SlideShare une entreprise Scribd logo
1  sur  5
Télécharger pour lire hors ligne
INTRODUÇÃO AO CÁLCULO
            “Aprender Cálculo pode ser sua experiência educacional mais
     empolgante e estimulante pois é a base para quase toda a Matemática e para
     muitas das grandes realizações no mundo moderno”. (Louis Leithold)


RETAS E COORDENADAS

O plano cartesiano
        A criação da Geometria Analítica é atribuída a René Descartes (1596-1650) que usou
a técnica do plano numérico (R2) por volta de 1637.

Os eixos x e y
       Trata-se da disposição de dois eixos imaginários, dispostos um na vertical (eixo y) e
outro na horizontal (eixo x), sendo chamado de origem o ponto de interseção entre eles.

Pares ordenados
        Os eixos x e y foram numerados, a partir da origem, até o infinito. Assim, passou a
existir uma infinidade de combinações entre esses valores, representados por (x, y) = (a, b),
onde x = a e y = b. Por exemplo, se (3, 7) é um par ordenado, então x = 3 e y = 7. Porém, (3,
7) é diferente de (7, 3)

Abscissa e Ordenada
       Em um par ordenado, o valor atribuído a x é chamado de abscissa e o valor atribuído a
y é chamado de ordenada.

Coordenadas de um ponto
        Na Geometria Analítica, cada par ordenado é associado a um ponto imaginário no
plano cartesiano. É representado por uma letra maiúscula seguida do par ordenado. Exemplo:
P(5, -3) é um ponto associado ao par ordenado (x, y) = (5, -3).
Um ponto P(x, y) é representado no plano cartesiano conforme o exemplo:

                                                        Quadrantes:
                                         P(4, 2)
              M(-2, 2)                                  O plano cartesiano é dividido
                                                        em quatro quadrantes:

                           0, 0                         P está no quadrante I
                                                        M está no quadrante II
       L(-5, -1)
                                                        L está no quadrante III
                                                        H está no quadrante IV
                                   H(2, -3)


Distância entre dois pontos
        Já que supomos a existência de um ponto imaginário no plano cartesiano, é natural que
existam outros, pois a possibilidade de pares ordenados é infinita. Entre dois pontos, a
primeira pergunta a se fazer é “qual a distância entre eles?”. A Geometria Analítica responde
a esta questão usando uma fórmula simples baseada no Teorema de Pitágoras aplicado em
triângulos retângulos (a2 = b2 + c2), em que a representa a hipotenusa, a e b representam os
catetos.
        Observe os pontos P e H do exemplo a seguir. Suas coordenadas estão indicadas no
gráfico:

                                       P(4, 5)           5                      P




                                                         2
                       H(2, 2)                                    H


                                                                      2     4

       É fácil perceber que a distância entre as abscissas de P e de H é de 2 unidades, ou seja,
xP – xH = 4 – 2 = 2. Da mesma forma, a distância entre as ordenadas de P e H é de 3
unidades, ou seja, yP - yH = 5 – 2 = 3.

       Observe agora que pode-se desenhar um triângulo retângulo onde o segmento PH
forma a hipotenusa:
                                                   Note que conhecemos os catetos
                                                   do triângulo: a = 2 e b = 3. Para
     5                             P               encontrar a hipotenusa, usamos o
                                                   teorema de Pitágoras.
                                         5–2=3                a2 = b2 + c2
                                                              a2 = 32 + 22
     2                                                         a2 = 9 + 4
               H       4–2=2
                                                                 a2 = 13
                                                              a2 = b2 + c2
                   2           4                                a = 13

         Conclusão: a distância entre os pontos P e H é de 13 unidades.

Ponto médio
       Outra operação importante entre pontos no plano é o ponto médios entre eles.
Se os pontos P e H tem coordenadas (xP, yP) e (xH, yH) e M é seu ponto médio, então M tem
              x + xH y P + y H 
coordenadas  P       ,          .
              2          2 

             Exemplo: considerando os pontos P e H do exemplo anterior, determine o ponto
             médio M deles.
                                             4+ 2 5+ 2      6 7        7
             Solução: P(4, 5) e H(2, 2) => M     ,      = M  ,  = M  3, 
                                              2    2        2 2        2
Definição de reta
       Reta é o conjunto de todos os pontos alinhados, segundo uma direção.
A existência de dois pontos no plano cartesiano é suficiente para definir a direção que irá
caracterizar esta reta. Porém, tal direção é estabelecida pela inclinação da reta no plano, em
relação ao eixo das abscissas.

Inclinação da reta
        É possível calcular a inclinação da reta a partir das coordenadas dos pontos existentes.
O valor encontrado é chamado de coeficiente angular, comumente representado pela letra m
e é obtido pelo princípio da tangente.

        Considere a existência dos pontos P1(x1, y1) e P2(x2, y2), representados nas figuras
abaixo. Projetando y1 até o alinhamento de x2, pode-se visualizar um triângulo retângulo de
vértices P1, P2 e C:



       y2                  P2                           y2                     P2




       y1                                               y1                θ
               P1                                               P1                 C


                    x1    x2                                         x1       x2

                                               P2 C
       A tangente deste triângulo será tgθ =         . Em outras palavras, o coeficiente angular
                                                P1C
m é a razão entre a variação de y ( y) e a variação de x ( x), onde y=y2 – y1 e x=x2 – x1 .
                                                ∆y y 2 − y1
                                   Ou seja m =      =         .
                                                ∆x x 2 − x1

