1. AXIOMAS DE PEANO1
Los axiomas de Peano o postulados de Peano son un conjunto de axiomas para la
aritmética introducidos por Giuseppe Peano en el siglo XIX. Los axiomas se han
utilizado prácticamente sin cambios para una variedad de investigaciones matemáticas
y metamatemáticas, incluyendo cuestiones acerca de la consistencia y completitud de
la aritmética y la teoría de números.
Los cinco axiomas o postulados de Peano son los siguientes:
1. El 1 es un número natural.
2. Si n es un número natural, entonces el sucesor de n también es un número
natural.
3. El 1 no es el sucesor de ningún número natural.
4. Si hay dos números naturales n y m con el mismo sucesor, entonces n y m son
el mismo número natural.
5. Si el 1 pertenece a un conjunto, y dado un número natural cualquiera, el
sucesor de ese número también pertenece a ese conjunto, entonces todos los
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Tomado de F. Gareth Ashurst. fundadores de las matemáticas modernas. Alianza editorial, Madrid
En lógica y matemática, un axioma o postulado es una fórmula bien formada de un
lenguaje formal que se acepta sin demostración, como punto de partida para
demostrar otras fórmulas. Tradicionalmente, los axiomas se eligen de entre las
demás fórmulas por ser "verdades evidentes" y porque permiten deducir a las
demás fórmulas deseadas. Sin embargo, no todos los teóricos están de acuerdo con
esta aproximación.
En matemática, un axioma no siempre es una verdad evidente, sino una fórmula
bien formada utilizada en una deducción para llegar a una conclusión.
2. números naturales pertenecen a ese conjunto. Este es el axioma de inducción,
y captura la idea de inducción matemática.
Presentación formal
Los símbolos que designan los conceptos primitivos son .
El símbolo designa un predicado monádico que pretende ser leído como "ser un
número natural". El símbolo , por su parte, designa una constante que pretende
representar al número uno. Y el símbolo , finalmente, designa una función sobre x
que devuelve al sucesor de x. A esta función muchas veces se la escribe .
Los cinco axiomas de Peano son:
Del quinto axioma existen dos variantes. El primero está formulado en lógica de primer
orden, y es en realidad un esquema de axioma. El segundo sí es un axioma, pero está
formulado en lógica de segundo orden.
Además de los cinco axiomas, la aritmética de Peano recurre a dos definiciones (de la
suma y de la multiplicación), que a veces se presentan como axiomas. A continuación
se incluyen todas las variantes:
Definiciones de suma y multiplicación:
