Caricamento relazioni

1. RELAZIONIRELAZIONI

2. Relazione tra due insiemiRelazione tra due insiemi
• Una relazione tra due insiemi A e B (o Una relazione tra due insiemi A e B (o
relazione binariarelazione binaria) è un sottoinsieme del loro) è un sottoinsieme del loro
prodotto cartesiano AxBprodotto cartesiano AxB
• Si utilizzano in maniera equivalente le notazioniSi utilizzano in maniera equivalente le notazioni
–
–
–
• quando sono verificate si dice che A è inquando sono verificate si dice che A è in
relazione con B (secondo la relazione R ).relazione con B (secondo la relazione R ).
( ), con ,a b a A b B
a b
∈ℜ ∈ ∈
ℜ

3. Proprietà riflessivaProprietà riflessiva
Una relazioneUna relazione RR definita in un insiemedefinita in un insieme AA è riflessiva se ogniè riflessiva se ogni
elemento di A è in relazione con se stesso :elemento di A è in relazione con se stesso :
,x x x Aℜ∀∈

4. Proprietà simmetricaProprietà simmetrica
Una relazioneUna relazione RR definita in un insieme A è simmetrica se, perdefinita in un insieme A è simmetrica se, per
ogni coppiaogni coppia xx ee yy di elementi condi elementi con xx in relazione conin relazione con yy , anche, anche yy
è in relazione conè in relazione con x :x :
Se xSe x RR y , allora yy , allora y RR xx

5. ProprietàProprietà transitivatransitiva
• Una relazioneUna relazione RR definita in un insieme A èdefinita in un insieme A è transitivatransitiva sese
ogni volta cheogni volta che xx è in relazione conè in relazione con yy ee yy è in relazione conè in relazione con zz , è, è
vero chevero che xx è in relazione conè in relazione con zz ::
Se aSe a RR b e bb e b RR c , allora ac , allora a RR cc

6. Relazione d’equivalenzaRelazione d’equivalenza
Una relazioneUna relazione RR definita in un insieme A è una relazionedefinita in un insieme A è una relazione
di equivalenza se è :di equivalenza se è :
• RiflessivaRiflessiva
• SimmetricaSimmetrica
• TransitivaTransitiva

7. ESEMPIESEMPI

8. Una relazione d’equivalenza genera in A unaUna relazione d’equivalenza genera in A una partizionepartizione ::
• Ogni sottoinsieme non è vuoto.Ogni sottoinsieme non è vuoto.
• Presi due qualsiasi sottoinsiemi ,essi sonoPresi due qualsiasi sottoinsiemi ,essi sono
disgiunti.disgiunti.
• L’unione dei sottoinsiemi è l’insieme AL’unione dei sottoinsiemi è l’insieme A
Ognuno dei sottoinsiemi degli elementi in relazione è unaOgnuno dei sottoinsiemi degli elementi in relazione è una
classe di equivalenzaclasse di equivalenza ..
L’insieme delle classi d’equivalenza è dettoL’insieme delle classi d’equivalenza è detto insiemeinsieme
quozientequoziente..

9. RELAZIONE D’ORDINERELAZIONE D’ORDINE
Una relazione in un insiemeUna relazione in un insieme AA si dicesi dice RELAZIONERELAZIONE
D'ORDINE inD'ORDINE in AA se gode delle seguenti proprietà:se gode delle seguenti proprietà:
• PROPRIETA' RIFLESSIVAPROPRIETA' RIFLESSIVA;;
• PROPRIETA' ANTISIMMETRICAPROPRIETA' ANTISIMMETRICA;;
• PROPRIETA' TRANSITIVAPROPRIETA' TRANSITIVA..
In questo caso si dice che l'insiemeIn questo caso si dice che l'insieme AA èè ORDINATO dallaORDINATO dalla
RELAZIONERELAZIONE ..