            Exemplo 1: considerando os pontos A(3, 5) e B(-5, 7), determine a inclinação da
            reta definida por eles.
                             ∆y y A − y B              5−7         −2           −2      1
             Solução: m =       =           => m =              =       => m =      =−
                             ∆x x A − x B            3 − (−5) 3 + 5              8      4
                                                                                         3
            Exemplo 2: considerando os pontos A(-4, 2) e coeficiente angular m = ,
                                                                                         2
            determine o ponto de abscissa igual a 10.
                             3 2 − yB
             Solução: m = =
                             2 − 4 − 10
             2 − yB 3
                     =               =>        2 × (2 − y B ) = 3 × (−14)     =>
              − 14      2
                4 − 2 y B = −42
                                                                             − 46
            − 2 y B = −42 − 4 =>      − 2 y B = −46             =>      yB =       y B = 23
                                                                             −2
            Portanto, o ponto procurado tem coordenadas (10, 23).
Equação da reta
       Em Geometria Analítica, os “lugares geométricos” são expressos matematicamente na
forma de equação. A maneira como se apresenta esta equação pode variar conforme a
conveniência, para facilitar o desenvolvimento algébrico.
       A forma mais comum é a reduzida: y = mx + b. Onde m é o coeficiente angular e b é
o coeficiente linear.
       Como já foi dito, o coeficiente angular representa a inclinação (ou declividade) de uma
reta. Por sua vez, o coeficiente linear mostra o ponto onde a reta intercepta o eixo das
ordenadas.
       A partir de dois pontos se pode determinar a equação de uma reta, identificando cada
um de seus elementos.

           Exemplo: Dados os pontos A(-3, 7) e B(2, -8), determine a equação da reta
           definida por eles.
           Solução: Sabe-se que a forma reduzida é y = mx + b. Primeiramente calcula-se o
           valor de m.
                ∆y y A − y B          7 − (−8) 7 + 8           15
           m=       =          => m =          =      => m =      = −3
                ∆x x A − x B           −3−2       −5           −5
           Substitui-se m = -5 na forma reduzida:
           y = -3x + b.
           Substituem-se as coordenadas de qualquer um dos pontos dados, por exemplo, A(-
           3, 7) na forma reduzida:
           7 = -3(-3) + b.
           Logo, desenvolvendo a última expressão, b = -2.

           Então se pode escrever a equação y = -3x -2 como a reta que contém os pontos A(-
           3, 7) e B(2, -8).

       Observação: Uma forma prática de verificar se a equação está correta é substituir o
outro ponto – no caso B(2, -8); na equação:
     y = -3x -2     => -8 = -3(2) -2      => -8 = -6 -2    => -8 = -8 (Verdadeiro).

Forma geral da reta
      Outra forma de se apresentar uma equação de reta é a forma geral: Ax + By + C = 0;
       A                                   C
onde −    é o coeficiente angular (m) e −     é o coeficiente linear (b), ambos já mostrados.
       B                                   B
                                                                    A     C          − Ax − C
Na verdade, o que mudou foi a apresentação: y = mx + b => y = − x −          => y =
                                                                    B     B             B
      => By = − Ax − C      => Ax + By + C = 0 .
      No estudo inicial de cálculo, a forma geral da reta não representa relevância.

Interceptos
       Chamam-se interceptos os valores pelos quais uma reta intercepta os eixos das
abscissas ou das ordenas. O intercepto das ordenadas é o próprio coeficiente linear (b). O
                                    −b
intercepto das abscissas é dado por    .
                                    m
Retas paralelas
Duas retas em um plano são paralelas quando possuem a mesma inclinação, ou seja,
mesmos coeficientes angulares, mesma declividade.
        Outra maneira de verificar se duas retas são paralelas, conhecendo suas equações,
atribui-se duas abscissas (ou duas ordenadas) às duas retas, gerando quatro pontos. Os pontos
de mesma abscissa (ou mesma ordenada) distanciam-se em mesmo valor que os outros dois
pontos. Caso a distância seja nula, trata-se de retas coincidentes.

Retas perpendiculares
       Duas retas são perpendiculares se o coeficiente angular de uma é o inverso do oposto
                                               −1
do coeficiente angular da outra. Ou seja: m1 =    ou m1 m 2 = −1 .
                                               m2

           Exemplo: Sejam as retas l1: 2x – 3y = 12 e l2: 3x + 2y = 4. Verifique se elas são
           perpendiculares.
                                                                     A      2 2
           Solução: Coeficiente angular de l1                 m1 = − 1 = −     =
                                                                     B1    −3 3
                                                                3
                                                              −
                                                    A                 3
           Coeficiente angular de l2         m2 = − 2 = − 2 = −
                                                    B2         1      2
                             2 −3
           Note que m1 m 2 = ×       = −1 , portanto l1 e l2 são perpendiculares.
                             3 2

Pontos de interseção
        Duas retas concorrentes, perpendiculares ou não, possuem um único ponto de
interseção. Para determinar esse ponto a partir das equações das retas, basta isolar
simultaneamente uma variável comum.

           Exemplo: Sejam as retas l1: x + 2y = 10           e        l2: –2x + y = –10.
           Determine o ponto de interseção.

           Solução:          l1: x + 2y = 10                          l2: –2x + y = –10
                             x = 10 – 2y                              –2x = –10 –y
                                                                           − 10 − y
                                                                       x=
                                                                              −2
           Fazendo l1 = l2, vem:
                                                    − 10 − y
                                        10 − 2 y =           ⇒
                                                        −2
                                         − 2(10 − 2 y ) = −10 − y ⇒
                                         − 20 + 4 y = −10 − y ⇒
                                           4 y + y = −10 + 20 ⇒
                                           5 y = 10 ⇒ y = 2
           Como y = 2:        x = 10 – 2y
                              x = 10 – 2.2
                              x = 10 – 4
                              x=6
           Portanto, as retas l1 e l2 se interceptam em (6, 2).

