1. Đề cương ôn tập Môn Toán 11 nâng cao-HKI Trường THPT Bình sơn
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NGÃI
TRƢỜNG THPT BÌNH SƠN
------
ĐỀ CƢƠNG ÔN TẬP HỌC KỲ I
MÔN TOÁN, KHỐI 11
Lƣu hành nội bộ
Năm học: 2009-2010
Năm học: 2009-2010 1

2. Đề cương ôn tập Môn Toán 11 nâng cao-HKI Trường THPT Bình sơn
CHƢƠNG I. H ÀM SỐ LƢỢNG GIÁC VÀ PT LƢỢNG GIÁC
PHẦN I. HÀM SỐ LƢỢNG GIÁC
A. Các dạng toán cơ bản
Bài 1. Tìm TXĐ của hàm các hàm số sau
cos x  1  3
a/ y  b/ y  tg(4x- ) c/ y  3cotg(4x- )
cos x  1 3 4
2sin x  3 tgx  3 cos2x-1
d/y e/ y  f/ y 
cos 2 x sinx-1 cos2x  1
HD: a/ ĐK: cosx  1  x    k 2
Vậy TXĐ của hàm số là D= R{   k 2 / k  Z }
  5 k   k
b/ ĐK 4 x    k  x   ; c/ ĐK 4 x   k  x  
3 2 24 4 4 16 4

d/ ĐK cosx  0  x  +k ; e,f / giải tương tự
2
Bài 2. Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau
a) y  5  3sin x  2 ; b) y  5-cosx  2 ; c ) y  4sin 2 x  3
1
d) y   4 ; e) y  sin 6 x  cos6 x ; f) y  a.sin x  b.cos x g) y  sin 2 x  2sin x  2
2cos x  3
2
3 1 1
HD. e) y  1  sin 2 2 x   y  1  max y =1 khi sin2x =0; Miny= khi sin 2 x  1
4 4 4
f) y  a sin x  b cos x  a 2  b 2 sin 2 x  cos 2 x  a 2  b 2
 max y  a 2  b 2 ; min y   a 2  b 2 . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a sinx =b cosx
g) y=(sinx+1)2-3 do đó –3 y  1  max y =1 khi sinx= 1 ; min y =-3 khi sinx=-1
Bài 3. X ét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau

a/ y= cos(x- ) b/ y= tan x c/ y= tanx- sin2x
4
HD. a/ Không chẵn, không lẻ b/ Hàm chẵn c/ Hàm lẻ
Baøi 4. Töø ñoà thò haøm soá y= sinx suy ra ñoà thò haøm soá
a/ y= -sinx ; b/ y= sin x ; c/ y= sin x .
HD. a/ Ñoà thò y= -sinx laø hình ñoái xöùng cuûa ñoà thò y= sinx qua Ox.
b/ Ñoà thò y= sin x laø hình goàm phaàn ñoà thò y= sinx naèm treân truïc hoaønh keå caû
bôø Ox ; coøn phaàn ñoà thò ôû döôùi truïc hoaønh tieáp tuïc laáy ñoái xöùng qua truïc hoaønh ( boû
phaàn ñoà thò ôû döôùi truïc hoaønh).
c/ Giaûi töông töï.
Baøi 5. a/ Töø ñoà thò cuûa haøm soá y= cosx, haõy suy ra ñoà thò cuûa haøm soá sau vaø veõ ñoà thò

cuûa haøm soá ñoù y= cosx + 2 ; y= cos(x- ).
4
b/ Hoûi moãi haøm soá ñoù coù phaûi laø haøm tuaàn hoaøn khoâng?
HD. a/ Ñoà thò hs y= cosx+2 coù được do tònh tieán ñoà thò hs y= cosx leân treân 1 ñoaïn
baèng 2 ñôn vò
 
Ñoà thò haøm soá = cos(x- ) coù ñöïôc do tònh tieán ñoà thò haøm soá y= cosx sang phaûi ñôn
4 4
vò.
b/ Caùc haøm soá treân laø haøm tuaàn hoaøn ( theo ñònh nghóa )
Năm học: 2009-2010 2

3. Đề cương ôn tập Môn Toán 11 nâng cao-HKI Trường THPT Bình sơn
B. Baøi taäp tƣơng tự
Baøi 1. Tìm taäp XÑ cuûa caùc haøm soá sau ñaây
cos x 1  cos x  1  sin x 
a/ y  ;b / y  ; c / y  tan(2x  ) ; d/ y= ; e/ y= tan( x  ) +
sin x  1 2
cos x 4 cos x 3
sin 3x
2 cos x  1
Baøi 2. Tìm giaù trò lôùn nhaát cuûa caùc haøm soá
2
a/ y  ; b/ y  20  sin 2 3x  cos 2 3x ; c/ y= 3sinx -4sin3x +3cos3x +2
4 cos x  5
1
Baøi 3. Tìm giaù trò lôùn nhaát vaø nhoû nhaát cuûa haøm soá: y=8+ sinxcosx.
2
1  sin 2 2 x tan 3 2 x cot 3x
Baøi 4. Xeùt tính chaün, leû cuûa haøm soá a / y  ;b / y 
1  cos 3x sin x
Baøi 5. Tìm chu kyø cuûa các haøm soá sau ñaây.
a/ y= 1+cos2x ; b/ y= sin2x- 3 cos3x Kquaû: a/  ; b / 2
Phần II. PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC
A. Các dạng toán
1. PTLG cơ bản
Ví dụ 1. Giải phương trình
1
a) sin 2 x  (1) ; b) tan x. tan 5x  1 (2)
2
c) sin 2 2 x  cos2 3x  1 (3) d) sin 3x  cos 5x  0 (4)
Giải.
a) Dùng công thức hạ bậc
 
 x  2  k
 1 
b) đk:  (2)  tan 5 x   cot x  tan(  x) (pt cơ bản)
x      tan x 2

 10 5
1  cos 4 x 1  cos 6 x
c) (3)    1  cos 6 x  cos 4 x (pt cơ bản)
2 2

d) (4)  cos 5x   sin 3x  sin( 3x)  cos (  3x) (pt cơ bản)
2
1
Ví dụ 2. Giải phương trình cos4 x  sin 4 x  sin 2 x (1)
3
1
Giải. (1)  cos2 x  sin 2 x  sin 2 x
3
1   k
 cos 2 x  sin 2 x  tan 2 x  tan  x  
3 3 6 2
Ví dụ 3. Tìm nghiệm của phương trình: sin 4 x  cos4 x  1 , (2) trong nửa khoảng 0; 2 
1 k
Giải. (2)  1  sin 2 2 x  1  sin 2 x  0  x 
2 2
Năm học: 2009-2010 3

4. Đề cương ôn tập Môn Toán 11 nâng cao-HKI Trường THPT Bình sơn
Trong nửa khoảng 0; 2  tập nghiệm của phương trình là: S  0 ;  ; ; 3 
 
 2 2
Ví dụ 4. Giải phương trình
a) 2 sin 2 x  1  Sin3x (1) ; b) Sin 2 x  (cos x  sin x) 2 (2)

Giải. a) (1)  2 sin 2 x  1  sin 3x  cos 2 x   sin 3x  cos(  3x) ( ptcb)
2
1
b) (2)  sin 2x  1  sin 2x  sin 2 x  ( ptcb)
2
Bài tập.
1/ Giải các phương trình lượng giác sau
 2   
a / sin(2 x  )  ; b / cot( 2 x  15 )  1; c / tan(2 x  )  3  0; d / cos(2 x  )  sin( x  )  0
0
5 2 6 4 12
 2 
e/ cos( x  )   ; g/ 2 cos( x  )  1  0 ; h/ 4 sin 2 x  1 ; i/ cos(6 x  30 0 )  cos 4 x  0
3 2 4
2/ Giải các phương trình sau:
a) 2 sin x  3  0 ; b) tan 3x  tan 7 x  0 ; c) sin 2 (5x  2 )  cos 2 (  x )
5 4

d) tan ( (sin x  1))  1 e) sin ( tan x)  cos ( tan x)  0
4
2. Phƣơng trình bậc hai đối với một HSLG
Ví dụ. Giải các phương trình lượng giác sau:
a) sin2 x-cosx +1=0; b) cos2x+3cosx+2=0;
3
c ) 5(sin2x-sinx)+6cos2x=0; d) sin4x+cos4x+sin2x =
2
Hƣớng dẫn giải.
a) Thay sin 2 x  1  cos 2 x  pt bậc hai theo cosx:cos2x+cosx-2=0 . Đặt t=cosx (đk t  1 ) pt
t  1
trở thành t2+t-2 = 0   (Không thoả đk) ; t  1  cos x  1  x  k 2
t  2
b) Thay cos2x = 2cos2x-1; c) Thay cos2x=1-sin2x
sin 2 2 x
d) Để ý sin4x+cos4x=(sin2x+cos2c)2-2sin2x.cos2x=1-2sin2x.cos2x= 1  . Chuyển về
2

phương trình bậc hai theo sin2x. ĐS: x   k 2
4
Bài tập tƣơng tự. Giải các phương trình sau
a) sin2x-3cosx+3=0; b)cos4x + sin2x +2= 0; c) 8(sin4x +cos4x) =4sinx.cosx +7
1 
d) tan 3 x  1  2
 3 cot(  x)  3 ; e) 3tanx-tan2x- 3=0; f) sin2x-
cos x 2
6cosx+3=0.
3. Pt bậc nhất theo sinx và cosx: dạng asinx+bcosx=c
Ví dụ. Giải các phương trình LG sau:
a) sin x  3 cos x  2 b) 3 cos 3x  sin 3x  2
c) cos 2 x  sin 2 x  3 sin 2 x  1 d) cos 7 x  sin 5x  3(cos 5x  sin 7 x)
*Hƣớng dẫn giải
a) a 2  b 2  2 , chia hai vế của pt cho 2, pt trở thành
Năm học: 2009-2010 4

5. Đề cương ôn tập Môn Toán 11 nâng cao-HKI Trường THPT Bình sơn
1 3      
sin x  cos x  1  sin x.cos  cos x.sin  1  sin( x  )  1  x    k 2  x   k 2
2 2 3 3 3 3 2 6
  k 2
b) a  b  2;
2 2
xem 3x=X ,  x  36  3
ĐS 
 x  5  k 2

 36 3
c) Chú ý: cos2x-sin2x=cos2x ;
d)  cos 7 x  3 sin 7 x  3 cos 5x  sin 5x
1 3 3 1    
 cos 7 x  sin 7 x  cos5 x  sin x  cos 7 x.cos  cos 7 x.sin  cos5 x.cos  sin 5 x.sin
2 2 2 2 3 3 6 6
 
 cos(7 x  )  cos(5 x  ).................
3 6
*Bài tập tƣơng tự
1) 4sinx +5cosx=3 ; 2) 3 sin 2 x  cos 2 x  2 ; 3) 2 sin 17 x  3 cos 5x  sin 5x  0
x x 5
4) cos  3 sin  1 ; 5) sin 2 x  cos 2 x  2 ; 6 ) 2sin2x+4cos2x =
2 2 2
7) 3 cos 3x  sin 3x  2 ; 8) 2 cos x  3 sin 2 x  2 ; 9)
2
cos 8x  sin 3x  3(cos 3x  sin 8x)
4. Phƣơng trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx
Dạng: a sin2x + b sinx.cosx +c cos2x =0 ( a,b, c  R )
Ví dụ. Giải các phương trình sau
a) 3 sin2x –sin2x –cos2x =0 ; b) 6sin2x –sinx.cosx –cos2x =3
c) 2cos3x +sinx-3 sin2x.cosx =0 ; d) sin 2 x  (1  3) sin x.cos x  3 cos 2 x  0
*Hƣớng dẫn giải

a) sin2x =2sinx.cosx ; x   k không phải là nghiệmcủa pt (1)
2
tgx  1 (a)
(1)  3tg x  2tgx  1  0  
2
tgx   1 (b)
 3
 1
(a) tgx  1  x   k ; (b)  tgx  tg (với tg  
)  x    k
4 3
3
b) Giải tương tự câu (a) Chú ý: 3 = 3 (sin2x +cos2x) hoặc  3(1  tg 2 x)
cos 2 x
 4
ĐS : x    k , x    k (với tgx = )
4 3
c) Chia hai vế cho cos3x và đặt t=tgx được : t3 -3t2 +t =2 =0
chú ý pt(*) có n0 t=2 .
 x    k
1 5 1 5
ĐS :  x    k
 ( với tg  2 , tg  , tg  )
2 2
 x    k

d) Giải tương tự.
*Bài tập tƣơng tự
1) sin 2 x  (1  3) sin x. cos x  3 cos 2 x  0 2) 6 sin 2 x  7 3 sin 2 x  8 cos 2 x  6
3) cos3x –4 cos2x.sinx + cosx.sin2x +2sin3x =0 4) 2sin2x- 5sinx.cosx-8cos2x=-2
5) 3 sin2x –sin2x –cos2x =0 6) 6sin2x –sinx.cosx –cos2x =3
5. Phƣơng trình đối xứng với sinx và cosx
Dạng a(sinx +cosx)+bsinx.cosx =c (a ,b ,c  R )
Năm học: 2009-2010 5

6. Đề cương ôn tập Môn Toán 11 nâng cao-HKI Trường THPT Bình sơn
t 2 1
Đặt t =sinx+cosx  sin x. cos x  đk t  2
2
Ví dụ. Giải các phương trình lượng giác sau :
a) 2(sinx + cosx) +sin2x +1=0 (1) b) sinx – cosx + 4sinx.cosx +1 =0 (2)
c) sin3x +sinx.cosx + cos3x = 1 (3) d) 4sin2x-5sinxcosx-6 cos2x=o (4)
*Hƣớng dẫn giải
a) Đặt t =sinx–cosx (đk t  2 ) , ta có sin2x = 2sinx. cosx =t2 -1 (1) trở thành:
t  0
2t  t 2  1  1  0  t 2  2t  0  
t  2 ( Không thoả điều kiện )

t  0  sin x  cos x  0  2 sin( x  )  0  x     k
4
4
b) Đặt t =sinx–cosx (đk t  2 )  2 sin x. cos x  1  t 2
t  1
pt trở thành : t+2(1-t2) +1 =0  2t 2  t  3  0  
t  3Không thoả đk
 2
 x  k 2
t=-1  2 sin( x  )  1 ……… ĐS :  3
4 x   k 2
 2
c) (3)  ( sin x + cos x)( 1-sin x.cos x) +sin x.cos x = 1, Đặt t =sin x+cos x . . .pt
t  1
trở thành: t3- t2 –3t +3=0 (t-1)(t2-3) = 0 
t   3 Không thoả đk)
(

