1]dx = +x = u2
−1 2 −1
2
En t´rminos de y el ´rea seria:
e a
4
4 y2 9
Ay = [2 − (y − 2)]dy = + 4y = u2
1 2 1
2
7

8. Ejemplo 2:
Calcular el area acotada por las siguientes curvas:
´
y = x2
y = −x2 + 5
En primer lugar graficamos las funciones y calculamos sus puntos de intersecci´n
o
x2 = −x2 + 5
2x2 = 5
5
x=±
2
Por lo tanto el area en t´rminos de x seria:
´ e
√5 √5
3
2 2x 2
Ax = √ 5 (−x2 + 5) − (x2 )dx = + 5x √ 5 = 10,54u
2
− 2
3 − 2
Para calcular el area en t´rminos de y debemos expresar el area en dos integrales:
´ e ´
√ √
La primera ´rea acotada en el intervalo [0, 5 ] siendo
a 2
y la funci´n de la derecha y − y
o
la funci´n de la izquierda.
o
√
La segunda area acotada en el intervalo [ 5 , 5] siendo
√ ´ 2
5 − x la funci´n de la derecha
o
y − 5 − y la funci´n de izquierda.
o
Por lo tanto el area en t´rminos de y seria:
´ e
5
5 5 3 2
2 √ √ 2 √ 4y 2
A1 = [ y − (− y)]dy = 2 y= = 5,27u2
0 0 3
0
3 5
5 5 4(5 − y) 2
A2 = [ 5 − y − (− 5 − y)]dy = 2 5 − ydy = − = 5,27u2
5
2
5
2
3 5
2
Sumando ambas ´reas obtenemos:
a
AT = A1 + A2 = 10,54u2
Universidad de La Frontera Agosto - Diciembre 2010
Autores: Nicolas Carrasco - Francisco Lopez - Francisco Llanquipichun
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