Contenu connexe

Tendances

Exercícios sobre distância entre pontos
Exercícios sobre distância entre pontosExercícios sobre distância entre pontos
Exercícios sobre distância entre pontosMatemática de Graça
 
Tarefa Semana 3 E 4 Grupo Iluminados
Tarefa Semana 3 E 4 Grupo IluminadosTarefa Semana 3 E 4 Grupo Iluminados
Tarefa Semana 3 E 4 Grupo IluminadosRFBH2910
 
Apost2 exresolvidos retas-planos
Apost2 exresolvidos retas-planosApost2 exresolvidos retas-planos
Apost2 exresolvidos retas-planoscon_seguir
 
Geometria analítica anotações de aula 1° semestre 2010
Geometria analítica anotações de aula 1° semestre 2010Geometria analítica anotações de aula 1° semestre 2010
Geometria analítica anotações de aula 1° semestre 2010Marcos Azevedo
 
Geometria analitica exercicios resolvidos
Geometria analitica exercicios resolvidosGeometria analitica exercicios resolvidos
Geometria analitica exercicios resolvidoscon_seguir
 
Gabgacircunferencias2013
Gabgacircunferencias2013Gabgacircunferencias2013
Gabgacircunferencias2013Clara Rodrigues
 
Exercitandoaula4
Exercitandoaula4Exercitandoaula4
Exercitandoaula4AlexGrift
 
Transformações geométricas no plano
Transformações geométricas no planoTransformações geométricas no plano
Transformações geométricas no planocon_seguir
 
Matemática - Exercícios Resolvidos (Coeficiente Angular)
Matemática - Exercícios Resolvidos (Coeficiente Angular)Matemática - Exercícios Resolvidos (Coeficiente Angular)
Matemática - Exercícios Resolvidos (Coeficiente Angular)Danielle Siqueira
 
Circunferencia
CircunferenciaCircunferencia
Circunferenciacon_seguir
 
Geo analitica final
Geo analitica finalGeo analitica final
Geo analitica finalmatheuserpen
 
Geometria analítica cônicas
Geometria analítica cônicasGeometria analítica cônicas
Geometria analítica cônicasEverton Moraes
 
Geometria analítica II
Geometria analítica IIGeometria analítica II
Geometria analítica IIEverton Moraes
 
Mat geometria analitica 001
Mat geometria analitica   001Mat geometria analitica   001
Mat geometria analitica 001trigono_metrico
 
Lista de exercícios geometria analítica - retas e circunferências
Lista de exercícios   geometria analítica - retas e circunferênciasLista de exercícios   geometria analítica - retas e circunferências
Lista de exercícios geometria analítica - retas e circunferênciasbevenut
 

Tendances (20)

Exercícios sobre distância entre pontos
Exercícios sobre distância entre pontosExercícios sobre distância entre pontos
Exercícios sobre distância entre pontos
 
Tarefa Semana 3 E 4 Grupo Iluminados
Tarefa Semana 3 E 4 Grupo IluminadosTarefa Semana 3 E 4 Grupo Iluminados
Tarefa Semana 3 E 4 Grupo Iluminados
 
Apost2 exresolvidos retas-planos
Apost2 exresolvidos retas-planosApost2 exresolvidos retas-planos
Apost2 exresolvidos retas-planos
 
Geometria analítica anotações de aula 1° semestre 2010
Geometria analítica anotações de aula 1° semestre 2010Geometria analítica anotações de aula 1° semestre 2010
Geometria analítica anotações de aula 1° semestre 2010
 
Demonstração da equação de Bhaskara
Demonstração da equação de BhaskaraDemonstração da equação de Bhaskara
Demonstração da equação de Bhaskara
 
Geometria analitica
Geometria analiticaGeometria analitica
Geometria analitica
 
Ponto reta
Ponto retaPonto reta
Ponto reta
 
Geometria analitica exercicios resolvidos
Geometria analitica exercicios resolvidosGeometria analitica exercicios resolvidos
Geometria analitica exercicios resolvidos
 
Gabgacircunferencias2013
Gabgacircunferencias2013Gabgacircunferencias2013
Gabgacircunferencias2013
 
Exercitandoaula4
Exercitandoaula4Exercitandoaula4
Exercitandoaula4
 
Transformações geométricas no plano
Transformações geométricas no planoTransformações geométricas no plano
Transformações geométricas no plano
 
Geometria Analítica I (AP 01)
Geometria Analítica I (AP 01)Geometria Analítica I (AP 01)
Geometria Analítica I (AP 01)
 
Matemática - Exercícios Resolvidos (Coeficiente Angular)
Matemática - Exercícios Resolvidos (Coeficiente Angular)Matemática - Exercícios Resolvidos (Coeficiente Angular)
Matemática - Exercícios Resolvidos (Coeficiente Angular)
 
Circunferencia
CircunferenciaCircunferencia
Circunferencia
 
1ªfase 2011
1ªfase 20111ªfase 2011
1ªfase 2011
 
Geo analitica final
Geo analitica finalGeo analitica final
Geo analitica final
 
Geometria analítica cônicas
Geometria analítica cônicasGeometria analítica cônicas
Geometria analítica cônicas
 
Geometria analítica II
Geometria analítica IIGeometria analítica II
Geometria analítica II
 
Mat geometria analitica 001
Mat geometria analitica   001Mat geometria analitica   001
Mat geometria analitica 001
 
Lista de exercícios geometria analítica - retas e circunferências
Lista de exercícios   geometria analítica - retas e circunferênciasLista de exercícios   geometria analítica - retas e circunferências
Lista de exercícios geometria analítica - retas e circunferências
 

En vedette

Calculo I - Uma Breve Introdução ao Estudo de Integrais
Calculo I - Uma Breve Introdução ao Estudo de IntegraisCalculo I - Uma Breve Introdução ao Estudo de Integrais
Calculo I - Uma Breve Introdução ao Estudo de IntegraisRonildo Oliveira
 
Introducao ao calculo diferencial
Introducao ao calculo diferencialIntroducao ao calculo diferencial
Introducao ao calculo diferencialgraciliano272014
 
Cálculo Numérico - Introdução
Cálculo Numérico - IntroduçãoCálculo Numérico - Introdução
Cálculo Numérico - IntroduçãoKleber Jacinto
 
Sequencia Didática - Matemática é mais que continhas . Alfabetizadora Goreti ...
Sequencia Didática - Matemática é mais que continhas . Alfabetizadora Goreti ...Sequencia Didática - Matemática é mais que continhas . Alfabetizadora Goreti ...
Sequencia Didática - Matemática é mais que continhas . Alfabetizadora Goreti ...Solange Goulart
 
Sequencia didática Multiplicação Professora Graziela de Melo
Sequencia didática Multiplicação  Professora Graziela de MeloSequencia didática Multiplicação  Professora Graziela de Melo
Sequencia didática Multiplicação Professora Graziela de MeloSolange Goulart
 