ĐS : x=k2 , x   k 2
2
d) tương tự
* Bài tập tƣơng tự.
1) sin x+cos x = 2 2 sin x.cos x ; 2) 6(cos x-sin x)+sin x.cos x –6=0
3) 6(cosx-sinx)+sinx.cosx+6=0 ; 4) 3(cosx+sinx)+2sin2x+3=0
6. Những phƣơng trình lƣợng giác khác
Ví dụ 1. Giải phương trình
a) cos 3x  cos 2x  cos x  sin 3x  sin 2x  sin x (1)
 3
b) sin 2 (2 x  )  3 cos (  2 x)  2  0 (2)
4 4
 2
 1  x   3  k 2
 a) (1)  cos x   2 
  x    k
cos 2 x  sin 2 x
 
 8 2
  1  t  1 3
b) Đặt t  sin (2 x  ) Ta có:   t 1 x   k
4 t  3t  2  0
2
8
Ví dụ 2. Giải các phương trình
a) sin 2 x  3 cos 2 x  3 sin 2 x  1 (1) ; b) 3 cos2 x  2 3 sin x cos x  3sin 2 x  0 (2)
Năm học: 2009-2010 6

7. Đề cương ôn tập Môn Toán 11 nâng cao-HKI Trường THPT Bình sơn
 
 a) (1)  3 sin 2 x  cos 2 x  1 Kết quả: x   k ; x    k b) (2) là
6 2

phương trình thuần nhất bậc 2 đối với sin x và cosx. Kết quả: x    k ;
6

x  k
3
Ví dụ 3. Tìm m để phương trình sau có nghiệm:
m. cos 2 x  2(2m  3). cos x  2m  2  0
2
(3)
 (3)  (m  3) cos 2 x  1  0 ; Kết quả: m  4
m  2

Ví dụ 4. Cho phương trình: sin 4 x  cos 2 x  m cos 6 x  0 (4)
a) Giải phương trình khi m = 2.
b) Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm trong khoảng  0;  
 
 4
 (4)  cos x(m. cos x  1)  0
4 2

a) m=2: Ta có: cos4 x (2 cos2 x  1)  0  cos x  0  x   k
2
 1 t  0
b) Đặt t  cos2 x, x  (0; )  t  ( ; 1) Ta có: t 2 (mt  1)  0  
4 2 mt  1  0 (*)
1
+ t  0( ; 1)
2
+ m=0 phương trình (*) vô nghiệm.
1 1 1 1
+ m  0 (*)  t   ( ; 1)     1   2  m  1
m 2 2 m
Ví dụ 5. Cho phương trình (1  cos x) (cos 2 x  m cos x)  m sin 2 x (5)
a) Giải phương trình khi m=-2
 2 
b) Xác định m để phương trình có đúng 2 nghiệm thuộc đoạn 0;
 3 

 (5)  (1  cos x) (2 cos2 x  m  1)  0 (5' )
a) Với m=-2. Ta có: (1  cos x) (2 cos2 x  1)  0
 cos x  1  x    k 2 .
 2   1 
b) Đặt t  cos x, x  0;   t   ; 1 Từ (5’) suy ra: (t  1) (2t 2  m  1)  0
 3   2 
t  1
 1 
  2 m 1 , t  1   ; 1
t   2 
 2
- Xét m  1 : Không thoả yêu cầu bài toán.
Năm học: 2009-2010 7

8. Đề cương ôn tập Môn Toán 11 nâng cao-HKI Trường THPT Bình sơn
 m 1
 1
m 1  2 1
- Xét m  1. Ta có: t   đk là:  m
2  m  1   1 2

