Dokumen ini membahas kontinuitas dan pengukuran pada interval. Definisi partisi dan penandaan titik pada interval diperkenalkan. Partisi penandaan merupakan pasangan terurut interval dan titik penanda didalamnya. Definisi ukuran juga diperkenalkan beserta contoh penerapannya. Teorema keberadaan partisi pengukuran terbukti dengan menggunakan himpunan tak terbatas suprema.

1. Resume Analisis Riil
Section 5.5 Continuity and Gauges
Nida Shafiyanti (3125-111-218)
2013
5.5 Continuity and Gauges
Definisi 5.5.1. Sebuah partisi pada interval I := [a.b] adalah kumpulan dari
P = {I1, . . . , In} dari interval tutup yang tidak overlap pada [a, b]. Biasanya di
notasikan sebagai Ii := [xi−1, xi], dimana
a = x0 < . . . < xi−1 < xi < . . . < xn = b
Titik xi(i = 0, . . . , n) dinamakan titik partisi dari P. Jika ti terpilih pada
masing-masing Ii, untuk i = 1, . . . , n, maka titik ti disebut tags dan himpunan
pasangan terurut
P = {(I1, t1), . . . , (In, tn)}
dinamakan partisi tags pada I.
Definisi 5.5.2. Sebuah gauge pada I adalah fungsi positif yang jelas terdefinisi
pada I. Jika δ adalah gauge pada I, maka (tag) partisi P menjadi δ − fine jika
ti ∈ Ii ⊆ [ti − δ(ti), ti + δ(ti)] untuk i = 1, . . . , n (5.5.1)
Lemma 5.5.1. Jika partisi P pada I := [a, b] adalah δ − fine dan x ∈ I, maka
terdapat tag ti pada P sehingga |x − ti| ≤ δ(ti).
Bukti. Jika x ∈ I, terdapat sub interval [xi−1, xi] dari P yang memuat x.
Karena P adalah δ − fine maka
ti − δ(ti) ≤ xi−1 ≤ x ≤ xi ≤ ti + δ(ti) (5.5.2)
Sehingga memenuhi |x − ti| ≤ δ(ti) Q.E.D
1

2. contoh 1. Jika δ dan γ adalah gauge di I := [a, b] dan jika 0 < δ(x) ≤ γ(x) untuk
semua x ∈ I, maka setiap partisi P adalah δ − fine sekaligus γ − fine. Sehingga
didapatkan bentuk
ti − γ(ti) ≤ ti − δ(ti) dan ti + δ(ti) ≤ ti + γ(ti)
Sehingga akan didapat
ti ∈ [ti − δ(ti), ti + δ(ti)] ⊆ [ti − γ(ti), ti + γ(ti)] untuk i = 1, . . . , n.
contoh 2. Jika δ1 dan δ2 adalah gauge pada I := [a, b] dan jika
δ(x) := min{δ1(x), δ2(x)} untuk semua x ∈ I.
maka δ juga gauge pada I. Sedemikian sehingga, jika δ(x) ≤ δ1(x), maka setiap
partisi δ −fine adalah δ1 −fine. Sama saja, untuk setiap partisi δ −fine adalah
δ2 − fine.
Eksistensi dari partisi δ − fine
Teorema 5.5.1. Jika δ adalah gauge didefinisikan pada interval [ab], maka ter-
dapat partisi δ − fine pada [a, b].
Bukti. Ambil himpunan E yang dinotasikan pada semua titik x ∈ [a, b] se-
hingga terdapat partisi δ−fine pada interval [a, x]. Himpunan E tidak kosong, ji-
ka pasangan ([a, x], a) adalah partisi δ−fine pada interval [a, x] lalu x ∈ [a, a+δ(a)
dan x ≤ b. Ketika E ⊆ [a, b], maka himpunan E juga terbatas. Ambil u := supE
sehingga a < u ≤ b. Akan ditunjukkan bahwa u ∈ E dan u = b.
Klaim bahwa u ∈ E. u−δ(u) < u = supE, terdapat v ∈ E sehingga u−(u) <
v < u. Ambil P1 partisi δ−fine pada [a, v] dan ambil P2 := P1 ∪([v, u], u). Maka
P2 adalah partisi δ − fine pada [a, u], sehingga u ∈ E.
Jika u < b, ambil w ∈ [a, b] sehingga u < w < u + δ(u). Jika Q1 adalah partisi
δ −fine pada [a, u, ambil Q2 := Q1 ∪([u, w], u). Maka Q2 adalah partisi δ −fine
pada [a, w], sedemikian sehingga w ∈ E. Kontradiksi dengan u adalah batas atas
dari E. Sehingga u = b Q.E.D
2