Sequencia didática Alfabetizadora Maria do Carmo
Sequencia didática Alfabetizadora Maria do Carmo Sequencia didática Alfabetizadora Maria do Carmo
Sequencia didática Alfabetizadora Maria do Carmo Solange Goulart
 
Sequencia didática de Matemática Alfabetizadora Eva Anilda Silveira
Sequencia didática de Matemática Alfabetizadora Eva Anilda Silveira Sequencia didática de Matemática Alfabetizadora Eva Anilda Silveira
Sequencia didática de Matemática Alfabetizadora Eva Anilda Silveira Solange Goulart
 
Quarto encontro PNAIC 2014 - sequencia didática com foco na matemática
Quarto encontro PNAIC 2014 - sequencia didática com foco na matemáticaQuarto encontro PNAIC 2014 - sequencia didática com foco na matemática
Quarto encontro PNAIC 2014 - sequencia didática com foco na matemáticaRosilane
 
Sequência didática na educação infantil
Sequência didática na educação infantil Sequência didática na educação infantil
Sequência didática na educação infantil Luiza Carvalho
 

En vedette (11)

Calculo I - Uma Breve Introdução ao Estudo de Integrais
Calculo I - Uma Breve Introdução ao Estudo de IntegraisCalculo I - Uma Breve Introdução ao Estudo de Integrais
Calculo I - Uma Breve Introdução ao Estudo de Integrais
 
Introducao ao calculo diferencial
Introducao ao calculo diferencialIntroducao ao calculo diferencial
Introducao ao calculo diferencial
 
Cálculo Numérico - Introdução
Cálculo Numérico - IntroduçãoCálculo Numérico - Introdução
Cálculo Numérico - Introdução
 
Sequencia Didática - Matemática é mais que continhas . Alfabetizadora Goreti ...
Sequencia Didática - Matemática é mais que continhas . Alfabetizadora Goreti ...Sequencia Didática - Matemática é mais que continhas . Alfabetizadora Goreti ...
Sequencia Didática - Matemática é mais que continhas . Alfabetizadora Goreti ...
 
Sequencia didática Multiplicação Professora Graziela de Melo
Sequencia didática Multiplicação  Professora Graziela de MeloSequencia didática Multiplicação  Professora Graziela de Melo
Sequencia didática Multiplicação Professora Graziela de Melo
 
Encontro presencial: sequência didática
Encontro presencial: sequência didáticaEncontro presencial: sequência didática
Encontro presencial: sequência didática
 
Sequencia didática Alfabetizadora Maria do Carmo
Sequencia didática Alfabetizadora Maria do Carmo Sequencia didática Alfabetizadora Maria do Carmo
Sequencia didática Alfabetizadora Maria do Carmo
 
Sequencia didática de Matemática Alfabetizadora Eva Anilda Silveira
Sequencia didática de Matemática Alfabetizadora Eva Anilda Silveira Sequencia didática de Matemática Alfabetizadora Eva Anilda Silveira
Sequencia didática de Matemática Alfabetizadora Eva Anilda Silveira
 
Quarto encontro PNAIC 2014 - sequencia didática com foco na matemática
Quarto encontro PNAIC 2014 - sequencia didática com foco na matemáticaQuarto encontro PNAIC 2014 - sequencia didática com foco na matemática
Quarto encontro PNAIC 2014 - sequencia didática com foco na matemática
 
Sequência didática na educação infantil
Sequência didática na educação infantil Sequência didática na educação infantil
Sequência didática na educação infantil
 
O menino que_aprendeu_a_ler[1]
O menino que_aprendeu_a_ler[1]O menino que_aprendeu_a_ler[1]
O menino que_aprendeu_a_ler[1]
 

Similaire à Introdução Ao Cálculo

Ap2 gai-2014-2-gabarito
Ap2 gai-2014-2-gabaritoAp2 gai-2014-2-gabarito
Ap2 gai-2014-2-gabaritoMarcia Costa
 
ResoluExame, Matemática A, 2011_2011
ResoluExame, Matemática A, 2011_2011ResoluExame, Matemática A, 2011_2011
ResoluExame, Matemática A, 2011_2011David Azevedo
 
Aula sobre coordenadas cartesianas
Aula sobre coordenadas cartesianasAula sobre coordenadas cartesianas
Aula sobre coordenadas cartesianasElaine Mello
 
Geometria analitica equacao da reta
Geometria analitica equacao da retaGeometria analitica equacao da reta
Geometria analitica equacao da retacon_seguir
 
Matematica 3 exercicios gabarito 07
Matematica 3 exercicios gabarito 07Matematica 3 exercicios gabarito 07
Matematica 3 exercicios gabarito 07comentada
 
Gabarito 1ª Fase - Nível 3 - 2012
Gabarito 1ª Fase - Nível 3 - 2012Gabarito 1ª Fase - Nível 3 - 2012
Gabarito 1ª Fase - Nível 3 - 2012oim_matematica
 
Relatório de matemática – aula II
Relatório de matemática – aula IIRelatório de matemática – aula II
Relatório de matemática – aula IInicole_gonzalez
 
Relatório de matemática – aula II
Relatório de matemática – aula IIRelatório de matemática – aula II
Relatório de matemática – aula IInicole_gonzalez
 
5ª LISTA DE EXERCICÍCIOS 3º ANO CIRCUNFERÊNCIA
5ª LISTA DE EXERCICÍCIOS 3º ANO CIRCUNFERÊNCIA5ª LISTA DE EXERCICÍCIOS 3º ANO CIRCUNFERÊNCIA
5ª LISTA DE EXERCICÍCIOS 3º ANO CIRCUNFERÊNCIAcarlos josé gomes
 
03 geometria analtica
03 geometria analtica03 geometria analtica
03 geometria analticaresolvidos
 
Apostila 003 geometria analitica
Apostila  003 geometria analiticaApostila  003 geometria analitica
Apostila 003 geometria analiticacon_seguir
 
Testes 5 + 5.pdf
Testes 5 + 5.pdfTestes 5 + 5.pdf
Testes 5 + 5.pdfTniaLopes50
 

Similaire à Introdução Ao Cálculo (20)