 2 2
1
Vậy: Giá trị m cần tìm là:  1  m  
2
Ví dụ 6. Cho phương trình sin x  m cos x  1 (1)
a) Giải pt (1) khi m   3
b) Tìm giá trị của m để mọi nghiệm của pt (1) đều là nghiệm của pt
m sin x  cos x  m 2 (2)
 7
 a) Kết quả: x   k 2 ; x 
 k 2
2 6

b) NX: Pt (1) luôn có nghiệm x   k 2 , m  R
2
 m  0 (1)  sin x  1
đk cần: x  thoả (2)   đk đủ: m=0:  Thoả yêu cầu bài toán.
2  m 1 (2)  cos x  0
m=1. Từ (1), (2); suy ra: sin x  cos x  1 (thoả)
Vậy giá trị m cần tìm m=0 và m=1.
Ví dụ 7. Xác định m để pt sau có nghiệm
a) sin 2 x  m cos 2 x  sin x. cos x  m  1 b) 2 sin 2 x  6 sin x cos x  3 cos2 x  m  0
 Chuyển pt về dạng Asin 2 x  B cos 2 x  C
áp dụng pt có nghiệm khi và chỉ khi: A2  B 2  C 2  0
b) Kết quả: 1  61  m  1  61
7
a) Kết quả: m 
4 2 2
Bài tập tƣơng tự
*Giải các pt lg sau
1) sin 5x+sin x-sin 3x=0 (1) ; 2) sin 2x-cos x+2 sin x-1=0 (2)
3) cos 2x+cos 22x+cos 23x+cos 24x=2 (3) ; 4) cos 2x +2 cos x+tg2x +1=0 (4)
Hƣớng dẫn giải
 
(1) 2 cos 4x.sin x+sin x=0  sin x(2 cos 4x+1)=0 ĐS : x=k  , x    k
6 2
 5
(2) (1+cos x)(2 sin x-1) =0 ……ĐS : x= +k2 , x   k 2 , x   k 2
6 6
1  cos 2 x
(3) áp dụng công thức : cos 2 x  ĐS
2
 k  l 
:x   , x  , x  n
10 5 4 2 2
A  0
(4) (cos x+1)2 +tg2x =0 Chú ý: A2 +B2 =0   ĐS : x=(2k+1)
B  0
Phần III. TỔ HỢP
Kiến thức cơ bản.
Nhớ: + Hai quy tắc cộng và nhân của phép đếm.
Năm học: 2009-2010 8

9. Đề cương ôn tập Môn Toán 11 nâng cao-HKI Trường THPT Bình sơn
+ Định nghĩa về hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp.
+ Công thức tính số hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp, công thức nhị thức NewTơn.
Bài tập.
1/ Cho các số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6. Từ các chữ số đó ta có thể lập được bao nhiêu số tự
nhiên:
a) có 5 chữ số?
b) có 5 chữ số khác nhau? Trong đó có bao nhiêu số chia hết cho 5? Bao nhiêu số
chẵn?
c) nằm trong (3000; 4000);
d) có 4 chữ số khác nhau và không bắt đầu bởi số 4?
e) gồm 3 chữ số khác nhau và không chia hết cho 9?
f) có 5 chữ số khác nhau mà chữ số 1 và 2 không đứng kề nhau?
Hướng dẫn:
a) Dùng quy tắc nhân.
b) Dùng quy tắc nhân và tính chia hết cho 5, 2.
c) Số có 4 chữ số, bắt đầu bởi 3 và lấy trong các số trên.
d) Tìm các số có 4 chữ số khác nhau và bắt đầu bởi 4.
e) Tìm các số có 3 chữ số khác nhau và chia hết cho 9.
f) Tìm các số có 5 chữ số khác nhau mà chữ số 1 và 2 đứng kề nhau?
2/ Trên giá sách có 12 quyến sách Toán khác nhau, 11 quyển sách Văn khác nhau. Hỏi có
bao nhiêu cách chọn:
a) 3 quyển khác nhau?
b) Bao nhiêu cách chọn 2 quyển sách Toán và 2 quyển sách Văn?
3/ Một lớp có 46 học sinh gồm 30 nữ và 16 nam. GVCN muốn chọn ra 4 học sinh để tham
gia diễn văn nghệ của trường. Hỏi có bao nhiêu cách chọn nếu:
a) Số học sinh được chọn là tùy ý?
b) Phải có 2 nam và 2 nữ?
c) Phải có ít nhất là 1 nữ?
d) Mỗi học sinh tham gia vào một vai diễn riêng biệt ?
HD a), b), c) Dùng tổ hợp. d) Dùng chỉnh hợp.
3/ Giải các pt, bpt và hệ pt sau :
143Pn5
a) Ay  C yy 2  14 y
3
; b) 3Cx21  P2 x  4 Ax2 ; c) Cn45  0;
96 Pn3
C x3 1 m1 m1
 Axy  3C xy  50

d) x41  ; e) C n1
m
:C
n1 :C
n1  5:5:3 ; f)  y
Ax1 14 P3  Ax  2C xy  40

Đáp án. a) y=5. b) x=3. c) n {1;0;1;2;3} d) x  {3;4;5;6} . e) m=3; n=6. f) x=5; y=2.
4/ Cho khai triển (1-2x)12. Tìm số hạng thứ 8 trong khai triển trên theo thứ tự tăng dần của
số mũ của x ?
12
x 3
5/ Cho khai triển   
3 x
55
a) Tìm hệ số của số hạng chứa x4 trong khai triển trên. ĐS:
9
b) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển trên. ĐS: 924.
n
 1
6/ Cho biết hệ số của số hạng thứ 3 trong khai triển  x   bằng 5. Tìm số hạng ở giữa
 3
28 5
của khai triển ? ĐS:  x
27
Năm học: 2009-2010 9

