El documento describe tres tipos de sólidos: sólidos covalentes, sólidos metálicos y la teoría de bandas. Los sólidos covalentes como el diamante tienen átomos de carbono unidos covalentemente con sus cuatro vecinos cercanos en una estructura tetraédrica, lo que les da propiedades como alta dureza. Los sólidos metálicos como el cobre contienen electrones libres que se mueven entre los núcleos atómicos, dando lugar a enlaces débiles y propiedades como bu
1. Cuaderno de Actividades: Física Moderna
ii) Sólidos Covalentes
Caso típico: carbono sólido, diamante
C: Z ≡ 6, 1s2
2s2
2p2
Cada átomo de C se enlaza con 4 átomos de C vecinos cercanos:
energía cohesiva ∼ 7,37 eV
La estructura base del carbono es tetrahédrica
Propiedades generales: → Muy duros
→ Altas Ts de fusion
→ Buenos aislantes T y I
iii) Sólidos Metálicos
Caso típico: Cu
- Poseen electrones libres {1 o 2 por átomo}
Mg. Percy Víctor Cañote Fajardo
2. Cuaderno de Actividades: Física Moderna
- El modelo básico es de gas de se−
: se−
moviéndose en torno de núcleos
metálicos +s
- Los enlaces metálicos son débiles frente a los iónicos y covalentes,
entre 1 – 3 eV, y se basa en fuerzas coulombianas e-
- p+
Propiedades Generales: → Son brillantes debido a la reflexión en el VIS
→ Gran conductividad electrónica y T
→ Forman aleaciones de importancia tecnológica:
Tenasidad, ductibilidad, anticorrosividad,
conductividad, etc.
5,4) Teoría de Bandas
Ejemplo: Na, 1s2
2s2
2p6
3s1
, Z ≡11
- 2 átomos de Na
Mg. Percy Víctor Cañote Fajardo
E Separados
3s 3s
Na1 Na2
r
3. Cuaderno de Actividades: Física Moderna
- 6 átomos de Na
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Juntos
3s
Na1 - Na2
E
r
3s
4. Cuaderno de Actividades: Física Moderna
- Núcleos átomicos de Na formando un sólido
El ancho de banda no depende del número de átomos, pero si de la
interacción de vecinos cercanos. El número de niveles en la banda depende
del número total de átomo interactuantes, N átomos producirán N niveles.
Cada banda podrá contener hasta 2(2l + 1) N se−
.
Diagrama esquemático de las bandas de energía para un sólido de sodio,
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3s
3s N
3s1
2p 6N
2p6
2s 2N
2s2
1s
2N 1s2
SOLIDO ATOMO
5. Cuaderno de Actividades: Física Moderna
5,5) Modelo de se−
libres en metales
Retomamos el modelo de gas de se−
{modelo de Drude - Lorentz}
introduciendo los conceptos asociados al principio de exclusión de W Pauli
y que los se−
deben ser tratados como fermiones, esto es, partículas de
SPIN fraccionando (1/2) descritos por la estadística de FERMI – DIRAC
{estadística cuántica}
Según la estadística de FD, la probabilidad de encontrar a un e-
con energía
E, esta dada por la función de distribución FD,
( ) ( ) /
1
1F BE E k T
f E
e
−
≡
+
donde EF es la energía de Fermi.
Para esta función la temperatura T ≡ 0 K es crucial, es decir, para T ≡ 0 K
indica que todos los estados con E < EF están ocupados, mientras que para
temperaturas T > 0 K empiezan a ocuparse estados con E > EF, ver los
siguientes gráficos,
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f
1
T ≡ 0 K
E
0 EF
f
1
T > 0 K
1/2
E
0 EF
6. Cuaderno de Actividades: Física Moderna
Como veremos la importancia de la EF es tal que permite describir
materiales, por ejemplo, esta energía dependerá de la concentración
volumétrica de electrones, n, así como de la concentración de impurezas, ni
del material,
( )
( )
( )
:
:semiconductores
1F r
F
F
a
i
E n metales solidos
E
E n
≠
≡
:
De igual forma, en base a la EF para metales que va de 1,6 a 14 eV, la TF va
de 1,8 a 16 x 104
K y la vF de 0,8 a 2,2 x 106
m/s (∼ 10-2
c!).
Si nuestro modelo nos conduce a imaginar al e-
confinado a una caja de
lado L, las funciones de O que lo describen, por extensión del caso
unidimensional, tendrían la forma,
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z
L
e-
L
y
L
x
7. Cuaderno de Actividades: Física Moderna
( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , x y zr x y z Asen k x sen k y sen k zψ ψ≡ ≡
r
Con { }
2 2
2 2 2
2
2
x y zE n n n
mL
π
≡ + +
h
Donde ,x y zn n y n son números cuánticos energéticos como lo era n
unidimensional. Por lo tanto, los estados energéticos estarán caracterizados
por estos 3 números cuánticos mas el número de SPIN, ms,
( ), , ,x y z se e
E E n n n m− −≡
Para efectos se determinan una expresión que nos permita calcular la EF,
definimos la función de densidad de estados, g(E), que determina el número
de estados por unidad de volumen y energía (estados / VE), de tal forma
que el número de estados electrónicos por unidad de volumen y por unidad
de energía, esta dado por,
( )
3/2
1/ 2
3
8 2 m
g E E
h
π
≡
Por lo tanto, el número de se−
a la temperatura T, en dichas condiciones,
esta dado por,
( ) ( ) ( )N E f E g E≡
Ahora, si n es el número total de electrones por unidad de volumen (n:
concentración volumétrica de se−
libres), se debe cumplir que,
( ) ( )
3/ 2 1/2
3 /0 0
8 2
1F BE E k T
m E dE
n N E dE
h e
π∞ ∞
−
≡ ≡
+
∫ ∫
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8. Cuaderno de Actividades: Física Moderna
En T ≡ 0 K, tenemos,
( )
3/2
1/ 2
30
1, 08 2
0,
FE F
F
E Em
n E dE f E
E Eh
π ≤ ≤
≡ ¬
>
∫
2
2
3
2/33
8
F
h
E n
m π
≡ ÷
La velocidad de Fermi, vF, definida por la siguiente expresión,
1/ 2
2 F
F
E
v
m
≡
y la TF por,
F
F
B
E
T
k
≡
La EF cumple un rol importante cuando se describen los materiales, en
metales vinculada al llenado parcial de bandas; en aislantes y
semiconductores, por lo general, se encuentra en la banda prohibida, pero
debido a su movilidad con la concentración, para estos últimos, permitirá
controlar los procesos de conducción en ellos.
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