MATRIKS INVERS DAN PANGKAT
•Télécharger en tant que PPT, PDF•
0 j'aime•286 vues
Dokumen tersebut membahas tentang konsep dasar matriks invers, pangkat matriks, ekspresi polynomial pada matriks, transpose matriks, dan matriks dasar. Secara ringkas, dokumen tersebut menjelaskan cara menentukan matriks invers, operasi pangkat dan transpose pada matriks, serta penggunaan matriks dasar untuk menyederhanakan bentuk matriks.
Recommandé
Contenu connexe
Tendances
Tendances (20)
En vedette
En vedette (8)
Similaire à MATRIKS INVERS DAN PANGKAT
Similaire à MATRIKS INVERS DAN PANGKAT (20)
MATRIKS INVERS DAN PANGKAT
- 2. A. Matriks Invers Jika A matriks bujur sangkar, dan B matriks sejenis yang mempunyai ukuran sama, maka dapat ditunjukkan bahwa AB = BA = I, maka A dikatakan dapat diinvers, dan B disebut invers dari A. Jika B tidak dapat dicari maka A disebut matriks singular. ⇔ Contoh : B = , A = ⇒ AB = = = I 21 53 − − 31 52 21 53 − − 31 52 10 01
- 3. dan BA = = = = I Contoh Matriks yang tidak mempunyai Invers : A = , (A matriks singular) 21 53 − − 31 52 10 01 +−−+ +−−+ 3.2)5.(1)1(22.1 3.3)5.(3)1.(52.3 063 052 041 333231 232221 131211 bbb bbb bbb 063 052 041 0 0 0 0 0 0 B = , BA = = , BA ≠ I
- 4. Diketahui matriks : A = Dapat di invers jika (ad – bc) ≠ 0, dalam kasus ini dapat dirumuskan sebagai berikut : A-1 = = AA-1 = A-1 A = I ⇔ = … dc ba − − − ac bd bcad 1 −− − − − − bcad a bcad c bcad b bcad d dc ba −− − − − − bcad a bcad c bcad b bcad d
- 5. Diketahui, matriks A = , B = , AB = A-1 = , B-1 = , (AB)-1 = B-1 A-1 = = , ∴(AB)-1 = (B-1 A-1 ) = ++ ++ = −− − − − − −− − − − − 10 01 I bcad da bcad bc bcad dc bcad cd bcad ba bcad ab bcad bc bcad ad 119 87 31 21 32 23 − − 11 23 − − 5 3 5 2 5 2 5 3 − − 5 7 5 9 5 8 5 11 − − 5 3 5 2 5 2 5 3 − − 11 23 − − 5 7 5 9 5 8 5 11
- 6. B. Pangkat Matriks Jika A adalah matriks bujur sangkar, maka dapat didefinisikan pangkat Matriks A sebagai berikut : - A0 = I, - An = ( n > 0) - Jika A dapat diinvers, maka berlaku, A-n = (A-1 )n = faktorn AAA faktorn 111 AAA −−−
- 7. - Aturan pangkat pada matriks bujursangkar, jika matriks A, dengan r dan s adalah bilangan asli, maka berlaku Ar As = Ar+s, dan (Ar )s = Ars - Jika A adalah matriks yang dapat diinvers, maka berlaku : (a). (A-1 )-1 = A (b). (An )-1 = (A-1 )n (c). Untuk k skalar, matriks kA dapat diinvers (kA)-1 = A-1 k 1
- 8. - Contoh : A = dan A-1 = maka, A3 = = A-3 = = 31 21 − − 11 23 31 21 4115 3011 31 21 31 21 − − 11 23 − − 1115 3041 − − 11 23 − − 11 23
- 9. C. Ekspresi Polynomial Pada Matriks Jika A matriks bujursangkar, katakan mxm dan, p(x) = a0 + a1x + …+ anxn adalah bentuk polynomial, maka didefinisikan p(A) = a0I + a1A + …+ anAn Contoh : p(x) = 2x2 – 3x + 4 dan A = maka, p(A) = 2A2 – 3A + 4I = 2 - 3 + 4 = − 30 21 2 30 21 − − 30 21 10 01 130 29
