1. Algunos conceptos de estabilidad aplicables al control basado en modelo

2. Conducta de un sistema dinámico Se representacomo un conjunto de necuaciones no linealesdiferencialesordinarias de la forma: donde: n: Número de variables de estado r : Número de entradas al sistema Salida del sistema: donde: m: Número de salidas

3. Representación matricial Sistema dinámico: (Sistema autónomo) Salida del sistema:

4. Linealización Resultado de representar las funciones no lineales como series de Taylor Matrices resultantes Matriz de estado o planta Matriz de entrada o control Matriz de salida Matriz de transmisión directa

5. Representación en el espacio de estados Fuentes de inestabilidad

6. Una estrategia de control El control no tiene una influencia directa en la salida Se puede definir la ley de control La salida resulta

7. Forma canónica controlable Representación en el espacio de estados de un sistema Se redefinen los estados de la forma Equivale a la representación matricial

8. Forma canónica controlable (II) Sistemas equivalentes

9. Ejemplo de Control Linealización por realimentación Ley de control Modelo de referencia

10. Ejemplo: Sistema masa-resorte Ley de Newton de movimiento fuerza = masa*aceleración Ecuación de segundo orden, un grado de libertad, diferencial lineal con coeficientes constantes: donde: m: Masa del bloque b: Coeficiente de fricción k: Rigidez del resorte

11. Representación en el espacio de estados Se definen los estados: Resulta: En forma matricial: Ejemplo: Sistema masa-resorte

12. Ejemplo: Ecuación de error Ecuación de error Representación en el espacio de estados Se definen los estados: Resulta: En forma matricial:

13. Ejemplo: Ecuación de error (II) Representación en el espacio de estados Matriz Jacobiana

14. Sistema de Duffing Sistema caótico no autónomo Para las condiciones: x1=2; x2=2 u(t)=0 t=[0, 60]

15. Sistemas de segundo orden Sistema masa-resorte Transformada de Laplace Función de transferencia Ecuación característica

16. Sistemas de segundo orden (I) Solución de la Ecuación característica

17. Sistemas de segundo orden (II) Respuesta del sistema en lazo abierto u=0

18. Sistemas de segundo orden (III) Respuesta sobreamortiguada

19. Sistemas de segundo orden (IV) Respuesta subamortiguada

20. Sistemas de segundo orden (V) Respuesta críticamente amortiguada Generalmente más deseada en sistemas de control

21. Sistemas de segundo orden (VI) Error de seguimiento de modelo de referencia Sistema masa-resorte Ecuación característica: Ecuación característica: Solución: Solución: Respuesta críticamente amortiguada

22. Sistemas de segundo orden (VII) Error de seguimiento Representación en el espacio de estados

23. Estabilidad local o Método de linealización de Lyapunov Sistema dinámico no lineal invariante en tiempo Un punto de equilibrio cumple ; Si El sistema linealizado cumple J=Jacobiano

24. Estabilidad local o Método de linealización de Lyapunov (II) Si se cumple que la matriz posee autovalores en la parte real negativa El sistema es asintóticamente estable en el punto de equilibrio

25. Estabilidad local o Método de linealización de Lyapunov (III) Ejemplo: Sea el sistema Las derivadas cumplen de lo que resulta Autovalores >> eig([-6 2; 2 -6]) ans = -8; -4 El sistema es asintóticamente estable en x=0

26. Estabilidad local o Método de linealización de Lyapunov (IV) Algunos comportamientos de sistemas dinámicos Gráficos: pphase7

27. Puntos de equilibrio a y=0 Sistema dinámico Posee puntos de equilibrio ; 1.- Se define nueva variable de estado 2.- Se sustituye en 3.- Se crea un nuevo sistema Analizar la estabilidad en sobre equivale a sobre

28. Puntos de equilibrio a y=0 (II) Ejemplo: Sistema de Murray (1) Posee puntos de equilibrio Para analizar el punto de equilibrio en el origen se definen (2) De sustituir (2) en (1)

29. Puntos de equilibrio a y=0 (III) Sistema original Sistema equivalente

30. Estabilidad basada en Lyapunov Sistema dinámico no lineal invariante en tiempo Un punto de equilibrio cumple 1.- Se selecciona un conjunto O1 que incluya a xe 2.- Debe existir un conjunto O2 que para un estado inicial xi,no se cruce la frontera que define a O1 3.- No tiene por qué converger a xe x(t) xi O2 O1

31. Estabilidad basada en Lyapunov (II) Representación de conjuntos como norma euclídea x(t) xi

32. Estabilidad basada en Lyapunov (III) Estabilidad asintótica 1.- El punto de equilibrio xe es estable según Lyapunov 2.- Punto de equilibrio exponencialmente estable x(t) Para m y  positivos, se cumple: xi

33. Estabilidad basada en Lyapunov (IV) Sistema dinámico no lineal invariante en tiempo El sistema es global y asintóticamente estable en el punto de equilibrio

34. Estabilidad basada en Lyapunov (V) Ejemplo Función candidata El sistema es estable en el punto de equilibrio

35. Estabilidad basada en Lyapunov (VI) Sistemas lineales Si para una matriz definida positiva: Existe una matriz definida positiva: Que es solución a la siguiente ecuación: Entonces para una función candidata de Lyapunov: Su diferencial cumple:

36. Estabilidad basada en Lyapunov (VII) Demostración Función candidata de Lyapunov:

37. Estabilidad basada en Lyapunov (VIII) Ejemplo: Ecuación de error Se define la matriz Q (definida positiva): Por ejemplo: Debe encontrarse la matriz P definida positiva solución de: >> P=lyap([0 1;-9 -6]',[1 0;0 1]) P = 1.1667 0.0556 0.0556 0.0926 >> eig(P) 0.0897 1.1695 Como existe la matriz P definida positiva, el sistema es global y asintóticamente estable en el punto cero de equilibrio

38. Estabilidad basada en Lyapunov (IX) Sistema masa-resorte Se desea diseñar un controlador estable de la forma: Sistema equivalente en lazo cerrado: Se supone la matriz A: Respuesta críticamente amortiguada ¿Otra opción?

39. Estabilidad basada en Lyapunov (X) Sistema masa-resorte Se define la matriz Q (definida positiva): Solución de matriz P definida positiva: >> P=lyap([0 1;-4 -5]',[1 0;0 1]) P = 1.1250 0.1250 0.1250 0.1250 >> eig(P) 0.1096 1.1404 Coeficientes del controlador solución de: