1. Projekts „Atbalsts vispārējās izglītības pedagogu nodrošināšanai prioritārajos mācību priekšmetos””
(Vienošanās Nr. 2008/0001/1DP/1.2.1.2.2./08/IPIA/VIAA/002)
Darbības ar skaitļiem
Zīmju likumi Piemēri
Ja skaitļiem ir vienādas zīmes-saskaitam un rezultātam *-2 – 4= - 6
liekam to zīmi, kura ir šiem skaitļiem. * 3 + 5= +8
Ja skaitļiem ir dažādas zīmes no lielākā skaitļa atņem *– 8 + 3= - 5
mazāko un rezultātam liek to zīmi, kura ir lielākam *– 2 + 8= +6
skaitlim.
Reizinot vai dalot skaitļus ar Reizinot vai dalot skaitļus
vienādām zīmēm rezultātā ar dažādām zīmēm
liekam „+” zīmi. rezultātā liekam „-„ zīmi.
+ •− = −
+ •+ = + − •+ = − * 3 • 4 = 12 * 2 • (−5) = −10
− •− = + + ÷− = − * −2 • (−3) = 6 * −7 • 2 = −14
+ ÷+ = + − ÷+ = − *9 ÷ 3 = 3 * 8 ÷ (−2) = −4
− ÷− = + * −15 ÷ (−5) = 3 * −16 ÷ 4 = −4
Darbības ar parastām daļām Piemēri
Saskaitot vai atņemot daļskaitļus, ja ir vienādi saucēji: 2 3 2+3 5
+ = =
saskaita vai atņem skaitītājus, sausnejs nemainās: 7 7 7 7
a c a±c 7 2 7−2 5
± = − = =
b b b 9 9 9 9
Saskaitot vai atņemot daļas ar dažādiem saucējiem, rīkojas
šādi: • atrod kopsaucēju – skaitli, kurš dalās ar abu daļu
saucējiem; 15 3 4 5 + 12 17
• kopsaucēju izdala ar katras daļas saucēju; + = =
4 5 20 20
• pieraksta katrai daļai papildreizinātāju
• sareizina daļu skaitītājus ar papildreizinātājiem un
izpilda to saskaitīšanu vai atņemšanu 25 21 10 − 2 8
2 −1 = 1 =1
a c ad ± bc 3 15 15 15
± =
b d bd
Reizinot daļas: sareizina daļu skaitītājus un daļu
saucējus. Saīsina , ja daļu skaitītājā un saucēja ir vienādi 3 2 3• 2 1•1 1
• = = saī sin am = =
dalītāji t.i.daļas skaitītājs un saucējs dalās ar vienu un to 12 9 12 • 9 6 • 3 18
pašu skaitli.
a c a•c
• =
b d b•d
Dalot daļas:
8 2 8•3 4 •1 4 1
• pirmās daļas skaitītāju reizina ar otrās daļas ÷ = = saī sin am = = =1
saucēju un rezultātu raksta daļas skaitītāja; 9 3 9•2 3 •1 3 3
• pirmās daļas saucēju reizina ar otrās daļas
skaitītāju un rezultātu raksta daļas saucējā; 3
Ja daļa ir jaukta t.i. piemēram: 2 ,izpildot
• saīsināt daļas drīkst tikai tad, kad dalīšanas zīme 4
© sk. Vija Vaičule 1