10. Đề cương ôn tập Môn Toán 11 nâng cao-HKI Trường THPT Bình sơn
7/ Tìm hai số hạng đứng giữa của khai triển x 3  xy  ?
31
n
 1
8/ Tìm số hạng không phụ thuộc x trong khai triển nhị thức  x   , biết rằng
 x
Cnn  Cnn1  Cnn2  79
9/ Tính giá trị biểu thức
A  C2009  C2009  C2009    C2009
0 1 2 2009
B  C2009  C2009  C2009    C2009
0 1 2 2009
C  C2009  2C2009  22 C2009    22009C2009
0 1 2 2009
10/ Với n là số nguyên dương, chứng minh hệ thức
2n  Cn  Cn 1    Cn  Cn
n n 1 0
C2n  C2n    C2n 1  C2n  C2n    C2n
1 3 2n 0 2 2n
C2n  32 C2n  34 C2n    32 n C2n  22 n1 (22 n  1)
0 2 4 2n
HD. Khai triển nhị thức (1  x)2n rồi thay x = 3, x = 3 và cộng lại.
Phần IV. XÁC SUẤT
1. Các dạng bài tập cơ bản
A) Tìm không gian mẫu của một phép thử ngẫu nhiên
- Phép thử ngẫu nhiên T (phép thử T) là một thí nghiệm hay một hành động mà :
+ Kết quả của nó không đoán trước được,
+ Có thể xác định được tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử đó.
Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử được gọi là không gian mẫu, kí hiệu
.
- Mô tả không gian mẫu: Viết liệt kê các kết quả có thể xảy ra của phép thử.
- Tìm số phần tử của không gian mẫu: số các kết quả của không gian mẫu kí hiệu n(  ).
B) Biến cố A liên quan đến phép thử T là biến cố mà việc xảy ra hay không xảy ra của A
tùy thuộc vào kết quả của T. Mỗi kết quả của phép thử T là cho A xảy ra được gọi là kết
quả thuận lợi cho A. Tập hợp tất cả các kết quả thuận lợi cho A được kí hiệu là  A .
C) Tính xác suất của biến cố
Muốn tính xác suất của biến cố A cần thực hiện hai bước :
+ Tính số phần tử của không gian mẫu  .
| A | n ( A )
+ Tính số phần tử của biến cố A, |  A | hay n(  A ). Xác suất P( A)  hay P( A) 
|| n()
2. Một số ví dụ áp dụng
1/ Có 8 quả cân khối lượng 1kg, 2kg, 3kg, 4kg, 5kg, 6kg, 7kg, 8kg. Chọn ngẫu nhiên 3 quả
cân trong số các quả cân trên.
a) Có bao nhiêu kết quả có thể xảy ra?
b) Tính xác suất của biến cố có tổng khối lượng không vượt quá 9kg?
HD.
a) Số kết quả có thể xảy ra: n(  ) = C8  56 .
3
b) Gọi A là biến cố 3 quả lấy ra có tổng khối lượng  9 , các kết quả thuận lợi cho A là
(1;2;6), (1;3;5), (2;3;4), (1;2;3), (1;2;4), (1;2;5), (1;3;5). Số phần tử của biến cố A là
7
n(A)=7. Vậy P( A) 
56
2/ Một hộp đựng 10 viên bi có cùng kích thước và khối lượng, trong đó có 6 bi xanh và 4
viên bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi cùng một lúc, tính xác suất của biến cố:
a) Cả 3 viên bi đều màu xanh.
b) Trong 3 viên bi lấy ra có ít nhất một viên bi màu xanh.
HD.
Năm học: 2009-2010 10