- 10. D. Bentuk – bentuk Transpose Jika suatu matriks mempunyai ukuran sama sehingga suatu operasi dapat dilakukan, maka, (a). (AT )T = A. (b). (A+B)T = AT + BT dan (A - B)T = AT - BT (c). (kA)T = kAT ,dengan k skalar (d). (AB)T = BT AT
- 11. (e). Jika A adalah matriks yang dapat di invers, maka AT juga dapat di invers, sehingga (AT )-1 = (A-1 )T Contoh : A = , AT = A-1 = , (A-1 )T = , (AT )-1 = ∴ berlaku rumus bahwa (AT )-1 = (A-1 )T −− 12 35 − − 13 25 −− 52 31 − − 53 21 − − 53 21
- 12. E. Matriks Dasar (Elementary Matrices) Suatu matriks beerukuran nxn disebut matriks dasar (elementary matrices), jika matriks itu mengalami satu kali pengolahan dasar baris (Operasi Baris Elementer) menjadi matriks Identitas (In), Contoh : , , , Matriks – matriks ini adalah matriks dasar, yang dapat diubah kebentuk matriks identitas. − 30 01 0010 0100 1000 0001 100 010 301 100 010 001
- 13. Ada 3 tipe Notasi Operasi Baris Elementer (OBE) : 1. Eij, (i ≠ j), notasi ini menunjukkan jika terjadi satu kali operasi baris elementer dengan menukar baris i dengan j, maka matriksnya menjadi matriks identitas (In). 2. Ei(t), (t ≠ 0), notasi ini menunjukkan OBE, jika dilakukan perkalian baris ke-i dengan t, maka matriksnya menjadi matriks identitas (In). 3. Eij(t), (i ≠ j), notasi ini menunjukkan OBE, jika penjumlahan baris ke-j dikali t dengan baris ke-i pada matriks maka matriksnya menjadi matriks identitas (In).
- 14. Contoh 1 : E23 = , matriks elementer ini akan menjadi matriks Identitas (In) jika dipertukarkan baris ke–3 dengan baris ke–2. E2(-1) = , matriks ini akan menjadi matriks identitas jika baris ke–2 dikali dengan (-1) E23(-1) = , matriks ini akan menjadi matriks identitas jika baris ke–3 dikali dengan (-1) dijumlahkan dengan baris ke–2 . 010 100 001 − 100 010 001 − 100 110 001 Angka 2, menunjukkan baris ke–2 yang berubah
- 15. Contoh 2 : Misalkan A = adalah hasil kali sejumlah matriks dasar, maka proses penyederhanaannya, ⇒ ⇒ ⇒ dengan matriks – matriks dasarnya, , 82 31 20 31 10 01 − =−= 12 01 2EE 211 )( 82 31 10 31 == 2 12 1 22 0 01 EE )( − =−= 10 31 3EE 123 )(
- 16. Skema Penyelesaian Invers Matriks menggunakan, Operasi Baris Elementer (OBE) Ek…E2E1 A = In A = (E1 -1 E2 -1 …E3 -1 ) Anxn O1 A′nxn O2 A′′nxn O3 I1 E1 I1 E2 I1 I4 A-1 nxn dan seterusnyaOi =Operasi Baris Elementer (OBE)
- 17. E3E2E1A = I A = (E3E2E1)-1 I = (E1 -1 E2 -1 E3 -1 ) − 12 01 2 1 0 01 − 10 31 = 10 01 82 31 10 01 2 1 0 01 1 12 01 − − − = 10 31 1 12 01 − − = 1 2 1 0 01 − 1 10 31 − − = 12 01 20 01 10 31 = 22 01 = 82 31 10 31