2. Projekts „Atbalsts vispārējās izglītības pedagogu nodrošināšanai prioritārajos mācību priekšmetos””
(Vienošanās Nr. 2008/0001/1DP/1.2.1.2.2./08/IPIA/VIAA/002)
tiek aizstāta ar reizināšanas zīmi. reizināšanu vai dalīšanu to pārveido par neīsto
a b a•d 3 2 • 4 + 3 11
÷ = šādi: 2 = =
c d c•b 4 4 4
Darbības ar decimāldaļām Piemēri
Saskaitot vai atņemot daļas rakstos:
• skaitļu paraksta citu zem cita 25,12 52,78
• veselos zem veseliem + 0,15 - 10,28
• komatu zem komata 25,27 42,50
• desmitdaļas zem desmitdaļām un simtdaļas zem
simtdaļām un t.t. 2,8 • 1,3 = 3,64
• saskaitīšanu vai atņemšanu iesāk ar zemākajām 28,5 • 600 = 17100,0
šķirām
Decimāldaļas reizina kā veselus skaitļus, komatu
neievērojot, bet pēc tam reizinājumā ar komatu no labās
puses atdala tik decimālciparu, cik to ir abos reizinātājos
kopā. 25,3 • 100 = 2530
Reizinot dec.daļas ar 10, 100, 1000 un t.t. komats jāpārceļ 0,13 • 10 = 1,3
par 1, 2, 3 vietām uz labo pusi.
Skaitli ar decimāldaļu dala tā: dalītāja, bet dalāmajā pārceļ
komatu par tik cipariem uz labo pusi, cik decimālciparu 2,76 ÷ 1,2 = 27,6 ÷ 12 = 2,3
dalītājā. Pēc tam dala kā veselu skaitli.
Dalot dec.daļas ar 10, 100, 1000 un t.t. komats jāpārceļ par 82,7 ÷ 10 = 8,27
1, 2, 3 vietām uz kreiso pusi. 1,3 ÷ 100 = 0,013
Darbību kārtība Piemēri
Ja skaitliskā izteiksmē ir iekavas, saskaitīšana atņemšana 2  1
vai reizināšana un dalīšana, tad 2,7 − 4 ÷  3,7 ⋅ 3,04 − 0,744 ⋅  =2,3
5  3
• izpilda darbības iekavās : reizina vai dala un saskaita 1)3,7 ⋅ 3,04 = 11,248
vai atņem;
• reizina vai dala; 1 0,744 ⋅ 1
2)0,744 ⋅ = = 0,248
• atņem vai saskaita. 3 3
3)11,248 − 0,248 = 11
2 22 22 ⋅ 1 2
4)4 ÷ 11 = ÷ 11 = = = 0,4
5 5 5 ⋅ 11 5
5) 2,7 − 0,4 = 2,3
Darbības ar pakāpēm Piemēri
a = a ⋅ a ⋅ ... ⋅ a
n
a m ⋅ a n = a m+n 1 2 = 2⋅2⋅2 = 8
3
3 2 ⋅ 33 = 3 2+3 = 35 = 243
a −n = n
n − reizes a m ÷ a n = a m−n a
−n n
a0 = 1
(a ) = a
m n m⋅n a
  = 
b
b a
a =a
1 ( ab ) = a m ⋅ b m
m
m
a
m
a m a n = n am
  = m
b b
© sk. Vija Vaičule 2

3. Projekts „Atbalsts vispārējās izglītības pedagogu nodrošināšanai prioritārajos mācību priekšmetos””
(Vienošanās Nr. 2008/0001/1DP/1.2.1.2.2./08/IPIA/VIAA/002)
4 6 ÷ 4 3 = 4 6−3 = 4 3 = 64
1 1
5 −2 = 2 =
5 25
3⋅2
(2 ) = 2 = 2 6 = 64
3 2
−2 2
3 2 4
  =  =
2 3 9
1
27 = 3 271 = 3
3
2 3 ⋅ 33 = 6 3 = 216
3
3 33 27
  = 3 =
4 4 64
© sk. Vija Vaičule 3

4. Projekts „Atbalsts vispārējās izglītības pedagogu nodrošināšanai prioritārajos mācību priekšmetos””
(Vienošanās Nr. 2008/0001/1DP/1.2.1.2.2./08/IPIA/VIAA/002)
Algebrisko vienādojumu risināšana
Vienādojumu risināšana Piemērs
Risinot lineāro vienādojumu: 1.
• nezināmos locekļus pārnes uz vienādojuma 8( x + 7 ) − 6( x − 5) = 86
kreiso pusi, bet zināmos – uz labo pusi; 8 x + 56 − 6 x + 30 = 86
• pārnesot locekli uz vienādības otru pusi, tam 8 x − 6 x = 86 − 56 − 30
jāmaina zīmi;
2x = 0
• vienkāršo izteiksmes katrā vienādības pusē –
0
savelkot līdzīgus locekļus; x= =0
• izsaka mainīgo – dalot labo pusi ar koeficientu 2
2.
 ax = b  5( 2 x + 1) + 2( 4 x + 3) = 2 x − 1
 
pie nezināmā kreisajā pusē :  b  10 x + 5 + 8 x + 6 = 2 x − 1
x = 
 a  10 x + 8 x − 2 x = −1 − 5 − 6
• ja vienādojumā ir iekavas, tad atver tās: 16 x = −12
1. reizina ar iekavas izteiksmi skaitli kas − 12 3
atrodas pirms iekavas; x= =−
16 4
2. maina zīmes, ja iekavas priekšā ir skaitlis
ar „-„ zīmi.
Risinot racionālo vienādojumu (daļveida) 1.
• visus locekļus pārnes vienā pusē, otrā pusē 15 − y 2 y + 16
− =1
paliek 0; 6 5
• iegūto izteiksmi pārveido par daļu (nosaka 15 − y 2 y + 16
− −1 = 0
kopsaucēju, saliek papildreizinātājus); 6 5
• daļa = 0, ja skaitītājs = 0, bet saucējs nav 0 5(15 − y ) − 6( 2 y + 16) − 30
=0
f ( x)  f ( x) = 0 30
t.i., = 0, ja  75 − 5 y − 12 y − 96 − 30 = 0
g ( x)  g ( x) ≠ 0 − 17 y = −75 + 96 + 30
− 17 y = 51
51
y=− = −3
17
2.
5 3
=
3x + 1 4 x − 2
5 3
− =0
3x + 1 4 x − 2
5( 4 x − 2) − 3( 3 x + 1)
=0
( 3x + 1) ⋅ ( 4 x − 2)
20 x − 10 − 9 x − 3 = 0
11x = 13
13 2
x= =1
11 11
3 x + 1 ≠ 0;4 x − 2 ≠ 0
3 x ≠ −1;4 x ≠ 2
1 2 1
x ≠ − ;x ≠ ≠
3 4 2
2
Atbilde : x = 1
11
© sk. Vija Vaičule 4

5. Projekts „Atbalsts vispārējās izglītības pedagogu nodrošināšanai prioritārajos mācību priekšmetos””
(Vienošanās Nr. 2008/0001/1DP/1.2.1.2.2./08/IPIA/VIAA/002)
Nevienādības ar vienu nezināmo
Lineāras nevienādības Piemērs
Risinot lineāru nevienādību: 1.
• nezināmos locekļus pārnes vienā pusē, bet − 3( 4 − x ) + 7 < −3( x + 2 ) − 3
zināmos otrā pusē; − 12 + 3 x + 7 < −3 x − 6 − 3
• vienkāršo izteiksmes katrā nevienādību pusē
3 x + 3 x < −6 − 3 + 12 − 7
un iegūst nevienādības:
ax > b(ax < b; ax ≤ b; ax ≥ b) ; 6 x < −4
• izsakot nezināmu labo pusi t.i. b dala ar a un −4
x<
b 12
iegūst x > ;
a 1
x<−
• ja koeficients pie xt.i.a < 0 , tad izsakot 3
nezināmo nevienādības zīme jāmaina uz
pretējo;
• iegūto rezultātu atliek uz skaitļu taisnes ar  1
x ∈  − ∞;− 
„caurspīdīgu” punktu, ja nevienādības zīme ir  3
> vai <; un ar „iekrāsotu, tumšu”punktu, ja 2.
nevienādības zīmes ir ≤ vai ≥ ; 4x + 7 ≤ 6x + 1
• intervāla galā, kurš beidzas vai sākas ar gaišu 4x − 6x ≤ 1 − 7
punktu liek apaļas iekavas ( ). Ja intervāls − 2 x ≤ −6
sākas vai beidzas ar aizkrāsotu punktu liek nevienādības zīme jāmaina!
konturiekavas [ ] ; −6
x≥
• iegūto rezultātu pieraksta nosaucot kuram −2
intervālam pieder ∈ x. x≥3
x ∈ [ 3; ∞ )
Daļveida nevienādības Piemērs
Risinot daļveida nevienādību: x −1
• visus locekļus pārnes vienā pusē; ≥0
x+3
f ( x) 1.
• pārveido izteiksmi par daļu g ( x ) > 0(≥; <; ≤) ; x − 1 = 0; x + 3 ≠ 0
Intervālu metode x = 1; x ≠ −3
1. Skaitītāju pielīdzina 0 f ( x) = 0; Punktu 1 uz taisnes atliek ar tumšu, aizpildītu punktu,
2. Saucējs nedrīkst būt vienāds ar 0 bet – 3 ar caurspīdīgu punktu!
g ( x) ≠ 0;
3. Iegūtos rezultātus atliek uz taisnes (tās x
vērtības ar kuriem saucējs ir 0 nedrīkst būt
iekrāsoti punkti), sadalot to intervālos. Izvēloties 0 no vidējā intervāla
4. Nosaka daļas zīmi vienā no intervāliem
nosakām daļas zīmi:
izvēloties kādu skaitli no intervāla.
5. Blakus intervālos zīmes mainās: (+;-;+;- un Blakus intervālos liekam zīmes”+”
t.t.). Nevienādības zīme ir , jāizvēlas
6. Atzīmē nevienādībā prasīto: ja intervālus ar ”+” zīmi.
nevienādībai ir zīme > vai ≥ , tad izvēlas Atbilde:
intervālus ar „+” zīmi, bet ja nevienādībai
ir zīmes < vai ≤ , tad jāizvēlas intervāli ar
„-„ zīmi.
7. uzraksta atbildi.
© sk. Vija Vaičule 5

6. Projekts „Atbalsts vispārējās izglītības pedagogu nodrošināšanai prioritārajos mācību priekšmetos””
(Vienošanās Nr. 2008/0001/1DP/1.2.1.2.2./08/IPIA/VIAA/002)
Kvadrātnevienādības Piemērs
Lai atrisinātu kvadrātnevienādību 1.
ax 2 + bx + c ≥ 0(> 0; < 0; ≤ 0) x 2 + 6x − 7 < 0
• visus locekļus pārnes vienā pusē; x 2 + 6x − 7 = 0
• pārveido lai a > 0;
D = 6 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ (−7) = 36 + 28 = 64
ax 2 + bx + c = 0
− 6 − 64 − 6 − 8 − 14
D = b 2 − 4ac x1 = = = = −7
• atrod saknes; 2 ⋅1 2 2
−b± D −6+8 2
x1, 2 = x2 = = =1
2a 2 2
• atliek iegūtās saknes uz taisnes;
• risinot izmanto intervālu metodi, ja Punkti sadala taisni 3 intervālos, nosakam zīmi videjā
kvadrātvienādojumam ir saknes;
intervālā izvēloties 0 : iegūstam 0 2 + 6 ⋅ 0 − 7 = −7
• vai uzskicē parabolu, ja sakņu nav :
Izvēlētā intervālā ir „-„zīme, tad blakus intervālos ir
a) ja a > 0 ,tad parabolas zari vērsti uz
„+” zīmes.
augšu ∪
Nevienādības zīme ir <, tātad jāizvēlas intervāls ar „-
b) ja a < 0 , tad parabolas zari vērsti uz
„ zīmi.
leju 
Atbilde x ∈ ( − 7;1)
2.
x − 4x + 5 > 0
2
D = 16 − 20 = −4
Kvadrātvienādojumam sakņu nav un ar intervālu
metodi izrēķināt nevar .Risinājumam izmantojam
parabolu, kuru attēlojam virss x ass ar zariem uz augšu
Atbilde x ∈ ( − ∞; ∞ )
© sk. Vija Vaičule 6

7. Projekts „Atbalsts vispārējās izglītības pedagogu nodrošināšanai prioritārajos mācību priekšmetos””
(Vienošanās Nr. 2008/0001/1DP/1.2.1.2.2./08/IPIA/VIAA/002)
Kvadrātvienādojumi Piemēri
Lai atrisinātu kvadrātvienādojumu ax 2 + bx + c = 0 ,
• Visus locekļus pārnes vienādības kreisajā pusē;
• Vienkāršo izteiksmi;
• Ja koeficients a < 0 , vienādojuma abas puses
reizina ar (-1).
Vispārīgais Reducētājs 1.
kvadrātvienādojums kvadrātvienādojums x 2 + 5x − 6 = 0
ax + bx + c = 0
2
Ja kv v. ax + bx + c = 0
2
x1 ⋅ x 2 = −6
D = b − 4ac
2 Izdalīt ar a , iegūsim:
x1 + x 2 = −5
b c
−b± D x + x+ =0
2
x1 = −6
x1, 2 = a a
2a b c x2 = 1
1. Ja D > 0 , tad Apzīmēsim = p; = g
a a 1 ⋅ (−6) = −6, bet
kv.v. ir divas Iegūto vienādojumu jo
dažādas saknes: − 6 + 1 = −5
x 2 + px + g = 0 sauc pa 2.
x1unx 2 .
reducēto. Vienādojuma x 2 + 5 x − 14 = 0
2. Ja D = 0 , tad atrisināšanai var izmantot x ⋅ x = −14
kv.v. ir divas Vjeta teorēmu: sakņu 1 2
vienādas saknes: summa ir otrais koef. ar x1 + x 2 = −5
b
x1 = x 2 = − pretējo zīmi x1 + x 2 = − p x1 = −7
2a sakņu reizinājums ir x2 = 2
3. Ja D < 0 , tad kv.v. brīvais loceklis:
sakņu nav 2 ⋅ (−7) = −14, bet
x1 ⋅ x 2 = g jo
− 7 = 2 = −5
 x1 + x 2 = − p
 Vjeta teor.
 x1 ⋅ x 2 = g
Nepilnie kvadrātvienādojumi Piemēri
b=c=0 c=0 b=c=0 c=0
ax = 0
2
ax + bx = 0
2 b=0 x 2 −3 x = 0
x1, 2 = 0 x(ax + b) = 0 ax + c = 0
2
3x = 0
2
x ( x −3) = 0
x1 = 0vaiax + b = 0 ax = −c
2
0
x2 = = 0 x = 0vaix −3 = 0
c 3
x1, 2 = ± − x1, 2 = 0 = 0 x2 = 3
ax = −b a
b Kv.v.ir saknes,
x2 = − c b=0
a ja − ≥ 0
a
5 x 2 − 20 = 0
5 x 2 = 20
20
x2 = =4
5
x1, 2 = ± 4 = ±2
x1 = 2; x 2 = −2
© sk. Vija Vaičule 7