1. Funciones de Lyapunov basadas en la aplicación del Teorema de Krasovskii

2. Ejemplos de control por seguimiento Objetivo: Obtener dinámica exponencialmente estable de la forma Raíces del siguiente polinomio en el semiplano izquierdo Sistema equivalente Autovalores: Parte real negativa

3. Ejemplos de control por seguimiento (II) Forma canónica controlable Se aplica la estrategia de control Resulta

4. Ejemplos de control por seguimiento (III) Ejemplo: Sea el modelo de un péndulo invertido Se define la ley de control Raíces en el semiplano izquierdo Sistema asintóticamente estable

5. Ejemplos de control por seguimiento (IV) Resultado

6. Ejemplos de control por seguimiento (V) Un eslabón robótico Se define la ley de control Resulta Un brazo articulado Se define la ley de control Resulta:

7. Ejemplo de estabilización Sistema caótico de Duffin Se desea el siguiente sistema asintóticamente estable Se propone un controlador que cancele las no linealidades

8. Ejemplo de estabilización (II) Resultado

9. Jacobiano en lazo abierto Para representar al sistema Se define un conjunto de reglas, para cada función de estado Función no lineal equivalente FP Gausiana

10. Jacobiano en lazo abierto (II) Basado en Se definen Se cumple

11. Jacobiano en lazo abierto (III) Cálculo de términos del Jacobiano Basado en desarrollo resulta

12. Jacobiano en lazo abierto (IV) Análisis del término Jacobiano El Jacobiano, evaluado en el punto de equilibrio x=0, nos informa de la estabilidad en el origen del sistema en lazo abierto

13. Jacobiano en lazo cerrado Definición del conjunto de reglas ¡u en el consecuente!

14. Jacobiano en lazo cerrado (II) Funciones equivalentes Después de desarrollar, se cumple

15. Jacobiano en lazo cerrado (III) Diferencial del término Jacobiano (desarrollo) Expresiones y parámetros Planta

16. Jacobiano en lazo cerrado (IV) Diferencial del término Jacobiano Evaluado en el punto x=0

17. Teorema de Krasovskii Sistema no lineal Jacobiano: Puede representarse por: Si resulta definida negativa: Una función candidata de Lypunov es: Si, adicionalmente, se cumple: El sistema es global y asintóticamente estable en el punto de equilibrio La función candidata de Lyapunov se define en términos de f(x) y no de x

18. Teorema de Krasovskii (II) Ejemplo Términos del Jacobiano Se cumple Función de Lyapunov

19. Búsqueda de funciones de Lyapunov Sistema dinámico representado por sistemas borrosos

20. Búsqueda de funciones de Lyapunov (II) Términos del Jacobiano en x=0 [0, 1] [0, 1] Seleccionar parámetros de forma tal que Sea definida negativa, entonces Es una función de Lyapunov