Ap2 gai-2014-2-gabarito
Ap2 gai-2014-2-gabaritoAp2 gai-2014-2-gabarito
Ap2 gai-2014-2-gabarito
 
ResoluExame, Matemática A, 2011_2011
ResoluExame, Matemática A, 2011_2011ResoluExame, Matemática A, 2011_2011
ResoluExame, Matemática A, 2011_2011
 
Aula sobre coordenadas cartesianas
Aula sobre coordenadas cartesianasAula sobre coordenadas cartesianas
Aula sobre coordenadas cartesianas
 
Ufba11mat2
Ufba11mat2Ufba11mat2
Ufba11mat2
 
Apostila mat2
Apostila mat2Apostila mat2
Apostila mat2
 
Cord.polares
Cord.polaresCord.polares
Cord.polares
 
Cord.polares
Cord.polaresCord.polares
Cord.polares
 
Revisão para a prova
Revisão para a provaRevisão para a prova
Revisão para a prova
 
Geometria analitica equacao da reta
Geometria analitica equacao da retaGeometria analitica equacao da reta
Geometria analitica equacao da reta
 
Geometria anatica retas exercicios by gledson
Geometria anatica retas exercicios by gledsonGeometria anatica retas exercicios by gledson
Geometria anatica retas exercicios by gledson
 
Matematica 3 exercicios gabarito 07
Matematica 3 exercicios gabarito 07Matematica 3 exercicios gabarito 07
Matematica 3 exercicios gabarito 07
 
Ufba12mat2
Ufba12mat2Ufba12mat2
Ufba12mat2
 
Gabarito 1ª Fase - Nível 3 - 2012
Gabarito 1ª Fase - Nível 3 - 2012Gabarito 1ª Fase - Nível 3 - 2012
Gabarito 1ª Fase - Nível 3 - 2012
 
Relatório de matemática – aula II
Relatório de matemática – aula IIRelatório de matemática – aula II
Relatório de matemática – aula II
 
Relatório de matemática – aula II
Relatório de matemática – aula IIRelatório de matemática – aula II
Relatório de matemática – aula II
 
5ª LISTA DE EXERCICÍCIOS 3º ANO CIRCUNFERÊNCIA
5ª LISTA DE EXERCICÍCIOS 3º ANO CIRCUNFERÊNCIA5ª LISTA DE EXERCICÍCIOS 3º ANO CIRCUNFERÊNCIA
5ª LISTA DE EXERCICÍCIOS 3º ANO CIRCUNFERÊNCIA
 
03 geometria analtica
03 geometria analtica03 geometria analtica
03 geometria analtica
 
Apostila 003 geometria analitica
Apostila  003 geometria analiticaApostila  003 geometria analitica
Apostila 003 geometria analitica
 
Revisão para a prova
Revisão para a provaRevisão para a prova
Revisão para a prova
 
Testes 5 + 5.pdf
Testes 5 + 5.pdfTestes 5 + 5.pdf
Testes 5 + 5.pdf
 

Dernier

Termo de audiência de Mauro Cid na ìntegra
Termo de audiência de Mauro Cid na ìntegraTermo de audiência de Mauro Cid na ìntegra
Termo de audiência de Mauro Cid na ìntegrafernando846621
 
Cruzadinha da dengue - Mosquito Aedes aegypti
Cruzadinha da dengue - Mosquito Aedes aegyptiCruzadinha da dengue - Mosquito Aedes aegypti
Cruzadinha da dengue - Mosquito Aedes aegyptiMary Alvarenga
 
Trabalho DAC História 25 de Abril de 1974
Trabalho DAC História 25 de Abril de 1974Trabalho DAC História 25 de Abril de 1974
Trabalho DAC História 25 de Abril de 1974AnaRitaFreitas7
 
Depende De Nós! José Ernesto Ferraresso.ppsx
Depende De Nós! José Ernesto Ferraresso.ppsxDepende De Nós! José Ernesto Ferraresso.ppsx
Depende De Nós! José Ernesto Ferraresso.ppsxLuzia Gabriele
 
AS REBELIÕES NA AMERICA IBERICA (Prof. Francisco Leite)
AS REBELIÕES NA AMERICA IBERICA (Prof. Francisco Leite)AS REBELIÕES NA AMERICA IBERICA (Prof. Francisco Leite)
AS REBELIÕES NA AMERICA IBERICA (Prof. Francisco Leite)profesfrancleite
 
ARTE BARROCA E ROCOCO BRASILEIRO-min.pdf
ARTE BARROCA E ROCOCO BRASILEIRO-min.pdfARTE BARROCA E ROCOCO BRASILEIRO-min.pdf
ARTE BARROCA E ROCOCO BRASILEIRO-min.pdfItaloAtsoc
 
Ressonancia_magnetica_basica_slide_da_net.pptx
Ressonancia_magnetica_basica_slide_da_net.pptxRessonancia_magnetica_basica_slide_da_net.pptx
Ressonancia_magnetica_basica_slide_da_net.pptxPatriciaFarias81
 
Mês da Leitura - Agrupamento de Escolas de Vagos 2024.pdf
Mês da Leitura - Agrupamento de Escolas de Vagos 2024.pdfMês da Leitura - Agrupamento de Escolas de Vagos 2024.pdf
Mês da Leitura - Agrupamento de Escolas de Vagos 2024.pdfEscolaSecundria2
 
Apresente de forma sucinta as atividades realizadas ao longo do semestre, con...
Apresente de forma sucinta as atividades realizadas ao longo do semestre, con...Apresente de forma sucinta as atividades realizadas ao longo do semestre, con...
Apresente de forma sucinta as atividades realizadas ao longo do semestre, con...Colaborar Educacional
 
autismo conhecer.pptx, Conhecer para entender
autismo conhecer.pptx, Conhecer para entenderautismo conhecer.pptx, Conhecer para entender
autismo conhecer.pptx, Conhecer para entenderLucliaResende1
 
PROJETO DE EXTENSÃO - SEGURANÇA, INOVAÇÃO E SUSTENTABILIDADE PARA O BEM COMUM...
PROJETO DE EXTENSÃO - SEGURANÇA, INOVAÇÃO E SUSTENTABILIDADE PARA O BEM COMUM...PROJETO DE EXTENSÃO - SEGURANÇA, INOVAÇÃO E SUSTENTABILIDADE PARA O BEM COMUM...
PROJETO DE EXTENSÃO - SEGURANÇA, INOVAÇÃO E SUSTENTABILIDADE PARA O BEM COMUM...Colaborar Educacional
 
Aula 6 - O Imperialismo e seu discurso civilizatório.pptx
Aula 6 - O Imperialismo e seu discurso civilizatório.pptxAula 6 - O Imperialismo e seu discurso civilizatório.pptx
Aula 6 - O Imperialismo e seu discurso civilizatório.pptxMarceloDosSantosSoar3
 
Slides Lição 1, CPAD, O Início da Caminhada, 2Tr24, Pr Henrique.pptx
Slides Lição 1, CPAD, O Início da Caminhada, 2Tr24, Pr Henrique.pptxSlides Lição 1, CPAD, O Início da Caminhada, 2Tr24, Pr Henrique.pptx
Slides Lição 1, CPAD, O Início da Caminhada, 2Tr24, Pr Henrique.pptxLuizHenriquedeAlmeid6
 
SEMIOSES DO OLHAR - SLIDE PARA ESTUDO 123
SEMIOSES DO OLHAR - SLIDE PARA ESTUDO 123SEMIOSES DO OLHAR - SLIDE PARA ESTUDO 123
SEMIOSES DO OLHAR - SLIDE PARA ESTUDO 123JaineCarolaineLima
 
A Congregação de Jesus e Maria, conhecida também como os Eudistas, foi fundad...
A Congregação de Jesus e Maria, conhecida também como os Eudistas, foi fundad...A Congregação de Jesus e Maria, conhecida também como os Eudistas, foi fundad...
A Congregação de Jesus e Maria, conhecida também como os Eudistas, foi fundad...Unidad de Espiritualidad Eudista
 
Caça palavras - BULLYING
Caça palavras  -  BULLYING  Caça palavras  -  BULLYING
Caça palavras - BULLYING Mary Alvarenga
 

Dernier (20)

Termo de audiência de Mauro Cid na ìntegra
Termo de audiência de Mauro Cid na ìntegraTermo de audiência de Mauro Cid na ìntegra
Termo de audiência de Mauro Cid na ìntegra
 
Abordagens 4 (Problematização) e 5 (Síntese pessoal) do texto de Severino (20...
Abordagens 4 (Problematização) e 5 (Síntese pessoal) do texto de Severino (20...Abordagens 4 (Problematização) e 5 (Síntese pessoal) do texto de Severino (20...
Abordagens 4 (Problematização) e 5 (Síntese pessoal) do texto de Severino (20...
 
Cruzadinha da dengue - Mosquito Aedes aegypti
Cruzadinha da dengue - Mosquito Aedes aegyptiCruzadinha da dengue - Mosquito Aedes aegypti
Cruzadinha da dengue - Mosquito Aedes aegypti
 
Trabalho DAC História 25 de Abril de 1974
Trabalho DAC História 25 de Abril de 1974Trabalho DAC História 25 de Abril de 1974
Trabalho DAC História 25 de Abril de 1974
 
Depende De Nós! José Ernesto Ferraresso.ppsx
Depende De Nós! José Ernesto Ferraresso.ppsxDepende De Nós! José Ernesto Ferraresso.ppsx
Depende De Nós! José Ernesto Ferraresso.ppsx
 
AS REBELIÕES NA AMERICA IBERICA (Prof. Francisco Leite)
AS REBELIÕES NA AMERICA IBERICA (Prof. Francisco Leite)AS REBELIÕES NA AMERICA IBERICA (Prof. Francisco Leite)
AS REBELIÕES NA AMERICA IBERICA (Prof. Francisco Leite)
 
ARTE BARROCA E ROCOCO BRASILEIRO-min.pdf
ARTE BARROCA E ROCOCO BRASILEIRO-min.pdfARTE BARROCA E ROCOCO BRASILEIRO-min.pdf
ARTE BARROCA E ROCOCO BRASILEIRO-min.pdf
 
Ressonancia_magnetica_basica_slide_da_net.pptx
Ressonancia_magnetica_basica_slide_da_net.pptxRessonancia_magnetica_basica_slide_da_net.pptx
Ressonancia_magnetica_basica_slide_da_net.pptx
 
Mês da Leitura - Agrupamento de Escolas de Vagos 2024.pdf
Mês da Leitura - Agrupamento de Escolas de Vagos 2024.pdfMês da Leitura - Agrupamento de Escolas de Vagos 2024.pdf
Mês da Leitura - Agrupamento de Escolas de Vagos 2024.pdf
 
Apresente de forma sucinta as atividades realizadas ao longo do semestre, con...
Apresente de forma sucinta as atividades realizadas ao longo do semestre, con...Apresente de forma sucinta as atividades realizadas ao longo do semestre, con...
Apresente de forma sucinta as atividades realizadas ao longo do semestre, con...
 
autismo conhecer.pptx, Conhecer para entender
autismo conhecer.pptx, Conhecer para entenderautismo conhecer.pptx, Conhecer para entender
autismo conhecer.pptx, Conhecer para entender
 
PROJETO DE EXTENSÃO - SEGURANÇA, INOVAÇÃO E SUSTENTABILIDADE PARA O BEM COMUM...
PROJETO DE EXTENSÃO - SEGURANÇA, INOVAÇÃO E SUSTENTABILIDADE PARA O BEM COMUM...PROJETO DE EXTENSÃO - SEGURANÇA, INOVAÇÃO E SUSTENTABILIDADE PARA O BEM COMUM...
PROJETO DE EXTENSÃO - SEGURANÇA, INOVAÇÃO E SUSTENTABILIDADE PARA O BEM COMUM...
 