11. Đề cương ôn tập Môn Toán 11 nâng cao-HKI Trường THPT Bình sơn
a) n(  ) = C10  120 , Gọi A là biến cố cả 3 viên bi lấy ra là màu xanh, n(A)= 20 nên
3
1
P( A) 
6
b) Gọi B là biến cố 3 bi lấy ra có ít nhất 1 bi xanh. Biến cố đối của B là B gồm 3 viên bi
4 29
lấy ra toàn màu đỏ. Ta có P( B)  1  P( B)  1  
120 30
Bài tập tương tự.
1/ Gieo hai con súc sắc cân đối, đồng chất như nhau và quan sát số chấm xuất hiện trên
mặt hai con súc sắc đó. Tìm xác suất để :
a) Tổng số chấm xuất hiện trên mặt hai con súc sắc là 8.
a) Số chấm xuất hiện trên mặt hai con súc sắc bằng nhau.
2/ Một hộp đựng 9 chiếc thẻ đánh số từ 1 đến 9 trên đó
a) Rút ngẫu nhiên 3 thẻ và thu được một số có 3 chữ số. Tìm xác suất để :
 Thu được một số chẵn.
 Thu được một số chia hết cho 5.
b) Rút ngẫu nhiêu 2 thẻ và nhân 2 số ghi trên thẻ với nhau. Tìm xác suất để:
 Tích nhận được là số lẻ.
 Tích nhận được là số chẵn.
3/ Một đề kiểm tra trắc nghiệm có 10 câu, mỗi câu có 4 phương án được chọn, trong đó chỉ
có 1 phương án đúng. Một học sinh không học bài nên chọn ngẫu nhiên mỗi câu một
phương án. Biết rằng mỗi câu 1 điểm. Tính xác suất để học sinh đó được điểm 5?
ĐS. 0,0583992
4/ Gieo 3 lần liên tiếp một con súc sắc cân đối đồng chất. Tính xác suất của biến cố có tổng
chấm xuất hiện trong 3 lần gieo không nhỏ hơn 16.
ĐS. 0,0463
5/ Một lớp học có 40 học sinh trong đó có 8 học sinh giỏi, 14 học sinh khá và 18 học sinh
trung bình. Người ta chọn ngẫu nhiên 3 học sinh. Tính xác suất để:
a) Cả 3 học sinh đều giỏi. ĐS. 0,006
b) Có ít nhất một học sinh giỏi. ĐS. 0,498
c) Không có học sinh trung bình. ĐS. 0,156
6/ Một tổ học sinh có 6 nam và 5 nữ. Chọn ngẫu nhiên trong tổ 4 người. Tính xác suất:
10
a) Trong 4 người được chọn chỉ có 1 nữ. ĐS P( A) 
33
15 315
b) Trong 4 người được chọn có không quá 3 nam. ĐS P( B)  1  P( B)  1  
330 330
Phần V. HÌNH HỌC
Chƣơng I. PHÉP BIẾN HÌNH
A. Các dạng toán cơ bản
Dạng 1. Xác định ảnh của một hình qua một phép biến hình
Dùng định nghĩa hoặc biểu thức tọa độ của phép biến hình.
VD. Trong mp Oxy cho A(4;1) , v  (2;3) , d : 3x  4 y  5  0 , (C) : x 2  y 2  4 x  6 y  2  0
Tìm ảnh của A, d, (C) qua Tv , ĐO ; Đy ; Đx ; V( 0; 2)
Dạng 2. Dùng phép biến hình để giải một số bài toán dựng hình
VD. Cho góc xOy và điểm A thuộc miền trong của góc đó. Hãy dựng đường thẳng d đi qua
A và cắt Ox, Oy theo thứ tự tại hai điểm M, N sao cho A là trung điểm của MN.
HD. Xem M là ảnh của N qua phép đối xứng tâm A. Khi đó N vừa thuộc Oy vừa thuộc x’
ảnh của Ox qua phép đối xứng tâm A. Từ đó suy ra cách dựng.
+ Dựng x’ là ảnh của Ox qua phép đối xứng tâm A.
Năm học: 2009-2010 11

12. Đề cương ôn tập Môn Toán 11 nâng cao-HKI Trường THPT Bình sơn
+ Goi N  Oy  x' , khi đó NA chính là đường thẳng cần dựng.
Dạng 3. Tìm quỹ tích của một điểm di động
VD. Cho tam giác ABC có hai đỉnh B, C cố định còn điểm A chạy trên đường tròn (O; R).
Tìm quỹ tích trọng tâm G của tam giác ABC.
1
HD. Gọi I là trung điểm BC. Ta có IG  IA , suy ra G là ảnh của A qua phép vị tự tâm I tỉ
3
1
số . Mà A di động trên đường tròn (O;R) nên G di động trên đường tròn (O’; R) ảnh của
3
(O) qua phép vị tự nêu trên.
Bài tập tương tự.
1/ Trong mp Oxy cho A(3;4) , v  (2;5) , d : 2 x  3 y  2  0 , (C) : x 2  y 2  2 x  8 y  2  0
Tìm ảnh của A, d, (C) qua Tv , ĐO ; Đy ; Đx ; V( 0; 2)
2/ Cho đường tròn (O;R) và hai điểm A, C cố định sao cho đường thẳng AC không cắt
(O). Một điểm B thay đổi trên (O), dựng hình bình hành ABCD. Tìm quỹ tích điểm D?
3/ Cho hình vuông ABCD, gọi I là giao điểm hai đường chéo. Tìm ảnh của tam giác ABI
qua:
a) Phép đối xứng trục BC.
b) Phép đối xứng tâm D.
c) Phép tịnh tiến theo IB .
d) Phép quay tâm I một góc 1800.
1
e) Phép vị tự tâm I tỉ số k  .
2
f) Phép quay tâm I một góc -900 rồi lấy đối xứng qua trục AD .
Chƣơng II. ĐƢỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN.
QUAN HỆ SONG SONG
A. Nhớ các tính chất thừa nhận và định lý đã học
B. Các dạng toán cơ bản
Dạng 1. Tìm giao tuyến của hai mp.
Dạng 2. Tìm giao điểm của đường thẳng và mp.
Năm học: 2009-2010 12