- 18. Contoh 3 : Carilah matriks berukuran 3x3, di mana termuat dalam A = E3(5)E23(2)E12. dan Cari juga A-1 . Jawab : = = 100 001 010 100 210 001 5E 100 001 010 2E5EA 3233 )()()( == 100 201 010 00 0 100 201 010 5 3 E 5 010 01 )( = 500 201 010
- 19. -1 12233 1 E2E5EA ])()([=− -1 3 -1 23 -1 12 5E2EE )]([)]([][= )()( -1 32312 5E2-EE= −= 5 100 0 0 00 0 E 10 01 1 210 01 12 − = 5 1 5 2 00 0 0 00 0 1 01 1 001 10 − = 5 1 5 2 00 001 10 −= 5 1 5 2 00 0 0 E 1 01 12
- 20. F. Metode Invers Matriks dengan OBE Misalkan matriks Anxn non singular , maka, (a). A ekuivalent baris dengan In (b). A merupakan hasil perkalian matrik baris elementer. Contoh : Tunjukkan bahwa A = merupakan matriks non singular, Carilah A-1 dan uraikan bahwa A adalah hasil perkalian matriks baris elementer. Penyelesaian : 11 21
- 21. Bentuk matriks partisi : [A | I2] ⇔ [I2| A-1 ] = 10 011 IA 11 2 2 ][ −− −→ 11 01 10 21 RRR 122 − −→ 11 01 10 21 R1R 22 )( − − −→ 11 21 10 01 R2RR 211 Ditunjukkan bahwa, A ekuivalen I2 dan merupakan matriks non singular.
- 22. A-1 = diketahui : sehingga, − − 11 21 221212 IA1E1E2E =−−− )()()( )()()( 1E1E2EA 21212 1- −−−= )()()( 2E1E1EA 12221 −= dimana, E2(-1)-1 = )()( 11 1 22 EE − − =
- 23. G. Penyelesaian Sistem Persamaan Linier (SPL) dengan Metode Invers Jika A adalah matriks yang dapat diinvers dan berukuran nxn, maka matriks b berukuran nx1, suatu sistem persamaan Ax = b mempunyai tepat satu penyelesaian, katakanlah, x = A-1 b. Contoh : x1 + 2x2 + 3x3 = 5 2x1+ 5x2 + 3x3 = 3 x1 + 8x3 = 10 Sehingga,
- 24. Bentuk matriks dari SPL diatas ditulis Ax = b, adalah : dengan bentuk invers : −− −− − =− 125 3513 91640 1 A = 81 352 321 0 A = 3 2 1 x x x x, = 17 3 5 b, =⇔ 100 010 001 801 352 321 IA ][
- 25. + + − − − − ← ← 101 012 001 520 310 321 133 122 R-1RR R-2RR )( )( +← − − − − 125 012 001 100 310 321 233 R2RR )( ← −− −− 125 012 001 100 310 321 33 R-1R )( + + −− −− ← ← 125 3513 3614 100 010 021 311 322 R-3RR R3RR )( )(
- 26. + −− −− ← ← + 125 3513 3614 100 010 021 311 322 R-3RR R3RR )( )( −+ −− −− − ← 125 3513 91640 100 010 001 211 R2RR )( −− −− − =− 125 3513 91640 1 A maka , Jadi , −− −− − −=== − 2 1 1 10 3 5 125 3513 91640 1 bAx Atau , x1 = 1, x2= –1 , dan x3= 2
- 27. H. Penyelesaian Kuadrat Terkecil dari suatu Persamaan Andaikan bahwa sistem persamaan AX = B, tidak konsisten, Misalnya : x = 1 y = 2 x + y = 3, 001 hal ini, dpat dibuat konsisten dengan mengubah ke dalam bentuk persamaan, At AX = At B
- 28. Sehingga bentuk persamaan diatas menjadi : dengan persamaan At AX = At B, dan persamaan normalnya menjadi, 2x + y = 4, 001 x + 2y = 5, 001 dengan x = 1, 001 dan y = 2. 001 = 11 10 01 A = y x X, = 001,3 2 1 B, 110 101 y x = 001,3 2 1 110 101 11 10 01 y x = 001,5 001,4 21 12