Abordagem 3. Análise interpretativa (Severino, 2013)_PdfToPowerPoint.pdf
Abordagem 3. Análise interpretativa (Severino, 2013)_PdfToPowerPoint.pdfAbordagem 3. Análise interpretativa (Severino, 2013)_PdfToPowerPoint.pdf
Abordagem 3. Análise interpretativa (Severino, 2013)_PdfToPowerPoint.pdf
 
Aula 6 - O Imperialismo e seu discurso civilizatório.pptx
Aula 6 - O Imperialismo e seu discurso civilizatório.pptxAula 6 - O Imperialismo e seu discurso civilizatório.pptx
Aula 6 - O Imperialismo e seu discurso civilizatório.pptx
 
Slides Lição 1, CPAD, O Início da Caminhada, 2Tr24, Pr Henrique.pptx
Slides Lição 1, CPAD, O Início da Caminhada, 2Tr24, Pr Henrique.pptxSlides Lição 1, CPAD, O Início da Caminhada, 2Tr24, Pr Henrique.pptx
Slides Lição 1, CPAD, O Início da Caminhada, 2Tr24, Pr Henrique.pptx
 
SEMIOSES DO OLHAR - SLIDE PARA ESTUDO 123
SEMIOSES DO OLHAR - SLIDE PARA ESTUDO 123SEMIOSES DO OLHAR - SLIDE PARA ESTUDO 123
SEMIOSES DO OLHAR - SLIDE PARA ESTUDO 123
 
Abordagem 2. Análise temática (Severino, 2013)_PdfToPowerPoint.pdf
Abordagem 2. Análise temática (Severino, 2013)_PdfToPowerPoint.pdfAbordagem 2. Análise temática (Severino, 2013)_PdfToPowerPoint.pdf
Abordagem 2. Análise temática (Severino, 2013)_PdfToPowerPoint.pdf
 
A Congregação de Jesus e Maria, conhecida também como os Eudistas, foi fundad...
A Congregação de Jesus e Maria, conhecida também como os Eudistas, foi fundad...A Congregação de Jesus e Maria, conhecida também como os Eudistas, foi fundad...
A Congregação de Jesus e Maria, conhecida também como os Eudistas, foi fundad...
 
Caça palavras - BULLYING
Caça palavras  -  BULLYING  Caça palavras  -  BULLYING
Caça palavras - BULLYING
 
Boletim informativo Contacto - março 2024
Boletim informativo Contacto - março 2024Boletim informativo Contacto - março 2024
Boletim informativo Contacto - março 2024
 

Introdução Ao Cálculo

  • 1. INTRODUÇÃO AO CÁLCULO “Aprender Cálculo pode ser sua experiência educacional mais empolgante e estimulante pois é a base para quase toda a Matemática e para muitas das grandes realizações no mundo moderno”. (Louis Leithold) RETAS E COORDENADAS O plano cartesiano A criação da Geometria Analítica é atribuída a René Descartes (1596-1650) que usou a técnica do plano numérico (R2) por volta de 1637. Os eixos x e y Trata-se da disposição de dois eixos imaginários, dispostos um na vertical (eixo y) e outro na horizontal (eixo x), sendo chamado de origem o ponto de interseção entre eles. Pares ordenados Os eixos x e y foram numerados, a partir da origem, até o infinito. Assim, passou a existir uma infinidade de combinações entre esses valores, representados por (x, y) = (a, b), onde x = a e y = b. Por exemplo, se (3, 7) é um par ordenado, então x = 3 e y = 7. Porém, (3, 7) é diferente de (7, 3) Abscissa e Ordenada Em um par ordenado, o valor atribuído a x é chamado de abscissa e o valor atribuído a y é chamado de ordenada. Coordenadas de um ponto Na Geometria Analítica, cada par ordenado é associado a um ponto imaginário no plano cartesiano. É representado por uma letra maiúscula seguida do par ordenado. Exemplo: P(5, -3) é um ponto associado ao par ordenado (x, y) = (5, -3). Um ponto P(x, y) é representado no plano cartesiano conforme o exemplo: Quadrantes: P(4, 2) M(-2, 2) O plano cartesiano é dividido em quatro quadrantes: 0, 0 P está no quadrante I M está no quadrante II L(-5, -1) L está no quadrante III H está no quadrante IV H(2, -3) Distância entre dois pontos Já que supomos a existência de um ponto imaginário no plano cartesiano, é natural que existam outros, pois a possibilidade de pares ordenados é infinita. Entre dois pontos, a primeira pergunta a se fazer é “qual a distância entre eles?”. A Geometria Analítica responde a esta questão usando uma fórmula simples baseada no Teorema de Pitágoras aplicado em
  • 2. triângulos retângulos (a2 = b2 + c2), em que a representa a hipotenusa, a e b representam os catetos. Observe os pontos P e H do exemplo a seguir. Suas coordenadas estão indicadas no gráfico: P(4, 5) 5 P 2 H(2, 2) H 2 4 É fácil perceber que a distância entre as abscissas de P e de H é de 2 unidades, ou seja, xP – xH = 4 – 2 = 2. Da mesma forma, a distância entre as ordenadas de P e H é de 3 unidades, ou seja, yP - yH = 5 – 2 = 3. Observe agora que pode-se desenhar um triângulo retângulo onde o segmento PH forma a hipotenusa: Note que conhecemos os catetos do triângulo: a = 2 e b = 3. Para 5 P encontrar a hipotenusa, usamos o teorema de Pitágoras. 5–2=3 a2 = b2 + c2 a2 = 32 + 22 2 a2 = 9 + 4 H 4–2=2 a2 = 13 a2 = b2 + c2 2 4 a = 13 Conclusão: a distância entre os pontos P e H é de 13 unidades. Ponto médio Outra operação importante entre pontos no plano é o ponto médios entre eles. Se os pontos P e H tem coordenadas (xP, yP) e (xH, yH) e M é seu ponto médio, então M tem  x + xH y P + y H  coordenadas  P ,  .  2 2  Exemplo: considerando os pontos P e H do exemplo anterior, determine o ponto médio M deles. 4+ 2 5+ 2 6 7  7 Solução: P(4, 5) e H(2, 2) => M  ,  = M  ,  = M  3,   2 2  2 2  2
  • 3. Definição de reta Reta é o conjunto de todos os pontos alinhados, segundo uma direção. A existência de dois pontos no plano cartesiano é suficiente para definir a direção que irá caracterizar esta reta. Porém, tal direção é estabelecida pela inclinação da reta no plano, em relação ao eixo das abscissas. Inclinação da reta É possível calcular a inclinação da reta a partir das coordenadas dos pontos existentes. O valor encontrado é chamado de coeficiente angular, comumente representado pela letra m e é obtido pelo princípio da tangente. Considere a existência dos pontos P1(x1, y1) e P2(x2, y2), representados nas figuras abaixo. Projetando y1 até o alinhamento de x2, pode-se visualizar um triângulo retângulo de vértices P1, P2 e C: y2 P2 y2 P2 y1 y1 θ P1 P1 C x1 x2 x1 x2 P2 C A tangente deste triângulo será tgθ = . Em outras palavras, o coeficiente angular P1C m é a razão entre a variação de y ( y) e a variação de x ( x), onde y=y2 – y1 e x=x2 – x1 . ∆y y 2 − y1 Ou seja m = = . ∆x x 2 − x1 Exemplo 1: considerando os pontos A(3, 5) e B(-5, 7), determine a inclinação da reta definida por eles. ∆y y A − y B 5−7 −2 −2 1 Solução: m = = => m = = => m = =− ∆x x A − x B 3 − (−5) 3 + 5 8 4 3 Exemplo 2: considerando os pontos A(-4, 2) e coeficiente angular m = , 2 determine o ponto de abscissa igual a 10. 3 2 − yB Solução: m = = 2 − 4 − 10 2 − yB 3 = => 2 × (2 − y B ) = 3 × (−14) => − 14 2 4 − 2 y B = −42 − 46 − 2 y B = −42 − 4 => − 2 y B = −46 => yB = y B = 23 −2 Portanto, o ponto procurado tem coordenadas (10, 23).
  • 4. Equação da reta Em Geometria Analítica, os “lugares geométricos” são expressos matematicamente na forma de equação. A maneira como se apresenta esta equação pode variar conforme a conveniência, para facilitar o desenvolvimento algébrico. A forma mais comum é a reduzida: y = mx + b. Onde m é o coeficiente angular e b é o coeficiente linear. Como já foi dito, o coeficiente angular representa a inclinação (ou declividade) de uma reta. Por sua vez, o coeficiente linear mostra o ponto onde a reta intercepta o eixo das ordenadas. A partir de dois pontos se pode determinar a equação de uma reta, identificando cada um de seus elementos. Exemplo: Dados os pontos A(-3, 7) e B(2, -8), determine a equação da reta definida por eles. Solução: Sabe-se que a forma reduzida é y = mx + b. Primeiramente calcula-se o valor de m. ∆y y A − y B 7 − (−8) 7 + 8 15 m= = => m = = => m = = −3 ∆x x A − x B −3−2 −5 −5 Substitui-se m = -5 na forma reduzida: y = -3x + b. Substituem-se as coordenadas de qualquer um dos pontos dados, por exemplo, A(- 3, 7) na forma reduzida: 7 = -3(-3) + b. Logo, desenvolvendo a última expressão, b = -2. Então se pode escrever a equação y = -3x -2 como a reta que contém os pontos A(- 3, 7) e B(2, -8). Observação: Uma forma prática de verificar se a equação está correta é substituir o outro ponto – no caso B(2, -8); na equação: y = -3x -2 => -8 = -3(2) -2 => -8 = -6 -2 => -8 = -8 (Verdadeiro). Forma geral da reta Outra forma de se apresentar uma equação de reta é a forma geral: Ax + By + C = 0; A C onde − é o coeficiente angular (m) e − é o coeficiente linear (b), ambos já mostrados. B B A C − Ax − C Na verdade, o que mudou foi a apresentação: y = mx + b => y = − x − => y = B B B => By = − Ax − C => Ax + By + C = 0 . No estudo inicial de cálculo, a forma geral da reta não representa relevância. Interceptos Chamam-se interceptos os valores pelos quais uma reta intercepta os eixos das abscissas ou das ordenas. O intercepto das ordenadas é o próprio coeficiente linear (b). O −b intercepto das abscissas é dado por . m Retas paralelas
  • 5. Duas retas em um plano são paralelas quando possuem a mesma inclinação, ou seja, mesmos coeficientes angulares, mesma declividade. Outra maneira de verificar se duas retas são paralelas, conhecendo suas equações, atribui-se duas abscissas (ou duas ordenadas) às duas retas, gerando quatro pontos. Os pontos de mesma abscissa (ou mesma ordenada) distanciam-se em mesmo valor que os outros dois pontos. Caso a distância seja nula, trata-se de retas coincidentes. Retas perpendiculares Duas retas são perpendiculares se o coeficiente angular de uma é o inverso do oposto −1 do coeficiente angular da outra. Ou seja: m1 = ou m1 m 2 = −1 . m2 Exemplo: Sejam as retas l1: 2x – 3y = 12 e l2: 3x + 2y = 4. Verifique se elas são perpendiculares. A 2 2 Solução: Coeficiente angular de l1 m1 = − 1 = − = B1 −3 3 3 − A 3 Coeficiente angular de l2 m2 = − 2 = − 2 = − B2 1 2 2 −3 Note que m1 m 2 = × = −1 , portanto l1 e l2 são perpendiculares. 3 2 Pontos de interseção Duas retas concorrentes, perpendiculares ou não, possuem um único ponto de interseção. Para determinar esse ponto a partir das equações das retas, basta isolar simultaneamente uma variável comum. Exemplo: Sejam as retas l1: x + 2y = 10 e l2: –2x + y = –10. Determine o ponto de interseção. Solução: l1: x + 2y = 10 l2: –2x + y = –10 x = 10 – 2y –2x = –10 –y − 10 − y x= −2 Fazendo l1 = l2, vem: − 10 − y 10 − 2 y = ⇒ −2 − 2(10 − 2 y ) = −10 − y ⇒ − 20 + 4 y = −10 − y ⇒ 4 y + y = −10 + 20 ⇒ 5 y = 10 ⇒ y = 2 Como y = 2: x = 10 – 2y x = 10 – 2.2 x = 10 – 4 x=6 Portanto, as retas l1 e l2 se interceptam em (6, 2).