13. Đề cương ôn tập Môn Toán 11 nâng cao-HKI Trường THPT Bình sơn
Dạng 3. Chứng minh ba hay nhiều điểm thẳng hàng.
Dạng 4. Tìm thiết diện của hình đa diện với mp và bài toán liên quan.
Dạng 5. Chứng minh hai đường thẳng song song.
Dạng 6. Chứng minh đường thẳng song song với mp.
C. Bài tập áp dụng
1) Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình thang và đáy lớn AB. Gọi M, N lần lượt là
trung điểm của SA, SB
a. Chứng minh MN//CD.
b. Tìm giao điểm P của SC và (ADN). Kéo dài AN và DP cắt nhau tại I. Chứng minh SI //
AB? Tứ giác SABI là hình gì?
2) Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, P lần lượt
là trung điểm của các đoạn BC, CD, SO. Tìm giao tuyến của (MNP) với các mặt của hình
chóp. Suy ra thiết diện của hình chóp với mp (MNP).
3) Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình thang đáy lớn là AB. Gọi I, J lần lượt là trung điểm
của AD và BC. G là trọng tâm tam giác SAB.
a) Tìm giao tuyến của hai mp (SAB) và (IJG).
b) Xác định thiết diện của hình chóp với mp (IJG). Thiết diện là hình gì ? Tìm điều kiện
đối với AB và CD để thiết diện là hình bình hành.
HD :b) Để thiết diện là hình bình hành thì cần có AB=3CD.
4) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung
điểm của AB và CD
a) Chứng minh rằng : MN // (SBC) ; MN //(SAD).
b) Gọi P là trung điểm của cạnh SA. CMR SB//(MNP); SC//(MNP).
c) Gọi G1,G2 là trọng tâm tam giác ABC và SBC. Chứng minh G1G2 // (SAD).
5) Cho hình chóp S.ABCD. M và N là hai điểm trên AB và CD, () là mặt phẳng qua MN và
song song với SA
a) Tìm giao tuyến của () với (SAB) và (SAC).
b) xác định thiết diện của hình chóp với mp ().
c) Tìm điều kiện của MN để thiết diện là hình thang.
HD : c) Để thiết diện là hình thang thì MN//BC.
6) Cho hình thang ABCD có đáy lớn AB và một điểm S ở ngoài mặt phẳng chứa hình
thang. Gọi M là trung điểm của CD, () là mặt phẳng qua M song song với SA và BC.
a) Hãy tìm thiết diện của hình chóp với (), thiết diện này là hình gì?
b) Tìm giao tuyến của mp () với (SAD).
7) Cho tứ diện ABCD. Trên cạnh AD lấy trung điểm M, trên cạnh BC ta lấy điểm N bất kì.
Gọi () là mặt phẳng chứa MN và song song với CD.
a) Hãy tìm thiết diện của tứ diện ABCD với mp().
b) Xác định vi trí của N trên BC sao cho thiết diện là hình bình hành.
8) Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm
của SA và SD.
a) Chứng minh (OMN)//(SBC).
b) Gọi P và Q là trung điểm của AB và ON. Chứng minh PQ// (SBC).
9) Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm
của SA và CD
a) CMR (OMN)//(SBC).
b) Gọi I là trung điểm của SC, J là một điểm trên mp (ABCD) và cách đều AB và CD. Chứng
minh IJ //(SAB)
10) Cho tứ diện ABCD. Gọi () là mặt phẳng thay đổi luôn đi qua các trung điểm I, K của các
cạnh DA và DB. Các cạnh CA, CB lần lượt cắt () tại M, N.
a) Tứ giác MNKI có tính chất gì ? Khi nào tứ giác đó là hình bình hành.
Năm học: 2009-2010 13

14. Đề cương ôn tập Môn Toán 11 nâng cao-HKI Trường THPT Bình sơn
b) Gọi O là giao điểm của MI và NK Chứng tỏ rằng điểm O luôn nằm trên một đường thẳng
cố định.
c) Gọi d là giao tuyến của mp() và (OAB). CMR Khi () thay đổi thì đường thẳng d luôn
nằm trên một mặt phẳng cố định và có phương không đổi.
HD: b) Điểm O luôn nằm trên đường thẳng CD cố định.
d) d luôn nằm trên mp () là mặt phẳng chứa đường thẳng CD và song song với AB.
Năm học: 2009-2010 14